Giải tích hàm nâng cao 41 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ khơng của khơng gian định chuẩn E. Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi) 1 ( ) ( ) inf{ 0, } x E p x x C         Khi đó hàm p thỏa 2) ( ) ( ) ( ) p x y p x p y    1) ( ) ( ), 0 p x p x      3) tồn tại sao cho: M ) ( ) 0 ( ) || || ) { : ( ) 1} a x E p x M x b C x E p x        42 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Chứng minh bổ đề 1 1) ( ) ( ), 0 p x p x      Nếu 0 và , ta có y x     ( ) inf{ 0: } y p y C      inf{ 0: } x C       ' ' inf{ 0: } y C      ' ' inf{ 0: } y C       ( ) p x   vậy ( ) ( ) p x p x    44 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. , , 0. Từ (1) và (3b), ta có x y E    2) ( ) ( ) ( ) p x y p x p y    (1- ) Suy ra, ( t [0,1]) ( ) ( ) tx t y C p x p y         1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) x p p x p x p x       ( ) x C p x     và ( ) y C p y    ( ) chọn ( ) ( ) 2 p x t p x p y       ta có ( ) ( ) 2 x y C p x p y      ( ) ( ) ( ) 2 p x y p x p y       ( ) ( ) ( ) p x y p x p y     46 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Chứng minh bổ đề 2 Xét dung lượng của . p C 1) Giả sử 0 C  0 : , ( ) g G R g tx t   Kiểm tra ( ) ( ) g x p x  0 Xét G Rx  Theo đònh lý Hahn-Banach, tồn tại tr ên , khuyếch của f E g sao cho ( ) ( ) ( ), x E f x p x    liên tục do bổ đề 1, 3a) f 0 và ( ) 1. f x  Từ bổ đề1, 3b) suy ra ( ) ( ) 1 x C f x    47 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất) 48 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Chứng minh Đặt C = A\B. 1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 C  Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho ( ) ( ) 0 z C f z    ( , ) ( ) ( ) x A y B f x f y      Cố định , với R   sup ( ) inf ( ) y B x A f x f y      Khi đó siêu phẳng của phương trình tách A và B theo nghĩa rộng. { ( ) } f x   49 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của không gian định chuẩn E, A là tập mở. Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng. Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai) 50 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. (0, ) B B B     Chứng minh Vôùi 0, ñaët (0, ) A A B       1) Kiểm tra lồi. vaø A B   2) Kiểm tra mở, không trống. vaø A B   3) Kiểm tra rời nhau. vaø A B   Khi đó tồn tại siêu phẳng của phương trình tách A và B theo nghĩa rộng. { ( ) } f x   ( , , (0,1)) ( ) ( ) x A y B z B f x z f y z            ( ) || || ( ) || || f x f f y f         Vậy tách A và B theo nghĩa hẹp. { ( ) } ; 0 f x f    51 3. Định lý Banach - Steihauss. Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống. Bổ đề Baire Giả sử là dãy các tập hợp đóng sao cho   1 n n x  1 n n X X     Khi đó tồn tại sao cho 0 n 0 int 0. n X  52 3. Định lý Banach - Steihauss. Cho E, F là hai không gian Banach. là họ các toán tử Định lý Banach - Steihauss tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho   i i I T  Khi đó sup|| ( ) || . i i I T x    ( , ) sup|| || . i L E F i I T    . Giải tích hàm nâng cao 41 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa. E. Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi) 1 ( ) ( ) inf{ 0, } x E p x x C         Khi đó hàm p thỏa 2) ( ) ( ) ( ) p x y p x p y    1) ( ) ( ), 0 p x p x      3) tồn tại sao cho: M ). minh Đặt C = AB. 1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 C  Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho ( ) ( ) 0 z C f z    ( , ) ( ) ( ) x A y B f x f y  