TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Số 59, 2010 ĐỊNH LÝ HOPKINS VỀ CĂN JACOBSON CHO CÁC NỬA VÀNH CỘNG GIẢN ƯỚC Nguyễn Xuân Tuyến, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Lê Hoàng Mai, Trường Đại học Đồng Tháp Tóm tắt. Trong bài viết này chúng tôi tính một số kết quả liên quan đến căn của nửa vành theo quan điểm của Bourne. Đặc biệt chúng tôi chứng minh Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước. 1. Giới thiệu. Căn của nửa vành tổng quát được Bourne định nghĩa vào năm 1950, sau đó căn Bourne được Zassenhaus, Iizuka, tiếp tục xem xét. Thời gian gần đây được tiếp tục nghiên cứu bởi các tác giả H.M.AL-Thani, N.X. Tuyen và T.G. Nam, Ngoài ra, căn của nửa vành theo quan điểm của Kurosh-Amitsur cũng được nghiên cứu bởi U. Hebisch và H. J. Weinert. Trong bài viết này chúng tôi dùng khái niệm căn Bourne tính toán trên các nửa vành cộng giản ước; nửa vành lũy đẳng và thu được kết quả là các Mệnh đề 2.3; Mệnh đề 2.5 và Mệnh đề 2.6. Đặc biệt, chúng tôi dùng căn Bourne của nửa vành để xem xét lại một định lý quan trọng trong lý thuyết vành đó là Định lý Hopkins về căn Jacobson, chúng tôi thu được kết quả Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước đó là Định lý 3.2. Trong suốt bài viết này, chúng tôi quy ước tập S khác rỗng cùng với hai phép toán hai ngôi cộng và nhân được gọi là một nửa vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) (S, +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử không là 0; (ii) (S, .) là một nửa nhóm; (iii) Phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng. Nếu phép nhân có tính chất giao hoán thì S được gọi là nửa vành giao hoán, nếu nửa nhóm nhân có phần tử đơn vị thì S được gọi là nửa vành có đơn vị. Nửa vành S được gọi là cộng (nhân) lũy đẳng nếu a + a = a(a.a = a), ∀a ∈ S; nửa vành S được gọi là lũy đẳng nếu S vừa là cộng lũy đẳng vừa là nhân lũy đẳng. Nửa vành S được gọi là cộng giản ước nếu a + b = a + c thì b = c, ∀a, b, c ∈ S. Một tập con I khác rỗng của S được gọi là một ideal trái (phải) của S nếu thoả mãn các điều kiện sau: (i) a + b ∈ I với mọi a, b ∈ I; (ii) ra ∈ I(ar ∈ I) với mọi a ∈ I và mọi r ∈ S. I được gọi là ideal của nửa vành S nếu I vừa là 155 ideal trái vừa là ideal phải của nửa vành S. Ideal I của nửa vành S được gọi là cô lập nếu thỏa mãn điều kiện: với a ∈ I, x ∈ S nếu a + x ∈ I thì x ∈ I. Ideal I của nửa vành S được gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho I n = {0}. Giả sử S là một nửa vành có đơn vị 1. Vị nhóm cộng giao hoán M cùng với ánh xạ: M × S → M sao cho (m, s) → ms được gọi là một nửa môđun phải trên nửa vành cơ sở S (hay S−nửa môđun phải, kí hiệu: M S ) nếu: với mọi a, b ∈ S; x, y ∈ M, (i) x(a + b) = xa + xb; (ii) (x + y)a = xa + ya; (iii) x(ab) = (xa)b và x.1 = x. Tương tự, ta có S−nửa môđun trái S M. Cho S là một nửa vành có đơn vị và M là một S−nửa môđun trái (phải). M được gọi là nửa môđun Artin (Noether) nếu tập các nửa môđun con của M thỏa mãn điều kiện DCC (ACC, tương ứng). Nửa vành S được gọi là nửa vành Artin (Noether) trái nếu S là một S−nửa môđun trái và S là Artin (Noether, tương ứng). Tương tự, ta có khái niệm nửa vành Artin (Noether) phải. 2. Căn của nửa vành và các ví dụ. Trước khi đi đến định nghĩa căn Jacobson phải của nửa vành S theo Bourne ta nhắc lại 2 khái niệm sau đây: phần tử r của nửa vành S được gọi là nửa chính quy phải nếu tồn tại phần tử r  , r  ∈ S sao cho r + r  + rr  = r  + rr  . Điều kiện cần và đủ để phần tử r ∈ S nửa chính quy phải là với mọi phần tử s ∈ S luôn tồn tại phần tử s  , s  ∈ S sao cho s + s  + rs  = s  + rs  . Ideal phải I của nửa vành S được gọi là ideal nửa chính quy phải nếu với mọi cặp phần tử i 1 , i 2 ∈ I luôn tồn tại các phần tử j 1 , j 2 ∈ I sao cho i 1 + j 1 + i 1 j 1 + i 2 j 2 = i 2 + j 2 + i 1 j 2 + i 2 j 1 . Định nghĩa 2.1.[1] Căn Jacobson phải của nửa vành S là tổng của tất cả các ideal nửa chính quy phải của S. Tương tự, ta có định nghĩa căn Jacobson trái của nửa vành S. Bourne cũng đã chứng minh rằng căn Jacobson phải và trái là trùng nhau, và gọi chung là căn Jacobson của S, kí hiệu R(S). Sau đó, Bourne và Zassenhaus đã đưa ra khái niệm nửa căn của nửa vành S và xét quan hệ tương đương tuyến tính i 1 ∼ i 2 nếu và chỉ nếu phương trình i 1 + x = i 2 + x giải được trong S với i 1 , i 2 ∈ S. Đặt S ∗ = S/ ∼ = {i ∗ | i ∈ S} với i ∗ = {j ∈ S | i ∼ j}. 156 Định nghĩa 2.2.[2] Nửa căn của nửa vành S, kí hiệu σ(S), là tập hợp tất cả các phần tử i của S sao cho i ∗ thuộc vào căn Jacobson R(S ∗ ) của S ∗ . Nửa căn σ(S) chứa căn Jacobson R(S) của S. Iizuka và Nakahara chứng minh được căn Jacobson và nửa căn của nửa vành S trùng nhau. Sau đây ta xét một vài ví dụ về việc tính căn của các nửa vành cụ thể: Ví dụ 1. Ta có R(N) = {0} với N là nửa vành các số tự nhiên với 2 phép toán cộng và nhân thông thường. Thật vậy, gọi I là một ideal nửa chính quy bất kỳ của N, với mọi x ∈ I ta xét cặp x, 0 ∈ I, vì I là nửa chính quy nên tồn tại j 1 , j 2 ∈ I sao cho x + j 1 + xj 1 = j 2 + xj 2 . Nếu j 1 > j 2 thì j 1 + xj 1 > j 2 + xj 2 suy ra x + j 1 + xj 1 > j 2 + xj 2 (vô lý). Nếu j 1 < j 2 thì j 1 + 1 ≤ j 2 . Khi đó j 2 + xj 2 ≥ j 2 + x(j 1 + 1) ≥ j 1 + 1 + xj 1 + x > x + j 1 + xj 1 (vô lý). Vậy j 1 = j 2 , thay vào x + j 1 + xj 1 = j 2 + xj 2 , do N cộng giản ước nên x = 0. Vậy, I = {0} hay N chỉ có duy nhất ideal nửa chính quy đó là {0}. Do đó, R(N) = {0}. Ví dụ 2. Tập hợp R 3 = {0, 1, a} cùng với hai phép toán được cho bởi bảng sau: + 0 1 a 0 0 1 a 1 1 1 a a a a a × 0 1 a 0 0 0 0 1 0 1 a a 0 a a Ta dễ dàng kiểm chứng được R 3 là ideal nửa chính quy phải của chính nó, nghĩa là R(R 3 ) = R 3 . Cho I là ideal nửa chính quy phải của nửa vành S. Khi đó, ∀i ∈ I ta dễ dàng chứng minh được i là phần tử nửa chính quy phải của S. Tuy nhiên, tập hợp J tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S chưa chắc là ideal nửa chính quy phải của S. Vậy, khi nào tập J là ideal nửa chính quy phải của S? Mệnh đề 2.3. Cho S là nửa vành giao hoán, lũy đẳng. Khi đó R(S) = J, với J là tập hợp tất cả các phần tử nửa chính quy phải của S. Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh J là ideal nửa chính quy phải của S. Ta có 0 ∈ J, vì 0 là phần tử nửa chính quy phải. Với mọi j 1 , j 2 ∈ J, ta có (j 1 + j 2 ) + (j 1 + j 2 ) + (j 1 + j 2 )(j 1 + j 2 ) = (j 1 + j 2 ) + (j 1 + j 2 )(j 1 + j 2 ) vì thế j 1 + j 2 là phần tử nửa chính quy phải của S nên j 1 + j 2 ∈ J. Với mọi j ∈ J, s ∈ S, tồn tại s  , s  ∈ S sao cho j + s  + js  = s  + js  =⇒ sj + ss  + sjs  = ss  + sjs  =⇒ sj + ss  + (sj)(ss  ) = ss  + (sj)(ss  ) 157 hay sj là phần tử nửa chính quy phải của S nên sj ∈ J. Với mọi j 1 , j 2 ∈ J, ta có j 1 +j 2 = (j 1 +j 2 )(j 1 +j 2 ), cho nên j 1 +j 2 +j 1 j 1 +j 2 j 2 = j 1 +j 2 +j 1 j 2 +j 2 j 1 , suy ra J là ideal nửa chính quy phải của S. Vì J là ideal nửa chính quy phải của S nên J ⊆ R(S). Mặt khác, vì R(S) cũng là một ideal nửa chính quy phải của S nên mỗi phần tử của R(S) đều là phần tử nửa chính quy phải, do đó R(S) ⊆ J. Vậy R(S) = J.  Iizuka đã sử dụng lý thuyết biểu diễn để đặc trưng căn của nửa vành. Một S−nửa môđun phải giản ước M = {0} được gọi là bất khả quy nếu với mỗi cặp cố định tùy ý u 1 , u 2 ∈ M thỏa u 1 = u 2 và với bất kỳ x ∈ M luôn tồn tại a 1 , a 2 ∈ S sao cho x + u 1 a 1 + u 2 a 2 = u 1 a 2 + u 2 a 1 . Khi đó, ta nói M là nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S. Kí hiệu I là tập hợp tất cả các nửa môđun biểu diễn bất khả quy của một nửa vành S. Định lý 2.4.[5] Cho S là một nửa vành có đơn vị. Khi đó R(S) =  M ∈I (0 : M) trong đó (0 : M) = {b ∈ S | Mb = {0}}. Nếu I = ∅ thì R(S) = S và S được gọi là nửa vành căn. Mệnh đề 2.5. Cho S là nửa vành cộng lũy đẳng. Khi đó R(S) = S hay S là nửa vành căn. Chứng minh. Gọi M = {0} là một nửa môđun biểu diễn bất khả quy của nửa vành S. Với m(= 0) ∈ M, ta chọn u 1 = m, u 2 = 0, x = m, khi đó luôn tồn tại a 1 , a 2 ∈ S sao cho x + u 1 a 1 + u 2 a 2 = u 1 a 2 + u 2 a 1 =⇒ m + ma 1 = ma 2 =⇒ m + ma 1 + ma 2 = ma 2 + ma 2 = m(a 2 + a 2 ) = ma 2 =⇒ m + ma 1 + ma 2 + ma 1 = ma 1 + ma 2 =⇒ m + m(a 1 + a 2 ) = m(a 1 + a 2 ) Vì M cộng giản ước nên m = 0 (vô lý). Vậy S không có các S−nửa môđun biểu diễn bất khả quy, do đó R(S) = S.  Chú ý. Ta có thể chứng minh Mệnh đề 2.5 bằng cách sử dụng Định lý 4 trong [5]. Dễ dàng chứng minh được R 3 là nửa vành cộng lũy đẳng nên R(R 3 ) = R 3 . Nhận xét. Như ta đã biết, căn của vành có đơn vị là giao của tất cả các ideal trái (phải) tối đại. Do đó, nếu S là một vành có đơn vị thì căn của S 158 là một ideal con thực sự của S, vì phần tử đơn vị không thuộc vào căn của S. Tuy nhiên, trên nửa vành cộng lũy đẳng có đơn vị thì theo Mệnh đề 2.5 ta luôn có R(S) = S và đây có thể xem là một sự khác biệt giữa căn của vành và căn của nửa vành. Cho R là nửa vành (không có đơn vị). Khi đó dễ dàng kiểm chứng được tập S = R × N cùng với hai phép toán cộng (r, n) + (r  , n  ) = (r + r  , n + n  ) và nhân (r, n)(r  , n  ) = (nr  + n  r + rr  , nn  ) với mọi (r, n), (r  , n  ) ∈ S, là một nửa vành có đơn vị với phần tử không 0 S = (0, 0) và phần tử đơn vị 1 S = (0, 1). Nửa vành này được gọi là mở rộng Dorroh của R nhờ N (xem [3]). Mệnh đề 2.6. Cho R là một nửa vành (không có đơn vị) và S là mở rộng Dorroh của R nhờ N. Khi đó R(R) = R(S). Chứng minh. Ta thấy ánh xạ f : R → S sao cho r → (r, 0) là một đơn cấu nửa vành. Vì thế, mọi phần tử r ∈ R ta có thể đồng nhất với phần tử (r, 0) ∈ S. Khi đó, ta có R là một nửa vành con của S và ta cũng chứng minh được R là một ideal của S. Theo Định lý 2 trong [5], ta có R(R) = R(S) ∩ R, vì thế để chứng minh R(S) = R(R), ta cần chứng minh R(S) ⊆ R. Ta có ánh xạ p : S → S/R sao cho (r, n) → (r, n) là một toàn cấu nửa vành nên suy ra p(R(S)) ⊆ R(S/R). Mặt khác, xét ánh xạ θ : S/R → N sao cho (r, n) → n, ta dễ dàng chứng minh được θ là một đẳng cấu nửa vành nên R(S/R) = R(N) = {0}. Vì thế p(R(S)) ⊆ R(S/R) = {0}. Với mọi x = (r, n) ∈ R(S), p(r, n) = (r, n) = (0, 0) hay (r, n) + (r 1 , 0) = (r 2 , 0). Do đó, n = 0 và x = (r, 0) ∈ R. Vậy R(S) ⊆ R. Suy ra R(R) = R(S).  3. Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước Ta có Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S) vừa là ideal trái lũy linh lớn nhất vừa là ideal phải lũy linh lớn nhất của S (xem [6]). Tuy nhiên, theo Mệnh đề 2.5 thì R 3 là nửa vành cộng lũy đẳng nên R(R 3 ) = R 3 . Mặt khác, R 3 là hữu hạn nên R 3 là nửa vành Artin nhưng R(R 3 ) = R 3 không lũy linh. Do đó, Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin không còn đúng trong nửa vành Artin. Vậy, với điều kiện nào thì nửa vành có căn là lũy linh? Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta nhắc lại việc xây dựng vành sai phân  S như sau: Cho S là một nửa vành. Khi đó nửa vành S ∗ = S/ [≡] {0} là cộng giản ước (trong đó [≡] {0} là tương đẳng Iizuka). Trong trường hợp nửa vành S là cộng giản ước thì S ∗ = S. Từ nửa vành S ∗ cộng giản ước ta xây dựng được vành sai phân  S chứa S ∗ như một nửa vành con. Cụ thể như sau: Cho S là nửa vành cộng giản ước (tức là S ∗ = S). Khi đó S × S = {(x, y) | x, y ∈ S} cùng với 2 phép toán cộng (x, y) + (x  , y  ) = (x + x  , y + y  ) và nhân (x, y)(x  , y  ) = (xx  + yy  , xy  + x  y) là một nửa vành cộng giản ước với phần tử không là (0, 0). Xét tập ∆ = {(a, a) | a ∈ S}, ta dễ dàng chứng minh được 159 ∆ là một ideal của S × S. Xét quan hệ tương đẳng Bourne trên S × S như sau: (x, y) ≡ ∆ (x  , y  ) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : (x, y) + (a, a) = (x  , y  ) + (b, b) ⇔ ∃(a, a), (b, b) ∈ ∆ : x + a = x  + b, y + a = y  + b. Khi đó,  S = (S × S)/∆ là một vành với hai phép toán cộng (x, y) + (x  , y  ) = (x + x  , y + y  ) và nhân (x, y).(x  , y  ) = (xx  + yy  , xy  + x  y) với phần tử không 0  S = (0, 0), và phần tử (x, y) có phần tử đối là (y, x). Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : S →  S sao cho x → (x, 0), ta thấy ϕ là một đơn cấu nửa vành vì ϕ(x) = ϕ(y), tức là (x, 0) = (y, 0), suy ra x + a = y + b, a = b hay x = y. Do đó, ta có thể đồng nhất x ∈ S với (x, 0) ∈  S, vì thế S là một nửa vành con của  S. Mặt khác, với mọi (x, y) ∈  S ta có (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) − (y, 0) = x − y. Vậy, mọi phần tử trong  S luôn viết được dưới dạng hiệu của hai phần tử trong S. Bổ đề 3.1. Cho S là một nửa vành cộng giản ước. Nếu S−nửa môđun phải S 2 là Artin thì S− nửa môđun phải  S là Artin. Chứng minh. S−nửa môđun phải S 2 với phép nhân ngoài ((x, y), z) → (xz, yz) và S− nửa môđun phải  S với phép nhân ngoài ((x, y), r) → (xr, yr). Bây giờ ta xét ánh xạ ϕ : S 2 S →  S S sao cho (x, y) → (x, y). Ta dễ dàng kiểm chứng được ϕ là một S−toàn cấu giữa các S−nửa môđun phải. Xét dãy I 1 ⊇ I 2 ⊇ ⊇ I n ⊇ các S− nửa môđun con của S− nửa môđun phải  S. Khi đó, ϕ −1 (I 1 ) ⊇ ϕ −1 (I 2 ) ⊇ ⊇ ϕ −1 (I n ) ⊇ là dãy giảm các S−nửa môđun con của S−nửa môđun phải S 2 , mà S 2 S là Artin nên tồn tại n ∈ N sao cho ϕ −1 (I n ) = ϕ −1 (I n+i ), ∀i = 1, 2, Vì ϕ là toàn cấu nên I n = ϕ(ϕ −1 (I n )) = ϕ(ϕ −1 (I n+i )) = I n+i , ∀i = 1, 2, Do đó, S−nửa môđun phải  S là Artin.  Định lý 3.2. Cho S là nửa vành cộng giản ước sao cho S 2 là S−nửa môđun phải Artin. Khi đó, căn R(S) của S là lũy linh và S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập. Chứng minh. Vì S là nửa vành cộng giản uớc nên S = S ∗ là một nửa vành con của  S. Khi đó R(S) = R(S ∗ ) = R(  S) ∩ S ∗ = R(  S) ∩ S (xem [5]). Suy ra R(S) ⊆ R(  S). Vì vậy, để chứng minh R(S) lũy linh, ta chỉ cần chứng minh R(  S) lũy linh. Nhưng  S là một vành nên theo Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành (xem [6]) ta cần chứng minh  S−môđun phải  S là Artin. Xét dãy J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⊇ J n ⊇ các môđun con trong  S−môđun phải  S. Ta đã biết ánh xạ θ : S →  S sao cho s → (s, 0) là một đơn cấu nửa vành. Vì thế, mỗi phần tử s ∈ S ta có thể đồng nhất với phần tử (s, 0) ∈  S, do đó các J i cũng là các nửa môđun con của 160 S−nửa môđun phải  S nên dãy J 1 ⊇ J 2 ⊇ ⊇ J n ⊇ là dãy giảm các môđun con trong S−nửa môđun phải  S. Theo Bổ đề 3.1 ta có S−nửa môđun phải  S là Artin nên suy ra dãy trên phải dừng. Vì vậy,  S−môđun phải  S là Artin, do đó ∃n ∈ N : R(  S) n = {0} mà R(S) ⊆ R(  S) suy ra R(S) n = {0} hay R(S) là lũy linh. Bây giờ ta chứng minh S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập. Do  S là một vành Artin phải nên  S cũng là vành Noether phải (xem [6]). Xét dãy I 1 ≤ I 2 ≤ ≤ I n ≤ các ideal phải cô lập của S. Đặt K(I i ) = {a − b | a, b ∈ I i }, ∀i = 1, n. Ta dễ dàng chứng minh được K(I i ) là các ideal phải của  S và K(I 1 ) ≤ K(I 2 ) ≤ ≤ K(I n ) ≤ Do  S là Noether phải nên ∃n ∈ N : K(I n ) = K(I n+i ), ∀i ∈ N. Ta sẽ chứng minh I n = I n+i , ∀i ∈ N. Với mọi x ∈ I n+i , ta có x ∈ K(I n+i ) = K(I n ), do đó x viết được dưới dạng x = a − b, với a, b ∈ I n . Khi đó, a = x + b. Vì a, b ∈ I n , I n là cô lập nên x ∈ I n . Suy ra I n+i ⊆ I n , hay I n = I n+i . Vậy, S thỏa mãn điều kiện ACC trên các ideal phải cô lập.  Chú ý. Cho S là nửa vành cộng giản ước. Nếu S n+k (k ≥ 0) là S−nửa môđun phải Artin thì S n cũng là S−nửa môđun phải Artin. Thật vậy, vì ánh xạ ϕ : S n+k S → S n S sao cho (x 1 , x 2 , , x n+k ) → (x 1 , x 2 , , x n ) là một toàn cấu nửa môđun. Do S n+k S là Artin nên S n S là Artin. Vậy, nếu S 2 S là Artin thì S S là Artin. Tuy nhiên, điều ngược lại không đúng. Thật vậy, cho S = R + (tập các số thực không âm) khi đó S là một nửa trường với hai phép toán cộng và nhân thông thường. Đặt T =  i∈N S i với S i = S, khi đó T là nửa vành giao hoán cộng giản ước với phép toán cộng (x i )+(y i ) = (x i +y i ) và nhân (x i )(y i ) = (x i y i ). Xét tập R = {(0, 0, , 0, )}  {(x i ) ∈ T | x i = 0, ∀i ∈ N}. Ta có R là nửa trường con cộng giản ước của T ; suy ra R chỉ có hai ideal là {0} và R; do đó R là Artin. Trên R 2 R xét tập I n = {(x, y) ∈ R 2 R | x = (x i ), y = (y i ), x i = y i , ∀i = 1, n}, ta dễ dàng kiểm chứng được I n là nửa môđun con của R 2 R . Từ định nghĩa I n ta có I 1 ⊃ I 2 ⊃ I 3 ⊇ ⊇ I n ⊇ là một dãy không dừng; vì thế R 2 R không Artin. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] S. BOURNE, The Jacobson radical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 37(1951), 163 − 170. [2] S. BOURNE and H. ZASSENHAUS, On the semiradical of a semiring, Proc. Nat. Acad. Sci., 44(1958), 907 − 914. [3] J. S. GOLAN, The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science, Longman scientific and Technical, London, 1992, 318pp. 161 [4] U. HEBISCH and H. J. WEINERT, Radical theory for semirings, Quaes- tiones Mathematicae, 20(1997), 647-661. [5] K. IIZUKA, On the Jacobson radical of a semiring, Tohoku Math. J., 2(1959), 409 − 421. [6] T. Y. LAM, A First Course in Noncommutative Rings, Grad. Texts in Math. no. 131, Springer-Verlag, Berlin, Heildeberg, New York, 2001. [7] H.M.AL-THANI, The Jacobson radical of type (3,1), International Jour- nal of Modern Mathematies, 2(2007), 27-33. [8] H.M.AL-THANI, Characterizations of the Jacobson radical of type (3,1), International Journal of Modern Mathematies, 2(2007), 53-61. [9] N. X. TUYEN and T. G. NAM, On radicals of Semirings, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 31(2007), 131 − 140. HOPKINS THEOREM ABOUT JACOBSON RADICAL FOR ADDITIVELY CANCELLATIVE SEMIRINGS Nguyen Xuan Tuyen, College of Pedagogy, Hue University Le Hoang Mai, Dong Thap University Summary: In this paper, we compute some results about radicals of semir- ings. Especially, we prove Hopkins Theorem about Jacobson radical in Ring Theory for the case of additevely cancellative semirings. 162 . R(S).  3. Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước Ta có Định lý Hopkins về căn Jacobson trong vành Artin như sau: Cho S là vành Artin trái. Khi đó, căn Jacobson R(S) vừa. quan trọng trong lý thuyết vành đó là Định lý Hopkins về căn Jacobson, chúng tôi thu được kết quả Định lý Hopkins về căn Jacobson cho các nửa vành cộng giản ước đó là Định lý 3.2. Trong suốt bài. quan đến căn của nửa vành theo quan điểm của Bourne. Đặc biệt chúng tôi chứng minh Định lý Hopkins về căn Jacobson trong lý thuyết vành cho trường hợp nửa vành cộng giản ước. 1. Giới thiệu. Căn của