c) Chng minh rng: 2 2 4 ABC R p S , trong ú S ABC l din tớch tam giỏc ABC v p l chu vi ca tam giỏc DEF. Ht. H v tờn: ; SBD.; Phũng thi s: Ch kớ ca giỏm th 1:; Ch kớ ca giỏm th 2: S GIO DC V O TO LONG AN CHNH THC K THI TUN SINH LP 10 NM HC 2009-2010 Mụn thi : TON h chuyờn Ngy thi : 10-7 2009 Thi gian : 150 phỳt ( khụng k phỏt ) Cõu 1 (2) Rỳt gn cỏc biu thc sau : 1) A = 4 + 2 3 + 4 - 2 3 2) B = 3 7 + 5 2 + 3 7 - 5 2 Cõu 2 (2) 1) Gii h phng trỡnh : 2x x - 1 + y y - 1 = 6 x x - 1 + 3y y - 1 = 8 2) Gii phng trỡnh : x 4 - 2x 3 - x 2 + 2x + 1 = 0 Cõu 3 (2) Gi th hm s y = x 2 l parabol (P), th ca hm s y = x - m l ng thng (d) . 1) Tỡm giỏ tr ca m (d) ct (P) ti hai im phõn bit . 2) Khi (d) ct (P) ti hai im phõn bit A v B kớ hiu x A v x B ln lt l honh ca A v B . Tỡm cỏc giỏ tr ca m sao cho x 3 A + x 3 B = 1 . Cõu 4 (2) 1) Cho tam giỏc ABC . Gi M,N,P ln lt l trung im ca cỏc cnh AB,BC,CA. Khng nh S ABC = 4S MNP ỳng hay sai ? ti sao ? 2) Cho ng trũn (T) cú ng kớnh AB . Gi C l im i xng vi A qua B , PQ l mt ng kớnh thay i ca (T) khỏc ng kớnh AB. ng thng CQ ct ng thng PB im M . Khng nh CQ = 2CM ỳng hay sai ? ti sao ? Cõu 5 (2) 1) Cho hai s thc x , y thay i v tho món iu kin : 2x + 3y = 5 . Tỡm x ,y biu thc P = 2x 2 + 3y 2 + 2 t giỏ tr nh nht . Tỡm giỏ tr nh nht ú . 2) Cho t , y l hai s thc tho món iu kin : t + y 2 + y t - 5 t - 4y + 7 = 0. Hóy tỡm t , y . Ht Sở giáo dục và đào tạo Hng yên đề chính thức www.VNMATH.com www.VNMATH.com 52 kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (1,5 điểm) Cho 1 1 a 2 : 7 1 1 7 1 1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - 1 là một nghiệm. Bài 2: (2,5 điểm) a) Giải hệ phơng trình: x 16 xy y 3 y 9 xy x 2 b) Tìm m để phơng trình 2 2 2 x 2x 3x 6x m 0 có 4 nghiệm phân biệt. Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mãn 2 k 4 và 2 k 16 là các số nguyên tố thì k chia hết cho 5. b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại C. Chứng minh rằng: a) MB.BD MD.BC b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD. c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi. Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF = IJ. Hết Họ và tên thí sinh: . Chữ ký của giám thị . Số báo danh: Phòng thi số: www.VNMATH.com www.VNMATH.com 53 Hớng dẫn chấm thi Bài 1: (1,5 điểm) 1 1 7 1 1 7 1 1 a 2 : 2 : 7 7 1 1 7 1 1 0,5 đ a = 2 2 : 7 7 0,25 đ Đặt 2 x a 1 x 7 1 x 1 7 x 2x 1 7 0,5 đ 2 x 2x 6 0 Vậy phơng trình 2 x 2x 6 0 nhận 7 1 làm nghiệm 0,25 đ Bài 2: (2,5 điểm) a) x 16 x 16 xy (1) xy y 3 y 3 y x 5 y 9 (2) xy x y 6 x 2 ĐK: x,y 0 0,25 đ Giải (2) 2 2 6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 0,25 đ * Nếu 3y 2x 3y 0 x 2 . Thay vào (1) ta đợc 3y 3 16 y. 2 2 3 0,25 đ 2 3y 23 2 6 (phơng trình vô nghiệm) 0,25 đ * Nếu 2y 3x 2y 0 x 3 . Thay vào (1) ta đợc 2 y 9 y 3 0,25 đ - Với y 3 x 2 (thoả mãn điều kiện) - Với y 3 x 2 (thoả mãn điều kiện) Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) 0,25 đ b) Đặt 2 2 x 2x 1 y x 1 y x 1 y (y 0) (*) Phơng trình đã cho trở thành: 2 y 1 3 y 1 m 0 2 y 5y m 4 0 (1) 0,25 đ Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình (1) có 2 nghiệm dơng phân biệt 0,25 đ 0 9 4m 0 S 0 5 0 P 0 m 4 0 0,25 đ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 54 9 m 9 4 m 4 4 m 4 Vậy với 9 4 m 4 thì phơng trình có 4 nghiệm phân biệt. 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > 1 suy ra 2 2 k 4 5; k 16 5 - Xét 2 2 2 k 5n 1 (với n ) k 25n 10n 1 k 4 5 2 k 4 không là số nguyên tố. 0,25 đ - Xét 2 2 2 k 5n 2 (với n ) k 25n 20n 4 k 16 5 2 k 16 không là số nguyên tố. 0,25 đ - Xét 2 2 2 k 5n 3 (với n ) k 25n 30n 9 k 16 5 2 k 16 không là số nguyên tố. 0,25 đ - Xét 2 2 2 k 5n 4 (với n ) k 25n 40n 16 k 4 5 2 k 4 không là số nguyên tố. Do vậy k 5 0,25 đ b) Ta chứng minh: Với a,b,c thì 2 2 2 2 a b c 3 a b c (*) Thật vậy 2 2 2 2 2 2 (*) a b c 2ab 2bc 2ca 3a 3b 3c 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 0 (luôn đúng) 0,5 đ áp dụng (*) ta có: 2 p a p b p c 3 3p a b c 3p Suy ra p a p b p c 3p (đpcm) 0,5 đ Bài 4: (3,0 điểm) J I C N M O A B D www.VNMATH.com www.VNMATH.com 55 a) Xét MBC và MDB có: BDM MBC (haigóc nội tiếp chắn hai cung bằn g nhau) BMC BMD 0,5 đ Do vậy MBC và MDB đồng dạng Suy ra MB MD MB.BD MD.BC BC BD 0,5 đ b) Gọi (J) là đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC hay BJC MBC 2 0 180 BJC BCJ cân tại J CBJ 2 0,5 đ Suy ra O O BJC 180 BJC MBC CBJ 90 MB BJ 2 2 Suy ra MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB 0,5 đ c) Kẻ đờng kính MN của (O) NB MB Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC Chứng minh tơng tự I thuộc AN Ta có ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN 0,5 đ Do đó tứ giác CINJ là hình bình hành CI = NJ Suy ra tổng bán kính của hai đờng tròn (I) và (J) là: IC + JB = BN (không đổi) 0,5 đ Bài 5: (1,0 điểm) g f e d h c b a G F I H J M C A B D E K Gọi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (với a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dơng) Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có số đo là: O O 8 2 180 135 8 ( ). 0,25 đ Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180 O - 135 O = 45 O 0,5 đ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 56 Do ®ã c¸c tam gi¸c MAE ; FBG ; CIH ; DKJ lµ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n.  MA = AE = h 2 ; BF = BG = b 2 ; CH = CI = d 2 ; DK = DJ = f 2 Ta cã AB = CD nªn: h b f d a e 2 2 2 2       (e - a) 2 = h + b - f - d NÕu e - a ≠ 0 th× h b f d 2 e a        (®iÒu nµy v« lý do 2 lµ sè v« tØ) VËy e - a = 0  e = a hay EF = IJ (®pcm). 0,25 ® HÕt www.VNMATH.com www.VNMATH.com 57 Sở giáo dục và đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y xy 3 xy 3x 4 2) Tìm m nguyên để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm nguyên: 2 2 4x 4mx 2m 5m 6 0 Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gọn biểu thức: 3 3 2 2 2 4 x 2 x 2 x A 4 4 x với 2 x 2 2) Cho trớc số hữu tỉ m sao cho 3 m là số vô tỉ. Tìm các số hữu tỉ a, b, c để: 3 2 3 a m b m c 0 Câu III (2.0 điểm): 1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x 3 là một số nguyên dơng và biết f(5) f(3) 2010 . Chứng minh rằng: f(7) f(1) là hợp số. 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 P x 4x 5 x 6x 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn và các điểm A, B, C lần lợt là hình chiếu vuông góc của M, N, P trên NP, MP, MN. Trên các đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E sao cho DE song song với NP. Trên tia AB lấy điểm K sao cho DMK NMP . Chứng minh rằng: 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp. Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt. Tìm vị trí của các điểm B và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất. Hết Họ và tên thí sinh : Số báo danh : Chữ kí của giám thị 1 : Chữ kí của giám thị 2: Hớng dẫn chấm Đề thi chính thức www.VNMATH.com www.VNMATH.com 58 Câu Phần nội dung Điểm 2 2 2 x y xy 3 (1) xy 3x 4 (2) Từ (2) x 0. Từ đó 2 4 3x y x , thay vào (1) ta có: 0.25 2 2 2 2 4 3x 4 3x x x. 3 x x 0.25 4 2 7x 23x 16 0 0.25 Giải ra ta đợc 2 2 16 x 1 hoặc x = 7 0.25 Từ 2 x 1 x 1 y 1 ; 2 16 4 7 5 7 x x y 7 7 7 0.25 1) 1,5điểm Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (1; 1); (-1; -1); 4 7 5 7 ; 7 7 ; 4 7 5 7 ; 7 7 0.25 Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x ' 0 0.25 m 5m 6 0 (m 2)(m 3) 0 . Vì (m - 2) > (m - 3) nên: x ' 0 m 2 0 và m 3 0 2 m 3, mà m Z m = 2 hoặc m = 3. 0.25 Khi m = 2 x ' = 0 x = -1 (thỏa mãn) Khi m = 3 x ' = 0 x = - 1,5 (loại). 0.25 câu I 2,5 điểm 2) 1,0điểm Vậy m = 2. 0.25 Đặt a 2 x; b 2 x (a, b 0) 2 2 2 2 a b 4; a b 2x 0.25 1) 1,5điểm 3 3 2 2 2 ab a b 2 ab a b a b ab A 4 ab 4 ab 0.25 2 ab a b 4 ab A 2 ab a b 4 ab 0.25 A 2 4 2ab a b 0.25 2 2 A 2 a b 2ab a b a b a b 0.25 2 2 A 2 a b 2x A x 2 0.25 câu II 2,5 điểm 2) 1,0điểm 3 2 3 a m b m c 0 (1) Giả sử có (1) 3 2 3 b m c m am 0 (2) Từ (1), (2) 2 2 3 (b ac) m (a m bc) 0.25 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 59 Nếu 2 a m bc 0 2 3 2 a m bc m b ac là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! 2 3 2 2 b ac 0 b abc a m bc 0 bc am 0.25 3 3 3 b a m b a m . Nếu b 0 thì 3 b m a là số hữu tỉ. Trái với giả thiết! a 0;b 0 . Từ đó ta tìm đợc c = 0. 0.25 Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng. Vậy: a = b = c = 0 0.25 Theo bài ra f(x) có dạng: f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a nguyên dơng. 0.25 Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (5 3 - 3 3 )a + (5 2 - 3 2 )b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) 0.25 Ta có f(7) - f(1) = (7 3 - 1 3 )a + (7 2 - 1 2 )b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 0.25 1) 1,0điểm Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 . Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.25 2 2 2 2 P x 2 1 x 3 2 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy các điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) 0.25 Ta chứng minh đợc: 2 2 AB x 2 x 3 1 2 25 1 26 2 2 OA x 2 1 , 2 2 OB x 3 2 0.25 Mặt khác ta có: OA OB AB 2 2 2 2 x 2 1 x 3 2 26 0.25 câu III 2 điểm 2) 1,0điểm Dấu = xảy ra khi A thuộc đoạn OB hoặc B thuộc đoạn OA x 2 1 x 7 x 3 2 .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn OB. Vậy Max P 26 khi x = 7. 0.25 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp MAB MNB , MCAP nội tiếp CAM CPM . 0.25 Lại có BNM CPM (cùng phụ góc NMP) CAM BAM (1) 0.25 1) 0,75điểm Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân tại A MA là trung trực của DE MD = ME 0.25 câuIV 2 điểm 2) 1,25điểm 0.25 K E B C A N M P D www.VNMATH.com www.VNMATH.com 60 K E B C A N M P D Do DE//NP nên DEK NAB , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nên: 0 NMB NAB 180 0 NMB DEK 180 Theo giả thiết DMK NMP 0 DMK DEK 180 Tứ giác MDEK nội tiếp 0.25 Do MA là trung trực của DE MEA MDA 0.25 MEA MDA MEK MDC . 0.25 Vì MEK MDK MDK MDC DM là phân giác của góc CDK, kết hợp với AM là phân giác DAB M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK. 0.25 D' B' A' O C A B D Không mất tổng quát giả sử:AB AC. Gọi B là điểm chính giữa cung ABC AB' CB' Trên tia đối của BC lấy điểm A sao cho BA = BA AB BC CA' 0.25 Ta có: B'BC B'AC B'CA (1) ; 0 B'CA B'BA 180 (2) 0 B'BC B'BA' 180 (3);Từ (1), (2), (3) B'BA B'BA' 0.25 Hai tam giác ABB và ABB bằng nhau A'B' B'A Ta có B'A B'C B'A' B'C A'C = AB + BC ( BA + BC không đổi vì B, A, C cố định). Dấu = xảy ra khi B trùng với B. 0.25 câu V 1 điểm Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D là điểm chính giữa cung ADC thì ta cũng có AD + CD AD + CD. Dấu = xảy ra khi D trùng với D. Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các cung AC của đờng tròn (O) 0.25 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 61 [...]...www.VNMATH.com Chó ý: NÕu thÝ sinh lµm theo c¸ch kh¸c, lêi gi¶i ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a www.VNMATH.com 62 . đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trãi - Năm học 200 9- 2 010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng 7 năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Câu. 0.25 Ta có: 2 010 = f(5) - f(3) = (5 3 - 3 3 )a + (5 2 - 3 2 )b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2 01 0- 98a) 0.25 Ta có f(7) - f(1) = (7 3 - 1 3 )a + (7 2 - 1 2 )b + (7 - 1)c =. Phũng thi s: Ch kớ ca giỏm th 1:; Ch kớ ca giỏm th 2: S GIO DC V O TO LONG AN CHNH THC K THI TUN SINH LP 10 NM HC 200 9- 2 010 Mụn thi : TON h chuyờn Ngy thi : 1 0- 7 2009 Thi gian