168 Chương Q trình Martingale Ta có {T = n} = {r1 = −1, , rn−1 = −1, rn = 1} ∈ Fn P (T = n) = (1/2)n Vậy P (T < ∞) = T thời điểm dừng Ta có XT = EXT = EXn = EX0 = với n Vậy EXT 6= EX0 Vậy tính chất martingale khơng bảo tồn qua phép thay thời điểm dừng Ta thấy điều kiện (3.3) định lý 3.9 bị vi phạm Thật Z |Xn |dP = (2n − 1)P {T > n} = {T >n} 2n − → 1, 2n n → ∞ Như trò chơi công số ván chơi ấn định trước Tuy nhiên số ván chơi không ấn định trước người chơi A có chiến luợc chơi (chiến lược khát nuớc: tăng gấp đôi số tiền cược sau ván thua dừng chơi thắng) để chắn thu lãi đô la Nhưng muốn A phải có số vốn vơ hạn, quyền đật cược theo ý dừng chơi lúc muốn Đó điều khơng thực Định lý 3.14 Cho (Xn ) martingale (Fn ) T thời điểm dừng với ET < ∞ Giả sử tồn số C > cho với n tập {T ≥ n} ta có
E |Xn+1 − Xn | Fn ≤ C Khi E|XT | < ∞, EXT = EX0 Chứng minh Đặt Y0 = X0 , Yi = |Xi − Xi−1 Khi |Xn | ≤ |XT | ≤ T X i=0 Yi → E|XT | ≤ E T X i=0 Yi ! Pn i=0 Yi Suy 3.2 Martingale thời gian rời rạc 169 Ta có E T X Yi ! = Z T X Ω i=0 Yi ! dP i=0 = ∞ Z X = n=0 {T =n} i=0 ∞ Z ∞ X X ( n X Yi )dP = Yi dP = {T =n} i=0 n=i ∞ X n Z X n=0 i=0 ∞ XZ i=0 Yi dP {T =n} Yi dP {T ≥i} Vì {T ≥ i} = Ω \ {T < i} ∈ Fi−1 nên Z Z Yi dP = E(Yi |Fi−1 )dP ≤ CP (T ≥ i) {T ≥i} {T ≥i} Vậy T X E|XT | ≤ E Yi ! ∞ X ≤C i=0 Pn Tiếp theo {T > n} ta có Z i=0 Yi ≤ |Xn |dP ≤ {T >n} ≤ Z P (T ≥ i) = CET < ∞ i=0 PT Z i=0 ( Yi n X Yi )dP {T >n} i=0 ( T X Yi )dP → n → ∞ {T >n} i=0 chứng minh E EX0 P T i=0 Yi  < ∞ Theo định lý 3.6 ta có EXT = Hệ 3.2 (Hằng đẳng thức Wald) Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập có phân bố có kỳ vọng hữu hạn Gọi Fn sig-trường sinh Y1 , , Yn Giả sử T thời điểm dừng Fn thoả mãn ET < ∞ Khi ! T X E Yi = (ET )(EY1) i=1 170 Chương Quá trình Martingale Nếu DYn < ∞ E T X !2 Yi − T µ = (ET )(DY1 ) i=1 P Chứng minh Đặt Yn0 = Yn − µ µ = EY1 Xn = ni=1 Yi0 = Sn − nµ Pn Sn = i=1 Yi Dễ thấy (Xn ) martingale Ta có
E |Xn+1 − Xn | Fn = E(|Yn+1 − µ|Fn ) = E|Yn+1 − µ| ≤ 2µ Theo định lý 3.14 EXT = EX1 = Suy EST = µET Tương tự ta xét martingale Zn = Xn2 −nDY1 ta thu EZT = 0, EXT2 = (ET )(DY1 ) Ta nêu số áp dụng đẳng thức Wald Ví dụ 3.8 Cho (rn ) dãy ĐLNN độc lập phân bố P (rn = 1) = P (rn = −1) = Pn Đặt Sn = i=1 ri Sn mô tả du động ngẫu nhiên đối xứng đường thẳng xuất phát từ Giả sử i 6= điểm nguyên đường thẳng Xét thời điểm T thời điểm lần Sn = i Như biết T thời điểm Markov Mặt khác trạng thái i hồi quy nên P (T < ∞) = 1(xem thí dụ chương 1) Do T thời điểm dừng ST = i nên EST = i Ta chứng minh ET = ∞ tức i trạng thái hồi quy không Thật ET < ∞ theo đẳng thức Wald EST = (ET )(Er1) = Mâu thuẫn 3.2 Martingale thời gian rời rạc 171 Ví dụ 3.9 (Bài tốn phá sản người đánh bạc.) Một người A có số vốn N đơla cần có thêm M la Anh ta định kiếm M đô la cách vào sòng bạc chơi trò chơi sấp ngửa Mỗi ván chơi đồng xu tung lên Nếu đồng tiền sấp thắng đô la Nếu đồng tiền ngửa thua đô la Anh ta định chơi kiếm M đô la mong muốn N la Ta muốn tìm xác suất thắng M đô la A, xác suất phá sản (thua N đô la) số ván chơi cần thiết Giả sử p xác suất mặt sấp q xác suất mặt ngửa đồng xu Gọi (rn ) dãy ĐLNN độc lập phân bố P (rn = 1) = p, P (rn = −1) = q Gọi Sn số tiền thu A ván thứ n Ta có Sn = thời điểm dừng chơi Khi T = inf{n ≥ : Sn = M Pn i=1 ri Gọi T Sn = −N } Ta biết T thời điểm dừng ET < ∞ Gọi α = P (ST = −N ) xác suât phá sản β = P (ST = M) xác suất thắng A Ta có α + β = 1.Nếu trị chơi cơng p = q = 1/2 theo đẳng thức Wald = EST = −Nα + Mβ Kết hợp với điều kiện α + β = ta suy α= N M ,β = M +N M +N Lại theo đẳng thức Wald suy số ván chơi trung bình ET = EST2 = αN + βM = MN Trong trường hợp p 6= q ta xét martingale Xn = (q/p)Sn ta tìm

E (q/p)ST = E (q/p)S1 = Thành thử α(q/p)−N + β(q/p)M = Kết hợp với α + β = suy (q/p)M − , α= (q/p)M − (q/p)N − (q/p)N β= (q/p)M − (q/p)N (3.8) 172 Chương Quá trình Martingale Theo đẳng thức Wald EST = (Er1 )ET = (p − q)ET Vậy số ván chơi trung bình EST = βM − αN ET = p−q α, β cho theo cơng thức (3.8) 3.2.3 Một số bất đẳng thức Có nhiều bất đẳng thức hay liên quan đến martingale martingale trên, Dưới trình bày vài bất đẳng thức Các bất đẳng thức sử dụng để thiết lập định lý hội tụ luật số lớn cho martingale Định lý 3.15 (Bất đẳng thức Doob) Cho (Xn ) martingale không âm Fn Giả sử Xn∗ = max |Xi | 0≤i≤n Khi với n ≥ 0, a > ta có 1) 2) Z EXn ≥ a) ≤ Xn dP ≤ a {Xn∗ ≥a} a p kXn∗ kp ≤ kXn kp p−1 P (Xn∗ kY kp = E(|Y |)p )1/p chuẩn Lp Y ∈ Lp Chứng minh Đặt T = min{i ≤ n : Xi ≥ a} T = n Xi < a, với i = 1, 2, , n Khi T ≤ n nên theo định lý Z Z XT dP + XT dP EXn ≥ EXT = {Xn∗ ≥a} {Xn∗ a) ≤ 0≤i≤n E|Xn |p ap Nói riêng Sn = Y1 + · · · + Yn (Yn ) dãy ĐLNN độc lập có kỳ vọng phương sai hữu hạn ta có bất đẳng thức Kolmogorov sau Pn DXi P ( max |Si| > a) ≤ i=1 1≤i≤n a 176 Chương Quá trình Martingale Định lý 3.17 (Bất đẳng thức Burkholder) Cho (Xn , Fn ) martingale, < p < ∞ Đặt D1 = X1 , Dn = Xn − Xn−1 , n = 2, 3, Ký hiệu v u n uX [X]n = t Di2 i=1 Khi tồn số chung C1 , C2 (chỉ phụ thuộc p) cho C1 k[X]n kp ≤ kXn kp ≤ C2 k[X]n kp kXkp = (E|X|p )1/p ký hiệu chuẩn Lp ĐLNN X Chú ý trường hợp dãy (Di ) dãy ĐLNN độc lập, (tức martingale (Xn ) tổng ĐLNN độc lập có kỳ vọng 0), bất đẳng thức Burkholder bất đẳng thức Khinchin ( ứng với p = 2) bất đẳng thức Marcinkievicz-Zigmund ( với < p < ∞) Tuy nhiên bất đẳng thức Marcinkievicz-Zigmund với p = bất đẳng thức Burkholder nói chung khơng p = 3.2.4 Các định lý hội tụ, luật số lớn Định lý sau định lý toàn định lý hội tụ martingale Định lý 3.18 (Doob) Cho (Xn , Fn ) martingale thoả mãn điều kiện sup E|Xn | < ∞ n Khi hầu chắn tồn giới hạn limn Xn = X E|X| < ∞ Chứng minh Giả sử P (lim sup Xn > lim inf Xn ) > Khi ta tìm hai số hữu tỷ a < b cho P (lim sup Xn > b > a > lim inf Xn ) > (3.11) 3.2 Martingale thời gian rời rạc 177 Giả sử β(a, b) số lần cắt từ lên đoạn [a, b] dãy X1 , , Xn Theo bất đẳng thức cắt ngang ta có Eβn (a, b) ≤ EXn+ + |a| E[Xn − a]+ ≤ b−a b−a Đặt β(a, b) = limn βn (a, b), ta rút supn EXn+ + |a| n b−a supn E|Xn | + |a| Để cho dãy (Xn ) hội tụ Lp điều kiện cần đủ (Xn ) bị chặn Lp Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Đảo lại giả sử (Xn ) bị chặn Lp tức sup E|Xn |p < ∞ n 178 Chương Quá trình Martingale Khi theo định lý Doob dãy (Xn ) hội tụ hầu chắn tới ĐLNN X Ta chứng minh X ∈ Lp Xn → X Lp Từ bổ đề Fatou ta có E|X|p ≤ sup E|Xn |p < ∞, n X ∈ Lp Theo bất đẳng thức Doob   p p p ) E|Xn |p E max |Xn | ≤ ( i≤n p−1 suy E(sup |Xn |p) < ∞ n Đặt X ∗ = supn |Xn |p ta có X ∗ ∈ Lp Vì |Xn − X|p ≤ 2p−1 (|Xn |p + |X|p ) ≤ 2p−1 (|X ∗ |p + |X|p) nên áp dụng định lý hội tụ bị chặn ta rút lim E|Xn − X|p = n Định lý không p = Ta xem ví dụ sau Ví dụ 3.10 Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập phân bố với P (Yn = 0) = P (Yn = 2) = 1/2 Ta có EYn = với n Đặt Xn = Πni=1 Yi Như biết (ví dụ (Xn ) martingale Vì EXn = Πni=1 EYi = nên martingale bị chặn L1 Rõ ràng P (Xn → 0) ≤ P (∃i : Yi = 0) = Xn → với xác suất Nếu hội tụ L1 ta phải có EXn → Mâu thuẫn Định lý sau cho tiêu chuẩn hội tụ L1 martingale 3.2 Martingale thời gian rời rạc 179 Định lý 3.20 Giả sử (Xn , Fn ) martingale thuộc Lp Các điều kiện sau tương đương: (Xn , Fn ) martingale quy tức tồn X ∈ L1 cho ta có biểu diễn Xn = E(X|Fn (Xn ) khả tích Dãy (Xn ) hội tụ L1 Chứng minh 1) → 2) Giả sử có biểu diễn Xn = E(X|Fn ) Khi |Xn | ≤ E(|X||Fn ) E|Xn | ≤ E|X| Vậy (Xn ) bị chặn L1 Tiếp theo với c > 0, b > ta có Z Z |Xn |dP ≤ |X|dP {|Xn |≥c} {|Xn |≥c} Z |X|dP ≤bP (|Xn | ≥ c) + {|X|≥b} Z b |X|dP ≤ E|Xn | + c {|X|≥b} Z b |X|dP ≤ E|X| + c {|X|≥b} Thành thử lim sup c→∞ Z |Xn |dP ≤ {|Xn |≥c} Z |X|dP {|X|≥b} Cho b → ∞ ta lim sup c→∞ Vậy (Xn ) khả tích Z {|Xn |≥c} |Xn |dP = 180 Chương Quá trình Martingale 2) → 3) Vì (Xn ) khả tích nên bị chặn L1 Vì theo định lý hội tụ Doob dãy (Xn ) hội tụ hầu chắn Vì dãy (Xn ) khả tích nên theo định lý 3.9 hội tụ L1 3) → 1) Giả sử Xn → X L1 Khi với m cố định với n>m E |E(Xn |Fm ) − E(X|Fm )| ≤ E|Xn − X| → Suy E(Xn |Fm ) → E(X|Fm ) n → ∞ Nhưng E(Xn |Fm ) = Xm Thành thử Xm = E(X|Fm ) Định lý 3.21 (Levy) Giả sử X ∈ L1 (Fn ) dãy tăng cácσ - đại số Ký hiệu F∞ σ - đại số bé chứa tất Fn Khi với xác suất ta có lim E(X|Fn ) = E(X|F∞ ) n Chứng minh Đặt Xn = E(X|Fn ) Theo định lý trước, (Xn ) martingale quy khả tích hội tụ L1 tới ĐLNN Z Ta cần chứng minh Z = E(X|F∞ ) Thật giả sử m > n A ∈ Fn Khi Z Z Z Z Xm dP = Xn dP = E(X|Fn ) = XdP A A A A R Do Xm → Z ∈ L1 m → ∞ nên A Xm dP → với n A ∈ ∪∞ n=1 Fn Z Z ZdP = XdP A R A ZdP m → ∞ Vậy A Hai vế đẳng thức hàm tập cộng tính đếm trường ∞ ∪∞ n=1 Fn Vì F∞ σ - trường sinh ∪n=1 Fn nên theo định lý thác triển độ đo ta có Z Z Z ZdP = XdP = E(X|F∞ )dP A A A 3.2 Martingale thời gian rời rạc 181 với A ∈ F∞ Nhưng Z E(X|F∞ ) F∞ )-đo nên từ suy Z = E(X|F∞ ) Hệ 3.7 (Luật 0-1) Cho (Yn ) dãy ĐLNN độc lập Fn σ trường sinh (Yi ), i ≤ n Xn làσ - trường sinh (Yi ), i > n Giả sử T X = ∞ n=1 Xn σ - trường Khi với A ∈ X ta có P (A) = P (A) = Chứng minh Theo định lý Levy vừa chứng minh với xác suất E(IA |Fn ) → E(IA |F∞ ) Nếu A ∈ X A độc lập với Fn với n Do E(IA |Fn ) = EIA = P (A) Lại có E(IA |F∞ ) = IA Thành thử P (A) = IA h.c.c nên P (A) = P (A) = Cho (Xn ) martingale Fn Khi ta có khai triển Doob sau Xn = Mn + An (Mn ) martingale (An ) dãy tăng = A0 ≤ A1 ≤ ≤ An ≤ dự báo tức An ∈ Fn−1 Ta có định lý sau: Định lý 3.22 Cho (Xn ) martingale không âm Nếu A∞ = lim An < ∞ n hầu chắn (Xn ) hội tụ h.c.c 182 Chương Quá trình Martingale Chứng minh Với a > xét thời điểm Markov Ta = inf{n ≥ : An+1 > a} Ta = ∞ An ≤ a với n Ta có EXn∧Ta = EMn∧Ta + EAn∧Ta ≤ EM1 + a Đặt Yn = Xn∧Ta Khi (Yn ) martingale không âm supn EYn < ∞ hội tụ h.k.n Vì tập {A∞ ≤ a} = {Ta = ∞} ta có Xn = Yn nên (bỏ qua tập có xác suất 0) (Xn ) hội tụ Mặt khác [ {A∞ ≤ a} {A∞ } = a∈Q nên suy A∞ = limn An < ∞ (Xn ) hội tụ h.c.c Bây giả sử (Xn ) martingale bình phương khả tích tức Xn ∈ L2 với n Khi (Xn2 ) martingale duới ta có khai triển Dood Xn2 = Mn + An Ta ký hiệu dãy (An ) < X > tức < X >n = An gọi đặc trưng bình phương martingale bình phương khả tích X Định lý sau cho ta điều kiện hội tụ martingale bình phương khả tích thơng qua đặc trưng < X > Ta có n−1 X E(Xi+1 |Fi) − Xi2 < X >n = i=0 2 Dễ chứng minh E(Xi+1 |Fi) − Xi2 = E(Di+1 ||Fi ) Di+1 = Xi+1 − Xi tức n X E(Di2 |Fi−1) < X >n = i=1 3.2 Martingale thời gian rời rạc 183 Định lý 3.23 Cho (Xn ) martingale binh phương khả tích Khi ∞ X E(Di2 |Fi−1 ) < ∞ < X >∞ = i=1 dãy (Xn ) hội tụ h.c.c Chứng minh Xét hai martingale (Xn2 ) (Xn +1)2 Khi từ cơng thức xác định đặc trưng bình phương dễ kiểm tra < X >n =< X +1 >n Vì ta có < X >∞ =< X + >∞ < ∞ h.k.n Suy r a theo định lý Xn2 (Xn + 1)2 hội tụ h.c.c Suy Xn = (Xn + 1)2 − Xn2 − hội tụ h.c.c Như áp dụng hay định lý ta có luật mạnh số lớn tổng quát cho martingale sau: Định lý 3.24 Cho(Xn , Fn ) martingale bình phương khả tích (Bn ) dãy tăng ĐLNN cho B1 ≥ 1, Bn → ∞ Bn ∈ Fn−1 Nếu với xác suất ∞ X E(Di2 |Fi−1 )