GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLeâ đức Thanh lượng gây kéo ngược lại Ví dụï, tiết diện H.10.12.a, cho Mx = 10 kNm; My = kNm; Nz = 10 kN; h = 2b = 40 cm, tính ứng suất A Sử dụng công thức (10.9), chọn chiều dương trục x,y nhö H.10.12.a, xA = 10, yA = –20, ta được: σA = 10 1000 500 + (−20) + (10) 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 σ A = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm2 Để áp dụng công thức (10.10), biểu diễn tác dụng gây kéo, nén thành phần nội lực ôû (H.10.12.b), vôùi ⎪ xA ⎪ =10, ⎪ yA ⎪ = 20, ta được: 10 1000 500 (20) + (10) − 20.40 20.403 : 12 40.203 : 12 = 0,0125 − 0,1875 + 0,1875 = 0,0125 kN/cm2 σA = σA 3- Đường trung hòa biểu đồ ứng suất pháp Tương tự uốn xiên, thấy phương trình (10.9) hàm hai biến σz = f(x,y), biểu diễn hệ trục Oxyz, với O tâm mặt cắt ngang σz định hướng dương mặt cắt, hàm (10.9) biểu diễn mặt phẳng, gọi mặt ứng suất, giao tuyến với mặt cắt ngang đường trung hòa Dễ thấy rằng, đường trung hoà đường thẳng chứa tất điểm mặt cắt ngang có ứng suất pháp không Từ đó, cho σz = 0, ta có phương trình đường trung hòa: y = − M y Ix N I x− z x Mx Iy A Mx (10.11) Phương trình (10.11) có dạng y = ax + b, đường thẳng không qua gốc tọa độ, cắt trục y tung độ b=− N z I x A.M x Để sử dụng (10.11) thuận lợi, ta nên định hướng trục x,y sử dụng công thức (10.9), Nz lấy dấu theo quy ước lực dọc Mặt khác, tính chất mặt phẳng ứng suất, điểm nằm đường song song đường trung hòa có giá trị ứng suất, điểm xa đường trung hòa có giá trị ứng suất lớn nhất, ứng suất đường vuông góc với đường trung hòa thay đổi theo quy luật bậc Rõ ràng đường trung hòa chia tiết diện thành hai miền, miền chịu ứng suất kéo miền chịu ứng suất nén Nhờ tính chất này, biểu diễn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 10 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh phân bố ứng suất pháp mặt cắt ngang biểu đồ ứng suất phẳng sau Kéo dài đường trung hòa tiết diện, vẽ đường chuẩn vuông góc với đường kéo dài điểm O, điểm biểu diễn giá trị ứng suất pháp điểm đường trung hòa Sử dụng phép chiếu thẳng góc, chiếu điểm đường song song σ đường trung hòa lên đường chuẩn, điểm có chân hình chiếu xa O chịu ứng suất pháp + lớn σ max Điểm xa miền Nz z O kéo chịu ứng suất Mx M kéo lớn nhất, gọi σmax, điểm xa x y miền nén chịu ứng suất nén lớn nhất, gọi σmin Hình 10.13 Định hướng hệ trục x,y Biểu diễn giá trị σmax, σmin tung độ dùng công thức 9.11 hai phía đường chuẩn nối chúng lại đường thẳng, ta biểu đồ ứng suất phẳng (H.10.13) y Ứng suất pháp cực trị điều kiện bền Gọi A(xA,yA) B(xB,yB) hai điểm xa đường trung hoà miền kéo miền nén, áp dụng (10.10), ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị Nz σ A = σ max = ± σ B = σ = ± A Nz A Mx + − Ix Mx Ix yA + yB − My Iy My Iy xA (10.12) xB Theo (10.12), ta thấy, ứng suất lực dọc trái dấu với ứng suất Mx, My có trị số lớn tổng trị số tuyệt đối ứng suất Mx, My, đường trung hoà nằm mặt cắt, mặt cắt ngang có ứng suất dấu (chỉ chịu kéo chịu nén) - Với có tiết diện chữ nhật, điểm nguy hiểm A, B luôn điểm góc tiết diện: ⎪xA⎪=⎪xB⎪= b/2; ⎪yA⎪=⎪yB⎪= h/2 σ A = σ max = ± Nz σ B = σ = ± Nz A A + Mx − Mx Wx Wx + − My Wy (10.13) My Wy Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 11 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh - Thanh có tiết diện tròn, mômen tổng Mx, My Mu gây uốn túy phẳng, ta có công thức tính ứng suất pháp cực trị: = σ max = ± Nz σ B = σ = ± Nz σ A Mu = A A + Mu − Mu (10.13) Wu Wu 2 Mx + M y Thanh chịu uốn cộng kéo hay nén đồng thời gây ứng suất pháp mặt cắt ngang, điểm nguy hiểm, phân tố trạng thái ứng suất đơn, điều kiện bền là: (10.14) σ max ≤ [σ]k ; σ ≤ [σ]n 5- Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm Thanh chịu kéo hay nén lệch tâm ngoại lực hay nội lực tác dụng mặt cắt ngang tương đương lực P song song trục mà không trùng với trục Nếu lực P hướng vào mặt cắt, chịu nén lệch tâm, ngược lại, lực P hướng ra, chịu kéo lệch tâm (H.10.14.a) z z My P xK O P K yK y x O xK P z Mx My K yK x P y K xK O P Mx yK y x a) b) c) Hình 10.14 a) Tiết diện bị kéo lệch tâm; b) Dời lực tâm tiết diện Trong thực tế, toán nén lệch tâm thường gặp tính toán cột, móng nhà công nghiệp hay dân dụng, tính toán trụ, móng cẩu tháp Áp dụng nguyên lý dời lực, đưa lực kéo hay nén lệch tâm tâm tiết diện, ta chứng minh hai trường hợp thực chất toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời Trên H.10.14.a, gọi K(xK, yK) điểm đặt lực lệch tâm P, dời tâm O, ta có: Nz = ± P , lấy (+) P lực kéo, ngược lại, lấy (–) Mx = P.yK (10.15) My = P.xK Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 12 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Chiều mômen lấy theo nguyên lý dời lực Do đó, tất công thức thiết lập cho toán uốn cộng kéo hay nén đồng thời áp dụng cho toán kéo hay nén lệch tâm 6- Lõi tiết diện Đối với chịu kéo hay nén lêïch tâm, phương trình đường trung hoà viết dạng khác Cho biểu thức σz (10.9) không, ta phương trình đường trung hòa: σz = Thay : My Nz Mx y+ + x = A Ix Iy M x = N z yK ; M y = N z xK Nz N z yK N x + y+ z K x = A Ix Iy Nz y F x F [1 + K x] = y+ K Iy Ix A Ñaët : Ñaët: Iy Ix ; iy = A A y y x x + K2 + K2 = ix iy ix = a = − iy xK ; b = − ix yK (10.16) Ta thu dạng khác phương trình đường trung hòa : x y + =1 a b (10.17) Từ (10.16), (10.17), ta thấy đường trung hoà có tính chất sau: - Đường trung hoà cắt trục x a trục tung b - Đường trung hoà không qua phần tư chứa điểm đặt lực K a b trái dấu với xK, yK - Điểm đặt lực tiến gần tâm O tiết diện đường trung hòa rời xa tâm xK, yK giảm a, b tăng - Khi đường trung hòa nằm tiết diện, tiết diện chịu ứng suất dấu: kéo nén Gọi lõi tiết diện khu vực bao quanh tâm cho lực lệch tâm đặt phạm vi đường trung hoà hoàn toàn nằm tiết diện Với chịu kéo hay nén lệch tâm, việc xác định lõi tiết diện có ý nghóa thực tiễn Trong thực tế có nhiều loại vật liệu chịu nén tốt gạch, đá, gang, bêtông không thép , chúng chịu nén lệch tâm mà lực nén đặt lõi tiết diện, ứng suất kéo phát sinh lớn khả Chương 10: Thanh chịu lực phức taïp 13 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh chịu kéo chúng, vật liệu bị phá hoại, để tận dụng tốt khả chịu lực vật liệu cần thiết kế đặt lực nén lõi tiết diện Có thể xác định lõi tiết diện theo cách sau: Giả sử đường trung hòa tiếp xúc cạnh tiết diện, từ (10.17) ta viết phương trình đường trung hòa, từ (10.16) ta suy tọa độ điểm đặt lực K tương ứng với vị trí đường trung hòa Áp dụng cách tương tự tất cạnh lại, nối vị trí điểm đặt lực, ta lõi tiết diện Để ý rằng, dù tiết diện đa giác lõm lõi tiết diện đa giác lồi Ví dụï: tiết diện chữ nhật (H.10.15) Khi đường trung hòa trùng cạnh AB: x y + =1 ∞ h/2 i2 y − = ∞ ⇒ xK = xK − ix yK = Đường trung A B x O h C Đường trung hòa D h h h ⇒ yK = − = − h 12 b Hình Khi đường trung hòa trùng cạnh BC: Lõi tiết diện chữ nhật x y + =1 b/ ∞ iy b b2 b − = ⇒ xK = − = − xK 12.b / − ix = ∞ ⇒ yK = yK Do tính đối xứng tiết diện, đường trung hoà trùng cạnh CD, AD, ta xác định hai điểm K tương ứng có tọa độ là: xK = 0; yK = h vaø xK = b ; yK = Nối điểm K, ta lõi tiết diện tiết diện chữ nhật làø hình thoi có đỉnh trục x,y (H.10.15) - Tiết diện tròn (H.10.16) Khi đường trung hòa tiếp tuyến với đường tròn A: x y + =1 ∞ D/2 − iy xK = ∞ ⇒ xK = ; − ⇒ yK = − ix = D/2 yK π.D4 D = − π.D2 D 64 y Đường trung hòa x O Do tính đối xứng tiết diện, ta thấy lõi D/8 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp D 14 Hình Lõhttp://www.ebook.edu.vn i tiết dieän GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh tiết diện đường tròn đồng tâm đường kính D/8 Ví dụï 10.3 Một tiết diện chữ nhật (b.h), chịu tác dụng ngoại lực H.10.17.a Vẽ biểu đồ nôïi lực, tính σmax, σmin xác định đường trung hòa ngàm Cho: q = kN/m, P1 = 100 kN, P2 = kN, H = m, h = 2b = 40 cm z z x P1 z z P1 x y y y P2 P1 q P2 H b h qH /2 Nz a) P2H My Mx b) Hình 10.17 a) Thanh chịu nén cộng uốn; b) Biểu đồ nội lực Giải: Biểu đồ nội lực nguyên nhân gây vẽ H.10.17.b Tại ngàm, nội lực có giá trị lớn nhất: Nz = –P1 (nén); Mx = qH2/2; My = P2.H Áp dụng công thức (10.12): σ max, = − P1 q.H / P2 H ± ± A Wx Wy Thay số, ta được: 100 5.62.100 6.6 100 ± ± 20.40 20.402 40.202 6 2,912kN/cm = − 0.125 ± 1,687 ± 1,350 = ± 3,162 kN/cm σ max, = − Phương trình đường trung hòa: y = − M y Ix N I x − z x Mx Iy A Mx (a) Chọn hệ trục y,x dương phía gây kéo Mx My, thay số vào (a) ta được: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 15 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh y = − − 100 20.403 / 12 6.6 20.403 / 12 = − 1,6 x + 1,48 x − 20.40 40.20 / 12 62 5 .100 2 Đường trung hoà biểu đồ ứng suất vẽ H.10.18 σ max z Mx x P1 y O My Đường trung hòa σ Hình 10.18 Đường trung hoa chịu nén uốn Ví dụï 10.4 Một cột chịu nén lệch tâm lực đẩy gió H.10.19.a xem chân cột bị ngàm Tính σmax, σmin Nếu khối móng có kích thước 1m×3m×0,5m đặt H.10.19.a, tính áp lực lớn đất P1 = 50 kN; q = kN/m; H = m; h = 2b = 40 cm; γ = 25 Cho: kN/m3 e = 20 cm P1 Mx Nz 0,5 m 1m q h b b) H 3m 141,3 cm 8,7 cm 0,5 m σmin 1m 3m c) a) 26 cm Hình 10.19 a) Cột chịu nén lệch tâm b) Nội lực tiết diện chân cột; c) Biểu đồ áp lực lên đất Nội lực lớn tiết diện ngàm: Nz = – P1 = – 50 kN (neùn) Mx = P1.e + qH2/2 = 50.20 + 4.62.100/2 = 8200 kN.cm Áp dụng công thức (10.12), ứng suất pháp lớn nhất: σ max, = − P1 q.H / + P1 e ± = A Wx σ max, = − 1,47 kN 50 8200 ± = − 0,0625 ± 1,537 = ± 1,60 cm 20.40 20.402 / Chương 10: Thanh chịu lực phức taïp 16 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Dời lực đáy móng, kể thêm trọng lượng thân móng mômen lực cắt qH, ta được: Nz = – 50 – 25.0,5.2.1 = – 75 kN (neùn) Mx = 10600 kNcm Tại đáy móng, vật liệu liên tục, ta có phương trình đường trung hòa: y = − N z Ix − 75 100.3003 = − = 53,07 cm 100.300 12.10600 A Mx Theo (10.12), ta có ứng suất pháp lớn nhất: σ max, = − 0,0045 kN 75 10600 ± = ± 0,0095 cm 100.300 100.3002 / Thực tế, đáy móng, vật liệu đất chịu nén, chịu ứng suất kéo, đó, để đảm bảo điều kiện cân bằng, hợp lực phản lực phải cân với ngoại lực tác dụng Ngoại lực mặt đáy móng gồm lực nén 75 kN mômen Mx = 10600 kNcm tương đương lực nén 75 kN lệch tâm đặt trục y với độ lệch tâm e = 10600/75 =141,3 cm, đặt cách mép chịu nén lớn 150 –141,3 = 8,7 cm Để cân với lực này, hợp lực phản lực phải đối đẳng với lực nén 75 kN, giả sử phản lực phân bố theo quy luật bậc nhất, phản lực phải phân bố diện tích mặt móng 100 × (3 × 8,7) = 100 × 26 cm2 tính từ mép chịu nén lớn (H10.19.c) Điều kiện cân cho: σmin.100.26/2 = 75 => σmin = 0,0577 kN/cm2 = 5,77 kG/cm2 Kết cho thấy, mặt đế móng không thiết kế sử dụng toàn diện tích mặt móng nên ứng suất nén truyền lên tăng lên, móng thiết kế không hợp lý 10.4 UỐN CỘNG XOẮN 1- Định nghóa Thanh chịu uốn cộng xoắn mặt cắt ngang có tác dụng đồng thời mômen uốn Mu mặt phẳng chứa trục mômen xoắn Mz Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 17 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh 2- Thanh tiết diện chữ nhật Uốn xoắn tiết diện chữ nhật thường gặp công trình dân dụng lanh tô đỡ ô văng, dầm chịu lực mặt phẳng đối xứng, chịu uốn hệ không gian Xét tiết diện chữ nhật chịu uốn xoắn (H.10.20) mômen uốn Mu phân tích thành hai mômen uốn Mx, My mặt phẳng quán tính trung tâm yOz, xOz σmin(Mx,M y) B y D σmin(Mx) x Mz z σmax(M y) My C A τ1 A σmax(M x,M y) σmin(My) F σmin(My) σmax(M x) σmax(M x) σmax(M x,M y) τmax τ1 σmax(M y) E Mx σmin(Mx,M y) σmin(Mx) τmax F E D B C b) a) Hình 10.20 a) Các thành phần nội lực chịu uốn cộng xoắn b) Trạng thái ứng suất phân tố Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết uốn, xoắn, ta kết sau (H.10.20.b): Tại góc tiết diện (A,B), có ứng suất pháp lớn Mx,My, phân tố trạng thái ứng suất đơn: σ max, = ± Điều kiện beàn: Mx Wx ± My (10.19) Wy σ max ≤ [σ]k ; σ ≤ [σ]n Tại điểm cạnh ngắn (C,D), chịu ứng suất pháp lớn Mx ứng suất tiếp τ1 Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: σ max, = ± Mx Wx ; τ1 = γτ max (10.20) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ2 ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] Tại điểm cạnh dài (E,F), chịu ứng suất pháp lớn My ứng suất tiếp τ1max Mz, phân tố trạng thái ứng suất phẳng: Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 18 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh My σ max, = Wy ; τ max = Mz α.h.b2 (10.21) Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: σ + 4τ ≤ [σ] Theo thuyết bền thứ 4: σ + 3τ ≤ [σ] 3- Tiết diện tròn Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn đồng thời thường gặp tính trục truyền động trình truyền tác dụng xoắn qua puli kèm theo tác dụng uốn lực căng dây đai, trọng lượng thân trục, puli Xét tiết diện tròn chịu tác dụng mômen uốn Mu mômen xoắn Mz (H.10.21.a) Nếu có nhiều ngoại lực gây uốn tác dụng mặt phẳng khác nhau, ta luôn phân tích chúng thành thành phần tác dụng hai mặt phẳng vuông góc yOz, xOz, từ xác định Mx, My, sau xác định mômen toång Mu = v σmin(Mu) u Mz B z O τmax(Mz) σmax(Mu) σmax(Mu) Mu A a) τmax(Mz) σmin(Mu) B 2 Mx + M y b) A Hình 10.21 a) Thanh tiết diện tròn chịu uốn xoắn b) Trạng thái ứng suất phân tố Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng lý thuyết uốn, xoắn, ta kết sau (H.10.21.b): Dưới tác dụng mômen uốn Mu, hai điểm A,B chịu ứng suất pháp lớn σmax, σmin, ra, tác dụng mômen xoắn Mz, hai điểm A, B chịu ứng suất tiếp τmax, hai điểm nguy hiểm tiết diện Ta có: σ max, = ± τ max = Mu Wu ; Mu = Mx + M y (10.22) Mz Wp Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 19 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh v τmax(Mz) σmin(Mu, Nz) B σmin(Mu, Nz) u B Mz z O τmax(Mz) σmax(Mu, Nz) Mu σmax(Mu, Nz) A A b) a) Hình 10.25 a) Các thành phần nội lực b) Trạng thái ứng suất phân tố Ví dụï 10.7 Có tiết diện tròn đường kính D chịu hệ lực không gian H.10.26.a Vẽ biểu đồ nội lực xác định đường kính D Cho: q = kN/m; P = qa; a = m; [σ] = 16 kN/cm2 Giải Biểu đồ nội lực vẽ H.10.26.b Tại ngàm tiết diện chịu nội lực lớn nhất: Nz = qa = 4.4= 16 kN (neùn); Mx = qa2 = 4.42.100 = 6400 kN.cm My = qa2/2 = 4.42.100/2 = 3200 kN.cm; Mz = qa2/8 = 4.42.100/8 = 800 kN.cm P = qa q = kN/m a/2 qa2/8 qa2/2 qa2/8 qa a qa2/2 qa2 a) Muoán P Muoán q b) Nz Mz Hình 10.26 a) Sơ đồ tính chịu lực phức tạp b) Biểu đồ nội lực vẽ theo nguyên lý cộng tác dụng Ứng suất pháp lớn nhất: σ max = Nz A Mx Mu = σ max = + Mu Wu + My = 64002 + 32002 = 7155,41 kN.cm 16 7155,4 + π.D / π.D3 / 32 Ứng suất tiếp lớn nhất: τ max = Mz 800 = Wp π.D / 16 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 24 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh Điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: ⇒ ( σ + 4τ2 ≤ [σ] 800 16 7155,4 + ) ≤ [σ] ) + 4.( π.D / π.D3 / 32 π.D / 16 Trong tính toán thực hành, để thuận lợi cho việc giải bất phương trình trên, ban đầu chọn D theo uốn xoắn, bỏ qua ứng suất lực dọc, sau kiểm tra lại, ta có: ⇒ ( 7155,4 800 ) + 4.( ) ≤ [σ] ⇒ D ≥ 16,6 cm π.D3 / 32 π.D3 / 16 Ban đầu, chọn: D = 168 mm Kiểm tra điều kiện bền: Theo thuyết bền thứ 3: ⇒ ( 16 + σ + 4τ2 ≤ [σ] 7155,4 π 16,8 / π 16,83 / 32 ) + 4.( 800 π 16,83 / 16 )2 (0,072 + 15,38) + 4.(0,86) = 15,54 kN/cm < [σ ] = 16 kN/cm Vậy chọn: D = 168 mm BÀI TẬP CHƯƠNG 10 10.1 Một cong xon tiết diện chữ nhật chịu tác dụng tải trọng H.10.27 Vẽ biểu đồ nội lực, tính ứng suất pháp lớn nhất, xác định vị trí đường trung hoà mặt cắt ngàm 12 cm q P = qL E = 103 kN/cm2 30 20 cm q = kN/m P = qL o L=2m Hình 10.27 10.2 Xác định giá trị tuyệt đối lớn ứng suất pháp, vị trí đường trung hoà mặt cắt nguy hiểm dầm (H.10.28), a = m P = kN cm x 20 cm 12 2a P z a y Hình 10.28 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 25 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh 10.3 Xác định σmax , σmin vị trí đường trung hoà mặt cắt nguy hiểm cột H.10.29 P = 80 kN z y 40cm x q = kN/m m 20 cm Hình 10.29 10.4 Một cột chịu tải trọng H.10.30 Xác định ứng suất nén lớn nhỏ mặt cắt chân cột Cho trọng lượng riêng vật liệu cột là: γ = 20 kN/m3 1m P = 1000 kN 0,8 m k 3m m m A B C Hình 10.30 10.5 a Một trụ đỡ có tiết diện gồm hai thép hình số hiệu [ 24 chịu tải trọng H.10.31 Xác định ứng suất kéo nén lớn mặt cắt chân cột có xét trọng lượng cột b Một cột chịu tải trọng H.10.32 Tính ứng suất ứng suất kéo nén lớn Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 26 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh 4m P1 = 20 kN 2m P2 = kN q = kN/m P2 = 0,5 kN m P1 = kN e = 60 cm m G 40 cm m Hình 10.31 m c Hình 10.32 10.6 Một cột tròn rỗng chịu tác dụng tải trọng H.10.33.a Tính ứng suất pháp σmax, σmin tiết diện chân cột, xác định vị trí biểu diễn đường trung hoà tiết diện Giả sử móng cột có kích thước m × 1,2 m × h, trọng lượng riêng γ = 25 kN/m3 (H.10.33.b) trục cột bố trí qua tâm móng Hãy cách bố trí mặt móng tính kích thước h cho đáy móng không phát sinh ứng suất kéo z P1 = 100 kN x P2 =10 kN y H=4m P2 = kN 1,2 m 2d = 40 cm d 2m h b) a) Hình 10.33 10.7 Một khung tiết diện chữ nhật đều, có căng AB, chịu tác dụng tải trọng H.10.34 Vẽ biểu đồ nội lực khung nội lực kéo AB xác định ứng suất σmax, σmin vị trí đường trung hoà mặt cắt ngang K Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 27 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh q = kN/m q = 4kN/m 2m K P = kN h = 2b m = H 4m b= 20 cm A I24 B L=2m L/2 = m L/2 = m Hình 10.35 Hình 10.34 10.8 Một khung tiết diện chữ I24, chịu tác dụng tải trọng H.10.35 xác định nội lực tiết diện chân cột Kiểm tra bền Cho [σ]=16 kN/cm2 10.9 Một gẫy khúc tiết diện tròn đường kính d chịu lực H.10.36 Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn Cho [σ] = 2,8 kN/cm2 30 cm d 40 cm d P1 = 0,8 kN d 10 cm P2=0,5 kN Hình 10.36 10.10 Một trục truyền động tiết diện tròn đường kính d có sơ đồ tính H.10.37 Vẽ biểu đồ nội lực, xác định đường kính d theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn Cho [σ] = 10 kN/cm2 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 28 http://www.ebook.edu.vn GV: Version - http://www.simpopdf.com Simpo PDF Merge and Split UnregisteredLê đức Thanh M2 = kNm M3 = kNm M1 =10 kNm M4 = kNm P P P P=1 kN a a a a a a Hình 10.37 Chương 10: Thanh chịu lực phức tạp 29 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Chương 11 ỔN ĐỊNH CỦA THANH THẲNG CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 11.1 KHÁI NIỆM VỀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG Để đáp ứng yêu cầu chịu lực bình thường, phải thỏa mãn điều kiện bền cứng, trình bày chương trước Tuy nhiên, nhiều trường hợp, phải thỏa mãn thêm điều kiện ổn định Đó khả trì hình thức biến dạng ban đầu bị nhiễu Trong thực tế, nhiễu yếu tố sai lệch so với sơ đồ tính độ cong ban đầu, nghiêng lệch tâm lực tác dụng Khái niệm ổn định minh họa cách xét cân cầu mặt lõm, lồi phẳng H.11.1 H.11.1 Sự cân vị trí cầu Nếu cho cầu chuyển dịch nhỏ (gọi nhiễu) từ vị trí ban đầu sang vị trí lân cận bỏ nhiễu thì: - Trên mặt lõm, cầu quay vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu ổn định - Trên mặt lồi, cầu chuyển động xa vị trí ban đầu: cân vị trí ban đầu không ổn định - Trên mặt phẳng, cầu giữ nguyên vị trí mới: cân vị trí ban đầu phiếm định Hiện tượng tương tự xảy cân trạng thái biến dạng hệ đàn hồi Chẳng hạn với chịu nén H.11.2 Trong điều kiện lý tưởng (thanh thẳng tuyệt đối, lực P hoàn toàn tâm ) giữ hình dạng thẳng, co ngắn chịu nén tâm Nếu cho điểm đặt lực P chuyển vị bé δ lực ngang gây ra, sau bỏ lực xảy trường hợp biến dạng sau: Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com + Nếu lực P nhỏ giá trị Pth đó, gọi lực tới hạn, tức P < Pth, phục hồi lại trạng thái biến dạng thẳng Ta nói làm việc trạng thái ổn định + Nếu P > Pth chuyển vị δ tăng bị cong thêm Sự cân trạng P< Pth P= Pth δ P> Pth thái thẳng (δ = 0) không ổn định Ta nói trạng c) b) thái ổn định Trong thực a) TT mấ t n định TT tới hạ n tế có chuyển vị δ TT n định chuyển sang hình thức biến H 11.2 Sự cân TT biế n dạng dạng bị uốn cong, khác trước tính chất, bất lợi điều kiện chịu lực + Ứng với P = Pth giữ nguyên chuyển vị δ trạng thái biến dạng cong Sự cân trạng thái thẳng phiếm định Ta nói trạng thái tới hạn H.11.3 giới thiệu thêm vài kết cấu bị ổn định dầm chịu uốn, vành tròn chịu nén đều… Khi xảy ổn định dù dẫn tới sụp đổ toàn kết cấu Tính chất phá hoại ổn định đột ngột P > Pth nguy hiểm Trong lịch sử ngành xây dựng xảy thảm họa sập cầu ổn định q > qth H 11.3 Các dạng ổn định dàn chịu nén cầu Mekhelstein Thụy Só (1891), cầu Lavrentia Mỹ (1907) Vì thiết kế cần phải đảm bảo điều kiện ổn định, điều kiện bền điều kiện cứng nêu trước Điều kiện ổn định: P ≤ [P ]ôđ = Pth kôđ Hay : N z ≤ [P ]ôđ = Pth kôđ (11.1) (11.2) kôđ : Hệ số an toàn mặt ổn định, quy định, thường lớn hệ số an toàn độ bền n P ( hay Nz ) : Lực nén ( nội lực nén ) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.2 KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN ĐÀN HỒI 1- Tính lực tới hạn Pth có kết khớp hai đầu ( Bài toán Euler) Xét thẳng liên kết khớp hai đầu, Pth chịu nén lực tới hạn Pth Khi bị nhiễu, bị uốn cong y Pth cân hình dạng H.11.4a Đặt hệ trục toạ độ (x,y,z) H.11.4a l y(z) y Xét mặt cắt có hoành độ z ; Pth Độ võng mặt cắt nầy y Ta có phương trình vi phân đường đàn hồi: y '' = − M EJ (b) vaøo (a) ⇒ y '' = − Đặt: α = Pth ⇒ EJ z (a) Với: mômen uốn M = Pth y M b) H 11.4 (b) hay Pth y EJ (từ điều kiện cân H.11.4b) y '' + Pth y=0 EJ (c) y '' + α y = Nghiệm tổng quát (c) là: y = A sin(α z ) + B cos(α z ) (d) Caùc số xác định từ điều kiện biên y(0) = y(L) = Với: y(0) = ⇒ B=0 A sin(α L) = y(L) = ⇒ để toán có nghóa y( z) ≠ ⇒ A ≠ , ⇒ sin(α L) = phương trình có nghiệm α L = nπ , với n = 1, 2, 3, ⇒ Pth = n 2π EJ L2 (e) Thực tế, lực nén đạt đến giá trị tới hạn nhỏ theo (e) ứng với n = bị cong Vì vậy, giá trị ứng với n > ý nghóa Ngoài ra, cong mặt phẳng có độ cứng uốn nhỏ Do đó, công thức tính lực tới hạn thẳng hai đầu liên kết khớp là: Pth = π EJ L2 (11.3) Đường đàn hồi tương ứng có dạng nửa sóng hình sine: y = A sin( πz L ) (11.4) với: A số bé, thể độ võng nhịp Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 2- Tính Pth có liên kết khác đàu Áp dụng phương pháp cho có liên kết khác hai đầu, ta công thức tính lực tới hạn có dạng chung: Pth = m 2π EJ L2 (11.5) với: m - số nửa sóng hình sine đường đàn hồi ổn định Đặt μ = , gọi hệ số quy đổi, (11.5) thành m π EJ Pth = ( μL) (11.6) (11.6) gọi chung công thức Euler Dạng ổn định hệ số μ có liên kết hai đầu khác thể H.11.5 m=1/2 μ= m= μ= m= 1,43 μ= 0,7 m= μ= 1/2 m= μ= m=1/2 μ= H 11.5 Dạng ổn định hệ số μ 3- Ứng suất tới hạn Ứng suất thẳng chịu nén tâm lực Pth gọi ứng suất tới hạn xác định theo công thức: σ th = Pth π EJ π Eimin π 2E = = = 2 F ( μ L) F ( μ L) ⎛ μ L ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ imin ⎠ (11.7) J bán kính quán tính nhỏ tiết diện F μL : độ mảnh (11.8) Đặt λ = imin vớiù: imin = (11.7) thành: σ th = π2 E λ2 (11.9) Độ mảnh λ thứ nguyên, phụ thuộc vào chiều dài thanh, điều kiện liên kết đăïc trưng hình học tiết diện; có độ mảnh lớn dễ ổn định Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 4- Giới hạn áp dụng công thức Euler Công thức Euler xây dựng sở phương trình vi phân đường đàn hồi, áp dụng vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi, tức ứng suất nhỏ giới hạn tỷ lệ: σ th = hay: λ ≥ Nếu đặt: π2 E ≤ σ tl λ2 π2 E σ tl λo = (f) π2 E σ tl (11.10) điều kiện áp dụng công thức Euler là: λ ≥ λo (11.11) đó: λo - gọi độ mảnh giới hạn số loại vật liệu Thí dụ: Thép xây dựng thông thường λo = 100, gỗ λo = 75; gang λo = 80 Nếu λ ≥ λo gọi độ mảnh lớn Như vậy, công thức Euler áp dụng cho có độ mảnh lớn Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.3 ỔN ĐỊNH NGOÀI MIỀN ĐÀN HỒI 1- Ý nghóa Công thức Euler áp dụng vật liệu đàn hồi Đồ thị phương trình (11.6) hyperbola H.11.6, σ th ≤ σ tl Khi σ th f σ tl ⇔ vật liệu làm việc miền στh σ0 στl Iasinski Hyperbola Euler λ1 λ0 λ H 11.6 Ứng suất tới hạn đàn hồi, cần thiết phải có công thức khác để tính Pth 2- Công thức thực nghiệm Iasinski Công thức Iasinski đề xuất dựa nhiều số liệu thực nghiệm, phụ thuộc vào độ mảnh - Thanh có độ mảnh vừa λ1 ≤ λ p λo : (11.12) σ th = a − λb với: a b số phụ thuộc vật liệu, xác định thực nghiệm: • Thép xây dựng: a = 33,6 kN/cm2; b = 0,147 kN/cm2 • Goã: a = 2,93 kN/cm2; b = 0,0194 kN/cm2 độ mảnh λ1 xác định từ công thức: λ1 = a − σ tl b thực nghiệm cho thấy phạm vi giá trị (11.13) λ1 = 30 ÷ 40 - Thanh có độ mảnh bé λ p λ1 : Khi không ổn định mà đạt đến trạng thái phá hoại vật liệu Vì vậy, ta coi: σ th = σ = σ b vật liệu dòn σ th = σ = σ ch vật liệu dẻo (11.14) Lực tới hạn : Pth = σ th F (11.15) Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com Thí dụ 11.1 Tính Pthï σth cột làm thép số có mặt cắt ngang hình chữ Ι số 22 Cột có liên kết khớp hai đầu Xét hai trường hợp: a Chiều cao cột 3,0 m b Chiều cao cột 2,25 m Biết: E = 2,1.104 kN/cm2;σtl = 21 kN/cm2 ; λo = 100 Các số công thức Iasinski : a= 33,6 kN/cm2, b=0,147 kN/cm2 Giải Tra bảng thép định hình (phụ lục ) ta có số liệu thép Ι No22: imin = i y = 2,27 cm; F = 30,6 cm ; theo liên kết ta có μ = + Trường hợp a) Độ mảnh : λ= μl imin = 1.300 = 132 > λo = 100 2,27 Thanh có độ mảnh lớn, áp dụng công thức Euler σ th = π E π 2,1.104 = = 11,88 kN / cm 2 λ 132 Pth = σ th F = 11,88.30,6 = 363,62 kN ⇒ + Trường hợp b) Độ maûnh : λ= μl imin = λ1 = 1.225 = 99,11 < λ0 2,27 a − σ tl 33,6 − 21 = = 85,7 b 0,147 → λ1 < λ < λ Thanh có độ mảnh vừa, dùng công thức Iasinski: σ th = a − bλ = 33,6 − 0,147.90 = 20,37 kN / cm Pth = σ th F = 20,37.30,6 = 623,32 kN Chuù ý: - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính giống công thức có dụng Jmin imin - Nếu liên kết hai mặt phẳng quán tính khác ổn định cong mặt phẳng có độ mảnh lớn đại lượng J , i lấy mặt phẳng Chương 11: n định thẳng chịu nén tâm http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com 11.4 PHƯƠNG PHÁP THỰC HÀNH TÍNH ỔN ĐỊNH THANH CHỊU NÉN 1- Phương pháp tính: Thanh chịu nén cần phải thỏa : ♦ Điều kiện bền: σ = P σ ≤ [σ ]n ; với: [σ]n = o n Fth (11.16) đó: n - hệ số an toàn độ bền Fth - diện tích tiết diện giảm yếu (bị khoét lỗ); không khoét lỗ Fth = F tiết diện nguyên ♦ Điều kiện ổn định: σ = P σ ≤ [σ ]ôđ ; với: [σ ]ôđ = th kôđ F (11.17) đó: kôđ ( hay k)- hệ số an toàn ổn định Vì giảm yếu cục số tiết diện có ảnh hưởng không đáng kể đến ổn định chung Do tính chất nguy hiểm tượng ổn định xét đến yếu tố không tránh độ cong ban đầu, độ lệch tâm lực nén … nên chọn kôđ > n, k thay đổi phụ thuộc vào độ mảnh Thép xây dựng có kôđ = 1,8 ÷ 3,5 minh họa H.11.7; gang kôđ = ÷ 5,5; gỗ kôđ = 2,8 ÷ 3,2 σ,kG/cm2 Để thuận tiện cho tính toán 2400 2000 Euler Hyperbola 2400 1400 1000 k = 3,5 k k k =1,7 Đường giới hạn ứng suất 50 100 150 200 250 λ Hình.11.7 Hệ số an toàn kôđ cho thép thực hành, người ta đưa vào khái niệm hệ số uốn dọc hệ số giảm ứng suất cho phép ϕ định nghóa sau: ϕ= [σ]ôđ σ n = th [σ]n σo k ϕ < 1, hai tỉ số: σ th