TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 96 HÌNH THÀNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÔNG THỨC HÀM NHIỀU BIẾN TỪ NỀN TẢNG TOÁN PHỔ THÔNG FORMATION OF SOME CONCEPTS AND FORMULAS CONCERNING FUNCTIONS OF MANY VARIABLES BASED ON GENERAL MATHEMATICS Hoàng Nam Hải Trường Cao Đẳng GTVT II Đà Nẵng TÓM TẮT Trong những nghiên cứu gần đây, các nhà giáo dục đã chỉ ra rằng lý thuyết kiến tạo, với những dạng khác nhau của nó, đều dựa trên một quan điểm rằng người học phải tự kiến tạo tri thức cho bản thân từ những kiến thức đã có sẵn. Trong nghiên cứu của mình, tác giả xin đề xuất một số giải pháp để hình thành khái niệm, đạo hàm riêng, vi phân riêng, cực trị tự do, cực trị có điều kiện của hàm nhiều biến từ cốt liệu hàm một biến. Giải pháp này sẽ giúp sinh viên tự kiến tạo tri thức, khắc phục tính bị động và cũng nhằm nâng cao chất lượng dạy và học Toán cao cấp trong các trường cao đẳng, đại học hiện nay. ABSTRACT In recent studies, educationalists have proved that the theory of formation, with its various forms, is based on the conception that learners themselves have to gain knowledge from many available sources of knowledge. In this study, we present some solutions to the formation of concepts, partial derivative, partial differentiation, free extremum, conditional extremum of functions of many variables based on the functions of one variable. These solutions will help students make their own knowledge and overcome their passive attitudes. Besides, it enhances the quality of teaching and learning of advanced maths in colleges and universities today. 1. Đặt vấn đề Đổi mới phương pháp giảng dạy bậc cao đẳng, đại học nói chung từng môn học nói riêng đang là vấn đề thời sự, là đòi hỏi cấp bách trong thời đại ngày nay. Điều đó cũng phù hợp với nghị quyết của Đảng, chủ trương của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo (Theo công văn số 1186/BGDĐT-GDĐH). Hầu hết các tân sinh viên bước vào giảng đường cao đẳng, đại học đều ngỡ ngàng trước chân trời tri thức mới, những môn học mới. Học phần Toán Cao Cấp là môn học gần gũi, liên thông với toán phổ thông, tuy vậy cũng gây cho các em nhiều bất ngờ và không ít khó khăn, vất vã khi đối mặt với nó. Theo kết quả thống kê tại Trường Cao Đẳng GTVT II, số sinh viên phải học lại môn Toán Cao Cấp năm 2005 chiếm 23%, năm 2006 chiếm 25%, năm 2007 là 24%. Tại sao vậy? Bỏ qua những khó khăn mang tính chủ quan và khách quan thì nhóm khó khăn mà đại đa số sinh viên phải đối mặt đó là tính trừu tượng cao của Toán Cao Cấp. Vì TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 97 vậy, xây dựng những khái niệm, công thức mới dựa trên nền tảng cái cũ, cái đã biết sẽ giúp cho các tân sinh viên khắc ph ục được khó khăn này. Mỗi giảng viên đứng lớp, bằng sự phối hợp nhuần nhuyễn các phương pháp dạy học, tổ chức cho sinh viên tái hiện kiến thức cũ mà ta cần nâng cấp thành kiến thức mới, rồi từ đó bằng phương pháp đàm thoại ơrixtic tổ chức cho các em tìm tòi, kiến tạo, hình thành nên khái niệm, công thức phục vụ cho bài giảng mới. Hiệu quả của phương pháp này là khá rõ: Lớp học sôi động, hứng thú, phát huy hết khả năng tư duy, khái quát hoá của sinh viên, kiến thức mới được các em tiếp nhận như một lẽ tự nhiên vốn có của nó. 2. Một số giải pháp cụ thể hình thành khái niệm công thức hàm nhiều biến từ nền tảng toán phổ thông 2.1 Hình thành khái niệm hàm hai biến z = f(x,y) a. Sự cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm một biến Mở đầu của bất kỳ một môn học hay một chương cụ thể nào đó, mỗi giảng viên đứng lớp phải gieo vào lòng các em một niềm đam mê mãnh liệt, một sự khát khao cháy bỏng khám phá khoa học, một sự bồi đắp kiến thức, có như vậy mỗi sinh viên mới hăng say học tập, mới biết được kiến thức sắp tiếp thu phục vụ cho mục đích gì, phải học tập nghiên cứu ra sao. Chẳng hạn khi mở đầu chương Hàm nhiều biến, chúng ta phải đặt ra một số vấn đề thực tế: Sản lượng thông thường phụ thuộc vào những yếu tố nào? Qua tranh luận chúng ta sẽ hướng cho các em thấy sản lượng thông thường phụ thuộc vào hai yếu tố: vốn và lao động; Khi mua hai loại hàng hoá với khối lượng x, y ta có một giá trị sử dụng u, u phụ thuộc vào x, y; Chất lượng sản phẩm phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: chất liệu cấu tạo nên sản phẩm, quy trình công nghệ, tay nghề công nhân, máy móc thiết bị,… Trừu tượng hoá những vấn đề đang xét như trên ta đi đến khái niệm hàm nhiều biến. Như vậy các em sẽ thấy việc lĩnh hội kiến thức hàm nhiều biến là một lẽ tất nhiên là một mở rộng của hàm một biến. b. Hình thành khái niệm hàm hai biến z = f(x,y) từ khái niệm hàm một biến Khái niệm hàm hai biến hay n biến, n ≥ 3, khá trừu tượng đối với các tân sinh viên. Nếu chỉ bằng phương pháp thuyết trình, giảng viên trình bày tuần tự khái niệm, định nghĩa, các công thức thì rõ ràng sinh viên sẽ tiếp thu một cách thụ động, kém hiệu quả. Chúng ta có thể tổ chức theo nhóm hoặc bằng sự trợ giúp của công nghệ thông tin ôn tập lại khái niệm hàm một biến (Đại số 10, trang 35): Cho tập khác rỗng D ⊂ R. Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số, kí hiệu f(x). Hàm số f được viết là y = f(x) hay f : D → R x  y = f(x). Bằng con đường suy diễn, thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở giúp các em mở rộng khái niệm; thêm vào nội hàm của khái niệm trên một số đặc điểm mà ta cần mở rộng để đi đến khái niệm hàm hai biến. Chẳng hạn có thể nêu tình huống có vấn đề: TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 98 D⊂ R 2 Từ đó dẫn dắt sinh viên, giúp các em tự mình kiến tạo nên khái niệm hàm hai biến: D ≠∅ , D ⊂ R thì sao? 2 f: D → R (x,y)  z = f(x,y) Tổng quát, ta có định nghĩa hàm n biến, n ≥ 3: D ≠∅ , D ⊂ R f : D n → R (x 1 , x 2 ,…, x n  ) f(x 1 , x 2 ,…, x n 2.2 Hình thành khái niệm giới hạn, liên tục của hàm hai biến ) Từ định nghĩa giới hạn của hàm một biến tại một điểm x 0 Giả sử x (Đại số và Giải tích 11, trang 146): 0 ∈ (a,b), f xác định trên (a,b)\{x 0 }. Hàm số f có giới hạn L khi x dần tới x 0 nếu với mọi (x n ) ⊂ (a,b), x n ≠ x 0 ∀ n mà limx n = x 0 ta đều có limf(x n Kí hiệu ) = L. 0 xx lim → f(x) = L. Bằng phương pháp suy diễn, tương tự ta có thể dẫn dắt sinh viên kiến tạo nên khái niệm giới hạn của hàm hai biến, với kí hiệu U(M 0 ) là lân cận của điểm M 0 Giả sử z = f(x,y) xác định trong U(M : 0 ) (không cần xác định tại M 0 ). Số L được gọi là giới hạn của f(x,y) khi điểm M(x,y) dần đến điểm M 0 nếu với mọi dãy điểm (M n (x n ,y n )) ⊂ U(M 0 ), M n ≠ M 0 , M n dần tới M 0 , ta đều có f(M n 0 MM lim → ) → L khi n → +∞. Kí hiệu: f(M) = L. Từ đó định nghĩa tính liên tục của hàm hai biến: 0 MM lim → f(M)= f(M 0 0 xx lim → ) là một tương tự của hàm một biến: f(x) = f(x 0 2.3 Hình thành khái niệm đạo hàm của hàm hai biến từ khái niệm đạo hàm của hàm một biến ). Ở phổ thông các em đã thành thạo khái niệm đạo hàm của hàm một biến tại điểm x 0 y’(x : 0 x 0x0 0Δ x y 0Δ Δ )f(x)Δf(x lim Δ Δ lim xx −+ = →→ ) = Từ đó ta sẽ nêu vấn đề đạo hàm của z = f(x,y) thì sao? Bằng con đường suy diễn, kết hợp với con đường kiến thiết: Nếu cố định y tức là y = y 0 thì z = f(x,y 0 ) là hàm một biến theo x, khi đó sinh viên có thể tương tự chỉ ra được đạo hàm nếu có của z = f(x,y 0 ) theo x tại M 0 (x 0 ,y 0 ) là: ' x z (x 0 ,y 0, x 000x0 0Δ x x 0Δ Δ )y,f(x)y,Δf(x lim Δ zΔ lim xx −+ = →→ ) = . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 99 Tương tự ' y z (x 0 ,y 0, y 00y00 0Δ y y 0Δ Δ )y,f(x)y,f(x lim Δ zΔ lim yy −∆+ = →→ ) = . Lưu ý: Kí hiệu zz yx ∆∆ , lần lượt là số gia riêng của z theo x, y. Nếu f(x,y) có đạo hàm riêng tại mọi điểm trong D thì ta nói nó có đạo hàm riêng trên D, kí hiệu y z , x z ∂ ∂ ∂ ∂ hoặc z x ’, z y Qua định nghĩa trên, sinh viên có thể nhận thấy khi lấy đạo hàm riêng theo một biến ta coi biến kia là tham số rồi vận dụng quy tắc đạo hàm một biến để tính. ’. Ví dụ 1: Cho z = 22 yx e + , ta có: x z ∂ ∂ = ( ) ' x yx 22 e + = ( ) ' x 22 yx + 22 yx e + = 2x 22 yx e + có dạng (e u )’ = u ’ e u y z ∂ ∂ . = ( ) ' y yx 22 e + = ( ) ' y 22 yx + 22 yx e + = 2y 22 yx e + có dạng (e u )’ = u ’ e u Công thức đạo hàm của hàm hợp z = f(u,v), u = u(x,y), v = v(x,y): . x v v z x u u z x z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ; y v v z y u u z y z ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ cũng được xây dựng hình thành từ công thức đạo hàm hàm hợp ở lớp 11: g x ’ = f u ’. u x 2.4 Hình thành khái niệm vi phân riêng của hàm hai biến từ khái niệm vi phân của hàm một biến ’. Từ khái niệm vi phân của hàm một biến y = f(x), bằng phương pháp tương tự kết hợp so sánh và suy diễn ta sẽ từng bước giúp sinh viên kiến tạo, xây dựng nên định nghĩa vi phân riêng của hàm hai biến z = f(x, y): Định nghĩa vi phân riêng Định nghĩa vi phân hàm hàm hai biến z = f(x,y) một biến y = f(x) Cho hàm z = f(x,y) xác định trong U(M 0 ) Cho hàm y = f(x) xác định trong U(x 0 Nếu tồn tại A, B (chỉ phụ thuộc x ) 0 , y 0 ) sao Nếu tồn tại A (chỉ phụ thuộc x 0 cho ∆ ) sao x z = A ∆ x + α ( ∆ x ) cho ∆ y = A ∆ x + α ( ∆ x ∆ ) y z = B ∆ y + β ( ∆ y trong đó(x ) 0 + ∆ x , y 0 + ∆ y ) ∈ U(M 0 ), α ( ∆ x ), β ( ∆ y ) trong đó x 0 + ∆ x ∈ U(x 0 ), α ( ∆ x )  0 khi ∆ x là các VCB, thì các biểu thức A ∆  0 x , B ∆ y thì A ∆ x gọi là vi phân của hàm số tại x gọi là vi phân riêng của f(x,y) tại M 0 kí hiệu là d 0 x z(M 0 ) = A ∆ x kí hiệu là df(x 0 ) = A ∆ x TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 100 d y z(M 0 ) = B ∆ y Bảng so sánh trên cho ta thấy định nghĩa vi phân riêng hàm hai biến là mở rộng của định nghĩa vi phân hàm một biến. Bằng câu hỏi nêu vấn đề: Nếu ta cộng A∆ x + B∆ y thì vấn đề gì sẽ xảy ra? Từ đó ta sẽ giúp sinh viên kiến tạo nên khái niệm vi phân toàn phần: dz(M 0 ) = A∆ x + B∆ y 2.5 Hình thành khái niệm cực trị của hàm hai biến từ cực trị của hàm một biến . Để trang bị kiến thức khái niệm, quy trình tìm cực trị hàm hai biến z = f(x,y), ta có thể cho từng nhóm sinh viên trình bày, ôn lại khái niệm cực trị hàm một biến, rồi từ đó bằng phương pháp so sánh và suy diễn ta sẽ tổ chức cho sinh viên xây dựng định nghĩa, điều kiện cần, điều kiện đủ cực trị hàm hai biến z = f(x,y): Hàm hai biến Hàm một biến ĐN Giả sử hàm z = f(x,y) xác định trong ĐN Giả sử hàm y = f(x) xác định trong U(M 0 Nếu f(x,y) < f(x ). 0 ,y 0 ) ∀ (x,y) ∈ U(M 0 )\{M 0 } Nếu f(x) < f(x 0 ) ∀ x ∈ (a,b)\{x 0 thì ta nói f(x,y) đạt cực đại tại M } 0 . thì ta nói f(x) đạt cực đại tại x 0 Nếu f(x,y) > f(x . 0 ,y 0 ) ∀ (x,y) ∈ U(M 0 )\{M 0 } Nếu f(x) > f(x 0 ) ∀ x ∈ (a,b)\{x 0 thì ta nói f(x,y) đạt cực tiểu tại M } 0 . thì ta nói f(x) đạt cực tiểu tại x 0 Điều kiện cần của cực trị: Điều kiện cần của cực trị: . Nếu hàm số f(x,y) đạt cực trị tại M 0 và tại Giả sử hàm số f đạt cực trị tại x 0 đó tồn tại các đạo hàm riêng hữu hạn thì Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x . 0 f thì x ’(M 0 ) = 0, f y ’(M 0 ) = 0. f ’(x 0 Điều kiện đủ của cực trị: Điều kiện đủ của cực trị: ) = 0. Giả sử f(x,y) có các đạo hàm riêng liên tục Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một đến cấp 2 trong U(M 0 ). Xét trên (a,b) chứa x 0 , f’(x 0 d ) = 0 và f có 2 f(M 0 ++ dxdyMzdxMz xy x )(2)( 0 "2 0 " 2 )= đạo hàm cấp hai khác không tại x 0 2 0 " )( 2 dyMz y + . . Nếu d 2 f(M 0 ) < 0 thì f(x,y) đạt CĐ tại M 0 Nếu f ”(x 0 ) < 0 thì f đạt CĐ tại x Nếu d 0 2 f(M 0 ) > 0 thì f(x,y) đạt CT tại M 0 Nếu f ”(x 0 ) > 0 thì f đạt CT tại x 0 . Sự so sánh này sẽ hiệu quả hơn nếu ta sử dụng công nghệ thông tin, không những tạo hứng thú cho sinh viên mà còn tiết kiệm được thời gian. Từ đó chỉ ra cho các em thấy quy trình tìm cực trị hàm hai biến cũng giống quy trình tìm cực trị hàm một biến, bao gồm những bước sau:  Đầu tiên tính các đạo hàm riêng x z ∂ ∂ , y z ∂ ∂ TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 101  Bước thứ hai giải hệ        = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 y z 0 x z suy ra các điểm dừng M  Bước thứ ba i - Cách 1 (Áp dụng cho hàm hai biến. Phương pháp này tương tự như dùng đạo hàm cấp một để xét cực trị hàm một biến) Tính A = ) (Mz i " x 2 , B = )(Mz i " yx , C = )(Mz i " y 2 Tính B 2 B – AC, căn cứ bảng sau để kết luận: 2 A - AC Kết luận về điểm M i - - CĐ - + CT + Không phải điểm cực trị 0 Nghi ngờ có cực trị - Cách 2 (Thường dùng cho hàm ba biến; cách này tương tự phương pháp dùng đạo hàm cấp hai tìm cực trị của hàm một biến) Tính d 2 dydz2fdxdz2fdxdy2fdzfdyfdxf " yz " xz " xy 2" z 2" y 2" x 222 +++++ f(x,y,z)= Nếu d 2 f(M i ) < 0 thì f(x,y,z) đạt CĐ tại M i Nếu d . 2 f(M i ) > 0 thì f(x,y,z) đạt CT tại M i Ta có thể lấy nhiều ví dụ minh hoạ cho điều đó, qua các ví dụ cho sinh viên nêu lại quy trình tìm cực trị. . Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm z = f(x,y) = 2x 4 + y 4 – x 2 - 2y 2 Giải hệ .        = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0 y z 0 x z ta có chín điểm dừng M 0 (0,0), M 1 (0,1), M 2 (0,-1), M 3 2 1 ( ,0), M 4 2 1 (- ,0), M 5 2 1 ( ,1), M 6 2 1 ( , -1), M 7 2 1 (- ,1), M 8 2 1 (- ,-1). Tại M 0 ta có B 2 – AC < 0, A < 0, suy ra hàm đạt CĐ, z CĐ Tại M = 0. 1 , M 2 , M 3 , M 4 ta có B 2 Tại M – AC > 0, suy ra hàm không đạt cực trị. 5 , M 6 , M 7 , M 8 ta có B 2 – AC < 0, A > 0, suy ra hàm đạt cực tiểu, z CT 8 9 = - . Ví dụ 2 Tìm cực trị của hàm f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 - 4x + 6y - 2z. TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 102 Giải hệ        =−= =+= =−= 022zf 062yf 042xf ' z ' y ' x ta có điểm dừng M 0 Ta có d (2, -3, 1). 2 f(M 0 ) = 2dx 2 + 2dy 2 + 2dz 2 > 0, suy ra f(x,y) đạt cực tiểu tại M 0 và z CT 2.6 Hình thành khái niệm cực trị có điều kiện của hàm hai biến = - 14. Từ cực trị tự do nêu trên, ta có thể phát vấn sinh viên: Hàm z = f(x,y) đạt cực trị tại M0 thì các biến x, y biến thiên như thế nào trong U(M0) ? Từ đó đẫn đến vấn đề nếu hàm số z = f(x,y) đạt cực trị tại M0 mà x, y không biến thiên độc lập, bị ràng buộc bởi một điều kiện nào đó chẳng hạn ϕ(x, y) = 0 thì sao? Từ đó hình thành nên khái niệm cực trị có điều kiện hay cực trị ràng buộc: Những cực trị của hàm z = f(x,y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện ϕ (x,y) = 0 là cực trị có điều kiện hay cực trị ràng buộc. 2.7 Củng cố khái niệm, công thức đạt được Rõ ràng sau khi đã hình thành khái niệm, công thức mới phục vụ cho bài giảng, một khâu rất quan trọng không thể thiếu là củng cố lại các khái niệm đã học cho sinh viên, thông qua hoạt động ngôn ngữ, qua ví dụ, phản ví dụ minh hoạ. Hoạt động này sẽ rất hiệu quả nếu chúng ta hệ thống lại các khái niệm hàm hai biến so sánh với hàm một biến bằng sự trợ giúp của công nghệ thông tin. 3. Kết luận Hình thành khái niệm, công thức, định lý hàm nhiều biến nói riêng Toán Cao Cấp nói chung từ cốt liệu toán phổ thông quen thuộc với sinh viên là một quá trình chuyển hoá nhận thức từ trực quan sinh động sang tư duy trừu tượng. Đây là một trong những giải pháp góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy, nâng cao chất lượng đào tạo bậc cao đẳng, đại học. Phương pháp chuyển hoá sư phạm này sẽ giúp các tân sinh viên giảm bớt được khó khăn khi tiếp thu kiến thức mới, trừu tượng cao của toán học. Các em lĩnh hội kiến thức mới một cách chủ động, sáng tạo, từ đó từng bước hình thành năng lực nghiên cứu khoa học, tự mình chiếm lĩnh kiến thức, khắc phục được sự thụ động trong học tập hiện nay của một bộ phận không nhỏ sinh viên. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm [2] Đặng Hùng Thắng - Trần Văn Vuông, Đại Số 10, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006. [3] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm - Nguyễn Khắc Minh - Đặng Hùng Thắng, Đại Số và Giải Tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục, 2006. [4] Lê Văn Hồng (Chủ biên) – Lê Ngọc Lan - Nguyễn Văn Thắng, Tâm lý học lứa tuổi TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 103 và Tâm lý học sư phạm, Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2007. [5] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại học sư phạm, 2007. [6] Hoàng Nam Hải, Giáo trình Toán Cao Cấp, Nhà xuất bản GTVT Đà Nẵng, 1999. . TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 4(33).2009 96 HÌNH THÀNH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÔNG THỨC HÀM NHIỀU BIẾN TỪ NỀN TẢNG TOÁN PHỔ THÔNG FORMATION OF SOME. đi đến khái niệm hàm nhiều biến. Như vậy các em sẽ thấy việc lĩnh hội kiến thức hàm nhiều biến là một lẽ tất nhiên là một mở rộng của hàm một biến. b. Hình thành khái niệm hàm hai biến z =. thành từ công thức đạo hàm hàm hợp ở lớp 11: g x ’ = f u ’. u x 2.4 Hình thành khái niệm vi phân riêng của hàm hai biến từ khái niệm vi phân của hàm một biến ’. Từ khái niệm vi phân của hàm