TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA ĐẠI SỐ ĐƠN Nguyễn Xuân Tuyến và Nguyễn Mạnh Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt.Trong bài báo này, chúng tôi khảo sát các nửa đại số đơn và chứng minh được một số đặc trưng của chúng. 1. Giới thiệu Một nửa vành là một cấu trúc đại số (Λ, +, ×, 0, 1) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (1) (Λ, +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử không 0; (2) (Λ, ×) là một vị nhóm với phần tử đơn vị 1; (3) Phép nhân phân phối với phép cộng cả hai phía; (4) 0r = 0 = r0, ∀r ∈ Λ. Khi phép nhân trong nửa vành Λ là giao hoán thì Λ được gọi là nửa vành giao hoán. Một nửa vành Λ được gọi là một nửa thể nếu (Λ \ {0}, ·, 1 Λ ) là một nhóm. Một Λ-nửa môđun trái là một vị nhóm giao hoán (M, +, 0 M ) cùng với một phép nhân với vô hướng (r, m) → rm từ Λ × M tới M và thoả mãn các điều kiện sau: (1) (rr  )m = r(r  m); (2) r(m + m  ) = rm + rm  ; (3) (r + r  )m = rm + r  m; (4) 1m = m; (5) r0 M = 0 M = 0m, ∀r ∈ Λ, ∀m ∈ M. Các Λ-nửa môđun phải được định nghĩa tương tự. Khi nửa vành Λ là giao hoán thì mỗi Λ-nửa môđun trái cũng là một Λ-nửa môđun phải và được gọi là Λ-nửa môđun. Cho Λ là một nửa vành giao hoán; một Λ-nửa môđun A cùng với một phép nhân trong A thoả mãn các điều kiện sau đây được gọi là một Λ-nửa đại số: với mọi a, a  , a  ∈ A và với mọi r ∈ Λ (i) r(aa  ) = (ra)a  = a(ra  ); 175 (ii) a(a  + a  ) = aa  + aa  ; (iii) (a + a  )a  = aa  + a  a  ; (iV) 0 A a = a0 A = 0 A . Một Λ-đồng cấu từ Λ-nửa môđun trái M vào Λ-nửa môđun trái N là một ánh xạ f : M → N thoả mãn: f(x + y) = f(x) + f(y), f(rx) = rf(x), ∀x, y ∈ M, ∀r ∈ Λ. Cho A, B là các Λ-nửa đại số; một Λ-đồng cấu môđun f : A → B được gọi là Λ-đồng cấu đại số nếu f(xy) = f(x)f(y), ∀x, y ∈ A. Cho A là một Λ-nửa đại số; một tập con I của A được gọi là một iđêan trái (phải) của A nếu (i) I = ∅; (ii) x + y, rx ∈ I; (iii) ax ∈ I(xa ∈ I); với mọi x, y ∈ I, mọi a ∈ A và mọi r ∈ Λ. Nếu I vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của A thì nó được gọi là iđêan của A. Các khái niệm nêu trên có thể xem, chẳng hạn, trong [4,6]. Cấu trúc đại số đơn là một cấu trúc cơ bản của lĩnh vực đại số, chính vì vậy, nó đã được biết rất nhiều trong các cấu trúc đại số thông dụng như nửa nhóm đơn, vành đơn, và nó cũng được nghiên cứu trên cấu trúc nửa vành từ những năm năm mươi của thế kỷ XX (xem [3,4,5,6,8]) và trong những năm gần đây nó cũng được nhiều tác giả quan tâm (xem [1,2,7,9]). Trong bài báo này, sử dụng ý tưởng và kỹ thuật của [5], chúng tôi nghiên cứu các nửa đại số đơn và thu được một số đặc trưng của chúng (Định lý 2.2, Định lý 2.8, Định lý 2.10). 2. Đặc trưng của nửa đại số đơn Một Λ-nửa đại số A được gọi là đơn nếu A không chứa một iđêan khác không nào và A 2 = 0. Bây giờ ta xét một vài ví dụ sau đây. Ví dụ. 1. Cho (H, ·) là một nửa nhóm có phần tử không 0 H sao cho H ∗ = H \ {0} = ∅ và cho Λ là một nửa vành giao hoán. Xét vành các hàm sau: S = {s : H ∗ → Λ | s(h) = σ h = 0 Λ với hầu hết h ∈ H}. Ta có s = Σ h∈H ∗ σ h .h, trong đó ánh xạ σ h .h được xác định bởi h → σ h , k → 0 Λ (k = 176 h). Ta suy ra Σσ h .h = Στ h .h ⇔ σ h = τ h ∀h ∈ H ∗ . Với phép cộng sau đây, S là một vị nhóm: Σσ h .h + Στ h .h = Σ(σ h + τ h )h ∀h ∈ H ∗ . Vị nhóm cộng S cùng với phép nhân trong S và phép nhân với vô hướng xác định như sau là một Λ-nửa đại số: S × S →S (s, s  ) →ss  : H ∗ → Λ h → σ h .τ h , Λ × S →S (r, s) →rs : H ∗ → Λ h → r.s(h). Ta ký hiệu Λ-nửa đại số S được xây dựng như trên bởi Λ[H]. 2. Gọi S = M n (Λ) là Λ-nửa đại số các ma trận lấy hệ tử trên nửa vành Λ. Khi đó, với n ≥ 2, S là đơn khi và chỉ khi Λ là đơn. Thật vậy, giả sử Λ là đơn. Nếu I = 0 là một iđêan c ủa S và x = + ue kl + ∈ I sao cho 0 Λ = u ∈ Λ thì se ik xte lj = sute ij ∈ I với mọi i, j = 1, 2, , n và mọi s, t ∈ Λ. Vì Λ là đơn nên < ΛuΛ >= Λ, suy ra I chứa mọi phần tử re ij với mọi r ∈ Λ và mọi i, j = 1, 2, , n. Suy ra I = S. Ngượ c lại, cho S đơn. Nếu Λ không đơn thì ta có 0 = J = Λ là một iđêan của Λ. Khi đó, A = M n (J) là một iđêan khác không của S, do đó S không đơn (mâu thuẩn). Vậy Λ đơn.  Mệnh đề 2.1. Cho A là một nửa đại số đơn. Khi đó, hoặc (A, +) là một nhóm hoặc với mọi x, y ∈ A, x + y = 0 ⇒ x = y = 0 (1). Chứng minh Xét tập U = {x ∈ A | x + y = 0 với y ∈ A}. Khi đó, bằng kiểm chứng trực tiếp ta thấy rằng U là một iđêan của A. Do A là Λ-nửa đại số đơn nên U = A hoặc U = {0}. Nếu U = A thì (A, +) là một nhóm; còn nếu U = {0} thì x + y = 0 nên suy ra x = 0, y = 0 thoả điều kiện (1).  Cho I là một iđêan trái khác 0 của Λ-nửa đại số A. Khi đó, I được gọi là cực tiểu nếu I không chứa một iđêan trái khác không nào của A. Iđêan phải cực tiểu cũng được định nghĩa tương tự. 177 Định lý 2.2. Cho A là một Λ-nửa đại số. Khi đó, các điều kiện sau là tương đương. (i) A là đơn; (ii) < AxA >= A, ∀x ∈ A \ {0}. Chứng minh (i)⇒(ii). Cho A đơn. Ta thấy N = {x ∈ A | Ax = 0} là iđêan của A. Do đó, N = {0} (vì A 2 = {0}), suy ra Ax = 0, ∀x ∈ A \ {0}. Hơn nửa, với x ∈ A \ {0}, < AxA > là iđêan của A. Nếu < AxA > = 0 thì AxA = 0, suy ra Ax là iđêan của A nên Ax = A. Vậy, AxA = A 2 = {0} (Mâu thuẩn). Do đó, < AxA > = A. (ii)⇒(i). Giả sử < AxA > = A, ∀x ∈ A \ {0}. Gọi I là iđêan khác không của A, tồn tại x ∈ I \ {0}. Khi đó, A = < AxA > ⊂ I, suy ra I = A. Vậy A đơn.  Hệ quả 2.3. Nếu A là một Λ-nửa đại số giao hoán đơn thì Ax = A, ∀x ∈ A \ {0}. Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 2.2.  Bổ đề 2.4. Nếu M là một iđêan cực tiểu của Λ-nửa đại số A sao cho M 2 = 0 và L = 0 là một iđêan trái của A chứa trong M thì L 2 = 0. Chứng minh Ta có < LA > là iđêan của A chứa trong M. Nếu < LA >= 0 thì LA = 0 nên L là iđêan của A chứa trong M. Do đó, L = M, suy ra L 2 = M 2 = 0. Nếu < LA >= M thì M 2 = < LA >< LA > ⊂ < LALA > ⊂ < L 2 A >, suy ra L 2 = 0.  Mệnh đề 2.5. Cho M là một iđêan cực tiểu của Λ-nửa đại số A. Nếu M 2 = 0 thì M là một đại số con đơn của A. Chứng minh Rõ ràng M là nửa đại số con của A. Dễ thấy rằng I = {x ∈ M | M x = 0} là một iđêan của A chứa trong M. Do M là iđêan cực tiểu của A nên I = M hoặc I = 0. Nếu I = M thì M 2 = 0 (mâu thuẩn). Vậy, I = 0, suy ra M x = 0 với mọi x ∈ M \ {0}. Với x ∈ M \ {0}, Mx = 0 là iđêan trái của A chứa trong M, theo Bổ đề 2.4, ta có MxMx = 0 ⇒ MxM = 0. Vây, < MxM > là một iđêan của A chứa trong M. Do M là iđêan cực tiểu nên < M xM >= M. Theo Định lý 2.2, M là đơn.  178 Bổ đề 2.6. Nếu M là một iđêan cực tiểu của Λ-nửa đại số A sao cho M 2 = 0 thì các iđêan trái cực tiểu của A chứa trong M trùng với các iđêan trái cực tiểu của M. Chứng minh Gọi L là iđêan trái cực tiểu của A chứa trong M. Theo Bổ đề 2.4, L 2 = 0. Gọi I là một iđêan trái của M chứa trong L, vì < AI > ⊂ L nên < AI >= 0 hoặc < AI >= L. Nếu < AI > = 0 thì AI = 0 và I là một iđêan trái của M chứa trong L, do đó I = L; còn nếu < AI >= L thì L 2 = < AI >< AI > ⊂ < AMAI > ⊂ < MI > . Vậy, 0 = < MI > ⊂ L là một iđêan trái của A chứa trong L, nên ta có L = < MI > ⊂ I, suy ra I = L. Như vậy, L là một iđêan trái cực tiểu của M. Ngược lại, giả sử L là một iđêan trái cực tiểu của M . Lấy x ∈ L \ {0}, ta có < MxM > = M (theo Định lý 2.2, Mệnh đề 2.5). Do đó, MxM = 0, suy ra Mx = 0 và ML = 0. Ta có < ML >= 0 là một iđêan trái của M chứa trong L, nên L = < ML > . Vậy L là một iđêan trái của A chứa trong M. Để chứng minh L là cực tiểu, ta cho I = 0 là một iđêan trái bất kỳ của A chứa trong L, suy ra I = L (vì L là một iđêan trái cực tiểu của M). Vậy, L là một iđêan trái cực tiểu của A chứa trong M.  Bổ đề 2.7. Cho L là một iđêan trái cực tiểu của Λ-nửa đại số A. Khi đó, với mỗi x ∈ A, hoặc Lx = 0 hoặc Lx là một iđêan trái cực tiểu của A. Chứng minh Giả sử Lx = 0, ta chứng minh nó là một iđêan trái cực tiểu của A. Rõ ràng Lx là một iđêan của A. Cho I là một iđêan trái của A chứa trong Lx. Ta có N = {y ∈ L | yx ∈ I} là một iđêan trái của A chứa trong L. Do đó, N = 0 hoặc N = L. Dễ thấy I = N x nên ta có I = 0 hoặc I = Lx. Vậy, Lx là một iđêan trái cực tiểu của A.  Định lý 2.8. Nếu A là một Λ-nửa đại số đơn có một iđêan trái cực tiểu thì A là tổng của các iđêan trái cực tiểu của nó, nghĩa là A = Σ i∈I L i , trong đó L i là iđêan trái cực tiểu của A. Chứng minh Ta có Σ i∈I L i =<  i∈I L i > 179 (<  i∈I L i > là iđêan trái của A sinh ra bởi  i∈I L i ). Theo Bổ đề 2.7, hợp của tất cả các iđêan trái cực tiểu của Λ-nửa đại số A là một iđêan của (A, ·), vì với mọi a ∈ A, mọi x ∈  i∈I L i , ta có: x ∈ L i (i ∈ I) ⇒ xa ∈ L i a ⇒ xa ∈  i∈I L i , (L i a là một iđêan trái cực tiểu của A). Do đó, Σ i∈I L i = <  i∈I L i > là một iđêan của A, nhưng Σ i∈I L i không thể bằng không nên ta có Σ i∈I L i = A.  Hệ quả 2.9. Cho M là một iđêan cực tiểu của Λ-nửa đại số A sao cho M 2 = 0 và M chứa một iđêan trái cực tiểu của A. Khi đó, M là tổng của các iđêan trái cực tiểu của A chứa trong M: M = Σ i∈I L i , trong đó L i là iđêan trái cực tiểu của A chứa trong M . Chứng minh Theo Mệnh đề 2.5, M là đơn. A  p dụng Bổ đề 2.6 và Định lý 2.8, ta có M = Σ i∈I L i .  Định lý 2.10. Giả sử A là một Λ-nửa đại số không có ước của không và chứa một iđêan trái cực tiểu. Khi đó, A là đơn khi và chi khi A là tổng của các iđêan trái cực tiểu của nó. Chứng minh Điều kiện cần được suy từ Định lý 2.7, bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ. Thật vậy, cho A = Σ i∈I L i , trong đó (L i ) i∈I là một họ các iđêan trái cực tiểu của A. Với mỗi x ∈ A \ {0}, ta chứng minh A = < AxA > . Với mỗi y = 0 của một iđêan trái cực tiểu L của A. Khi đó, < AxL > là một iđêan trái của A chứa trong L, Do L là một iđêan trái cực tiểu nên < AxL >= 0 hoặc < AxL > = L. Nếu < AxL >= 0 thì AxL = 0. Do L = 0 nên xL = 0 (vì A không có ước của không). Do đó, AxL = 0 (mâu thuẩn). Vậy, < AxL > = L, suy ra y ∈ < AxL > ⊂ < AxA > ⇒  i∈I L i ⊂ < AxA > . Do đó, A = < Ax A >. Theo Định lý 2.2, A là đơn.  180 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. E.El Bashir, J.Hurt, A.Jancarik and T.Kepka, Simple commutative semirings. J.Algebra, 236(2001), 277-306. 2. E.El Bashir and J.Kepka, Congruence-simple semirings. Semigroup Forum, 75(2007), 588-608. 3. S. Bourne and H.Zasenhaus. On Wedderburn-Artin Structure theory of a potent semiring. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1957, 613-615. 4. J.S. Golan, Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dodrecht-Boston-London, 1999. 5. M.P. Grillet and P.A.Grillet, Completely 0-simple semirings. Trans. AMS, 155(1971), No1, March, 19-33. 6. U. Hebisch and H.J.Weinert, Semirings and Semifields. Handbook of Algebra, Vol.1, 1996, 425-462, Amsterdam, North-Holland. 7. C. Monico, On finite congruence-simple semirings. J.Algebra, 271(2004), 846- 854. 8. H.J. Weinert, On 0-simple semirings, semigroup semirings, and two kinds of division semirings. Semigroup Forum, 28(1984), 313-333. 9. T. Zambragel, Classification of finite congruence-simple semirings with zero. ArXIV: RA/0702416v114 Feb. 2007. SOME CHARACTERIZATIONS OF SIMPLE SEMIALGEBRAS N.X.Tuyen, N.M.Quyen, College of Pedagogy, Hue University SUMMARY In this paper we consider simple semialgebras and provide some their characteri- zations. 181 . bài báo này, sử dụng ý tưởng và kỹ thuật của [5], chúng tôi nghiên cứu các nửa đại số đơn và thu được một số đặc trưng của chúng (Định lý 2.2, Định lý 2.8, Định lý 2.10). 2. Đặc trưng của nửa đại. các nửa đại số đơn và chứng minh được một số đặc trưng của chúng. 1. Giới thiệu Một nửa vành là một cấu trúc đại số (Λ, +, ×, 0, 1) sao cho các điều kiện sau được thoả mãn: (1) (Λ, +) là một. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009 MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA NỬA ĐẠI SỐ ĐƠN Nguyễn Xuân Tuyến và Nguyễn Mạnh Quyền Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Tóm tắt.Trong bài báo này, chúng