GIẢI TÍCH 12 @ Bổ túc về đại số: 1 phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); ∆=b2-4ac (∆’=b’2ac với b’=b/2) −b± ∆  − b'± ∆'   x1, 2 =  thì x1, 2 =  2a 2a    nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a; S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) 2 tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c + ∆ 0 + f ( x) > 0 ⇔  + ∆ < 0 a < 0 f ( x) < 0 ⇔  ∆ < 0 I ĐẠO HÀM: 1 Qui Tắc: 1 (u ± v)’ = u’ ± v’ 2 (u.v)’ = u’v + v’u '  u  u' v − v' u 3   = v2 v 4 (ku)’ = ku’ (k:const) 2 Công thức: (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ ' ' 1 u' 1 1 =− 2     =− 2 x u x u ' ' 1 u' x = u = 2 x 2 u (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu 1 u' (tgx)’ = (tgu)’ = 2 cos x cos 2 u 1 u' (cotgx)’ = − (cotgu)’ = − 2 sin x sin 2 u x x u u (e )’ = e (e )’ = u’e x x (a )’ = a lna (au)’ = u’au.lna 1 u' (lnx)’ = (lnu)’ = x u 1 u' (logax)’ = (logau)’ = x ln a u ln a II KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1 Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d: • Miền xác định D=R • Tính y’= 3ax2+2bx+c • y' = 0 tìm 2 cực trị hoặc không (nếu có) • tính y’’ tìm 1 điểm uốn • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: a > 0 - để hs tăng trên D ⇔ y ' ≥ 0 ⇔  ∆ y ' ≤ 0 ( )  ∆ > 0  + α < x1 < x 2 ⇔ af (α ) > 0 + S  −α > 0 2  ∆ > 0  x1 < x 2 < α ⇔ af (α ) > 0 S  −α < 0 2 3 phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 nếu a+b+c+d=0 thì x1=1; nếu a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + βx + γ) = 0 với β=a+b; γ=β+c 4 các công thức về lượng giác, cấp số và lôgarit: π π cos x = sin( x + ); - sin x = cos( x + ); 2 2 1 cos 2 x = (1 + cos 2 x); 2 1 1 sin 2 x = (1 − cos 2 x ) ; 1+tg2x= 2 cos 2 x 1 1 + cotg 2 x = − 2 sin x cấp số cộng: ÷a,b,c,… d = c – b = b – a c b q= = cấp số nhân: a,b,c,… b a THPT QT ( ) a < 0 - để hs giảm trên D ⇔ y ' ≤ 0 ⇔  ∆ y ' ≤ 0 - để hs có cực trị trên D ⇔y’=0 có 2 n0 pb - để hs không có cực trị ⇔y’=0 VN hoặc có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n 1 www.thaydo.net - đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu - đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau ⇔ ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc ⇔ y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox 2 Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c: • Miền xác định D=R • Tính y’ • y' = 0 tìm 3cực trị hoặc 1 cực trị • bảng biến thiên • điểm đặc biệt (2điểm) • đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương: - đt nhận oy làm trục đối xứng - để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D ⇔y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0) - để hs có điểm uốn ⇔ y’’=0 có 2 n0 pb - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb ⇔ ∆>0; P>0; S>0 - đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc ⇔ ∆>0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet ax + b 3 Hàm nhất biến y = cx + d • Miền xác định D=R\ { − d c } ad − bc • Tính y ' = ( cx + d ) 2 (>0, 0; − 2a b/ g(x) = ax2+bx+c ≤ 0 trong (α,+∞) ⇔ b ≤ α ; g(α)≤0 a h(x) (hoặc m giá trị lớn nhất của h(x) (m 0 3 1 T.Hợp 1: Hàm số y = ax + bx2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R • Tính y/ Để hàm số có cực trị thì y/ = 0 có hai n 0 pb a ≠ 0 ⇔ ∆〉 0 2 T.Hợp 2: Hàm số y = P.Pháp: • • [ a ;b ] Chọn số nhỏ nhất m , KL: min y = m [ a ;b ] III Hàm số mũ và logarit: 1 Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, n∈R ta có: a0=1; (a g( x ) = n am x1 loga x 2 = logax1−logax2; α a log a x = x ; logax =α logax; 1 log aα x = log a x ; (logaax=x); α log b x 1 logax= ; (logab= ) log b a log b a logba.logax=logbx; alogbx=xlogba 3 Phương trình mũ- lôgarít * Dạng ax= b ( a> 0 , a ≠ 0 ) b ≤ 0 : pt vô nghiệm x b>0 : a = b ⇔ x = log a b * Đưa về cùng cơ số: Af(x) = Bg(x) ⇔ f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x = b ( a> 0 , a ≠ 0 ) Điều kiện : x > 0 log a x = b ⇔ x = a b • logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… 4 Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> 0 , a ≠ 0 ) b ≤ 0 : Bpt có tập nghiệm R x b>0 : a > b ⇔ x > log a b , khi a>1 b /  /  a  2  g / 〉0 ∆  ⇔ b/ g  (− / ) ≠ 0 a  5 GTLN, GTNN: a Trên (a,b) • Tính y’ • Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) • KL: max y = yCD , min y = yCT a x > b ⇔ x < log a b , khi 0 < a < 1 * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x > b ( a> 0 , a ≠ 0 , x>0 ) log a x > b ⇔ x > a b , khi a >1 ( a ;b ) b Trên [a;b] • Tính y’ THPT QT a m n 2 Công thức logarit: logab = c⇔ac=b ( 0< a≠1; b>0) Với 0< a≠1, 00; α∈R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; x +b/ ) Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = 0 có hai nghiệm pb thuộc D ( a ;b ) 1 =a−m ; an 1 a n ax 2 + bx + c a/ x + b/ / ( a−1= ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; an a = m ;   b b Tập xác định D = R \  / Tính y = an = a n−m ; am anam =an+m ; 3 www.thaydo.net một tổng hoặc hiệu bằng cách nhân phân phối hoặc chia đa thức Phương pháp đổi biến số : log a x > b ⇔ x < a b , khi 0 < x < 1 • Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: ΙΙΙ Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) ⇔ F / ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ( a; b ) Nguyên hàm của hàm số sơ cấp 1 ∝ ∫ x dx = A = ∫ f [ ϕ( x ) ].ϕ / ( x ) d ( x ) a P.Pháp: Đặt : t = ϕ( x ) ⇒ dt = ϕ / ( x ) d ( x )  x = b ⇒ t = ϕ( b ) Đổi cận:   x = a ⇒ t = ϕ( a ) ∫ 1.dx = x + c 2 b 1 x ∝ +1 + c( ∝≠ −1) ∝ +1 3 ∫ x dx = ln x + c 4 Do đó: A = ∫ Cosx.dx = Sinx + c ∫ Sinx.dx = −Cosx + c 5 x ∫ a dx = 1 ⇒ dx = •  π π  − 〈t〈   2 2 a dt = a(1 + tg 2 t ).dt 2 Cos t Đổi cận: a 2 2 2.Tính J = ∫ a − x dx 0 P.Pháp: • 1 ∫ Cos( ax + b ).dx = a Sin( ax + b ) + c 4 ∫ Sin( ax + b ).dx = − a Cos( ax + b ) + c 5 ∫ Cos ( ax + b ) dx = a tg( ax + b ) + c 1 1 π  π ≤t≤  2  2 ⇒ dx = a.Cost.dt Đặt x = a.S int  − • Đổi cận Phương pháp tính tích phân từng phần Loại 1: Có dạng: e x  b   A= ∫ P( x). Sinx .dx a Cosx    Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: ⇒ du = P(x).dx Đặt u = P(x)  ex  ∫   Sinx  dx ⇒ v = dv = ∫    Cosx  ∫  Áp dụng công thức tích phân từng phần 1 1 2 1 ∫ Sin ( ax + b ) dx = − a Cotg( ax + b ) + c 2 1 dx = e ax + b + c a 1 a mx + n mx + n 8 ∫ a dx = +c m ln a ∫e 2 Đặt: x = a.tgt • a +c ln a 3 7 I =∫ P.Pháp: ∫ ax + b dx = a ln ax + b + c 1 dx 2 0 a + x a x 2 6 ϕ( b ) ϕ( a ) Các dạng đặc biệt cơ bản: Nguyên hàm các hàm số thường gặp: ∝ +1 1 ( ax + b ) α 1 ∫ ( ax + b ) dx = +c a ∝ +1 1 ∫ ) f ( t ) dt = [ F ( t ) ] ( ϕ a 1 dx = tgx + c 6 ∫ Cos 2 x 1 dx = −Cotgx + c 7 ∫ Sin 2 x x x 8 ∫ e dx = e + c 9 ϕ( b ) ax + b Các phương pháp tính tích phân:Tích phân của tích, thương phải đưa về tích phân của b A = [ u.v] − ∫ v.du b a a THPT QT 4 www.thaydo.net 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y =f(x) và trục hoành: P.Pháp: ♦ HĐGĐ của (c) và trục hoành là nghiệm b Loại 2: B = ∫ P ( x ).Ln(ax + b).dx a Phương pháp: ⇒ dv = P(x).dx du = ⇒ Đặt u = Ln(ax+b) v = [ u.v] Áp dụng: B = a dx ax + b x = a x = b của phương trình: f(x) = 0 ⇔  b b a − ∫ v.du b S = ∫ f ( x ) dx = a -Dạng : A = ∫ Sin n x.dx 1 − Cos2a Sin 2 a = ; 2 đường x = a; x = b: P.Pháp • DTHP 2 Nếu n lẻ: a HĐGĐ của hai đường (c1) và (c2) là nghiệm của p.trình: f(x) – g(x) =0 Lập luận giống phần số 1 PP:Đặt tg 2 làm thừa số V Thể tích vật thể: 1 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn [ a; b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: 1 −1 Thay tg = Cos 2 x 2 IV Diện tích hình phẳng: 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp:  DTHP cần tìm là: V = π.∫ [ f ( x )] dx a (a < b) 2 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn [ a; b] Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: a • Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0 ΣNếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn [ a; b] thì: b a IV SỐ PHỨC: • Số i : i2 = -1 • Số phức dạng : z = a + bi ; a,b∈R ∫ f ( x ).dx a ΣNếu p.trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc đoạn [ a; b] Giả sử x = α , x = β thì β α • β S = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx b a α Modun của số phức : z = a 2 + b 2 • Số phức liên hợp của z = a + bi là z = a − bi b a 2 V = π.∫ [ g( y )] dy b α 2 b b β β ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx + ∫ f ( x ).dx THPT QT là: • A = ∫ tg m x.dx Hay B = ∫ Cotg m x.dx α tìm S = ∫ f ( x ) − g( x ) dx Đặt t = Cosx (Đổi sin n −1 x thành Cosx ) Dạng : S= cần b A = ∫ Sin n−1 x.Sinx.dx S= a (c 1 ): y = f(x) và(c 2 ): y = g(x) và hai 1 + Cos2a Cos 2 a = 2 S = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ).dx 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường B = ∫ Cos n x.dx Hay 1 Nếu n chẵn: Áp dụng công thức a b 5 www.thaydo.net Nếu phương trình bậc hai az + bz + c = 0 ( a, b, c ∈ £ , a ≠ 0 ) có hai nghiệm z1 , z2 thì : z = z ; z + z ' = z + z ' ; z z ' = z z ' ; 2  z′  z ′  ÷= z z z ≥ 0 với mọi z ∈ £ , z = 0 ⇔ z = 0 z1 + z2 = − b c và z1 z2 = a a  Định lý đảo của định lý Viet : z′ z′ = ; z = z ; zz′ = z z′ ; z z z + z ′ ≤ z + z′ Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 + z2 = S và z1 z2 = P thì z1 , z2 là nghiệm của phương trình : z 2 − Sz + P = 0 z là số thực ⇔ z = z ; z là số ảo ⇔ z = −z a = c a+ bi = c + di ⇔  b = d (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a + bi ( a + bi ) ( c − di ) = c + di c2 + d 2 • • • • • Ta có: i1 = i, i 2 = −1, i 3 = −i, i 4 = 1 i 4 n = 1, i 4 n +1 = i, i 4 n +2 = −1, i 4 n+3 = −i (1+ i) 2 = 2i ; ( 1 − i ) = −2i 2 Các căn bậc hai của số thực a < 0 là : ±i a Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a khác 0 ; a, b, c ∈ R ) Đặt ∆ = b 2 − 4ac o Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép(thực) : x −b = 2a o Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : −b ± ∆ x1,2 = 2a o Nếu ∆ < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức : −b ± i ∆ x1,2 = 2a  Định lý Viet : THPT QT 6 www.thaydo.net ... e + c ϕ( b ) ax + b Các phương pháp tính tích phân :Tích phân tích, thương phải đưa tích phân b A = [ u.v] − ∫ v.du b a a THPT QT www.thaydo.net Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y =f(x) trục... tích vật thể: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể tích: −1 Thay tg = Cos x IV Diện tích hình phẳng: Diện tích. .. g(x) hai + Cos2a Cos a = S = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn đường B = ∫ Cos n x.dx Hay Nếu n chẵn: Áp dụng công thức a b www.thaydo.net Nếu phương trình bậc hai az + bz