SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT VĂN GIANG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1 TRONG MẶT PHẲNG OXY BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG Năm học 2013-2014 MỞ ĐẦU 2 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát từ những bài toán trong thực tế, bài toán cực trị là mô hình đơn giản của các bài toán kinh tế trong cuộc sống. Với tinh thần đổi mới giáo dục trong các đề thi Đại học của những năm gần đây, bài toán cực trị được đưa vào thường xuyên. Điều đó đặt ra cho quá trình giảng dạy bộ môn Toán học cần phải chú ý rèn luyện cho học sinh những dạng toán này, nhằm đáp ứng với đòi hỏi của thực tiễn và đưa giáo dục nói chung và Toán học nói riêng gần hơn với cuộc sống. Với lý do trên cùng với mong muốn nâng cao chất lượng bài giảng, chất lượng quá trình giáo dục chúng tôi mạnh dạn “Tìm hiểu bài toán cực trị hình học giải tích trong mặt phẳng Oxy”. 2. Mục đích nghiên cứu 3 Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp giải bài toán cực trị hình học giải tích. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu. Đề xuất một số phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở trường phổ thông. Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích. 5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2012-2013; 2013- 2014. 6. Giả thuyết khoa học 4 Hiện nay việc giảng dạy và học tập các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích còn gặp một số khó khăn. Nếu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của tác giả một cách phù hợp thì hiệu quả học tập và giảng dạy chuyên đề cực trị trong hình học giải tích sẽ tốt hơn. 7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học 8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung Kết luận Tài liệu tham khảo 5 6 NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận 1. Các tính chất của Bất đẳng thức Điều kiện Nội dung a b a c b c < ⇔ + < + 0c > a b ac bc < ⇔ < 0c < a b ac bc < ⇔ > a b a c b d c d <  ⇒ + < +  <  0 0 a b ac bd c d < <  ⇒ <  < <  2 1 2 1 * 2 2 * ; 0 ; n n n n a b a b n N a b a b n N + + < ⇔ < ∈ < < ⇒ < ∈ 3 3 0 a b a b a b a b < < ⇔ < < ⇔ < 2. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Cho hàm số ( ) f x xác định trên tập D Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) f x trên D nếu 7 ( ) ( ) ( ) ; ax f x : . 0 0 f x M x D M M D x D f x M   ⇔    ≤ ∀ ∈ = ∃ ∈ = Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f x trên D nếu ( ) ( ) ( ) ; min f x : . 0 0 f x m x D m D x D f x m   ⇔    ≥ ∀ ∈ = ∃ ∈ = Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự. 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) Cho n số không âm: ; ; ; 1 2 a a a n khi đó ta có: 1 2 1 2 a a a n n a a a n n + + + ≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 a a a n = = = 4. Bất đẳng thức Bunhiacopxki 8 Cho hai bộ n số: 1 2 1 2 , , , ; , , , n n a a a b b b khi đó ta có bất đẳng thức: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 . . . n n n n a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 n n aa a b b b = = = . 5. Định lý Nếu hàm số ( ) y f x= liên tục trên đoạn [ ] ;a b thì hàm số tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ] ;a b . 6. Phương trình tham số của đường thẳng Đường thẳng ∆ đi qua ( ) 0 0 ;M x y nhận ( ) ; 0u a b ≠ r r làm vector chỉ phương. Khi đó ∆ có phương trình tham số là: 0 0 ; . x x at y y bt = +   = +  7. Phương trình tổng quát của đường thẳng 9 Đường thẳng ∆ đi qua điểm ( ) 0 0 ;M x y nhận ( ) ; 0u a b ≠ r r làm vector pháp tuyến. Khi đó ∆ có phương trình tổng quát là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 x-x 0 x 0; xa b y y a by c c a by+ − = ⇔ + + = = − − 8. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm ( ) 0 0 ;M x y . Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ được tính bằng công thức: ( ) 0 0 2 2 x , a by c d M a b + + ∆ = + . 9. Góc giữa hai đường thẳng Cho 2 đường thẳng 1 2 ;∆ ∆ lần lượt có phương trình ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ; 0 0 . a x b y c a b a x b y c a b + + = + ≠ + + = + ≠ Gọi α là góc giữa hai đường thẳng đã cho. Khi đó: 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 os . a a bb c a b a b α + = + + . 10 [...]... 15 5 5 1 0 Như vậy nhìn vào bảng thống kê đa số học sinh đã hiểu và vận dụng và thực hiện được bài toán cực trị trong hình giải tích (Oxy) KẾT LUẬN 1 Chuyên đề có giá trị thực tiễn trong công tác giảng dạy và học tập của học sinh và giáo viên 2 Phù hợp với khả năng nhận thức và tiếp thu của học sinh 3 Chuyên đề sẽ được mở rộng ra các bài toán cực trị trong không gian 4 Do trình độ nên chuyên đề có... giá trị nhỏ nhất b) MA − MB đạt giá trị lớn nhất Vẫn là bài toán tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị nhưng được hỏi theo hình thức khác Ta xét ví dụ tiếp theo Bài 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm thẳng ∆ M ( 2;1) Đường đi qua M cắt Ox; Oy lần lượt tại A ( a;0 ) ; B ( 0; b ) ; ( a > 0; b > 0 ) 16 a )Tìm a; b để diện tích tam giác OAB đạt giá trị nhỏ nhất? 1 1 + 2 OA OB 2 b )Tìm a; b : c) Tìm a;... cz0 + d a2 + b2 + c2 II Một số dạng bài toán cực trị hình học giải tích trong chương trình phổ thông 1 Dạng bài tìm điểm thỏa mãn một yếu tố cực trị 11 Bài 1 Cho đường thẳng điểm M ∈∆ ∆ : x − 2 y + 2 = 0; A ( 0;6 ) ; B ( 2;5 ) Tìm sao cho: a) MA + MB nhỏ nhất b) MA − MB lớn nhất Lời giải a)Phân tích: A Nếu hai điểm A, B khác phía so với đường thẳng ∆ thì điểm M cần tìm chính là giao điểm của đường thẳng... a = 2 + 2;  min ( OA + OB ) = 3 + 2 2 khi  b = 2 + 1  Củng cố thuật toán các em học sinh làm thêm một số bài tập sau: Bài 6 Trong mặt phẳng toạ độ thẳng ∆ Oxy , viết phương trình đường đi qua điểm A ( −1;3) và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại M, N sao cho 2 1 + 2 OM ON 2 đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 7 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2;5) , cắt chiều dương của... I là giao của (C) và NB (Hình 2) Ta có ¼ =¼ AMB AIB (cùng chắn cung AB) Mặt khác: ¼ + NAI = ¼ = ¼ ANB ¼ AIB AMB ⇒¼ >¼ AMB ANB ∀N ≠ M Vậy M là điểm cần tìm 2 Dạng bài tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sử dụng phương pháp hình giải tích Bài 10 (Trích đề thi chọn HSG - lớp 11 Thành phố Hà Nội năm học 2008-2009) Cho x 2 + y 2 − 4 x − 6 y + 12 = 0 A = x2 + y 2 Lời giải 27 Tìm: Max của biểu thức Nhận... phương pháp của hình học giải tích để tìm Max của biểu thức A nhờ những nhận xét về điều kiện và đầu bài Sẽ tương đối khó khăn khi đi tìm một phương pháp khác cho bài số 10! Với bài 10 ta có thể khái quát hoá thành bài tập như sau: Bài 11 Cho x; y thoả mãn điều kiện P Trong đó P có thể biến đổi về phương trình của một đường tròn ( C ) 1 nào đó Yêu cầu tìm min, max của biểu thức 29 Q trong đó biểu thức... và nhận thấy tính hiệu quả cao, lời giải gọn gàng và đẹp Vấn đề là học sinh cần tìm hiểu được nhiều cách giải cho một đề toán Do vậy một trong những thủ thuật của người thầy (theo cá nhân tôi) là sau lời giải một bài toán nên đặt câu hỏi tự nhiên theo diễn biến tâm lý: Còn lời giải nào khác nữa không? Câu hỏi đó làm cho học sinh có hứng thú tìm tòi, và phải làm cho học sinh thấy được chúng ta không nên... M, N khác gốc toạ độ sao cho diện tích tam giác MON đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 8 25 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( 3;2 ) , cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tại các điểm A; B khác gốc toạ độ sao cho OA + 2OB đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 9 Bài toán về góc sút và khung thành Cho hai điểm A, B nằm về cùng phía so với đường thẳng ∆ Tìm trên đường thẳng ∆ điểm M sao... 4 a>2 a = 4⇒b = 2 Vậy các giá trị cần tìm là: a = 4;  b = 2 Bình luận: Lời giải 2 có vẻ phức tạp, tuy nhiên việc sử dụng đạo hàm vào bài toán cực trị cũng cần hết sức chú ý vì đây cũng là một công cụ rất mạnh trong chương trình toán phổ thông mà học sinh cần được trang bị và thành thạo b) Lời giải 1 Gọi H là chân đường cao hạ từ O xuống cạnh AB Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB ta có:... cố thuật toán trên các em học sinh làm thêm một số bài tập: Bài 2 Cho hai điểm A ( 2;5) ; B ( −4;5) và đường thẳng Tìm điểm M ∈ ∆ : MA + MB ∆ : x − 2y + 3 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất? ( Đáp số: 3 9 M  ; ÷) 2 4 15 Bài 3 Cho hai điểm A ( 2; −5) ; B ( −4;5) và đường thẳng Tìm điểm N ∈ ∆ : NA − NB ∆ : x − 2y + 3 = 0 đạt giá trị lớn nhất? Bài 4 Cho hai điểm A ( 1;2 ) ; B ( 0; −1) và đường thẳng Tìm M ∈∆ . GIANG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÌM HIỂU BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1 TRONG MẶT PHẲNG OXY BỘ MÔN TOÁN HỌC GIÁO VIÊN: ĐÀO QUANG BÌNH ĐƠN VỊ: TỔ TOÁN TIN – THPT VĂN GIANG Năm học 2013-2014 MỞ ĐẦU 2 1 cực trị trong hình học giải tích. 5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong. pháp giải bài toán cực trị trong hình học giải tích. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán học ở trường phổ thông. Đối tượng: Các phương pháp giải bài toán