Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp Trần Minh Tú Đại học Xây dựng 1 Q Chương 8. Thanh chịu lực phức tạp 8.1. Các khái niệm chung 8.1.1. Chịu lực đơn giản Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu tác dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng l ự c: - Lực dọc: N z - Lực cắt : Q x , Q y - Mô men uốn: M x , M y - Mô men xoắn: M z Q x M x x N z y M z z M y y Hình 8.1 Trong những chương trước ta đã nghiên cứu các trường hợp chịu lực đơn giản (cơ bản) khi trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 (thanh chịu kéo-nén đúng tâm, thanh chịu xoắn thuần túy, thanh chịu cắt, chịu uốn thuần túy phẳng) hoặc 2 (thanh chịu uốn ngang phẳng) trong 6 thành phần ứng lực kể trên. 8.1.2. Chịu lực phức tạp Thực tế ta thường gặp những trường hợp chịu lực phức tạp – là tổ h ợ p những trường hợp chịu lực đơn gi ả n - Uốn xiên: uống ngang phẳng đồng thời trong hai mặt ph ẳ ng - Uốn và kéo (nén) đồng th ờ i - Uốn và xoắn đồng th ờ i - Chịu lực tổng quát a. Phư ơ ng pháp tính • Để giải quyết các bài toán chịu lực phức tạp ta sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng - Nếu trên một thanh chịu tác dụng của một hệ ngoại lực thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị trong thanh là tổng thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị do từng thành phần ngoại lực gây ra riêng r ẽ . • Điều kiện để sử dụng được nguyên lý độc lập tác dụng: M M + Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi (quan hệ ứng suất - biến d ạ ng là bậc nh ấ t. + Biến dạng và chuyển vị của thanh là bé • Trong các bài toán chịu lực phức tạp ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt b. Qui ướ c chiều dươ ng các thành phần ứng lự c: - N z >0: đi ra khỏi mặt c ắ t - M x >0: căng thớ về phía d ươ ng của trục y M x - M y >0: căng thớ về phía d ươ ng của trục x z x N z - M z >0: nhìn vào mặt cắt thấy quay y z thuận chiều kim đồng hồ y Hình 8.2 8.2. Uốn xiên 8.2.1. Định ngh ĩ a Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mặt cắt ngang tồn tại đồng thời hai thành phần ứng lực là các mô men uốn M x , M y nằm trong các mặt quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang (hình 8.3a). F 1 F F F 1 x F F 2 2 x y a b c a b y (a) ( b) Hình 8.3 Định nghĩa khác: Thanh chịu uốn xiên là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một thành phần nội lực là mômen uốn M n ằ m trong mặt phẳng chứa trục z của thanh nhưng không trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt phẳng ngang (hình 8.3b). - Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh z z z z - Đường tải trọng: giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang (đi qua gốc toạ độ và vuông góc với phương của vectơ mô men tổng) - Vec tơ mô men có chiều được xác định theo qui tắc vặn nút chai §uêng t¶ i träng M x x M M y y M Æ t ph¼ng t¶ i träng Hình 8.4 8.2.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Gọi α - góc giữa hướng của trục x và đường tải trọng (α<90 0 và α>0 khi chiều quay từ trụ x đén đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ - hình 8.4) Ta có: M x = M sin α M y = M cos α (8.1) Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng σ = σ ( M x ) + σ ( M y ) = M x M y + y x (8.2) I x I y Trong đó: - (x, y) là toạ độ điểm tính ứng suất trên mặt cắt ngang - M x , M y – các thành phần ứng lực tại mặt cắt ngang đang xét - I x , I y – các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện. Trong (8.1) phải chú ý dấu của toạ độ x, y theo chiều các trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang và dấu của M x , M y theo qui ước => Công thức kỹ thuật: σ = ± M x M y y ± x (8.3) I x I y σ σ Trong (8.3) , dấu (+) hay dấu (-) trước mỗi số hạng tùy thuộc vào tác dụng của Mx, My gây nên ứng sất kéo hay nén tại điểm đang xét. Hình 8.5 minh hoạ cách phân vùng ứng suất pháp σ z lần lượt do M x , M y gây ra. Từ đây có thể suy ra ứng suất pháp tại điểm B(x B , y B ): σ = + M x y + M y x z B B I x I y σ min M x x z M y y B y x B z z σ ma x M x x x M y x x z y B y B y y σ mi n (a ) (b) B z σ ma x (c) Hình 8.5 8.2.3. Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất Nếu ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn bằng một vec tơ thì phương trình (8.2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích những đầu mút của vec tơ ứng suất - gọi là mặt ứng suất. Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hoà – quĩ tích những điểm có ứng suất pháp bằng không, phương trình có dạng: M M x y + y x = 0 I x I y (8.4) Có thể viết dưới dạng: M y y = − I x x => NHẬN XÉT: M x I y - Đường trung hoà là đường thẳng đi qua gốc toạ độ với hệ số góc (chiều dương qui ước như góc α - hình 8.6): M k = tan β = − y M x I x = − I y 1 I x tan α I y (8.5) §uêng t¶i träng §uêng trung hoà x x y y Hình 8.6 - Những điểm cùng trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có ứng suất pháp như nhau => Chuyển việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong không gian bằng việc vẽ biểu đồ ứng suất pháp trong mặt phẳng một cách đơn giản (hình 8.7): a. Tìm trọng tâm C của mặt cắt ngang, xác định hệ trục quán tính chính trung tâm K y K σ ma x §uêng trung hoà x x x K N y N N y σ mi n Hình 8.7 b. Tính các giá trị nội lực M x , M y tại mặt cắt ngang đang xét và các đặc trưng hình học mặt cắt ngang I x , I y . c. Dựng đường trung hoà với hệ số góc theo (8.5) d. Kéo dài đường trung hoà, từ điểm K xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo, và điểm N xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén, kẻ hai đường thẳng song song với đường trung hoà. Kẻ đường vuông góc với đường trung hoà là đường chuẩn I I k k n n x y W W k M I I e. Tính các giá trị ứng suất cực trị tại K và N theo (8.3) và dựng các tung độ tương ứng . 8.2.4. Ứng suất pháp cực trị và điều kiện b ề n Sau khi dựng đường trung hoà, ta xác định được toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo và vùng chịu nén, từ đó xác định ứng suất pháp cực trị theo: σ = + M x M y max + y x max z max k k x y σ = − M x M y max − y x max (8.6) z min n n x y trong đó - ( x max , y max ) - ( x max , y max ) CHÚ Ý: là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén - Với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, mặt cắt có 2 trục đối xứng nội tiếp được trong hình chữ nhật, thì các điểm có ứng suất pháp cực trị chỉ ở các điểm góc nên: σ = σ = M x + M y (8.7) z max z min x y - Với mặt cắt ngang tròn hay đa giác đều, thanh chỉ chịu uốn phẳng do M 2 + M 2 u vậy σ z max = σ z min = = W W (8.8) dạng: u x Trên mặt cắt nguy hiểm của thanh ( M x , M y cùng lớn), điều kiện bền có σ z max ≤ [ σ ] ⎫ ⎪ - Vật liệu dòn: σ ≤ [ σ ] ⎬ (8.9) z min n ⎪ ⎭ - Vật liệu dẻo: max { σ z max , σ z min } ≤ [ σ ] (8.10) d ạ ng: Chẳng hạn với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang chữ nhật điều kiện bền có M x + M y ≤ [ σ ] (8.11) W x W y Từ điều kiện bền (8.11) ta rút ra ba bài toán cơ b ả n: • Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước mặt cắt ngang và vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8.11) có thỏa mãn hay không? • Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang: vì có hai ẩn Wx, Wy nên ta giải theo phương pháp đúng dần. Điều kiện bền (8.11) có thể vi ế t dưới d ạ ng: 1 ⎛ W ⎜ M x + W x W ⎞ M y ⎟ ≤ [ σ ] (8.12) x ⎝ y ⎠ • Chọn trước tỉ số W x W y theo kinh nghiệm (mặt cắt ngang chữ nh ậ t chọn W x = h , mặt cắt ngang chữ I chọn W x = 8 ÷ 10 , mặt cắt ngang W y b W y chữ [ chọn W x W y = 5 ÷ 7 ) sau đó tính W x . • Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể, t ả i trọng cho phép suy ra từ điều kiện b ề n. 8.2.5. Chuyển vị của dầm chịu uốn xiên G Gọi và f y là độ võng tại mặt cắt ngang bất kỳ do riêng Mx và My gây nên. Độ G võng toàn phần f G là tổng hình học của 2 2 f x và G f y , tức là: f = f x + f y (8.13) 8.3. Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời 8.3.1. Định ngh ĩ a Một thanh được gọi là chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên mọi m ặ t cắt ngang của thanh tồn tại các thành phần ứng lực mô men uốn M x , M y và l ự c dọc N z (hình 8.8a). Ví dụ: Ống khói chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân Q, vừa ch ị u uốn do tải trọng q (hình 8.8b). Cột điện chịu sức căng F của dây cáp điện có z z z z z x phương không vuông góc với trục cột, thành phần vuông góc với trục cột F 1 gây uốn và thành phần F 2 theo phương trục cột gây nén đúng tâm (hình 8.8c). F 1 F 2 F q M x N z x Q z M y y B y (a) (b) (c) Hình 8.8 8.3.2. Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang Ứng suất pháp tại điểm B(x, y) trên mặt cắt ngang có các thành phần ứ ng lực N z , M x , M y tính theo công th ứ c: σ = σ ( N z ) + σ ( M x ) + σ ( M y ) = N z + M x M y + y x (8.14) Và theo công thức kỹ thu ậ t: A I x I y σ = ± N z ± M x M y y ± x (8.15) A I x I y Việc chọn dấu trước mỗi số hạng tùy thuộc vào các thành phần nội l ự c gây ra ứng suất kéo hay nén tại điểm tính ứng su ấ t. 8.3.3. Kéo (nén) lệch tâm Trường hợp riêng của bài toán uốn và kéo (nén) đồng thời là bài toán kéo (nén) lệch tâm Ví dụ: Trường hợp chịu lực của trục giá cần c ẩ u P 1 P 2 P 3 P 4 Hình 8.9 [...]... =20 cm; F = 25 kN ; trọng lợng riêng vật liệu cột =18 kN/m3 Bài 10 : Cho một cột chịu lực nh hình vẽ Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên tiết diện nguy hiểm của cột trong trờng hợp: F 1 Kể đến trọng lợng bản thân cột 2 Không kể đến trọng lợng bản thân cột x y b H Biết b= 20cm; h=30 cm; F2 = 15 kN; H=2,5m; Vật liệu cột có trọng lợng riêng = 18 kN/m3 3F Bi 11 : Mt thanh thộp cú b rng a, b dy b... hiểm của cột q H Biết F2 = 5kN; q = 1, 5kN/m ; b = 15 cm ; h = 20cm ; H = 2,5 m; Bỏ qua trọng lợng bản thân của cột F Bài 14 : Cột chịu nén lệch tâm nh hình v 1 Xác định ví trí đờng trung hoà ở mặt cắt ngang nguy hiểm 2 Kiểm tra điều kiện bền cho cột Biết b=22 cm ; h = 10 cm; Độ lệch tâm e =15 cm ; F= 5kN; Vật liệu có []k=2 kN/cm 2; []n=8 kN/cm 2 Bỏ qua trọng lợng cột Bài 16 : Cột tiết diện chữ nhật rỗng có... bề dày là hằng số, chịu lực nh trên hình vẽ 1. Vẽ các biểu đồ lực dọc và mô men uốn nội lực của cột 2 Xác định ứng suất pháp cực trị trên tiết diện chân cột F2 q h H Biết F1 = 15 kN; F2 = 10 kN; q=5 kN/m; h = 20cm; b = 10 cm; H = 2,5m; =1, 5cm (Bỏ qua trọng lợng bản thân cột) F1 Bit trng lng riờng ca ct l = 20 kN/m3; F = 50 kN; a = 0 ,15 m; H = 1m H F a 3H Bài 17 : Cho cột có kích thớc và chịu tải trọng... thỏi ng sut phng iu kin bn ca cỏc phõn t ny l: - Theo thuyt bn ng sut tip ln nht (Thuyt bn th 3) t3 = 2 2 + 4 = 2 M 2 + My2 M 1 x 4 z2 = M 2 + M 2y + M 2 z [] + x 2 Wx W x Wx (8.24) - Theo thuyt bn th nng bin i hỡnh dỏng (Thuyt bn th 4) t4 = 2 + 3 2 1 =W x 3 2 2 2 M x + M y + M z [] 4 (8.25) - Theo thuyt bn Mohr : 1 tMo = 2 = + 1 + 2 2 + 4 2 1 1 1 2 M x2 + M y + + 2 Wx 2 M 2x + M 2y + M z... ln? Nu khoột i xng thỡ ng sut phỏp ln nht thay i ra sao? Bài 12 : Cột có tiết diện chữ nhật kích thớc b ì h chịu lực nh trên hình vẽ 2F 1 Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực Nz, Mx, My 2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại tiết diện chân cột Cho biết b= 15 cm; h= 20 cm; F2 =10 kN; H= 3 m; = 20kN/m3 b F 1, 5F b H Bài 13 : Cho một cột chiu lực nh hình vẽ 1 Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên mặt cắt ngang... [ ] = 1, 2kN / cm2 Bài 3: Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu tải trọng nh trên hình vẽ 1 Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx và My 2 Xác định đờng kính D theo điều kiện bền của dầm Biết [] = 16 kN/cm2; D/d = 1, 2; a = 1m; ; F =10 kN x 2F 2F F F a F a d D a B i 4: Xỏc nh giỏ tr max , min , v trớ ng trung ho, v biu ng sut phỏp ti mt ct ngang nguy him ca dm chu cú liờn kt, kớch thc, v chu ti trng nh hỡnh v a a Bài 5:... thanh N - lc lch tõm z N O y K(xK, yK) - to im t lc lch tõm K x K x K OK = e - lch tõm Di N t K v trng tõm O ca mt ct ngang ta c 3 thnh phn ng lc: - Lc dc Nz Hỡnh 8 .10 - Mụ men un Mx=N.yK, v My=N.xK Tng t nh (8 .14 ) ta cú cụng thc tớnh ng sut phỏp: z= N Ny K Nx y+ K x + A Ix Iy (8 .16 ) t N/A lm tha s chung v ký hiu rx, ry l cỏc bỏn kớnh quỏn tớnh trung tõm: rx 2 = Iy Ix ; ry 2 = ta c: A A N yK x 1 +... 8 .11 a), hoc cỏc trc truyn ng (hỡnh 8 .11 b), Ta ch xột cỏc thanh cú mt ct ngang trũn v hỡnh ch nht A F x C B z y Q2 Q1 T 1 t T 2 1 t 2 (b) (a) Hỡnh 8 .11 8.4.2 Un v xon ng thi thanh mt ct ngang trũn 1/ ng sut: Hp hai thnh phn Mx v My, ta s c mụ men un ton phn: (8. 21) M2x + M 2y Mu = Hỡnh 8 .12 Mt phng V ca nú cng l mt phng quỏn tớnh chớnh trung tõm ca mt ct ngang Nh vy thanh chu un thun tuý ng thi vi xon... x y 1 + K y + K x =0 2 rx2 ry (8 .18 ) x y + =1 a b (8 .19 ) hay vi a = ry2 xK ; b = rx2 yK (8.20) Tớnh cht ng trung ho: - ng trung hũa khụng i qua gúc phn t cha im t lc (a ngc du xK, b ngc du yK) im t lc nm trờn trc no thỡ ng trung ho song song vi trc cũn li - V trớ ng trung ho ch ph thuc vo to im t lc K v 2 2 hỡnh dng kớch thc ca mt ct ngang ( rx , yr ) m khụng ph thuc vo giỏ tr lc lch tõm - Khi... y (8.29) Theo thuyt bn Mohr tMo (B) = 2 1 My 2 M z 1 + M y + + W 4 W Wy 2 xoan y 2 (8.30) - i vi phõn t im C (TTS phng) Theo thuyt bn ng sut tip ln nht (Thuyt bn 3) 2 t3 (C) = M M z x + 4 Wx Wxoan 2 (8. 31) Theo thuyt bn th nng bin i hỡnh dng (Thuyt bn 4) 2 t4 (C) = M M z x + 3 Wx Wxoan 2 (8.32) Theo thuyt bn Mohr tMo = 1 M x 1 + + 2 2 Wx 2 M z M x + 4 Wx Wxoan . với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang chữ nhật điều kiện bền có M x + M y ≤ [ σ ] (8 .11 ) W x W y Từ điều kiện bền (8 .11 ) ta rút ra ba bài toán cơ b ả n: • Bài toán kiểm tra bền: Biết. kiện bền có σ z max ≤ [ σ ] ⎫ ⎪ - Vật liệu dòn: σ ≤ [ σ ] ⎬ (8.9) z min n ⎪ ⎭ - Vật liệu dẻo: max { σ z max , σ z min } ≤ [ σ ] (8 .10 ) d ạ ng: Chẳng hạn với vật. và vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8 .11 ) có thỏa mãn hay không? • Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang: vì có hai ẩn Wx, Wy nên ta giải theo phương pháp đúng dần. Điều kiện bền