GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN 8.1 KHÁI NIỆM CHUNG Khi tính dầm chịu uốn ngang phẳng, điều kiện bền phải ý đến điều kiện cứng Vì vậy, cần phải xét đến biến dạng dầm Dưới tác dụng ngoại lực, trục dầm bị uốn cong, trục cong gọi đường đàn hồi dầm (H.8.1) ϕ P P K ϕ K z ϕ K’ Đường đàn hồi Đường đàn hồi y P v ≡ y(z) P K’ z z u H.7.1 y ϕ H.7.2 Xeùt điểm K trục dầm trước biến dạng Sau biến dạng, điểm K di chuyển đến vị trí K’ Khoảng cách KK’ gọi chuyển vị thẳng điểm K Chuyển vị phân làm hai thành phần: Thành phần v vuông góc với trục dầm (song song với trục y) gọi chuyển vị đứng hay độ võng điểm K Thành phần u song song với trục dầm (song song với trục z) gọi chuyển vị ngang điểm K Ngoài , sau trục dầm biến dạng, mặt cắt ngang K bị xoay góc ϕ, ta gọi góc xoay chuyển vị góc (hay góc xoay ) mặt cắt ngang điểm K Có thể thấy rằng, góc xoay ϕ góc trục chưa biến dạng dầm tiếp tuyến điểm K đường đàn hồi (H.8.1) Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Ba đại lượng u, v, ϕ ba thành phần chuyển vị mặt cắt ngang điểm K Trong điều kiện biến dạng dầm bé thành phần chuyển vị ngang u đại lượng vô bé bậc hai so với v, bỏ qua chuyển vị u xem KK’ v, nghóa vị trí K’ sau biến dạng nằm đường vuông góc với trục dầm trước biến dạng (H.8.2) Góc xoay ϕ lấy gần đúng: ϕ ≈ tgϕ = dv dz Nếu chọn trục dầm z, trục y vuông góc với trục dầm, chuyển vị v tung độ y điểm K’ Tung độ y độ võng điểm K Ta thấy rõ K có hoành độ z so với gốc chuyển vị y, ϕ hàm số z phương trình đàn hồi là: y(z) = v(z) Phương trình góc xoay là: ϕ(z) = dv dy = = y' (z) dz dz hay, phương trình góc xoay đạo hàm phương trình đường đàn hồi Quy ước dương chuyển vị: - Độ võng y dương hướng xuống - Góc xoay ϕ dương mặt cắt quay thuận chiều kim đồng hồ Điều kiện cứng: Trong kỹ thuật, tính toán dầm chịu uốn, người ta thường khống chế độ võng lớn dầm không vượt qua giới hạn định để đảm bảo yêu cầu làm việc, mỹ quan công trình , điều kiện gọi điều kiện cứng Nếu gọi f độ võng lớn dầm điều kiện cứng thường chọn là: 1 ⎡f⎤ ⎢ L ⎥ = 300 ÷ 1000 ⎣ ⎦ đó: L - chiều dài nhịp dầm Tùy loại công trình mà người ta quy định cụ thể trị số [ f L] Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 8.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ĐƯỜNG ĐÀN HỒI Xét điểm K trục dầm Trong chương (công thức 7.1) ta lập mối liên hệ độ cong trục dầm K sau biến dạng với mômen uốn nội lực Mx K là: = ρ Mx EJ x (a) Mặt khác, đường đàn hồi biểu diễn phương trình hàm số y(z) hệ trục (yz) nên độ cong đồ thị biểu diễn hàm số điểm K có hoành độ z tính theo công thức: ρ (a) (b) ⇒ = y′′ (1 + y′ ) y′′ (1 + y' ) (b) = Mx EJ x (c) Đó phương trình vi phân tổng quát đường đàn hồi, nhiên phải chọn cho hai vế phương trình thỏa mãn z Mx Mx Mx Mx Mx > y Mx < y” < y” > y H.8 Khảo sát đoạn dầm bị uốn cong hai trường hợp H.8.3 Trong trường hợp mômen uốn Mx đạo hàm bậc hai y” luôn trái dấu, phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng: y' ' (1 + y' ) = − Mx EI x Với giả thiết chuyển vị bé (độ võng góc xoay bé), bỏ qua (y’)2 so với phương trình vi phân đường đàn hồi có dạng gần sau: Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y' ' = − Mx EI x (8.1) đó: Tích số EJx độ cứng uốn dầm 8.3 LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ĐÀN HỒI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN KHÔNG ĐỊNH HẠN Vế phải phương trình vi phân (8.1) hàm số z nên (8.1) phương trình vi phân thường Tích phân lần thứ (8.1) ⇒ phương trình góc xoay: ϕ = y' = ∫ − Mx dz + C EJ x (8.2) Tích phân lần thứ hai ⇒ phương trình đường đàn hồi: ⎛ ⎞ M y = ∫ ⎜ ∫ − x dz + C ⎟dz + D ⎜ ⎟ EJ x ⎝ ⎠ (8.3) Trong (8.2) vaø (8.3), C D hai số tích phân xác định điều kiện biên Các điều kiện phụ thuộc vào liên kết dầm phụ thuộc vào thay đổi tải trọng dầm A yA = ϕA = A a) yA = C b) B yB = H 8.4 Đối với dầm đơn giản, có điều kiện sau: + Đầu ngàm dầm console có góc xoay độ võng không (H.8.4a): yA = ϕA = + Các đầu liên kết khớp độ võng không (H.8.4b): y A = yB = + Tại nơi tiếp giáp hai đoạn dầm có phương trình đường đàn hồi khác nhau, độ võng góc xoay bên trái với độ võng góc xoay bên phải ( điểm C H.8.4b): yCtr = yCph; Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn ϕCtr = ϕCph http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 8.1 Viết phương trình đường đàn hồi góc xoay cho dầm công son (console) H.8.5 Từ suy độ võng góc xoay lớn Cho EJx = số Giải P Phương trình mômen uốn B A mặt cắt có hoành độ z là: Mx=–Pz yB = ϕ B = z z L (a) y H.7.5 vào (8.1) ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi : Mx Pz = EJ x EJ x y' ' = − Pz +C EJ x (c) Pz + Cz + D EJ x (d) tích phân hai lần, ⇒ ϕ = y ' = y= (b) C D xác định từ điều kiện biên độ võng góc xoay ngàm: z = L; ϕ = y = thay điều kiện vào (c) vaø (d) ⇒ C=− PL2 PL3 ; D= EJ x 3EJ x Vậy phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y= ϕ= Pz PL2 PL3 − z+ ; EJ x EJ x 3EJ x Pz PL2 − EJ x EJ x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta coù: ymax = PL3 PL2 ; ϕ=− 3EJ x EJ x ymax > độ võng điểm A hướng xuống ϕ < góc xoay điểm A ngược kim đồng hồ Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 8.2 Tính độ võng góc xoay lớn dầm (H.8.6) Cho EJx = Giải q Phương trình mômen uốn B A mặt cắt có hoành độ z là: Mx = − yB = ϕB = z L qz2 (a) y H.8.6 qz y' ' = − EJ x vào (8.1), ⇒ tích phân hai lần, ⇒ ϕ = y ' = y= z (b) qz +C EJ x (c) qz +C z+ D 24 EJ x (d) hai điều kiện biên đầu ngàm z = L; ϕ = vaø y = cho : qL3 qL4 C=− ; D= EJ x EJ x Vậy phương trình đàn hồi góc xoay laø: qL4 qL3 qL4 y= − z+ ; 24 EJ x EJ x EJ x ϕ= qL3 qL3 − EJ x EJ x Độ võng góc xoay lớn đầu tự A dầm; ứng với z = 0, ta có: ymax qL4 = 8EJ x vaø qL3 ϕA = − EJ x Thí dụ 8.3 Tính độ võng góc xoay lớn dầm đơn giản chịu tải phân bố (H.8.7) Độ cứng EJx dầm không đổi Giải z Phương trình mômen uốn mặt cắt ngang có hoành độ z là: Mx = qL qz2 q = z− Lz − z2 2 ( ) Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn B A z L/2 (a) thay vào (8.1), ⇒ phương trình vi phân đường đàn hồi sau: q L y H.8.7 http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y' ' = − ( q Lz − z 2 EJ x tích phân hai lần, ⇒ ϕ = y ' = − y=− ) (b) q ⎛ Lz z ⎞ ⎜ − ⎟+C EJ x ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ (c) q ⎛ Lz z ⎞ ⎜ − ⎟+C z + D EJ x ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ (d) ⎧khi : z = 0; y = điều kiện biên gối tựa trái phải dầm: ⎨khi : z = L; y = ⎩ ⇒ D = 0; C = qL3 24 EJ x Như phương trình đường đàn hồi góc xoay là: y= qL3 24 EJ x ϕ = y' = ⎛ z2 z3 ⎞ z ⎜1 − 2 + ⎟ ⎜ L L ⎟ ⎝ ⎠ (e) qL3 ⎛ z2 z3 ⎞ ⎜1 − + ⎟ 24 EJ x ⎜ L L ⎟ ⎝ ⎠ (g) Độ võng lớn dầm mặt cắt ngang nhịp ứng với: z= L (tại y’ = 0) thay z = L vaøo (e), ymax = y⎛ L⎞ ⎜ z= ⎟ 2⎠ ⎝ = 5qL4 384 EJ x Góc xoay lớn nhất, nhỏ (y’max , y’min) mặt cắt ngang có y” = (hay Mx = 0), tức gối tựa trái phải dầm Thay z = z = L vào (g) ⇒ ϕ max = y 'max = qL3 24 EJ x ϕ = y 'min = − qL3 24 EJ x Goùc xoay mặt cắt gối tựa trái thuận chiều kim đồng hồ, góc xoay mặt cắt gối tựa phải ngược chiều kim đồng hồ Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 8.4 Lập phương trình độ võng góc xoay dầm hai gối tựa chịu lực tập trung P H.8.8 cho biết EJx = số P B A z z1 a Z2 L Y Giaûi b Pab/L H.8.8 Dầm có hai đoạn, biểu thức mômen uốn hai đoạn AC CB khác nên biểu thức góc xoay độ võng hai đoạn khác Viết cho đoạn biểu thức Mx, y’’, y’, y sau: Mômen uốn Mx đoạn sau: Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): M x(1) = Pb z1 L (a) Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): M x(2) = Pb z2 − P (z2 − a ) L (b) Phương trình vi phân đường đàn hồi đoạn: Đoạn AC: Ñoaïn CB: y1 ' ' = − Pb z1 LEJ x y2 ' ' = − Pb P ( z2 − a ) z2 + EJ x LEJ x (c) (d) Tích phân liên tiếp phương trình trên, ta được: Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): y1 ' = − Pb z1 + C1 LEJ x (e) y1 = − Pb z1 + C1 z1 + D1 LEJ x (g) Đoạn CB (a ≤ z2 ≤ L): Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com y2 ' = − Pb P ( z − a ) + C2 z2 + LEJ x EJ x y2 = − Pb P (z2 − a ) + C2 z2 + D2 z2 + LEJ x EJ x (h) (i) Xác định số tích phân C1, D1, C2, D2 từ điều kiện biên - Ở gối tựa A, B độ võng không - Ở mặt cắt ngang C nối tiếp hai đoạn, độ võng góc xoay hai đoạn phải ⇔ khi: z1 = 0; y1 = z2 = 0; y2 = z1 = z2 = a; y1 = y2; y1’ = y2’ Từ bốn điều kiện ⇒: ⎧ D1 = ⎪ ⎪− Pb L3 + P (L − a ) + C2 L + D2 = ⎪ LEJ x EJ x ⎪ Pb Pb ⎨ ⎪− LEJ a + c1a + D1 = − LEJ a + c2 a + D2 x x ⎪ Pb Pb ⎪ 2 ⎪− LEJ a + c1 = − LEJ a + c2 x x ⎩ Giải hệ phương trình trên, ⇒ D1 = D2 = 0; C1 = C2 = ( Pb L2 − b LEJ x ) Vậy phương trình góc xoay độ võng đoạn là: Đoạn AC (0 ≤ z1 ≤ a): ⎧ Pb ⎛ L2 − b z12 ⎞ ' ⎜ − ⎟ ⎪ϕ1 = y1 = 2⎟ LEJ x ⎜ ⎝ ⎠ ⎪ ⎨ 2 ⎪ y = Pb ⎛ L − b z − z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎪ LEJ ⎜ 6⎟ ⎠ x ⎝ ⎩ Ñoaïn BC (a ≤ z2 ≤ L): 2 ⎧ Pb ⎛ z2 L(z2 − a ) L2 − b ⎞ ' ⎜ − ⎟ − ⎪ϕ = y2 = 2b ⎟ LEJ x ⎜ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ 2 L −b z2 ⎞ Pb ⎛ (z2 − a ) ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ y2 = LEJ ⎜ 6b L + z2 − ⎟ x ⎝ ⎠ ⎩ Tính độ võng lớn dầm cách dựa vào điều kiện y’ = 0, Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giả sử a > b Trước hết ta xét độ võng lớn đoạn Ở gối tựa A (z1 = 0) góc xoay bằng: ϕ1 A = C (z1 = a): PbL ⎛ b ⎞ ⎜1 − ⎟ > EJ x ⎜ L2 ⎟ ⎝ ⎠ ϕ1C = − PbL (a − b ) < 3EJ x Như vậy, hai điểm A C góc xoay ϕ1 đổi dấu, nghóa bị triệt tiêu lần Điều cho thấy độ võng có giá trị lớn đoạn AC Để tìm hoành độ z1(0) mặt cắt ngang có độ võng lớn nhất, ta cho phương trình ϕ1 = 0: 0,500L Pb ⎡ L − b (z1 (0 )) ⎤ ϕ1 [z1 (0)] = − ⎢ ⎥=0 LEJ x ⎣ ⎦ ⇒ z1 (0) = 2 L −b E A B D z 0,577L (o) H.8.9 Sau đưa vào biểu thức (l) độ võng,⇒ giá trị lớn độ võng ymax = y1(z1( ) ) = ( 3Pb L2 − b 27 EJ x ) ⎛ b2 ⎞ ⎜1 − ⎟ ⎜ L ⎟ ⎝ ⎠ (p) Các hệ quả: - Nếu P đặt nhịp dầm (b = L / 2) , từ (o) (p) , ta được: z1 (0) = L PL3 = 0,500 L ; ymax = 48EJ x - Khi P gần gối B, tức b → ta có: z1(0) = L = 0577L Như vậy, tải trọng di chuyển từ trung điểm D nhịp dầm đến gối tựa B (H.8.9) hoành độ z1(0) biến thiên từ 0,5L đến 0,577L, tức từ điểm D đến điểm E Trong thực tế người ta thường quy ước tải trọng P tác dụng vị trí coi độ võng lớn nhịp dầm Thí dụ, tải trọng P tác dụng vị trí H.8.8 độ võng nhịp dầm bằng: So sánh hai giá trị ymax y(l ) = y(l ) thaáy ( Pb 3L2 − 4b 48 EJ x ) hai giá trị khác Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 10 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com đầu tự B dầm công xon chịu tải trọng phân bố q (H.8.10a) Độ cứng dầm EJx = const Giải + Biểu đồ mômen uốn Mx DTcóù dạng đường bậc vẽ H.810b + DGT tương ứng với lực phân bố qgt H.8.10c + Độ võng góc xoay B DT mômen uốn Mgt lực cắt Qgt B DGT.Dùng mặt cắt sát B dầm giả tạo, tính nội lực mặt cắt ngang được: qL3 qL2 B ×L = ϕ B = Qgt = × ; EJ x EJ x B yB = M gt = Thí dụ 8.6 Tính độ võng góc xoay C dầm cho H.8.11a Đoạn dầm AB qL2 qL4 × × L× L = EJ x 8EJ x qL S2 a) B A L 3L qL C qL2 b) M có độ cứng 2EJ, đoạn qL2 dầm BC có độ cứng EJ Giải c) + Biểu đồ mômen uốn vẽ H.8.11b Để dễ dàng việc tính toán ta phân tích Mx thành tổng biểu đồ mômen uốn có dạng đơn giản H.8.11c + DGT với lực H.8.11d qL2 EJx qL2 2EJx 9qL x d) C 9qL 16EJx qL2 2EJx e) B Vgt qgt (chú ý độ cứng AB BC khác nhau) qL EJx H 8.11 B Vgt + Tính nội lực C DGT Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 15 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chia DGTthành hai DGT H.8.11e, phản lực B DGT AB là: B Vgt = qL3 16 EJ x Phản lực tác dụng lên DGT BC dễ dàng tính được: C Qgt = − qL3 qL2 qL3 + L =+ 16 EJ x EJ x 16 EJ x C M gt = − qL3 qL2 13 qL4 L+ L L= 16 EJ x EJ x 48 EJ x ⇒ độ võng góc xoay C cuûa DT yC = C M gt = 13 qL4 ; 48 EJ x ϕC = C Qgt = qL3 16 EJ x 8.5 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự toán chịu kéo, nén tâm, ta có BTST uốn Đó toán mà ta xác định toàn nội lực phản lực với phương trình cân tónh học, số ẩn số phải tìm toán lớn số phương tónh cân tónh học có Để giải BTST, cần tìm thêm số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng dầm Xét cụ thể thí dụ sau: Thí dụ 8.6 Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm H.8.12a Biết EJ = số Giải + Dầm cho có bốn phản lực cần tìm (ba ngàm A gối tựa B) Ta có ba phương trình cân tónh học, nên cần tìm thêm phương trình phụ điều kiện biến dạng dầm + Tưởng tượng bỏ gối tựa đầu B thay vào phản lực VB (H.8.12b), ta hệ Hệ làm việc giống hệ VB phải có trị số chiều để độ võng B, tải trọng q VB sinh ra, phải không ⇔ Điều kiện biến dạng ( chuyển vị): Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn yB (q, VB ) = http://www.ebook.edu.vn 16 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com q q B a) L VB = q B b) B h) qL i) A Qy VB c) d) k) qL2 qL qL qL Mx 9qL2 128 VBL + Ta tính độ võng B phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp khác) Biểu đồ mômen uốn dầm H.8.12b tải trọng q phản lực VB gây vẽ H.8.12c,d, DGT qgt H.8.12 e, g Ta có: Độ võng yB hệ 8.12b Mômen giả tạo B DGT yB = M B = gt L qL × 3 EJ L– Điều kiện độ võng yB = 0, ⇒ VB = L VB L EJ × L 3 qL Sau tìm VB, dễ dàng vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H.8.12 i, k 7.4 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN Nội dung phương pháp Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 17 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Mx H.8.10b, đường đàn hồi (nét đứt) H.8.10a EI x Xét dầm có biểu đồ A a) B z ϕ y ÑÑH yB yA zA z z dz zB LAB zC zC A b) B Mx EI x C Mx dz EI x S AB H.8.10 Phương pháp diện tích mô men ZB ZB M M Xét đoạn dầm AB: dϕ = − x dz , suy ra: ∫Z dϕ = ∫Z − x dz A A EI x EI x ϕ B − ϕ A = ϕ AB = − S AB với S AB diện tích biểu đồ (8.18) Mx gồm hai mặt cắt A B EI x Định lý Độ thay đổi góc xoay hai mặt cắt dầm (thí dụ A B) dấu trừ diện tích biểu đồ Từ hình 8.10d: dt = z dϕ = − z Mx hai mặt cắt EI x ZB ZB Mx M dz suy ra: t BA = ∫ dt = ∫ − z x dz = − z C S AB (8.20) ZA ZA EI x EI x z C khoảng cách từ trọng tâm diện tích S AB đến B Định lý Độ sai lệch tiếp tuyến điểm B đường đàn hồi với tiếp tuyến điểm A khác đường đàn hồi với dấu trừ mô men Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 18 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com tónh diện tích biểu đồ Mx đường thẳng đứng qua B EI x Từ H.8.10d ta có: yB = yA + ϕALAB + tBA = yA + ϕA(zB – zA) + tBA yB = yA + ϕA(zB – zA) – z C S AB (8.21) (7.21) công thức dùng để xác định độ võng điểm B biết độ võng điểm A (zB > zA) biểu đồ Mx hai điểm EI x Từ (8.21 tính độ võng điểm A biết độ võng điểm B (zB > zA) ϕ A = ϕ B + S AB vaø yA = yB – ϕA(zB – zA) + z C S AB với: z C = L AB − z C ta vieát: y A = y B − ϕ B + S AB L AB + (L AB − z C ) S AB ( Khai triển rút gọn, ta được: ) yA = yB – ϕBLAB – zC S AB (8.22) zC - khoảng cách từ trọng tâm C S AB kể từ A Thí dụ 8.5 Dùng phương pháp diện tích mô men xác định góc xoay đầu trái A độ võng điểm D dầm (H.8.11) EIx = số Giải Theo định lý 1, công thức (7.4), xét hai điểm A (z = 0) vaø D (z = L/2) ϕ D = ϕ A − S AD Chú ý ϕD = toán đối xứng S AD phân chia thành S + S + S ϕ A − (S + S + S ) = ta suy ra: ϕ A = S1 + S + S = 13 qL3 × 648 EI x Góc xoay mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ Áp dụng công thức (8.21), ta viết yD = y A + ϕ A ( ) (1) (2 ) (3 ) qL2 13 qL3 L 77 L − z C S AD = + × × − zC S1 + zC S + zC S = × 648 EI x 11664 EI x BÀI TẬP CHƯƠNG Mo 2m Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn 6m http://www.ebook.edu.vn 19 H.8.1 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 8.1 Xác định đường đàn hồi dầm phương pháp tích phân không định hạn, biết Mo = 20 kNm, EJ không đổi H.8.1 8.2 Xác định góc xoay hai đầu dầm độ võng dầm phương pháp tích phân không định hạn, EJ không đổi H.8.2 8.3 Dầm mặt cắt ngang thay đổi chịu lực H.8.3 Tính độ võng dầm tự góc xoay mặt cắt ngang dầm q h C 8.4 Dầm có độ cứng không đổi H.8.4 Xác định: - Độ võng góc xoay C L/2L/2 b H 8.2B C A L/2 L/2 H 8.3 4qa q a a H.8.4 8.6 Tìm độ võng B, góc xoay A dầm H.8.6, biết EJ= P A D 8.5 Tìm độ võng mặt cắt C, góc xoay bên trái phải khớp A dầm H.8.5, biết độ cứng EJ = haèng B C a a a H 8.5 P A C B a a 8.7 Xác định độ võng góc xoay C H.8.7 H 8.6 40 kN A B a - Độ võng mặt cắt D qa D A C - Góc xoay A vaø B A B L/2 L/2 2EJ B 3m EJ C 1m H 8.7 8.8 Một hệ thống gồm ba công xon, đầu tự liên kết với giằng cứng H.8.8 Tính ứng suất cực đại dầm có lực treo Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn L L L P http://www.ebook.edu.vn 20 H 8.8 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com daàm, biết độ cứng EJ số 8.9 Vẽ biểu đồ nội lực dầm siêu tónh H.8.9 Viết phương trình đường đàn hồi, biết độ cứng EJ số Mo q L L/2 L H 8.9 EJ = hằ ng số L/2 H 8.10 8.10 Xác định phản lực dầm siêu tónh H.8.10 8.11 Thanh thép dài m, mặt cắt chữ nhật 2036 mm, ngàm đầu A, chịu lực P = 30 N đặt nhịp Kiểm tra độ bền dầm Biết [σ] = 16 kN/cm2 Ở đầu B có khe hở δ = 20 mm Cho E = 2.104 kN/cm2 P A B mm δ 0,5 m 0,5 m 20 mm H 8.11 8.5 PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH MÔMEN (DTMM) Nội dung phương pháp Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 21 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Xét dầm chịu uốn có biểu đồ Mx H.8.13b, đường đàn hồi (nét đứt) EJ x H.8.13a A a) B z ϕt ÑÑH yA yB y z z dz zB zC zC A b) B Mx EJ x C c) dz Mx dz EJ x B z S AB dt dϕ B A yA d) ϕA yB A’ tBA B’ ϕB H.8.13 ♦ Xét đoạn dầm AB, ta có: y" = − ⇒ Mx EJ x ∫ ZB ZA dy ' dϕ M = =− x dz dz EJ x ⇔ dϕ = ∫ ZB ZA − ⇒ dϕ = − Mx dz EJ x Mx dz EJ x Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 22 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com (8.4) ϕ B − ϕ A = ϕ AB = − S AB với S AB Mx gồm hai mặt cắt A B EJ x diện tích biểu đồ Định lý Độ thay đổi góc xoay hai mặt cắt dầm (thí dụ A B) dấu trừ diện tích biểu đồ Mx hai mặt cắt EJ x ♦ Từ H.8.13c ta viết: dt = z dϕ = − z suy ra: zC t BA = ∫ ZB ZA dt = ∫ Mx dz EJ x ZB ZA −z Mx dz = − zC S AB EJ x laø khoảng cách từ trọng tâm diện tích S AB đến B Định lý Độ sai lệch tiếp tuyến điểm B đường đàn hồi với tiếp tuyến điểm A khác đường đàn hồi với dấu trừ mômen tónh diện tích biểu đồ Mx đường thẳng đứng EJ x qua B Từ H.8.13d ta có: yB = yA + ϕALAB + tBA = yA + ϕALAB – (8.5) z C S AB (8.5) công thức dùng để xác định độ võng điểm B biết độ võng điểm A (zB > zA) biểu đồ Mx hai điểm EJ x ♦ Từ (8.5) ta tính độ võng điểm A biết độ võng điểm B (zB > zA) Thật theo phần ta coù: ϕ A = ϕ B + S AB và: yA = yB – ϕALAB + với: z C = L AB − z C ta vieát: y A = y B − ϕ B + S AB L AB + (L AB − zC ) S AB ( z C S AB ) Khai triển rút gọn, ta được: yA = yB – ϕBLAB – zC S AB (8.5)’ đó: zC - khoảng cách từ trọng tâm C Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn S AB kể từ A http://www.ebook.edu.vn 23 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com ♦ Dùng phương pháp DTMM cần biết diện tích trọng tâm số hình ( bảng 8.2 ) Thí dụ 8.7 Dùng phương pháp DTMM xác định góc xoay đầu trái A độ võng điểm q A B D D dầm (H.8.14) EJx = số L/3 L/3 Giải L/3 + Theo định lý 1, công thức (8.4), xét hai điểm Mx EJ x A (z = 0) vaø D (z = L/2) : S3 ϕ D = ϕ A − S AD Chú ý ϕD = toán đối xứng phân chia thành S + S + S (H.8.14) ⇒ qL2 72 EJ x H.8.14 S AD qL2 72 EJ x ϕ A − (S + S + S ) = ϕ A = S1 + S + S = qL2 L qL2 L qL2 L 13 qL3 × × × + × × + × × = × 72 EJ x 72 EJ x 72 EJ x 648 EJ x Góc xoay mặt cắt A thuận chiều kim đồng hồ + Áp dụng công thức (8-5), ta viết yD = y A + ϕ A = 0+ = L − z C S AD (2 ) (3 ) 13 qL3 L ⎛ (1) × × − ⎜ zC S1 + zC S + zC S ⎞ ⎟ ⎠ 648 EJ x ⎝ 13 qL3 L ⎡⎛ L L ⎞ 4qL2 L × × − ⎢⎜ + × ⎟ × × × + 648 EJ x ⎣⎝ 3 ⎠ 72 EJ x + L L 4qL2 L qL2 L⎤ × × × + × × × × ⎥ 6 72 EJ x 72 EJ x ⎦ = 77 qL2 × 11664 EJ x q A B 3EJ D EJ L/2 L/2 Mx Độ võng mặt cắt D hướng xuống Thí dụ 8.8 Xác định góc xoay A,B độ võng D dầm cho H.8.15 Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn S1 = qL3 72 EJ x qL S2 = qL3 24 EJ x M x EI x qL qL2 24 EJ x http://www.ebook.edu.vn 24 EJ x H.8.15 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Giải + Biểu đồ mô men uốn Mx Mx EJ vẽ H.8.15 + Theo công thức 8.5, ta có: yB = yA + ϕAL – z C × S AB = + ϕAL – zC ϕA = L ( zC × S + (1) (1) ( 2) zC ×S – ( 2) zC ×S × S 2) ⎡ L L⎞ 5L qL3 qL3 ⎤ = ⎢⎛ + ⎟× + × ⎜ ⎥= L 82 72 EJ 24 EJ ⎣⎝ ⎠ x x ⎦ 13 qL 576 EJ x + Bây áp dụng định lý 1, công thức (8.4) ϕB = ϕA – = = ϕA – S AB – 13 qL 576 EJ x S1 – S2 qL3 qL3 qL3 – = – 19 576 EJ x 72 EJ x 24 EJ x Góc xoay mặt cắt B ngược chiều kim đồng hồ + Cuối xác định độ võng D công thức 8.5 áp dụng cho hai điểm A D yD = yA + ϕA =0+ 13 576 L × – z C S AD qL3 L qL3 qL4 × – L× = × 72 EJ x 576 EJ x EJ x + Ta kiểm tra lại kết yD cách khảo sát đoạn DB, áp duïng (8.5)’ yD = yB – ϕB L – ZC S BD ⎛ 19 qL3 ⎞ L ⎟× – = – ⎜− × ⎜ ⎟ ⎝ 576 EJ x ⎠ Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn × L × qL3 qL4 = × 576 24 EJ x EJ x http://www.ebook.edu.vn 25 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com q B a) A 8.5 BAØI TOÁN SIÊU TĨNH (BTST) Tương tự toán chịu kéo, nén tâm, ta có BTST uốn Đó toán mà ta xác định toàn nội lực phản lực với phương trình cân tónh học, số ẩn số phải tìm toán lớn số phương tónh cân tónh học có Để giải BTST, cần tìm thêm số phương trình phụ dựa vào điều kiện biến dạng dầm Xét cụ thể thí dụ sau: Thí dụ 8.10 Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm H.8.16a L q B b) A VB c) d) qL2 VBL e) qL2 EJ g) VB L EJ q B h) VB = i) qL k) qL Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn qL Qy qL Mx 9qL2 http://www.ebook.edu.vn 26 128 H.8.16 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Bieát EJ = const Giải Giải + Dầm cho có phản lực cần tìm (ba ngàm A gối tựa B) Ta có phương trình cân tónh học, nên cần tìm thêm phương trình phụ điều kiện biến dạng dầm + Tưởng tượng bỏ gối tựa đầu B thay vào phản lực VB (H.8.12b), ta hệ Hệ làm việc giống hệ VB phải có trị số chiều để độ võng B, tải trọng q VB sinh ra, phải không ⇔ Điều kiện biến dạng ( chuyển vị): yB (q, VB ) = + Ta tính độ võng B phương pháp tải trọng giả tạo (hay phương pháp khác) Biểu đồ mômen uốn dầm H.8.16b tải trọng q phản lực VB gây vẽ H.8.16c,d, DGT qgt H.8.16 e, g Ta có: Độ võng yB hệ 8.16b Mômen giả tạo B DGT yB = M B = gt L qL × 3 EJ L– L VB L Điều kiện độ võng yB = 0, ⇒ VB = EJ × L 3 qL Sau tìm VB, dễ dàng vẽ biểu đồ nội lực dầm cho H.8.16 i, k Thí dụ 8.11 Tính phản lực VB dầm siêu tónh H.8.17a P A Cho biết : EJx = Giải Tương tự thí dụ trên, a b L P có điều kiện yB = b) Tính yB phương pháp diện tích mô men Biểu đồ Mx/ EJx tải trọng B a) A B c) P phản lực VB vẽ H.8.17c Áp dụng công thức (8.5), ta Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn VB Pa EJ x Mx EJ x VB L EJ x H.8.17 http://www.ebook.edu.vn 27 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com coù: yA = yB – ϕAL + z S AB ⎡ a Pa V L ⎤ = yB – 0×L + ⎢− ⎛ L − ⎞ a + L L B ⎥ ⎜ ⎟ ⎣ ⎝ yA = – ⎠ EJ EJ ⎦ Pa ⎛ 3L − a ⎞ VB L3 ⎜ ⎟+ EJ ⎝ ⎠ 3EJ Điều kiện yB = cho ta 0=– suy VB = Pa ⎛ 3L − a ⎞ VB L3 ⎜ ⎟+ EJ ⎝ ⎠ 3EJ Pa (3L − a ) L3 BÀI TẬP CHƯƠNG 8.1 Xác định đường đàn hồi dầm phương pháp tích phân không định Mo 6m 2m H.8.19 hạn, biết Mo = 20 kNm 8.2 Xác định góc xoay hai đầu dầm độ võng dầm phương pháp tích phân không định hạn 8.3 Dầm mặt cắt ngang thay đổi chịu lực H.8.21 Tính độ võng dầm tự góc mặt cắt ngang daàm h C EI B L/2 q 2EI A L/2 L/2 L/2 H.8.20 H.8.21 Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 28 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 8.4 Daàm có độ cứng không đổi Xác định: - Độ võng góc xoay C - Góc xoay A B - Độ võng mặt cắt D q 4qa qa2 B D A C a a a H.8.22 8.5 Tìm độ võng mặt cắt C, góc xoay bên trái phải khớp A dầm P A D B C a a a nhö H.8.23 H.8.23 P A C a a 8.6 Tìm độ võng B, góc xoay A dầm H.8.24 H.8.24 8.7 Xác định độ võng góc xoay C A 2EI 40 kN EI B C 3m 1m H.8.25 8.8 Một hệ thống gồm ba công xon, Dầm tự liên kết với Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn http://www.ebook.edu.vn 29 ... ⎜− × ⎜ ⎟ ⎝ 57 6 EJ x ⎠ Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn × L × qL3 qL4 = × 57 6 24 EJ x EJ x http://www.ebook.edu.vn 25 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com... http://www.ebook.edu.vn 28 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 8.4 Dầm có độ cứng không đổi Xác định: - Độ võng góc xoay C - Góc xoay A B - Độ võng mặt cắt... AB (8 .5) ’ đó: zC - khoảng cách từ trọng tâm C Chưong 8: Chuyển vị dầm chịu uốn S AB kể từ A http://www.ebook.edu.vn 23 GV : Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com