Chương 5. DẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 5.1. Tóm tắt lý thuy ế t 5.1.1. Các định ngh ĩ a Xét mặt cắt ngang có diện tích A . Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt ngang lấy vi phân diện tích Da. 1. Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: S x = ∫ ( A) ydA (5.1) Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox: S y = ∫ ( A) xdA (5.2) Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài 3 ], giá trị của nó có thể là d ươ ng, bằng 0, hoặc âm. 2. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox I x = ∫ ( A) y 2 dA (5.3) Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox I y = ∫ ( A) x 2 dA (5.4) d ươ ng Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài 4 ], giá trị của nó luôn luôn 3. Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một điểm ) I p = ∫ ( A) ρ 2 dA = I x + I y (5.5) Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài 4 ], giá trị của nó luôn luôn d ươ ng 4. Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một hệ trục ) I xy = ∫ ( A) xydA (5.6) A A Đơn vị của mô men quán tính ly tâm là [chiều dài 4 ], giá trị của nó có th ể là dương, bằng 0, hoặc âm. 5.1.2. Các khái ni ệ m 1. Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của di ệ n tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0. 2. Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm 3. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0. 4. Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là h ệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang. 5.1.3. Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn h ệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(x C , y C ) trong h ệ trục này. Ta có: S x = y C A ; y C = S x A (5.7) Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản A i với tọa độ trọng tâm mỗi hình đơn giản là C i ( x Ci ,y Ci ) trong hệ toạ độ ban đầu, thì: x = S y n ∑ x Ci A i = i=1 ; y = S x n ∑ y Ci A i = i=1 (5.8) C n ∑ A i i = 1 C n ∑ A i i=1 Chú ý: - Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt. - Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm. 5.1.4. Công thức chuyển trục song song Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc tr ư ng hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy . Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox, O'v//Oy và: u = x + b ; v = y + a (5.9) u x v y x v y b v y dA O x a O u u Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là: S u = S x + a.A S v = S y + b.A I = I + 2aS + a 2 A (5.10) u x x I = I + 2bS + b 2 A v y y I uv = I xy + aS y + bS x + abA Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (5.8) có dạng đơn giản hơn: S u = a.A S v = b.A I = I + a 2 A I = I + b 2 A I uv = I xy + abA (5.11) Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái y) 5.1.5. Công thức xoay trục Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy . Hệ trục mới Ouv xoay một góc α so với hệ trục Oxy như hình vẽ ( α theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là: u = xcosα +ysinα ; v = − xsinα +ycos α (5.12) h h y v y dA u v u O x x Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là: S u = − S y sin α + S x cos α S v = S y cosα + S x sin α I + I I − I I = x y + x y cos2α -I u 2 2 xy sin 2 α (5.13) I + I I − I I = x y − x y cos2 α +I v 2 2 xy I − I I = x y sin 2 α + I cos2 α sin 2 α uv 2 xy 5.1.6. Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản a. Hình chữ nhật I x = bh 3 12 ; I y = hb 3 12 (5.14) b. Hình tròn 4 4 4 4 I = π R = π D = 0,1D 4 ; I = I = π R = π D = 0, 05D 4 (5.15) p 2 32 c. Hình tam giác bh 3 x y 4 64 I x = 12 y y (5.16) x x x b b D C y x x x x h h h b a x 5.2. Bài tập tự giải 5.2.1. Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây y y y x x 1 2 3 c b y x 4 a 5.2.2. Xác định các mô men quán tính trọng tâm tiết diện): I x , I x của các tiết diện sau (C là y C C C C C D x b 1 2 a y b a C C b C x 4 C 3 x 5.2.3. Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện 100 40 10 200 10a 20 150 20 20 a 2a R 4a 5.2.4. Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (đơn vị đo trên hình vẽ bằng mm) 30 100 20 100 150 120 5.2.5. Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép góc đều cạnh. Cho a=1cm. a a 100x100x8 160x160x10 5.2.6. Biết các mô men quán tính I x =365cm 4 , I y =117cm 4 và I u =281,6cm 4 của thép góc không đều cạnh L125×80×12mm. Tìm các trục chính và các mô men quán tính chính của mặt cắt ngang. y u 0 60 x 5.2.7. Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ. 10 0x 10 0x 10 N o 27 5.2.8. Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau. N o 20 N o 24 a a . nhật I x = bh 3 12 ; I y = hb 3 12 (5.14) b. Hình tròn 4 4 4 4 I = π R = π D = 0,1D 4 ; I = I = π R = π D = 0, 05D 4 (5.15) p 2 32 c. Hình tam giác bh 3 x y 4 64 I . y (5.16) x x x b b D C y x x x x h h h b a x 5.2. Bài tập tự giải 5.2.1. Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây y y y x x 1 2 3 c b y x 4 a 5.2.2. Xác định các mô men quán tính trọng. men tĩnh là [chiều dài 3 ], giá trị của nó có thể là d ươ ng, bằng 0, hoặc âm. 2. Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox I x = ∫ ( A) y 2 dA (5 .3) Mô men quán tính của