Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức là một trong những bài toán khó. Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các đề thi là khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là khó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiều yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường phổ thông Đối tượng: Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 5. Giới hạn và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất được giảng dạy tại trường THPT Văn Giang trong 02 năm học 2011-2012; 2012-2013. 6. Giả thuyết khoa học Hiện nay việc tiếp cận các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn một số hạn chế (tài liệu tham khảo, giảng dạy). Nếu áp dụng SKKN của tác giả một cách linh hoạt, phù hợp thì hiệu quả giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất sẽ cao hơn. 7. Phương pháp nghiên cứu 2 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Phương pháp thống kê Toán học 8. Cấu trúc của sáng kiến kinh nghiệm Mở đầu Nội dung chính Kết luận Tài liệu tham khảo. NỘI DUNG I. Cơ sở lý luận Trong quá trình xử lý các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ta cần sử dụng một số kiến thức: định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng cách…. 1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai. 3 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Cho tam thức bậc hai ( ) ( ) 2 ax ; 0f x bx c a= + + ≠ . Có 2 4b ac∆ = − . Nếu 0 ∆ < thì ( ) . 0a f x x R> ∀ ∈ Nếu 0 ∆ = thì ( ) . 0 2 b a f x x a > ∀ ≠ − Nếu 0 ∆ > thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 . 0 ; ; . 0 ; a f x x x x a f x x x x > ∀ ∈ −∞ ∪ +∞   < ∀ ∈   ( 1 2 x x< là hai nghiệm của tam thức bậc hai). 2. Các tính chất của Bất đẳng thức. Điều kiện Nội dung a b a c b c < ⇔ + < + 0c > a b ac bc < ⇔ < 0c < a b ac bc < ⇔ > a b a c b d c d <  ⇒ + < +  <  0 0 a b ac bd c d < <  ⇒ <  < <  2 1 2 1 * 2 2 * ; 0 ; n n n n a b a b n N a b a b n N + + < ⇔ < ∈ < < ⇒ < ∈ 3 3 0 a b a b a b a b < < ⇔ < < ⇔ < 3. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (AM-GM) ; , 0. 2 a b ab a b + ≥ ∀ ≥ 4 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = . 4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Cho hàm số ( ) f x xác định trên tập D. Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ( ) f x trên D nếu ( ) ( ) ( ) ; ax f x : 0 0 f x M x D M M D x D f x M      ≤ ∀ ∈ = ∃ ∈ = Giá trị m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) f x trên D nếu ( ) ( ) ( ) ; min f x : 0 0 f x m x D m D x D f x m      ≥ ∀ ∈ = ∃ ∈ = Đối với hàm hai biến, ba biến…ta cũng có định nghĩa tương tự. II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phương pháp phương trình bậc hai. Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ( ) A f x= ; trên tập D. Lời giải Gọi 0 A là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải tồn tại 0 x D∈ sao cho ( ) 0 0 f x A= ; điều đó chứng tỏ phương 5 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - trình ( ) 0 0f x A− = có nghiệm trên D. Ta đi tìm điều kiện để phương trình ( ) 0 0f x A− = có nghiệm trên D; từ đó tìm được giá trị lớn nhất; nhỏ nhất. Trong nhiều bài toán phương trình ( ) 0 0f x A− = có dạng là phương trình bậc 2. Ở phương pháp này ta cũng phải hạn chế đó là phương trình ( ) 0 0f x A− = có dạng phương trình bậc 2. Ta xét một số ví dụ sau: Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất; nhỏ nhất của biểu thức 2 1 x y x = + Lời giải Tập xác định D R = Gọi 0 y là một giá trị của biểu thức Chứng tỏ phương trình ( ) 2 0 0 0, 1y x x y− + = có nghiệm. Nhận xét: Đối với phương trình 2 ax 0bx c+ + = có điều kiện 2 2 0a b+ ≠ thì phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi 2 4 0b ac− ≥ Phương trình ( ) 1 có nghiệm 2 0 0 1 1 1 4 0 2 2 y y⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤ Nhận thấy khi 1 1 1 ; 1 2 2 x y x y= ⇒ = = − ⇒ = − 6 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Vậy 1 1 min ; axy 2 2 y M= − = Với cách làm tương tự ta có thể vận dụng vào một số bài sau; học sinh có thể tự ra đề cho chính mình và các bạn trong lớp. Bài 2. Tìm min; max ( ) 2 2 2 2 min 3 2 2; axy 3 2 2 2 2 x x y y m x x − + = = − = + + + Bài 3. Tìm min; max ( ) 2 2 8 7 min 1; axy 9 1 x x y y m x − + = = − = + 2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai. Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 – 2006) có đề toán: Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 2 2 x y x y xy+ − − − . Lời giải 1 Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức. 2 2 x y x y xy m⇒ + − − − ≥ ( ; )x y R R∀ ∈ × 2 2 ( 1) 0x y x y y m⇒ − + + − − ≥ ( ; )x y R R∀ ∈ × Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì: 2 2 ( 1) 0x y x y y m− + + − − ≥ x R∀ ∈ 7 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Suy ra: 2 3 6 1 4 0 x y y m∆ = − + + + ≤ với y R∀ ∈ Suy ra: ' 12 12 0 y m∆ = + ≤ 1m ⇔ ≤ − Nếu m < -1 thì: ' 0 y ∆ < Do đó 0 x ∆ < Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu thức A Nếu m = -1 thì A 1≥ − . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1. Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1. Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích biểu thức A = B + (-1)? Trong đó B 0 ≥ và B = 0 khi x = y = 1 Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau: 3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc trừ một hằng số. Lời giải 2 A = 2 2 2 1 2 1 1 1x x y y x y xy− + + − + + + − − − . A = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(x-1) –y(x-1) -1 8 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - A = (x-1) 2 + (y-1) 2 – (x-1)(y-1) – 1 A = 2 2 1 3( 1) 1 1 1 2 4 y y x − −   − − + − ≥ −  ÷   Đẳng thức xảy ra 1x y⇔ = = Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1. Với cách làm tương tự như trên ta có thể xử lý thêm bài tập sau Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: B = 2 2 x y xy x y+ + − − Hướng dẫn: Cách 1: Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai. Cách 2: Xét biểu thức ( ) 2 3 1 3 2 9 3 1 3 1 3 3 2 4 y B x y −   = − + + − − ≥ −     Khi đó: min 1 3 B =− khi 1 3 x y= = Bình luận : Bất đẳng thức 2 0a a R≥ ∀ ∈ được vận dụng khá nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Bài 6. Tìm max ( ) 2 2 2 5 4 2 ; axP 3P x y xy x m= − − − + = Bài 7. Tìm min 2 2 9 2 6 12 45; min 5 P x xy y x P   = − + − + =  ÷   9 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - 4. Sử dụng tính tương giao giữa đường thẳng và đường tròn ; hình tròn để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dạng : ax + by;f = trong đó ;x y thoả mãn điều kiện cho trước ;a b là các hằng số. Bài 8. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2F x y= − với điều kiện 2 2 5x y+ = . Lời giải Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là 5 . Ký hiệu hình tròn là ( ) C Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có dạng phương trình đường thẳng. Gọi 0 F là một giá trị của biểu thức với ;x y thoả mãn: 2 2 5x y+ = Khi đó giữa đường thẳng ∆ có phương trình 0 2 0x y F− − = và đường tròn ( ) C phải có điểm chung. Điều kiện đó tương đương với: ( ) ; 5d O ∆ ≤ 0 0 0 5 5 5 5 5 F F F − ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ 10 [...]... - Bài 29 Cho Tìm x, y, z > 0 : x 2 + xz + z 2 = 4 giá trị nhỏ P = x 2 − xy + y 2 + y 2 − yz + z 2 ; Bài 30 Cho Tìm nhất của nhất của ( min P = 2 ) a, b, c, d > 0 : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 5 giá trị lớn P = 5 − a − 2b + 5 − c − 2d + 5 − ac − bd 7 Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả... và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F= 3 x+ y 2 biết rằng 3x 2 + 2 y 2 = 1 Bài 13 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x+ y 2 2 biết rằng ( x − 2 ) + 8 ( y + 3) = 8 Bài 14 Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hệ 3 x + 4 y = m  2 2 x + y = 9 có nghiệm? Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất có dạng F = x2 + y 2 và điều kiện 14 x; y thoả mãn: Sáng kiến kinh nghiệm... kiện đầu bài cho là : mx 2 + ny 2 = r ; ( m, n, r > 0 ) thì ta có cách đổi biến : x= n z m và khi đó sẽ biến Elip về đường tròn có phương trình y2 + z2 = r n ;F =a z + by n m Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với những số liệu khác nhau Bài 11 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x− y biết rằng x2 y2 + = 1 4 9 Bài 12 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của... Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 + 2 x +y xy 2 20 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Bài 22 Cho biểu thức: P= Bài 23 Cho x, y > 0; x + y = 1 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của 3 2 + + 4 xy 2 x +y xy 2 a, b, c > 0; a 2 + b 2 + c 2 = 1 của biểu thức: P= Hãy tìm giá trị nhỏ nhất a b c + 2 + 2 2 2 b +c c +a a + b2 2 Bài 24 Cho tam giác... vậy với biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng x2 + y 2 = R2 và điều kiện là F=a.x+b.y ; ta có thể khái quát cách giải Điều kiện của bài toán có thể điều chỉnh là: x2 + y 2 ≤ R2 khi đó cách giải vẫn tương tự Bài 9 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = 3x + 4 y với điều kiện 2 2 2   x − ÷ + ( y − 2 ) ≤ 25 3  Lời giải Gọi F0 là một giá trị của biểu thức với... Một số bài tập vận dụng: Bài 26 Cho a; b; c ∈ [ 0;2] ; a + b + c = 3 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a 2 + b2 + c 2 Q = a3 + b3 + c3 Bài 27 Cho a; b; c ∈ [ 1;3] ; a + b + c = 6 Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a 2 + b2 + c 2 6 Phương pháp hình học, vector, toạ độ Trong quá trình sử dụng phương pháp hình học, vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau: r r r r u+v ≤ u + v;... Khi đó bản thân giáo viên và học sinh sẽ có những niềm vui nho nhỏ! Các em cũng thấy được cần phải học Cách thay vì học Cái và tạo được phương pháp tự học cho các em Trong các Bài 8 ; Bài 9 khi điều kiện đã cho của đầu bài có sự thay đổi; chẳng hạn điều kiện của biến thoả mãn phương trình của một Elip Như vậy ta lại có một loạt bài toán tương tự Bài 10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu... nhiên bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vẫn luôn là bài toán gây những khó khăn nhất định cho thầy và trò trong quá trình giảng dạy và học tập bộ môn Toán học Việc tìm hiểu các phương pháp giải toán cực trị đòi hỏi chúng ta luôn luôn cập nhật và đổi mới Những tìm hiểu của cá nhân tôi có lẽ không phủ hết được các dạng loại (ví như sử dụng tính tương giao ta có thể mở rộng cho không gian... giá trị nhỏ nhất a b c + 2 + 2 2 2 b +c c +a a + b2 2 Bài 24 Cho tam giác ABC nhọn Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= 1 1 1 + + cosA cosB cosC Kỹ thuật 2 Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội) Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn nhất và số nhỏ nhất Bài 25 Cho a, b, c ∈ [ 0;1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= a b c + + + ( 1 − a) ( 1 − b) ( 1 − c) b + c +1 c + a +1 a +... nhất, giá trị nhỏ nhất đã được tác giả sử dụng trong giảng dạy chuyên đề “Cực trị cho học sinh các lớp 10A, 11M trường THPT Văn Giang năm học 2012-2013 Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài kiểm tra các em, qua phỏng vấn Đa số các em được hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp giải toán cực trị Điểm Lớp 10A 11M 4 5 6 7 8 9 10 6 8 6 5 5 5 10 12 9 10 5 0 0 0 24 Tổng số bài 44 37 Sáng . định nghĩa tương tự. II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phương pháp phương trình bậc hai. Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức ( ) A f. các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang - Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá. nói riêng và chất lượng giáo dục nói chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về “Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11 . 2. Mục đích nghiên