GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com M = qa 1 m m m a) P = 6qa P P = kN 2a P = qa m M = qa M = 15 kNm P = qa a 3a M = 16 kNm m ) 2a b q = kN/m ) c q a a q a m d ) q = 10 kN/m P = 20 kN P 2 1m m e) m m m H.2.1 f ) 2.2 Không cần tính phản lực, vẽ BĐNL dầm cho treân H.2.2 P = 2qa q 2a P = qa a 3a M = qa a q 4a a) b ) H.2.2 2.3 Vẽ biểu đồ nội lực H.2.3 P = kN qo = kN/m q A D B C 1 m m m a) a a b H.2.3 ) 2.4 Vẽ biểu đồ nội lực dầm tónh định treân H.2.4 M = qa 3a a a M = qa 3a H 2.4 Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực 23 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2.5 Vẽ biểu đồ nội lực cho hệ khung sau (H.2.5) q q P = ql q a 2q 0,75a a , q 0,75a l a , l l a) b H.2.5 ) 2.6 Vẽ biểu đồ lực dọc, mômen uốn, mômen xoắn cho khoâng gian (H.2.6) P = qa a P = qa q P = qa a a) Chương 2: Lý Thuyết Nội Lực q a H 2.6 2P b ) 24 http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương KÉO - NÉN ĐÚNG TÂM 3.1 KHÁI NIỆM ♦ Định nghóa: Thanh gọi chịu kéo hay nén tâm mặt cắt ngang Nz Y có thành phần nội lực lực dọc Nz Nz > hướng mặt cắt- Kéo y H 3.1 Nz < hướng vào mặt cắt- Nén Đây trường hợp chịu lực đơn giản Ta gặp trường hợp chịu lực trái chiều hai đầu dọc trục Thanh chịu kéo tâm (H.3.2a) hay chịu nén tâm (H.3.2b) P P P P a) b) H 3.2 Định nghóa chịu kéo nén t â ♦Thực tế : gặp cấu kiện chịu kéo hay nén tâm như: dây cáp cần cẩu (H.3.3a), ống khói (H.3.3b), dàn (H.3.3c) b P Q a) b) c) H 3.3 Một số cấu kiện chịu kéo nén tâm http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 3.2 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG Xét thẳng chịu kéo (nén) tâm (H.3.3a) mặt cắt ngang CC DD trước chịu lực cách đoạn dz vuông góc trục Các thớ dọc đoạn CD (như GH) (H.3.3b) Khi chịu kéo (nén), nội lực mặt cắt ngang DD hay mặt b cắt ngang khác Nz = P (H.3.3c) dãn ra, mặt cắt DD di chuyển dọc trục z so với mặt cắt CC đoạn bé δdz (H.3.3b) C D C P D Nz P Nz c) a) D C D’ H G H’ x D’ C dF D Nz σz dz b) z δdz d) y Ta thấy biến dạng thớ dọc GH HH’ không đổi, mặt cắt ngang suốt trình biến dạng phẳng vuông góc với trục thanh, điều cho thấy điểm mặt cắt ngang có ứng suất pháp σz không đổi (H.3.3d) σ δdz Ta có: ∫ σ z dF = N z ( ε z = εz = z ) dz E F Neân σz = const ta được: σ z F = N z N σz = z (3.1) hay: F với: F- diện tích mặt cắt ngang 3.3 BIẾN DẠNG CỦA THANH CHỊU KÉO (NÉN) ĐÚNG TÂM 1- Biến dạng dọc http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Biến dạng dọc trục z đoạn dài dz δdz (H.3.3b) δdz Như biến dạng dài tương đối đoạn dz là: ε z = dz Theo định luật Hooke ta có: (a) σz (b) E đó: E - số tỷ lệ, gọi mô đun đàn hồi kéo (nén), ⎡ ⎤ lực , đơn vị N/m2 , xác phụ thuộc vào vật liệu có thứ nguyên ⎢ 2⎥ ⎣ (chiều dài) ⎦ định từ thí nghiệm Bảng 3.1 cho trị số E số vật liệu εz = E (kN/cm2) Vật liệu μ Thép (0,15 ÷ 0,20)%C x 104 0,25 ÷ 0,33 Thép lò xo 2,2 x 104 0,25 ÷ 0,33 Thép niken 1,9 x 104 0,25 ÷ 0,33 Gang xám 1,15 x 104 0,23 ÷ 0,27 Đồng 1,2 x 104 0,31 ÷ 0,34 Đồng thau (1,0 ÷1,2)104 0,31 ÷ 0,34 Nhôm (0,7 ÷ 0,8)104 0,32 ÷ 0,36 Gỗ dọc thớ (0,08 ÷ 0,12)104 Cao su 0,8 0,47 T Từ (a) tính δdz, (b) vào, ta biến dạng dài dọc trục đoạn dz laø: δdz = ε z dz = σz E dz = Nz dz EF (c) Suy biến dạng dài (dãn kéo, co nén) đoạn dài L: ΔL = ∫ δdz = ∫ L L Nz dz EF (3.2) Nếu E, Flà số Nz không đổi chiều dài L thanh, ta được: ΔL = Nz NzL ∫ dz = EF EF L (3.3) http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Nếu gồm nhiều đoạn chiều dài Li đoạn Nz, E, A không đổi thì: ΔL = ∑ ΔL i = ∑ N zi L i E i Fi (3.3’) Tích số EF gọi độ cứng chịu kéo hay nén tâm 2- Biến dạng ngang Theo phương ngang có biến dạng, ta chọn z trục thanh, x, y phương vuông góc với z (H.3.3d) Nếu ta gọi εx εy biến dạng dài tương đối theo hai phương x y, ta có quan hệ sau: ε x = ε y = −νε z (3.4) đó: ν - hệ số Poisson, số vật liệu Dấu (–) biểu thức biến dạng theo phương dọc ngang ngược Thí dụ 3.1 Vẽ biểu đồ dọc Nz tính ứng suất biến dạng dài toàn phần H.3.4a cho biết E = 2.104 kN/cm2; F1 = 10 cm2; F2 = 20 cm2 10 kN F2 30 cm IV 30 cm III 50 cm II 10 kN 20 kN P2=40k N 50 cm F1 I 30 kN P1=30kN a) H.3.4 Nz b) Giải Dùng phương pháp mặt cắt ta dễ dàng vẽ biểu đồ Nz (H.3.4b) Từ ta tìm ứng suất mặt cắt ngang đoạn là: http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com σI = σ III N zI 30 = = kN/cm , F1 10 σ II = N zIII − 10 = = = −0,5 kN/cm , F2 20 σ IV N zII − 10 = = −1 kN/cm F1 10 N zIV 10 = = = 0,5 kN/cm F2 20 Để xác định biến dạng dọc toàn phần biến dạng dài tuyệt đối ta sử dụng công thức (3.3’) áp dụng cho bốn đoạn − 10 × 30 30 × 50 − 10 × 50 10 × 30 ΔL = + + = 0,005 cm + 4 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 20 × 10 × 20 Biến dạng dọc mang dấu + nghóa bị dài Ta tính biến dạng phương pháp côïng tác dụng 20x30 30 × 100 + 30x60 - 40x60 − 40x50 ΔL= = 0,005cm + + + + 4 4 × 10 × 10 × 10 × 20 × 10 × 10 × 10 × 20 2x10 x20 3.4 ĐẶC TRƯNG CƠ HỌC CỦA VẬT LIỆU Khái niệm Vấn đề cần phải so sánh độ bền, độ cứng vật liệu chịu lực với ứng suất biến dạng vật liệu loại biết Ta cần thí nghiệm kéo, nén đề tìm hiểu tính chất chịu lực trình biến dạng từ lúc bắt đầu chịu lực đến lúc phá hỏng loại vật liệu khác Người ta phân vật liệu thành hai loại bản: Vật liệu dẻo, vật liệu dòn Như có bốn thí nghiệm sau: d0 Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo (thép) 1- Mẫu thí nghiệm Theo tiêu chuẩn TCVN 197 - 85 L (H.3.5) H.3.5 Chiều dài Lo thí nghiệm đoạn đường kính do, diện tích Fo 2- Thí nghiệm Tăng lực kéo từ đến mẫu đứt, với phận vẽ biểu đồ máy kéo, ta nhận đồ thị quan hệ lực kéo P biến dạng dài ΔL mẫu H.3.6 Ngoài sau mẫu bị đứt ta chắp mẫu lại, mẫu có hình dáng H.3.7 3- Phân tích kết Quá trình chịu lực vật liệu chia làm ba giai đoạn OA: đàn hồi, P ΔL bậc nhất, Lực lớn lực tỉ lệ Ptl σ tl = Ptl Fo (3.5) http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com AD: giai đoạn chảy, lực kéo không tăng biến dạng tăng liên tục Lực kéo tương ứng lực chảy Pch ta có giới hạn chảy σ ch = Pch Fo (3.6) DBC: giai đoạn củng cố (tái bền), tương quan lực P biến dạng ΔL đường cong Lực lớn lực bền PB ta có giới hạn bền σ b = Pb Fo (3.7) P B PB d 1, A C D Pch Ptl A L1 H.3.7 ΔL O H.3.6 Nếu chiều dài mẫu sau đứt (H.3.7) L1 diện tích mặt cắt ngang nơi đứt A1 ta có định nghóa đặc trưng cho tính dẻo vật liệu sau: L − L1 100% (3.8) Biến dạng dài tương đối (tính phần trăm):δ = Lo Độ thắt tỷ đối (tính phần traêm): ψ = Fo − F1 100 % Fo 4- Biểu đồ σ -ε (biểu đồ qui ước) Từ biểu đồ P-ΔL ta dễ dàng suy biểu đồ tương quan ứng suất σ z = P Fo biến dạng dài tương đối ε z = ΔL Lo Biểu đồ có hình dạng giống biểu đồ P - ΔL (H.3.8) Trên biểu đồ rõ σ tl , σ ch , σ b mô đun đàn hồi: E= σ = tanα ε σ B σb σch σtl C D A α Nếu kể đến biến đổi diện tích mặt cắt ngang ta có biểu đồ tương quan ε z ứng suất thực (đường nét đứt) Thí nghiệm kéo vật liệu dòn Biểu đồ kéo vật liệu dòn có dạng đường cong (H.3.9) Vật liệu giới hạn tỷ lệ giới hạn chảy mà có giới hạn bền (3.9) O ε H.3.8 P Pb Ptl Đường cong thực Đường qui ước O http://www.ebook.edu.vn H.3.9 ΔL Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com σb = Pb Fo (3-10) Tuy người ta qui ước giới hạn đàn hồi xem đồ thị quan hệ lực kéo biến dạng đường thẳng (đường qui ước) P Nén vật liệu dẻo Biểu đồ nén vật liệu dẻo H.3.10a Ta xác định giới hạn tỷ P lệ giới hạn chảy, mà P không xác định giới hạn bền phình ngang mẫu làm cho diện tích O a) mặt cắt ngang mẫu liên tục tăng lên Sau thí nghiệm mẫu có dạng hình trống (H.3.10c) d h b) ch tl ΔL c) H.3.10 d) Nén vật liệu dòn Đường cong tương tự biểu đồ kéo vật liệu dòn Pb Nghiên cứu thí nghiệm kéo nén vật liệu dẻo dòn, người ta thấy rằng: giới hạn chảy vật liệu dẻo kéo nén nhau, vật liệu dòn giới hạn bền kéo bé nhiều so với giới hạn bền nén 3.6 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI (TNBDĐH) 1- Khái niệm Xét chịu kéo làm việc giai đoạn đàn hồi (H.3.13a) Lực tăng dần từ đến giá trị P, dãn từ từ đến giá trị ΔL Bỏ lực, vị trí ban đầu Người ta nói công W ngoại lực phát sinh trình di chuyển chuyển hóa thành thể biến dạng đàn hồi U tích lũy làm cho đàn hồi sau không tác dụng lực P 2- Tính biến dạng đàn hồi A P + dP P ΔL biểu diễn P L H.3.13b Công lực P chuyển dời ΔL ΔL O P a) C ΔL ΔL dΔL b) http://www.ebook.edu.vn H.3.13 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com dW = (P + dP)dΔL = PdΔL + dPdΔL= PdΔL Suy công lực kéo P tăng từ đến P biểu thị diện tích tam giác OAC PΔL W= PΔL P L Công biến thành TNBD ĐH U: U=W= = (3.11) EF Gọi u TNBDĐH riêng (thế tích lũy đơn vị thể tích), ta có: U σ z2 σ z ε z = u= = (3.12) V 2E Xét đoạn có chiều dài dz có nội lực Nz (H.3.14): dU = N z2 dz EF Suy biến dạng đàn hồi đoạn dài L, có nội lực Nz là: N z2 dz U = ∫L dU = ∫L EF N z2 L Nz Khi đoạn không đổi ta có: U = (3.13) EF EF N zi L i Với nhiều đoạn dài Li ta có: U = ∑Ui = ∑ (3.13’) E i Fi Nz dz Thế biến dạng đàn hồi thường dùng để tính chuyển vị hệ Nz Ví dụ 3.2 Xác định chuyển vị đứng điểm đặt lực Cho E = 20000 kN/cm ; (H.3.15a) Cho L = 200 cm; P = 300 (KN); α = 30o ; F= 10 L L cm2 H.3.14 Giải B - Xác định nội lực Tách mắt A (H.3.15b) Dùng hai phương trình hình chiếu: ∑X = 0: NAB = NAC = N ∑Y = 0: 2Ncosα = P P suy ra: N= cos α a) C NAB NAC F F α ΔAC α ΔAB A K I A b) P P H 3.15 http://www.ebook.edu.vn Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí du ï3.7 Cho ABC tuyệt đối cứng liên kết khớp A treo dây CD có tiết diện F có chiều dài L hình vẽ 1/ Tính nội lực CD 2/ Tính [q] theo điều kiện bền CD Cho bieát [σ ] = 16 kN/cm2, L=2m F1= cm2 3/ Tính chuyển vị đứng điểm C Cho E = 20000 kN/cm2 4/ Bây thêm chống BH hay treo CH (nét chấm) Tính lại nội lực chống CD vàBH H D D F L EF M = 2qL q A 2qL 30 2L qL2 P=2ql B A C L 1.5EF B C A L L A L H L L/2 L/2 Cho q =10kN/m, L = 1m , F = 1.5cm , E=20000kN/cm , [σ ] = 16 kN/cm2 -Kiểm tra bền CD -Tính chuyển vị đứng điểm C http://www.ebook.edu.vn 13 GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1 NHỮNG KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT 4.1.1 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT (TTƯS)TẠI MỘT ĐIỂM Xét điểm K vật thể cân mặt cắt qua K, mặt cắt có ứng suất pháp σ ứng suất tiếp τ y P1 Các ứng suất thay đổi tùy vị trí K • mặt cắt (H.4.1) Định nghóa TTỨS: TTƯS điểm tập hợp tất cảû ứng suất mặt qua điểm ấý P2 τ σ P3 P4 x z H.4.1 Ứng suất điểm TTƯS điểm đặc trưng cho mức độ chịu lực vật thể điểm Nghiên cứu TTƯS tìm đặc điểm liên hệ ứng suất σ , τ, xác định ứng suất lớn nhất, nhỏ để tính toán độ bền hay giải thích, đoán biết dạng phá hỏng vật thể chịu lực 4.1.2 Biểu diễn TTƯS điểm y Tưởng tượng tách phân tố hình σ τ τ hộp vô bé bao quanh điểm K Các τ τ mặt phân tố song song với trục toạ σ độ (H 4.2) τ σ τ Trên mặt phân tố có chín z thành phần ứng suất: H.4.2 +Ba ứng suất pháp: σx , σy , σz Các thành phần ứng suất +Sáu ứng suất tiếp τxy , τyx , τxz , τzx , τyz , τzy , Ứng suất pháp σ có số phương pháp tuyến mặt có σ y yx yz xy zy z zx xz x Ứng suất tiếp τ có hai số: Chỉ số thứ phương pháp tuyến mặt cắt có τ, số thứ hai phương τ Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn x GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 4.1.3 Định luật đối ứng ứng suất tiếp Trên hai mặt vuông góc, mặt nầy có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ) mặt có ứng suất tiếp hướng vào cạnh ( hướng khỏi cạnh ), trị số hai ứng suất ( H.4.3) (4.1) ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; ⎮τxz⎮=⎮τzx⎮ ; ⎮τyz ⎮ =⎮τzy ⎮ TTỨS điểm thành phần ứng suất τ τ 4.1.4 Mặt chính, phương ứng suất Phân loại TTƯS Lý thuyết đàn hồi chứng minh điểm vật thể chịu lực tìm phân tố hình hộp vuông góc mà mặt phân tố có ứng suất pháp, mà ứng suất tiếp (H4.4a) Những mặt gọi mặt Pháp tuyến mặt gọi phương Ứng suất pháp mặt gọi ứng suất ký hiệu là: σ1 , σ2 σ3 Quy ước: σ1 > σ2 > σ3 Thí dụ : σ1 = 200 N/cm2; σ2 = −400 N/cm2; σ3 = −500 N/cm2 Phân loại TTƯS : - TTƯS khối : Ba ứng suất khác không (H.4.4a) a) b) c) H 4.4 Các loại trạng thái ứng suất - TTƯS phẳng: Hai ứng suất khác không (H.4.4b) - TTƯS đơn: Một ứng suất khác không (H.4.4c) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com TTƯS khối TTƯS phẳng gọi TTƯS phức tạp 4.2 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH 4.2.1 Cách biểu diễn – Quy ưóc dấu Cách biểu diển: y y σy τyx σx σy σy τxy σx σx K τxy z a) z σy τyx τyx σx x σx τyx α σxy τ σu x σ x σy a) u τuv b) b) τxy v H 4.5 TTỨS toán phẳng Xét phân tố (H.4.5a) Ứng suất mặt vuông góc với trục z không mặt mặt có ứng suất tiếp không Để dễ hình dung, ta biểu diễn phân tố xét hình chiếu toàn phân tố lên mặt phẳng Kxy (H.4.5b) Quy ước dấu: + σ > gây kéo ( hướng mặt cắt) + τ > làm cho phân tố quay thuận kim đồng hồ Hình 4.5b biểu diển ứng suất > (qui ước nầy phù hợp với toán thanh) 4.2.2 Ứng suất mặt cắt nghiêng Vấn đề: Xác định ứng suất mặt cắt nghiêng song song với trục z có pháp tuyến u tạo với trục x góc α (α > quay ngược chiều kim đồng hồ kể từ trục x ) (H.4.6a) Giả thiết biết ứng suất σx, σy τxy ♦ Tính σu τuv : Tưởng tượng cắt phân tố mặt cắt nghiêng nêu, mặt cắt chia phân tố làm hai phần, xét cân phần phân tố (H.4.6b) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y u σu y ds σu α σx α τxy dy dz α σx τxy v x τuv v τyx dx z x τ uv τyx u σy σy b) a) H.4.6 Ứng suất mặt nghiêng Trên mặt nghiêng có ứng suất σu τuv , chúng xác định từ phương trình cân tónh học * ∑U=0 ⇒ σ u dsdz − σ x dzdy cosα + τ xy dzdy sin α − σ y dzdx sin α + τ xy dzdx cosα = * ∑V=0 ⇒ τ uv dsdz − σ x dzdy sin α − τ xy dzdy cosα + σ y dzdx cosα + τ xy dzdx sin α = Kể đến: ⎮τxy ⎮ = ⎮τyx ⎮; dx = ds sinα ; dy = ds cosα, 1 (1 + cos 2α ); sin 2α = (1 − cos 2α ) 2 sin α cosα = sin 2α cos α = σu = ⇒ σx +σy τ uv = + + σx −σ y σx −σ y cos 2α − τ xy sin 2α (4.2a) sin 2α + τ xy cos 2α (4.2b) ♦ Tính σv : Xét mặt nghiêng có pháp tuyến v, vuông góc mặt có pháp tuyến u (H.4.7) Thay α (α + 90°) vaøo (4.2a) , ⇒ v o α + 90 σv τvu u τuv σu α ứng suất pháp tác dụng mặt có pháp x tuyến v: σv = σx +σy − σx −σ y cos 2α + τ xy sin 2α (4.3) Ứ H 4.7 ng suất mặt vuông góc Tổng (4.2a) (4.3), ⇒ Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com σu +σv = σ x +σ y (4.4) Biểu thức cho thấy, tổng ứng suất pháp tác dụng hai mặt vuông góc phân tố ứng suất phẳng điểm số không phụ thuộc vào góc α Đó Bất Biến Thứ Nhất ứng suất pháp Thí dụ 4.1 Thanh có diện tích cm2, chịu kéo với lực P = 40 kN Xác định ứng suất mặt cắt nghiêng góc 30o với mặt cắt ngang (H.4.8) Giải Ứng suất pháp mặt cắt ngang (Chương 3) σx = P 40 = = kN/cm F 30o Tách phân tố hình hộp bao điểm K nằm mặt cắt ngang Ta coùù: σ x = + kN/cm , σ y = τ uv = + + σx σx cos 2α = ( P = 40 kN v u σu hợp với trục với trục x (trục thanh) góc( +30o ) Từ (4.2) ⇒ σx τuv K P Mặt cắt nghiêng có pháp tuyến σn = u σu 30 σx τuv H.4.8 v ) + cos 2.30o = kN/cm 2 sin 2α = + sin 2.30o = + 3,46 kN/cm 2 4.2.3 Ứng suất - Phương - Ứng suất pháp cực trị 1- Ứng suất - phương ( 2) Ngoài mặt mặt biết vuông góc σ2 σ1 (1) αo với trục z, hai mặt lại mặt song song với trục z (vì phải vuông góc với mặt có) Mặt mặt có ứng suất tiếp = ⇒ Tìm hai mặt lại cách cho τ uv =0 o (1) o o α =α +90 x σ1 σ2 H 4.9 ng suất Ứ Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Nếu gọi α o góc trục x hợp với phương điều kiện để tìm phương là: τ uv =0 ⇔ + β ±k π ⇒ sin 2α + τ xy cos 2α = tan 2α o = − ⇒ Phương trình xác định α0 : αo = σx −σ y α 01 = β 2τ xy σ x −σy α 02 = vaø = tan β β ± (4.5) π (4.5) cho thấy có hai giá trị α0 sai biệt 90° Vì vậy, có hai mặt vuông góc với song song với trục z Trên mặt có ứng suất tác dụng Hai ứng suất ứng suất pháp cực trị (ký hiệu σmax hay σmin ) 2τ xy dσ u = ⇔ tan 2α = − dz σ x −σ y gioáng với (4.5) Giáù trị ứng suất hay ứng suất pháp cực trị tính cách ngược trị số α (4.5) vào (4.2a) Để yù raèng: sin 2α o = ± ⇒ σ max = σ 1,3 = σx +σy tan 2α o ; cos2α o = ± + tan 2α o 1 + tan 2α o ⎛σx −σ y ⎞ ± ⎜ ⎜ ⎟ + τ xy ⎟ ⎝ ⎠ (4.6) Ta lại thấy σ max + σ = σ + σ = σ x + σ y Thí dụ 4.2 Tìm ứng suất phương TTƯS (H.4.10a) Đơn vị ứng suất kN/cm2 y σ2 y Giải Theo quy ước dấu, ta có: 67o30’ σ1 x a) H 4.10 22o30’ b) σ x = kN/cm ; σ y = kN/cm τ xy = +1 kN/cm Phương xác định từ (4.5): tan 2α o = − ⇒ 2τ xy σx −σ y = −2 = − ⇒ 2α o = − 45o + k180 o 4−2 ( ( α o1) = − 22 o 30' ; α o2 ) = 67 o 30' (i) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn x GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Có phương ( mặt chính) vuông góc Các ứng suất xác định từ (4.6): σ max ⎧4,41 kN/cm 4+2 ⎪ ⎛4− 2⎞ = ± ⎜ ⎟ +1 = ± = ⎨ ⎪1,58 kN/cm ⎝ ⎠ ⎩ (ii) Để xác định mặt từ (i) có ứng suất (ii) tác dụng, ta dùng (4.2b), chẳng hạn với α o(1) = − 22 o 30' , ta coù: σu = 4+2 4−2 + cos − 22 o 30' − 1sin − 22o 30' = 4,41 kN/cm2 2 ( ) ( ) Vaäy : σ1 = 4,41 kN/cm2 ứng với góc nghiêng σ2 = 1,58 kN/cm2 tác dụng mặt có ( α o1) = − 22 o 30' , ( α o2) = − 67 o 30' Các mặt ứng suất biểu diễn phân tố H.4.10b 2- Ứng suất tiếp cực trị Tìm ứng suất tiếp cực trị mặt nghiêng có ứng suất tiếp cực trị cách cho dτ uv = dα (2 () o ) α α=o + 45 dτ uv = (σ x − σ y ) cos 2α − 2τ xy sin 2α = dα σ x −σ y (4.7) = tan 2α = 2τ xy ⇔ So sánh (4.7) với (4.5) ⇒ tan 2α = − (4.7) τ max σ H Ứng suất tiếp cực trị 4.11 tan 2α o (4.8) α = α o ± k45o ⇒ ⇒ 2α = 2α o ± k90o hay Mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt góc 45° Thế (4.8) vào (4.2b), ta : ⎛σx −σ y ⎞ =± ⎜ ⎜ ⎟ + τ xy ⎟ ⎝ ⎠ τ max 4.2.4 Các trường hợp đặc biệt σ (4.9) τ TTUSphẳng đặc biệt 1- TTƯS phẳng đặc biệt Phân tố H.4.12 coù: σ x =σ ; σ y = 0; τ xy =τ Từ H.4.12 (4.6) ⇒ τ H 4.13 TTUS Trượt tuý http://www.ebook.edu.vn Chương 4: Trạng thái ứng suất GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com σ max = σ 1, = σ ± σ + 4τ 2 (4.10) Phân tố có ứng suất ( gặp trường hợp chịu uốn ) 2- TTƯS trượt túy (H.4.13) Ở đây, σ x = σ y = ; τ xy = τ ⇒ σ max = σ 1, = ± τ hay ;Thay vaøo (4.6) σ3 (4.11) σ = − σ =τ Hai phương xác định theo (4.5): π π αo = + k tan 2α o = ∞ ⇔ (4.12) σ1 Những phương xiên góc 45o với trục x y H 4.14 3- Trường hợp phân tố (H.4.14) Phân tố có σ , σ ,τ = 0; Thay vaøo (4.9), ta được: τ max,min = ± σ1 −σ (4.13) 4.3 TTỨS TRONG BÀI TOÁN PHẲNG- PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ 1- Vòng tròn Mohr ứng suất Công thức xác định ứng suất mặt cắt nghiêng (4.2) biểu diễn dạng hình học vòng tròn Mohr Để vẽ vòng tròn Mohr, ta xếp lại (4.2) nhö sau: σu − τ uv = σx +σ y σx −σ y = σx −σ y (4.14) cos 2α − τ xy sin 2α (4.14)’ sin 2α + τ xy cos 2α Bình phương hai vế hai đẳng thức cộng lại, ta được: σ +σy ⎛ ⎜σ u − x ⎜ ⎝ Đặt: c= σx +σy ⎞ ⎛σ −σ y ⎟ + τ uv = ⎜ x ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎛σ x −σ y ; R2 = ⎜ ⎜ ⎝ (4.15) thaønh: ⎞ ⎟ + τ xy ⎟ ⎠ (σ u − c )2 + τ uv = R 2 ⎞ ⎟ + τ xy ⎟ ⎠ (4.15) τ (4.16) C R σ O (4.17) Trong hệ trục tọa độ, với trục hoành σ trục tung τ, (4.17) phương trình đường tròn có tâm nằm trục hoành với C H 4.15 Vòng tròn ứng suất hoành độ c có bán kính R Như vậy, giá trị ứng suất pháp ứng suất tiếp tất mặt song song với Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com truïc z phân tố biểu thị tọa độ điểm vòng tròn Ta gọi vòng tròn biểu thị TTƯS phân tố vòng tròn ứng suất hay vòng tròn Mohr ứng suất phân tố Cách vẽ vòng tròn: (H.4.16) - Định hệ trục tọa độ σOτ : trục hoành σ // trục x, trục tung τ // trục y phân tố hướng lên P τ τ σ -Trên trục σ định điểm O E F C E(σx, 0) điểm F(σy, 0) σy Tâm C trung điểm σ x EF xy Cách vẽ vòng tròn ứng suất H.4.16 - Định điểm cực P (σy, τxy ) x - Vòng tròn tâm C, qua P vòng tròn Mohr cần vẽ Chứng minh: + C trung điểm EF ⇒ OC = Trong tam giác vuông CPF: FC = OE + OF σ x + σ y = =c 2 OE − OF σ x − σ y = ; FP = τ xy 2 ⎛σ −σ y ⎞ 2 Do ⇒ CP = FC + FP = ⎜ x ⎜ ⎟ + τ xy = R ⎟ ⎝ ⎠ 2 2- Ứng suất mặt cắt nghiêng Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com u max max uv M P xy y yx α u B xy uv 2α u uv D u F C G E A x max y minx x u max H 4.17 Định ứn g suất mặt nghiên g Dùng vòng tròn Mohr để tìm ứng suất mặt cắt nghiêng phân tố có pháp tuyến u hợp với trục x góc α Cách tìm σu ; τuv Vẽ vòng tròn Mohr H.4.17 Từ cực P vẽ tia Pu // với phương u cắt vòng tròn điểm M Hoành độ M = σu ; Tung độ M = τuv Chứng minh: Ký hiệu 2α1 góc (CA,CD), 2α góc (CD,CM) Hình 4.17 cho: OG = OC + CG = = nhưng: nên: σx +σy σx +σy + R cos(2α1 + 2α ) + R cos 2α1 cos 2α − R sin 2α1 sin 2α R cos 2α1 = CE = σx −σ y OG = ; Rsin 2α = ED = τ xy σx +σy + σx −σ y cos 2α − τ xy sin 2α = σ u Tương tự, ta có: GM = R sin (2α1 + 2α ) = R cos 2α1 sin 2α + R sin 2α1 cos 2α ⎛σ −σ y ⎞ =⎜ x ⎜ ⎟ sin 2α + τ xy cos 2α = τ uv ⎟ ⎝ ⎠ Ta nhận lại phương trình (4.2) 3- Định ứng suất chính- phương chính- Ứng suất pháp cực trị Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 10 GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Trên vòng tròn ứng suất ( H.4.17) Điểm A có hoành độ lớn nhất, tung độ = 0⇒ σmax = OA ; τ =0 Tia PA biểu diễn phương Điểm B có hoành độ nhỏ nhất, tung độ = 0⇒ σmin = OB ; τ =0 Tia PB biểu diễn phương thứ hai 4- Định ứng suất tiếp cực trị Trên vòng tròn (H.4.17): hai điểm I J điểm có tung độ τ lớn nhỏ Do đó, tia PI PJ xác định pháp tuyến mặt có ứng suất tiếp cực đại cực tiểu Những mặt tạo với mặt góc 45o Ứng suất tiếp cực trị có trị số bán kính đường tròn Ứùng suất pháp mặt có ứng suất tiếp cực trị có giá trị hoành độ điểm C, tức giá trị trung bình ứng suất pháp: σ tb = σx +σy τ P 5- Các trường hợp đặc biệt - TTƯS phẳng đặc biệt Phân tố có hai ứng suất σ σ (H.4.18) - TTƯS trượt túy Phân tố có ứng suất chính: σ1 = − σ = | τ | Các phương xiên góc 45 với trục x y (H.4.19) o σ τ O a) Thí dụ 4.3 Phân tố TTƯS phẳng (H.4.21),các ứng suất tính theo σ E σmax σ b) H 4.18 TTỨS phẳng đặc biệt vòng Morh τ τ P τ A σ C B τ σmin = - σmax = τ H 4.19TTỨS trượt túy vòng Morh τ - TTƯS ( H.4.20) σ1 − σ C τ σ τ max, = ± A B σ τmax σ1 τmax B P A σ C σ2 σ1 τmin H 4.20 TTỨS CHÍNH- Vòng Morh Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 11 τ GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com kN/cm2 Dùng vòng tròn Mohr, xác định: a) Ứng suất mặt cắt nghiêng α = 45o b) Ứng suất phương c) Ứng suất tiếp cực trị σu u x 45 P o (3) αo = 26 36’ τuv 71 36 o D 45 y o I o o 161 36' τ τmax B -7 σ3 -5 -2 C M σu H 4.21 σ A F (1) O1 o αo = - 67 24’ J τuv D’ σ1 τmin Giải Theo quy ước ta có: σ x = − kN/cm ; σ y = kN/cm ; τ xy = + kN/cm ♦Taâm vòng tròn C ⎛ − + ,0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ♦ Cực P(1, + 4) Từ P vẽ tia song song với trục u cắt vòng tròn Mohr M Tọa độ điểm M biểu thị ứng suất mặt cắt nghiêng với α = 45o : σ u = − kN/cm ; τ uv = − kN/cm ♦Hoaønh độ A B biểu thị ứng suất có giá trị bằng: σ = σ A = kN/cm ; σ = σ B = − kN/cm Hai phương xác định góc αo: ( ( α o1) = − 67 o 42' ; α o3) = 26 o 36' ♦Tung độ I J có giá trị ứng suất tiếp cực trò: τ max = kN/cm ; τ = − kN/cm Các ứng suất tác dụng lên mặt, tương ứng với góc nghiêng: α1(1) = 71o36' ; α1( 2) = 161o36' Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 12 GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 4.3 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC TTƯS KHỐI II y σ2 σ1 x z σ2 σ2 σ3 τ I σ σ σ σ τ σ2 σ1 σ1 σ σ III σ τ σ2 H 4.23TTỨS khối mặt // trục H.4.22 TTƯS khối với mặt cắt nghiêng ♦ Tổng quát, TTƯS điểm TTƯS khối (H.4.22) ♦ Xét mặt // phương ( thí dụ phương III) , ứng suất σ3 không ảnh hưởng đến σ, τ mặt (H.4.23) ⇒ nghiên cứu ứng suất mặt tương tự TTƯS phẳng Vẽ vòng tròn ứng suất biểu τ τmax, diển ứng suất mặt nghiêng τmax, (vòng tròn số H.4.24) τmax,3 Từ vòng tròn này, ta thấy σ mặt song song với phương σ2 Ο σ1 σ3O σ1 III có mặt có ứng suất tiếp cực đại (ký hiệu τmax,3) , τ max,3 = σ1 − σ 2 τ H.4.24 Ba voøng tròn Mohr ứng suất ♦ Tương tự, mặt song song với phương thứ I thứ II, ta vẽ vòng tròn ứng suất (Vòng tròn số vòng tròn số 2) (H.4.24) ♦ Lý thuyết đàn hồi chứng minh giá trị σ τ mặt phân tố TTƯS khối biểu thị tọa độ điểm nằm miền gạch chéo ( H.4.24 ) ♦ Qua hình vẽ, ứng suất tiếp lớn phân tố biểu thị bán kính vòng tròn lớn nhất, (H.4.24) τ max, = σ σ1 −σ (18) Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 13 GV: Lê Đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y 4.4 LIÊN HỆ ỨNG SUẤT VÀ BIẾN DẠNG II σ2 x 4.4.1 Định luật Hooke tổng quát 1- Liên hệ ứng suất pháp biến dạng z σ1 dài ♦TTƯS đơn: chương 3, có: σ3 III Định luật Hooke liên hệ ứng suất pháp biến dạng dài : ε= σ H.4.25 TTƯS khối (4.19) E I ε - biến dạng dài tương đối theo phương σ Theo phương vuông góc với σ có biến dạng dài tương đối ε’ ngược dấu với ε: ε ' = − με = − μ σ E (4.20) ♦ TTƯS khối: với ứng suất σ 1, σ2 , σ3 theo ba phương I, II, III (H.4.25) Tìm biến dạng dài tương đối ε1 theo phương I Biến dạng dài theo phương I σ gây ra: ε1 (σ1 ) = σ1 E Biến dạng dài theo phương I σ gaây ra: ε1 (σ ) = − μ σ2 Biến dạng dài theo phương I σ gaây ra: ε1 (σ ) = − μ σ3 E E Biến dạng dài tương đối theo phương I ba ứng suất σ 1, σ2 , σ3 sinh tổng ba biến dạng trên: ε1 = ε1 (σ ) + ε1 (σ ) + ε1 (σ ) = [σ − μ (σ + σ )] E (4.21) Tương tự, biến dạng dài tương đối theo hai phương II , III lại: [σ − μ (σ − σ )] E ε = [σ − μ (σ + σ )] E ε2 = (4.22) (4.23) ♦ TTƯS tổng quát: Lý thuyết đàn hồi chứng minh vật liệu đàn hồi đẳng hướng, σ sinh biến dạng dài mà không sinh biến dạng góc , τ sinh biến dạng góc mà không sinh biến dạng dài ⇒ Trong trường hợp phân tố TTƯS tổng quát, có Chương 4: Trạng thái ứng suất http://www.ebook.edu.vn 14 ... dùng (4.2b), chẳng hạn với α o(1) = − 22 o 30'' , ta coù: σu = 4 +2 4? ?2 + cos − 22 o 30'' − 1sin − 22 o 30'' = 4,41 kN/cm2 2 ( ) ( ) Vậy : σ1 = 4,41 kN/cm2 ứng với góc nghiêng ? ?2 = 1,58 kN/cm2 tác dụng... cos 2? ? − τ xy sin 2? ? = σ u Tương tự, ta có: GM = R sin (2? ?1 + 2? ? ) = R cos 2? ?1 sin 2? ? + R sin 2? ?1 cos 2? ? ⎛σ −σ y ⎞ =⎜ x ⎜ ⎟ sin 2? ? + τ xy cos 2? ? = τ uv ⎟ ⎝ ⎠ Ta nhận lại phương trình (4 .2) 3- Định... liệu εz = E (kN/cm2) Vật liệu μ Thép (0,15 ÷ 0 ,20 )%C x 104 0 ,25 ÷ 0,33 Thép lò xo 2, 2 x 104 0 ,25 ÷ 0,33 Theùp niken 1,9 x 104 0 ,25 ÷ 0,33 Gang xám 1,15 x 104 0 ,23 ÷ 0 ,27 Đồng 1 ,2 x 104 0,31 ÷ 0,34