2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 113 Chứng minh Không giảm tổng quát giả sử EXn = Xét biểu diễn phổ Xn Xn = Z π einλ dZ(λ) −π Khi 1X X(k) = n k=0 n−1 Z π n−1 h1 X n −π i eikλ dZ(λ) k=0 Đặt X ikλ e n n−1 Sn (λ) = k=0 Ta có Sn (λ) =  1  nếuλ = , 1−einλ n(1−eiλ ) nếuλ 6=  1 λ = , lim Sn (λ) = n→∞ 0 nếuλ 6= , Do hay lim Sn (λ) = I{0}(λ) n→∞ Vì |Sn (λ)| ≤ , ∀λ nên theo định lý hội tụ bị chặn ta có Sn (λ) hội tụ tới I{0}(λ) trongL2 ([−π, π], µ) Vậy 1X Xk = n n−1 k=0 Z π Sn (λ)dZ(λ) → −π Z π I{0}(λ)dZ(λ) = Z({0}) −π theo nghĩa bptb Quá trình dừng (Xn ) gọi ergodic 1X Xk → m n k=0 n−1 114 Chương Quá trình dừng theo nghĩa bình phưong trung bình m = EXn Nói cách khác (Xn ) ergodic trung bình thời gian hội tụ bptb tới trung bình theo tập hợp hay (Xn ) tuân theo luật số lớn Định lý sau dây cho ta điều kiện cần đủ dể (Xn ) ergodic thơng qua độ đo phổ Định lý 2.23 Quá trình dừng (Xn ) ergodic µ{0} = Chứng minh Từ định lý suy (Xn ) ergodic Z({0}) = h.c.c Mà E|Z({0})|2 = µ{0} Do Z({0}) = h.c.c µ{0} = Định lý 2.24 Giả sử K(h) hàm tương quan X(n) Khi (Xn ) ergodic n−1 1X K(m) = , lim n→∞ n m=0 tức K(n) → theo nghĩa trung bình Cesaro n → ∞ Điều kiện đủ để (Xn ) ergodic limn→∞ K(n) = Chứng minh Xuất phát từ biểu diễn phổ K(h) Z π einλ dµ(λ) , K(n) = −π tương tự chứng minh định lý 2.22 ta có Z π n−1 1X K(m) = Sn (λ)dµ(λ) n m=0 −π Thành thử n−1 1X lim K(m) = µ({0}) n→∞ n m=0 Theo định lý 2.23 ta có điều phải chứng minh Vì K(n) → kéo theo K(n) → theo nghĩa trung bình Cesaro n → ∞ nên ta có điều kiện đủ để (Xn ) ergodic limn→∞ K(n) = 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 115 Định lý 2.22 trường hợp riêng định lý ergodic trung bình cho tốn tử unita nhà tốn học Mỹ Von Neuman tìm Định lý 2.25 Cho H không gian Hilbert T : H → H tốn tử tuyến tính bảo tồn tích vơ hướng < T f, T g >=< f, g > ( T gọi toán tử unita) Khi với f ∈ H tồn 1X k T f = fˆ n→∞ n n−1 lim k=0 Chứng minh Ký hiệu HT không gian bất biến T HT = {f ∈ H : T f = f } H0 không gian H sinh tập M = {g − T g, g ∈ H} Bổ đề 2.1 T f = f T ∗f = f Thật T f = f ∀g ∈ H ta có < T ∗f, g >=< f, T g >=< T f, T g >=< f, g > Suy T ∗f = f Ngược lại T ∗f = f kf − T fk2 =< f − T f, f − T f > =< f, f > − < f, T f > − < T f, f > + < T f, T f > =< f, f > − < T ∗f, f > − < f, T ∗f > + < f, f >= Bổ đề 2.2 Ta có phân tích sau H = H0 ⊕ HT Thật ta cần HT = H0⊥ Giả sử f ∈ HT Khi < f, g − T g > =< f, g > − < f, T g >=< f, g > − < T ∗f, g > =< f, g > − < f, g >= ∀g ∈ H bổ đề Suy f ∈ H0⊥ Đảo lại giả sử f ∈ H0⊥ Khi =< f, g − T g > =< f, g > − < f, T g > =< f, g > − < T ∗f, g > ∀g ∈ H 116 Chương Quá trình dừng Suy T ∗f = f → T f = f bổ đề 2.1 Ta bắt tay vào chứng minh định lý Cho f ∈ H Theo bổ đề 2.2, f = f1 + fˆ f1 ∈ H0 , fˆ ∈ HT Ký hiệu 1X k T Sn = n n−1 k=0 Ta có Sn f = Sn f1 + Sn fˆ = Sn f1 + fˆ Ta cần chứng minh lim Sn f1 = n→∞ (2.12) Cho  > Tồn g ∈ H, v ∈ H, kvk <  cho f1 = g − T g + v Ta có Sn f1 = Sn (g − T g) + Sn v Dễ thấy n T g − g kT ngk + kgk 2kgk ≤ = kSn (g − T g)k = n n n kSn vk ≤ kvk <  Thành thử kSn f1 k < 2 với n đủ lớn Vậy (2.12) chứng minh Tiếp theo ta chứng minh định lý 2.22 hệ định lý Von Neuman Gọi H không gian Hilbert sinh {Xk }, k ∈ Z Ta định nghĩa toán tử T sau : Gọi M khơng gian tuyến tính sinh {Xk }, k ∈ Z P P ci Xi+1 Nếu f = ci Xi ∈ M T f = Vì (Xn ) trình dừng nên < T f, T g >=< f, g > ∀f, g ∈ M Do T thác triển thành tốn tử unita H Vì Xk = T k X0 nên định lý 2.22 suy từ định lý Von Neuman Như định lý 2.22 chứng tỏ, trung bình thời gian hội tụ bptb tới ĐLNN Câu hỏi đặt liệu hội tụ có phải hội tụ hầu chắn hay khơng? Câu trả lời có (Xn ) trình dừng mạnh Định lý 2.26 Giả sử (Xn ) trình dừng mạnh với E|Xn | < ∞ Khi 2.1 Quá trình dừng thời gian rời rạc 1X ˆ lim Xn = X n→∞ n 117 n−1 (h.c.c) k=0 ˆ ĐLNN với E X ˆ = EXn Giới hạn X Cũng định lý 2.22 trường hợp riêng dịnh lý ecgodic trung bình Von Neuman, định lý 2.26 (còn gọi luật mạnh số lớn cho trình dừng mạnh) hệ định lý sau gọi dịnh lý ecgodic cá nhân Birkoff Khinchin tìm Định lý 2.27 Giả sử (X, A, µ) khơng gian xác suất T : X → X ánh xạ bảo tồn độ đo µ µ(T −1 (A)) = µ(A) , ∀A ∈ A Khi với hàm f ∈ L1 (X, µ) ta có 1X lim f (T k x) = fˆ(x) n→∞ n k=0 n−1 tồn µ-hầu khắp nơi Hàm giới hạn fˆ ∈ L1 (X, µ) ta có fˆ = E[f |A0] , A0 σ-đại số tập bất biến A0 = {C ∈ A : T −1 C = C} Chứng minh phức tạp nên công nhận bỏ qua chứng minh Ta định lý 2.26 hệ định lý ecgodic cá nhân Thật cho (Xn ) q trình dừng mạnh Gọi µ độ đo cảm sinh dãy (Xn ) không gian R∞ Xét ánh xạ T : R∞ → R∞ xác định ∞ T {(xn )∞ n=−∞ } = {(xn+1 )n=−∞ } , (tức (T x)n = xn+1 ) ( T gọi phép dịch chuyển sang trái) Khi (Xn ) q trình dừng mạnh nên T bảo tồn độ đo µ Áp dụng định lý ecgodic cá nhân cho hàm f (x) = x0 x = ( , x−2, x−1 , x0, x1, x2 , ) 118 Chương Q trình dừng ta có f (T k x) = (T k x)0 = xk x = ( , x−22, x−1 , x0 , x1, x2, ) Phép biến đổi T gọi ergodic với tập bất biến A ∈ A0 ta có µ(A) = µ(A) = Khi hàm A0-đo số µ-hầu khắp nơi ta có fˆ(x) = Ef (x) = Z f (x)dµ(x) X Việc nhận biết phép biến đổi T ergodic nói chung công việc phức tạp Một tiêu chuẩn đảm bảo tính ergodic T định lý sau đây: Định lý 2.28 Phép biến đổi T không gian xác suất (X, A, µ) ergodic 1X µ(A ∩ T −k B) = µ(A)µ(B) lim n→∞ n n−1 (2.13) k=0 Nói riêng T ergodic lim µ(A ∩ T −n B) = µ(A)µ(B) n→∞ (2.14) Chứng minh Giả sử có hệ thức (2.13) B ∈ A0 Trong hệ thức cho A = B A ∩ T −k B = B Suy µ(B) = µ2 (B) , µ(B) = µ(B) = Vậy phép biến đổi T ergodic Đảo lại phép biến đổi T ergodic ta áp dụng định lý ergodic cá nhân Birkhoff - Khinchin cho hàm f (x) = IB (x) thu 1X IT −k B (x) = µ(B) lim n→∞ n k=0 n−1 Tích phân hai vế tập A ta có hệ thức (2.13) Rõ ràng hệ thức (2.13) thoả mãn ta có hệ thức (2.14) Điều kiện (2.14) có nghĩa A T −n B tiệm cận độc lập n → ∞ Phép biến đổi T thoả mãn điều kiện (2.14) gọi có tính trộn Như tính trộn kéo theo tính ergodic 2.2 Q trình dừng thời gian liên tục 119 Quá trình dừng mạnh (Xn ) gọi ergodic phép dịch chuyển sang trái T ergodic độ đo µ cảm sinh trình (Xn ) Định lý 2.29 Giả sử (Xn ) trình dừng mạnh ergodic Khi với hàm g : Rm → R ta có 1X lim g[Xk Xk+1 , , Xk+m−1 ] = n→∞ n n−1 k=0 = Eg(X0 , X1 , , Xm−1) Thật việc áp dụng định lý Birkhoff - Khinchin cho hàm f (x) = g(x0.x1, , xm−1) , x = (xn )∞ n=−∞ Như vậy, (Xn ) trình dừng mạnh ergodic ta ước lượng đặc trưng trình (giá trị trung bình, hàm tự tương quan) dựa thể Điều có ý nghĩa lớn nghiên cứu thống kê trình dừng Chẳng hạn, với quan sát (thể hiện) trình ω = (x0 , x1, , ) giá trị trung bình m hàm tự tương quan K(h) xác định 1X m = lim xk , n→∞ n n−1 k=0 n−1 1X K(h) = lim (xk+h − m)(xk − m) n→∞ n k=0 2.2 2.2.1 Quá trình dừng thời gian liên tục Hàm tự tương quan, độ đo phổ, biểu diễn phổ Cho X(t) trình ngẫu nhiên với t ∈ R Hàm trung bình m(t) định nghĩa m(t) = EX(t) 120 Chương Quá trình dừng Hàm tự tương quan định nghĩa công thức sau    r(s, t) = cov[X(s), X(t)] = E X(s) − m(s) X(t) − m(t) = = EX(s)X(t) − m(s)m(t) Vì VarX(t) = cov[X(t), X(t)] nên ta có VarX(t) = r(t, t) Định lý 2.30 Hàm tự tương quan r(t, s) đối xứng xác định không âm tức (i) r(s, t) = r(t, s) (ii) , ∀s, t ∈ T ∀n∀t1, t2, , tn ∈ T , ∀b1, b2 , , bn ∈ R n n X X bi bj r(ti , tj ) ≥ i=1 j=1 Chứng minh hoàn toàn tương tự trường hợp thời gian rời rạc Ví dụ 2.17 (Q trình Wiener.) Q trình Wt , t ∈ R gọi trình Wiener với tham số σ có tính chất sau (i) W (0) = (ii) Với s, t ∈ R W (t) − W (s) ĐLNN có phân phối chuẩn với kỳ vọng phương sai σ 2|t − s| (iii) W (t) trình gia số độc với t1 < t2 < < tn ĐLNN W (t2) − W (t1) , W (t3) − W (t2) , , W (tn ) − W (tn−1 ) độc lập Ta tìm hàm trung bình hàm tự tương quan W (t) Từ định nghĩa W (t) có phân bố chuẩn N (0, t) m(t) = Ta tìm hàm tự 2.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 121 tương quan r(t, s) Nếu ≤ s < t r(s, t) = EW (s)W (t) = EW (s)[W (s) + W (t) − W (s)] = = E|W (s)|2 + E[W (s) − W (0)][W (t) − W (s)] = E|W (s)|2 + E[W (s) − W (0)]E[W (t) − W (s)] = E|W (s)|2 + EW (s)E[W (t) − W (s)] = σ 2s Tương tự s < t ≤ r(s, t) = EW (s)W (t) = −EW (t)[−W (t) + W (t) − W (s)] = = E|W (t)|2 + E[W (0) − W (t)][W (t) − W (s)] = E|W (t)|2 + E[W (0) − W (t)]E[W (t) − W (s)] = E|W (t)|2 − EW (t)E[W (t) − W (s)] = σ 2|t| Nếu s < < t EW (s)W (t) = −E(W (0) − W (s)(W (t) − W (0) = −E(W (0) − W (s))E(W (t) − W (s)) = 0.Vậy  σ min(|s|, |t|) rs ≥ r(s, t) = 0 rs < Định nghĩa 2.9 Quá trình X(t) gọi trình dừng hàm trung bình m(t) số hàm tự tương quan r(s, t) phụ thuộc vào |t − s| Nói cách khác m(t) = m ∀t ∈ R tồn hàm chẵn K(t) cho r(t, s) = K(t − s) Hàm K(t) gọi hàm tự tương quan q trình dừng X(t) Ta có tính chất sau hàm tự tương quan Định lý 2.31 (i) K(t) hàm chẵn K(t) = K(−t) , ∀t ∈ R 122 Chương Quá trình dừng (ii) |K(t)| ≤ K(0) , ∀t ∈ R (iii) K(t) hàm xác định không âm tức với t1, t2, , tn ∈ R với b1 , b2, , bn ∈ R n X n X bi bj K(ti − tj ) ≥ i=1 j=1 Ta có định lý quan trọng sau đây: Định lý 2.32 Giả sử K(t) hàm tự tương quan trình dừng Nếu K(t) liên tục tồn độ đo hữu hạn µ R cho ta có biểu diễn tích phân Z ∞ K(t) = eitxdµ(x) −∞ K(t) Chứng minh Đặt φ(t) = K(0) Khi φ(t) hàm xác định không âm φ(0) = Theo định lý Bochner φ(t) hàm đặc trưng độ đo xác suất ν Đặt µ = K(0)ν ta có biểu diễn cần tìm Độ đo µ gọi độ đo phổ trình dừng X(t) Nếu độ đo µ tuyệt đối liên tục dµ = f (x)dx f (x) gọi mật độ phổ Khi ta có Z ∞ eitxf (x)dx K(t) = −∞ Hàm f (x) xác định R mật độ phổ mật q trình dừng f (x) = f (−x) với x ∈ R f (x) ≥ ∀x ∈ R Z ∞ f (x)dx < ∞ −∞ dt = = β − ix −∞ β − ix α 1  αβ + = 2π β + ix β − ix π(β + x2 ) 124 Chương Quá trình dừng Tiếp theo định lý biểu diễn phổ trình dừng Định lý 2.34 Cho X(t) q trình dừng có hàm tự tương quan liên tục Khi tồn độ đo ngẫu nhiên trực giao Z R cho Z ∞ X(t) = eitλdZ(λ) , ∀t ∈ R −∞ Chứng minh tương tự trường hợp thời gian rời rạc 2.2.2 Tiếng ồn trắng, trung bình trượt tích phân Q trình ồn trắng gắn liền với khái niệm q trình trung bình trượt trường hợp thời gian liên tục gì? Q trình ngẫu nhiên X(t) coi hàm X : R → H xác định R lấy giá trị H, H khơng gian Hilbert ĐLNN có momen cấp tức H = L2 (Ω, A, P ) Vì ta có khái niệm L2 - khả vi L2-khả tích sau: Định nghĩa 2.10 Q trình ngẫu nhiên X(t) gọi L2 - khả vi hàm t 7→ X(t) từ R vào H khả vi Nghĩa giới hạn X(t + h) − X(t) h→0 h lim tồn H với t Giới hạn gọi L2 - đạo hàm X(t) ký hiệu X (t) Quá trình X(t) gọi L2- khả vi liên tục L2 - khả vi hàm t 7→ X (t) liên tục Quá trình ngẫu nhiên X(t) gọi L2 - khả tích hàm t 7→ X(t) từ R vào H khả tích Riemann Tích phân Z ∞ X(t)dt −∞ phần tử H nghĩa ĐLNN 2.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 125 Các định lý sau cho ta tiêu chuẩn để trình X(t) L2 -khả vi hay L2 -khả tích thơng qua hàm trung bình hàm tự tương quan Định lý 2.35 Quá trình X(t) L2 -khả vi hàm trung bình m(t) khả vi tồn giới hạn lim h,k→0 i h r(t0 + h, t0 + k) − r(t0 + h, t0) − r(t0, t0 + k) + r(t0, t0 ) hk Nói riêng q trình X(t) L2 -khả vi hàm trung bình m(t) khả vi đạo hàm cấp ∂ 2r(s, t) ∂s∂t hàm tự tương quan tồn liên tục Định lý 2.36 X(t) L2 -khả tích R hàm trung bình m(t) khả tích R hàm tự tương quan r(s, t) khả tích R2 Trong trường hợp ta có cơng thức sau: i Z hZ X(t)dt = m(t)dt , E R R hZ i Z Z Var X(t)dt = r(s, t)dsdt , R R R Z Z i h r(s, t)dt Cov X(s), X(t)dt = R R Ví dụ 2.19 Q trình Wiener khơng L2 -khả vi Thật q trình Wiener có hàm tự tương quan r(s, t) = σ min(s, t) st > Với h = k > ta có i 1h lim r(t0 + h, t0 + h) − r(t0 + h, t0 ) − r(t0 , t0 + h) + r(t0 , t0) h→0 h σ2 σ2 = ∞ = lim [t0 + h − t0 − t0 + t0] = lim h→0 h h→0 h 126 Chương Quá trình dừng Giả sử X(t) trình gia số trực giao R Trong tiết định nghĩa tích phân ngẫu nhiên dạng Z f (t)dX(t) R với hàm f (t) bình phương khả tích hệ sau đây: R |f (t)|2 dm(t) < ∞ Ta có mối liên Nếu q trình gia số trực giao X(t) L2 - khả vi liên tục Z Z f (t)dX(t) = f (t)X (t)dt R (2.15) R Khi ta gắn trình gia số trực giao X(t) L2 - khả vi liên tục với phiếm hàm tuyến tính ngẫu nhiên xác định không gian L2 R công thức Z Z < f, T >= f (t)dX(t) = f (t)X (t)dt =< f, X (t) > R R Với trình gia số trực giao X(t) ( khơng thiết có L2 - đạo hàm liên tục) ta định nghĩa L2 -đạo hàm suy rộng X(t) phiếm hàm ngẫu nhiên tuyến tính T xác định khơng gian L2 R công thức Z < f, T >= f (t)dX(t) R Ta ký hiêụ hình thức T = X (t) tích phân R R f (t)dX(t) R R f (t)X (t)dt hiểu Giả sử W (t) trình Wiener Như thấy khơng có L2 - đạo hàm Tuy nhiên nhiều vấn đề thực tiễn đòi hỏi ta phải gắn cho đạo hàm W (t) ý nghĩa Nhờ khái niệm L2 - đạo hàm suy rộng ta dịnh nghĩa ồn trắng sau Định nghĩa 2.11 L2 -đạo hàm suy rộng trình Wiener W 0(t) ddược gọi tiếng ồn trắng (white noise) 2.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 127 (Trong chương đề cập chi tiết khái niệm tiếng ồn trắng) Từ tính chất tích phân ngẫu nhiên trình bày mục ta có kết sau i hZ f (t)dW (t) = , E R Z Z hZ i E f (t)dW (t) g(t)dW (t) = σ f (t)g(t)dt , R R R Z hZ i Var f (t)dW (t) = σ f (t)dt , R R Z b i hZ c f (t)dW (t) g(t)dW (t) = , với a ≤ c ≤ d ≤ b , E a d Z b Z c hZ c i E f (t)dW (t) g(t)dW (t) = σ f (t)g(t)dt với a ≤ c ≤ b a a a Bây ta định nghĩa khái niệm trung bình trượt tích phân Định nghĩa 2.12 Cho trước hàm h(t) thoả mãn Z h(t)2dt < ∞ R Quá trình X(t) xác định Z ∞ Z X(t) = h(t − s)W (s)ds = −∞ ∞ h(t − s)dW (s) , −∞ gọi đầu phép biến đổi tuyến tính ồn trắng với hàm truyền xung h(t) hay gọi trung bình trượt tích phân Khơng giảm tổng qt ta xem W (t) trình Wiener với tham số σ = Định lý 2.37 X(t) trình dừng với hàm tự tương quan Z ∞ K(s) = h(s + v)h(v)dv −∞ 128 Chương Quá trình dừng hàm mật độ phổ |g(λ)|2 , 2π f (λ) = g(λ) = Z ∞ h(s)e−isλ ds −∞ Chứng minh Ta có K(s) =< X(t + s), X(t) >= Z ∞ h(t + s − u)h(t − u)du −∞ Phép đổi biến v = t − u cho ta K(s) = Z ∞ h(s + v)h(v)dv −∞ Tiếp theo Z Z ∞ |K(t)|dt ≤ −∞ ∞ h2(t)dt < ∞ , −∞ f (λ) = 2π Z ∞ e−itλ K(t)dt −∞ Ta có Z ∞ −∞ −itλ e Z ∞ Z ∞ e−itλh(t + v)h(v)dv = −∞ Z ∞ Z−∞ ∞ ivλ e h(v)dv e−i(t+v)λh(t + v)dt = = −∞ −∞ Z ∞ eivλh(v)g(λ)dv = g(λ)g(λ) = |g(λ)|2 = K(t)dt = dt −∞ Vậy f (λ) = |g(λ)|2 2π 2.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 129 Trong trường hợp h(s) = , với s < , X(t) gọi trung bình trượt tích phân phía hay gọi đầu lọc khả thi Trong trường hợp này, hàm mật độ X(t) |g(λ)|2 , 2π f (λ) = g(λ) = Z ∞ h(s)e−isλ ds Định lý sau cho ta điều kiện cần đủ để X(t) có biểu diễn trung bình trượt tích phân phía Z t X(t) = h(t − s)dW (s) −∞ Định lý 2.38 (i) Q trình dừng X(t) có biểu diễn trung bình trượt tích phân phía hàm mật độ phổ có dạng f (λ) = g(λ) = Z |g(λ)|2 , 2π ∞ h(s)e−isλ ds (ii) Điều kiện cần đủ để hàm mật độ phổ f (λ) có dạng Z ∞ ln f (λ) dλ > −∞ −∞ + λ Ví dụ 2.20 Cho X(t) trình dừng với hàm tự tương quan K(t) = αe−β|t| α > 0, β > Trong ví dụ trước ta thấy hàm mật độ X(t) f (λ) = αβ + λ2 ) π(β 130 Chương Quá trình dừng Có thể viết lại 2αβ , 2π |β + iλ|2 f (λ) = √ g(λ) = Ta có = β + iλ nên g(λ) = Z ∞ Z 2αβ β + iλ ∞ e−βt e−itλdt , p 2αβe−βt e−itλdt , h(t) = p 2αβe−βt Vậy ta có biểu diễn trung bình trượt tích phân phía sau X(t) = Z t p 2αβe−β(t−s)dW (s) −∞ 2.2.3 Phương trình vi phân, dự báo tính ergodic Như ta biết trình (Xn ) tự hồi quy cấp trình thoả mãn phương trình sai phân sau Xn = pXn−1 + Wn hay (1 − p)Xn − pDXn = Wn DXn = Xn − Xn−1 sai phân cấp Trong trường hợp thời gian liên tục tương tự với phương trình sai phân phương trình vi phân Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp sau a0 X (t) − a1 X(t) = W (t) (2.16) 2.2 Q trình dừng thời gian liên tục 131 hệ số a0, a1 > W (t) ồn trắng ( tức L2-đạo hàm suy rộng W (t)) Quá trình dừng X(t) gọi nghiệm phương trình vi phân ta có a0(X(t) − X(t0 )) − a0 Z t X(s)ds = W (t) − W (t0) ∀t > t0 Người ta chứng minh phương trình (2.16) có nghiệm cho cơng thức sau X(t) = a0 Z t e−β(t−s)dW (s) −∞ Hàm tự tương quan K(t) = e−β|t| , 2a0 a1 hàm mật độ phổ f (λ) = 1 = 2 2π |a1 + ia0λ| 2π(a1 + a20λ2 ) Tổng quát ta xét phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp p a0 X (p)(t) + a1X (p−1) (t) + + ap X(t) = W (t) (2.17) Nghiệm phương trình (2.17) hiểu trình dừng, L2 -khả vi cấp p − thoả mãn h h i i (p−1) (p−1) (p−2) (p−2) (t) − X (t0) + a1 X (t) − X (t0 ) + + a0 X Z  t  X(s)ds = W (t) − W (t0) ∀t > t0 + ap−1 X(t) − X(t0 ) + ap t0 Có thể xem nghiệm X(t) phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp p dạng liên tục q trình tự hồi quy cấp p Ta có định lý sau: 132 Chương Quá trình dừng Định lý 2.39 Nếu phương trình tất định tương ứng a0x(n) (t) + a1 x(n−1)(t) + + an x(t) = ổn định phương trình (2.17) có nghiệm cho cơng thức sau Z t Z t X(t) = h(t − s)W (s)ds = h(t − s)dW (s) −∞ ∞ Ví dụ 2.21 Phương trình chuyển động lắc chất lỏng rối Phương trình chuyển động lắc chất lỏng rối mô tả sau X 00(t) + 2γX (t) + (ω + γ )X(t) = W (t) X(t) khoảng dịch chuyển lắc so với vị trí đứng yên, γ ω hệ số W (t) lực tác động ngẫu nhiên (lực va đập phần tử nên mơ tả ồn trắng) Phương trình tất định tương ứng x00(t) + 2γx0 (t) + (ω + γ )x(t) = , có nghiệm ổn định Thành thử, phương trình có nghiệm cho Z t −γ(t−s) X(t) = e sin [ω(t − s)]dW (s) ω −∞ Hàm tự tương quan X(t) K(t) =   e−γ|t| γ cos ω|t| + sin ω|t| 4γ(ω + γ ) ω Hàm mật độ phổ X(t) f (λ) = 2π[(λ2 − ω − γ )2 + 4γ λ2 ] Tiếp theo, ta xét tốn dự báo q trình dừng thời gian liên tục Xét q trình dừng X(t) khơng giảm tổng qt giả sử EX(t) = Với T ta ký hiệu H(X, t) không gian L2(Ω, F , P ) sinh ĐLNN ... vi hàm t 7→ X (t) liên tục Quá trình ngẫu nhiên X(t) gọi L2 - khả tích hàm t 7→ X(t) từ R vào H khả tích Riemann Tích phân Z ∞ X(t)dt −∞ phần tử H nghĩa ĐLNN 2.2 Quá trình dừng thời gian liên... gian liên tục tương tự với phương trình sai phân phương trình vi phân Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên cấp sau a0 X (t) − a1 X(t) = W (t) (2. 16) 2.2 Quá trình dừng thời gian liên tục 131 hệ... nghĩa 2.10 Quá trình ngẫu nhiên X(t) gọi L2 - khả vi hàm t 7→ X(t) từ R vào H khả vi Nghĩa giới hạn X(t + h) − X(t) h→0 h lim tồn H với t Giới hạn gọi L2 - đạo hàm X(t) ký hiệu X (t) Quá trình X(t)