TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010 TỔNG TRỰC TIẾP CÁC MÔĐUN ĐỀU VỚI ĐỘ DÀI HỮU HẠN Ngô Sỹ Tùng, trường Đại học Vinh Lê Văn An, trường THPT Phan Bội Châu, Nghệ An Nguyễn Minh Tuấn, trường Đại học Vinh Tóm tắt. Bài báo trình bày một số kết quả về tính chất liên tục của môđun là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với độ dài hữu hạn và từ đó đưa ra một số đặc trưng về vành QF. 1. Mở đầu Trong bài báo này các vành luôn giả thiết là vành kết hợp có đơn vị và tất cả các môđun là môđun phải unita trên vành R nào đó (nếu không nói gì thêm). Cho R−môđun phải M, chúng ta dùng các ký hiệu A ⊆ M, A ⊆ e M, A ⊆ ⊕ M để chỉ A là môđun con, môđun con cốt yếu, hạng tử trực tiếp của môđun M. Vành các tự đồng cấu, độ dài và chiều đều của môđun M lần lượt được ký hiệu là End(M), l(M), u − dim(M). Cho R−môđun phải M, ta xét các điều kiện sau: (C 1 ) Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. (C 3 ) Nếu A và B là các hạng tử trực tiếp của M và A ∩ B = 0 thì A ⊕ B cũng là hạng tử trực tiếp của M. Môđun M được gọi là CS−môđun (tương ứng môđun liên tục, tựa liên tục), nếu M thoả mãn điều kiện (C 1 ) (tương ứng (C 1 ) và (C 2 ); (C 1 ) và (C 3 )). Theo [4] và [9] ta có (C 2 ) =⇒ (C 3 ) và sơ đồ kéo theo sau là đúng đối với một môđun: Nội xạ =⇒ Tựa nội xạ =⇒ Liên tục =⇒ Tựa liên tục =⇒ CS. Môđun M được gọi là Σ−CS nếu môđun M (I) là CS với tập chỉ số I bất kỳ. Trong bài báo này chúng tôi đưa ra điều kiện (∗) đối với một R−môđun phải M như sau: (∗) Nếu B là một môđun con đều của M và đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp A của M thì B cũng là hạng tử trực tiếp của M. 149 Nhận xét rằng nếu môđun M thoả mãn điều kiện (C 2 ) thì M thoả mãn điều kiện (∗). Môđun M được gọi là địa phương (local) nếu M có môđun con tối đại duy nhất. Khi M là môđun địa phương thì J(M) = M và J(M) là môđun con tối đại duy nhất, tức là mọi môđun con thực sự của M cũng là môđun con của J(M). Vành R được gọi là địa phương nếu R R (hoặc R R ) là môđun địa phương. Vành R được gọi là QF nếu R là vành Artin phải và trái, tựa nội xạ phải và trái. Bài viết này đưa ra một số kết quả về tính chất liên tục của tổng trực tiếp hữu hạn M = M 1 ⊕ ⊕ M n với M i là các môđun đều có độ dài hữu hạn (i = 1, , n). Từ đó ứng dụng các kết quả về môđun để đặc trưng vành QF. Các kết quả của bài bài báo này là nối tiếp những nghiên cứu của chúng tôi trong [1], [13] và của các tác giả khác trong [3], [7], [8], 2. Các kết quả Bổ đề 1. Cho môđun M thoả mãn điều kiện (∗). Nếu N là hạng tử trực tiếp của M thì N thoả mãn điều kiện (∗). Chứng minh. Giả sử A là môđun con đều của N và đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp B của N, ta chứng minh A cũng là hạng tử trực tiếp của N. Đặt M = N ⊕ N  và N = B ⊕ B  , ta có M = B ⊕ B  ⊕ N  , suy ra B là hạng tử trực tiếp của M. Vì A là môđun con đều của M và môđun M thoả mãn điều kiện (∗) nên A là hạng tử trực tiếp của M. Đặt M = A ⊕ A  , theo luật Môđula ta có N = N ∩ M = N ∩ (A ⊕ A  ) = A ⊕ (N ∩ A  ). Do đó A là hạng tử trực tiếp của N, tức là N thoả mãn điều kiện (∗). Bổ đề 2. Cho các môđun đều U 1 , U 2 sao cho l(U 1 ) = l(U 2 ) < ∞ và đặt U = U 1 ⊕ U 2 . Khi đó U thoả mãn điều kiện (C 3 ). Chứng minh. Theo [14], vành các tự đồng cấu End(U 1 ) và End(U 2 ) là vành địa phương. Ta chứng minh U thoả mãn điều kiện (C 3 ), tức là với hai hạng tử trực tiếp S 1 , S 2 của U sao cho S 1 ∩ S 2 = 0 thì S 1 ⊕ S 2 cũng là hạng tử trực tiếp của U. Nhận xét rằng u−dim(U) = 2 nên chứng minh là tầm thường trong trường hợp: Một trong hai hạng tử trực tiếp S i có chiều đều bằng 2 và hạng tử trực tiếp còn lại là 0. Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S 1 , S 2 là môđun đều. Đặt U = S 2 ⊕ K. Theo Bổ đề Azumaya, S 2 ⊕ K = S 2 ⊕ U 1 , hoặc S 2 ⊕ K = S 2 ⊕ U 2 . Vì U 1 và U 2 là bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta chỉ cần xét trường hợp U = S 2 ⊕ K = S 2 ⊕ U 1 = U 1 ⊕ U 2 . Khi đó S 2 ∼ = U 2 . Đặt U = S 1 ⊕ H, theo Bổ đề Azumaya, U = S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U 1 hoặc S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U 2 . Nếu U = S 1 ⊕H = S 1 ⊕U 1 sử dụng luật Môđula, ta có S 1 ⊕S 2 = S 1 ⊕X trong đó X = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U 1 . Từ đó X ∼ = S 2 ∼ = U 2 . Hơn nữa l(U 1 ) = l(U 2 ) = l(X), nên U 1 = X và do đó S 1 ⊕ S 2 = S 1 ⊕ U 1 = U. 150 Nếu U = S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U 2 sử dụng luật Môđula, ta có S 1 ⊕ S 2 = S 1 ⊕ V trong đó V = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U 2 . Từ đó V ∼ = S 2 ∼ = U 2 . Hơn nữa l(U 2 ) = l(V ), nên U 2 = V và do đó S 1 ⊕ S 2 = S 1 ⊕ U 2 = U. Vậy môđun U thoả mãn điều kiện (C 3 ). Định lí 3. Cho các môđun đều với độ dài hữu hạn U 1 , , U n và đặt U = U 1 ⊕ ⊕ U n . Khi đó các khẳng định sau tương đương: (a) U là môđun liên tục; (b) U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗). Chứng minh. (a) =⇒ (b) là hiển nhiên. (b) =⇒ (a). Giả sử U là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗), ta cần chứng minh U là môđun liên tục. Trước tiên ta chứng minh U là môđun tựa liên tục. Đặt U ij = U i ⊕ U j với ∀i, j = 1, 2, , n, i = j, ta chứng minh U ij là môđun tựa liên tục. Vì U ij là hạng tử trực tiếp của U nên ta có U ij là CS−môđun. Nếu l(U i ) = l(U j ) theo Bổ đề 2, ta có U ij thoả mãn điều kiện (C 3 ) và suy ra U ij là môđun tựa liên tục. Nếu l(U i ) = l(U j ), không mất tính tổng quát ta giả sử l(U i ) < l(U j ). Theo Bổ đề 1, ta có U ij thoả mãn điều kiện (∗). Giả sử tồn tại R−đơn cấu f : U i −→ U j và đặt f(U i ) = L, khi đó L là môđun con của U j và U i ∼ = L. Hiển nhiên ta có L = 0. Giả sử L = U j . Vì U ij thoả mãn điều kiện (∗) và L là môđun con đều của U ij nên L là hạng tử trực tiếp của U ij (do U i là hạng tử trực tiếp của U ij ). Đặt U ij = L ⊕ L  , theo luật Môđula ta có U j = U j ∩ U ij = U j ∩ (L ⊕ L  ) = L ⊕ L  với L  = U j ∩ L  . Vì U j là môđun đều nên L  = 0 (vì L = 0), suy ra L = U j (mâu thuẫn). Do đó U i không nhúng thực sự vào U j . Ngược lại, giả sử tồn tại R−đơn cấu g : U j −→ U i , khi đó ta có l(U j ) = l(g(U j ))  l(U i ) (mâu thuẫn). Từ đó U j cũng không nhúng được vào U i . Giả sử tồn tại R−đơn cấu h : U i −→ U i sao cho h(U i ) = K ⊆ U i và K = U i . Ta có K ∼ = U i , suy ra l(U i ) = l(K) < l(U i ) (mâu thuẫn). Do đó U i không nhúng thực sự vào chính nó và tương tự U j cũng vậy. Giả sử S 1 và S 2 là các hạng tử trực tiếp của U ij sao cho S 1 ∩ S 2 = 0, ta sẽ chứng minh S 1 ⊕ S 2 cũng là hạng tử trực tiếp của U ij . Nhận xét rằng chiều đều của U ij bằng 2 nên chứng minh là tầm thường trong trường hợp có một trong hai hạng tử trực tiếp là môđun 0 hoặc có chiều đều bằng 2. Xét trường hợp cả hai hạng tử trực tiếp S 1 và S 2 là môđun đều. Đặt U ij = S 2 ⊕ F. Theo [14], vành các tự đồng cấu End(U i ) và End(U j ) là địa phương nên theo Bổ đề Azumaya, ta có U ij = S 2 ⊕ F = S 2 ⊕ U i , hoặc U ij = S 2 ⊕ F = S 2 ⊕ U j (xem [2, 12.6, 12.7]). Không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét một trường hợp U ij = S 2 ⊕ F = S 2 ⊕ U i = U i ⊕ U j . Khi đó S 2 ∼ = U j . Đặt U ij = S 1 ⊕ H, cũng theo Bổ đề Azumaya ta có U ij = S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U i , hoặc S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U j . Nếu U ij = S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U i , sử dụng luật Môđula ta có S 1 ⊕ S 2 = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U ij = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ (S 1 ⊕ U i ) = S 1 ⊕ X trong đó X = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U i . 151 Từ đó, X ∼ = S 2 ∼ = U j . Vì U j không nhúng thực sự vào U i và X là môđun con của U i nên X = U i . Do đó, l(U i ) = l(X) = l(S 2 ) = l(U j ) (mâu thuẫn). Nếu U ij = S 1 ⊕ H = S 1 ⊕ U j , sử dụng luật Môđula ta có S 1 ⊕ S 2 = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U ij = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ (S 1 ⊕ U j ) = S 1 ⊕ V trong đó V = (S 1 ⊕ S 2 ) ∩ U j . Từ đó V ∼ = S 2 ∼ = U j . Vì U j không nhúng thực sự vào chính nó và V là môđun con của U j nên V = U j . Do đó S 1 ⊕ S 2 = S 1 ⊕ U j = U ij . Tóm lại, ta luôn có S 1 ⊕ S 2 = U ij . Hay U ij thoả mãn điều kiện (C 3 ) và suy ra U ij là môđun tựa liên tục. Từ đó, U ij là môđun tựa liên tục với bất kỳ i, j = 1, , n. Theo Harmanci - Smith, ta có U là môđun tựa liên tục (xem [5, Corollary 11]). Tiếp theo ta chứng minh, U thoả mãn điều kiện (C 2 ), tức là với các môđun đẳng cấu A, B của U, và B là hạng tử trực tiếp của U thì A cũng là hạng tử trực tiếp của U. Theo [14], vành các tự đồng cấu End(U i ) là địa phương với i = 1, , n nên theo Bổ đề Azumaya, tồn tại tập con F của {1, , n} sao cho B ⊕ (⊕ i∈F U i ) = U. Nếu F = {1, , n} thì A = B = 0. Từ đó suy ra A là hạng tử trực tiếp của U. Nếu F = {1, , n}, ta đặt J = {1, , n}\F . Từ đó U = B ⊕ (⊕ i∈F U i ) = (⊕ i∈J U i ) ⊕ (⊕ i∈F U i ). Do đó ta suy ra A ∼ = B ∼ = U/ ⊕ i∈F U i ∼ = ⊕ i∈J U i = C. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử J = {1, , k} với 1  k  n, tức là C = U 1 ⊕ ⊕ U k . Xét đẳng cấu ϕ : C −→ A và đặt A i = ϕ(U i ), ta suy ra A i ∼ = U i với bất kỳ i = 1, , k. Từ đó A = ϕ(C) = ϕ(U 1 ⊕ ⊕ U k ) = ϕ(U 1 ) ⊕ ⊕ ϕ(U k ) = A 1 ⊕ ⊕ A k . Mặt khác A i là môđun con đều của U, A i ∼ = U i và U thoả mãn điều kiện (∗), ta có A i là hạng tử trực tiếp của U với bất kỳ i = 1, , k. Từ tính chất U là môđun tựa liên tục, suy ra A = A 1 ⊕ ⊕A k là hạng tử trực tiếp của U. Do đó U thoả mãn điều kiện (C 2 ). Vì U là CS−môđun nên U là môđun liên tục, ta có (a). Hệ quả 4. Đối với một vành R, các khẳng định sau là tương đương: (a) R là vành QF; (b) R R là môđun Σ−CS và thoả mãn điều kiện (∗). Chứng minh. (a) =⇒ (b) là hiển nhiên. (b) =⇒ (a). Giả sử R R là môđun Σ−CS và thoả mãn điều kiện (∗), ta chứng minh R là vành QF. Vì R R là môđun Σ−CS nên theo [11] và [12], ta có R là vành Artin hai phía và do đó R cũng là vành Noether hai phía. Đặt R R = R 1 ⊕ ⊕ R n 152 trong đó R i là iđêan phải đều của R với i = 1, , n. Ta có R i là môđun Artin và cũng là môđun Noether, do đó R i là môđun có độ dài hữu hạn (xem [14]). Vì R R là CS−môđun và thoả mãn điều kiện (∗) nên theo Định lý 3, R là vành liên tục phải. Theo [6, Theorem 4.3], ta có R là vành QF. Hệ quả 5. Nếu vành R có các tính chất sau: (i) R R thoả mãn điều kiện (∗), (ii) Mọi tổng trực tiếp các R−môđun phải CS cũng là CS−môđun; thì R là vành QF. Chứng minh. Giả sử vành R thoả mãn các tính chất (i) và (ii), ta chứng minh R là vành QF. Vì R thoả mãn tính chất (ii), theo [8, Corollary 3], R là vành Artin phải và mọi R−môđun phải đều có độ dài không vượt quá 2. Từ tính chất R là vành Artin phải, ta có R R = R 1 ⊕ ⊕ R n trong đó R i là iđêan phải đều của R với l(R i )  2 < ∞, i = 1, , n. Do R i là CS−môđun nên theo tính chất (ii), R R là CS−môđun. Vì R R thoả mãn điều kiện (∗) nên theo Định lý 3, R là vành liên tục phải. Từ điều kiện R R là CS−môđun và tính chất (ii), suy ra R R là môđun Σ−CS. Theo Hệ quả 4, R là vành QF. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] L. V. An and N. S. Tung, On direct sums of uniform modules and QF−rings, East-West J. of Math, Vol 11, No 2 (2009), 241 - 251. [2] F. W. Anderson and K. R. Fuller, Ring and Categories of Modules, Springer - Verlag, NewYork - Heidelberg - Berlin, 1974. [3] H. Q. Dinh and D. V. Huynh, Some results on self - injective rings and Σ − CS rings, Comm. in Algebra 31 (2003), 6063 - 6077. [4] N. V. Dung, D. V. Huynh, P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics series 313, Longman, Harlow, UK, 1994. [5] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS-Modules, Houston J. Math. 19(1993),523 - 532. [6] D. V. Huynh, D. D. Tai and L. V. An, On the CS condition and rings with chain conditions, AMS. Contem. Math. 480 (2009), 261 - 269. [7] D. V. Huynh and S. T. Rizvi, On countably sigma - CS rings, Algebra and its applications, Narosa publishing house, New Delhi, Chennai, Mumbai, Kolkata, 2001, 119 - 128. [8] D. V. Huynh, S. K. Jain and S. R. López - Permouth, Ring characterized by direct sums of CS modules, Comm. in Algebra 28(2000), 4219 - 4222. 153 [9] S. H. Mohamed and B. J. Muller, Continuous and Discrete Modules, London Math. Soc. Lecture Notes Series147, Cambridge Univ. Press, Cam- bridge, 1990. [10] W. K. Nicholson and M. F. Yousif, Quasi - Frobenius Rings, Cambridge Tracts No. 158. Cambridge Univ. Press, London, New York, 2003. [11] K. Oshiro, Lifting modules, extending modules and their applications to QF rings, Hokkaido Math. J. 13 (1984), 310 - 338. [12] K. Oshiro, On Harada rings I, II, III, Math. J. Okayama Univ. 31 (1989), 161 - 178. [13] N. S. Tung, L. V. An and T. D. Phong, Some results on direct sums of uniform modules, Contributions in Math and Applications, ICMA, December 2005, Mahidol Uni., Bangkok, Thailand, p.p. 235 - 241. [14] R. Wisbauer, Foundations of Rings and Modules, Gordon and Breach, Reading (1991). ON DIRECT SUMS OF UNIFORM MODULES WITH FINITE COMPOSITION LENGTH Ngo Sy Tung, Vinh University Lê Văn An, Phan Boi Chau high school, Nghe An Province Nguyen Minh Tuan, Vinh University Summary. In this paper, we give some results on continuity of direct sums of uniform modules with finite composition length. We also obtain a charac- terization of QF−rings via CS−modules and Σ−CS−modules. 154 . tổng trực tiếp hữu hạn M = M 1 ⊕ ⊕ M n với M i là các môđun đều có độ dài hữu hạn (i = 1, , n). Từ đó ứng dụng các kết quả về môđun để đặc trưng vành QF. Các kết quả của bài bài báo này là nối tiếp. Bài báo trình bày một số kết quả về tính chất liên tục của môđun là tổng trực tiếp hữu hạn các môđun đều với độ dài hữu hạn và từ đó đưa ra một số đặc trưng về vành QF. 1. Mở đầu Trong bài báo. một hạng tử trực tiếp của M, hay nói cách khác mọi môđun con đóng trong M là hạng tử trực tiếp của M. (C 2 ) Nếu A và B là các môđun con của M đẳng cấu với nhau và A là hạng tử trực tiếp của M