1 Các chú ý v lời giảI cho một số bi toán cơ bản A. toán rút gọn biểu thức I. Ví dụ : Rút gọn biểu thức 2x x 3x 3 2x 4 P:1 x9 x3 x3 x3 ( với x 0,x 1,x 9) Giải : Với x 0,x 1,x 9 ta có 2x x 3 x x 3 3x 3 2x 4 x 3 P: x3 x3 x3 2x6xx3x3x32x4 x3 3x3 x1 :: x3 x3 x3 x3 x3 x3 3x1 x3 3 x3 x3 x3 x1 II. Chú ý : Khi rút gọn các biểu thức l các phép tính giữa các phân thức ta thờng tìm cách đa biểu thức thnh một phân thức sau đó phân tích tử v mẫu thnh nhân tử rồi giản ớc những thừa số chung của cả tử v mẫu. Trờng hợp đề bi không cho điều kiện thì khi rút gọn xong ta nên tìm điều kiện cho biểu thức. Khi đó quan sát biểu thức cuối cùng v các thừa số đã đợc giản ớc để tìm điều kiện. Ví dụ với bi ny : + Biểu thức cuối cùng cần x0 + Các thừa số đợc giản ớc l : x1v x3 cầnx1v x9 Vậy điều kiện để biểu thức có nghĩa l x 0,x 1,x 9 B. phơng trình bậc hai v định lí viét I. Ví dụ Đề bi 1: Cho phơng trình x 2 (2m-1)x + m 1 = 0 a. Giải phơng trình với 5 m 3 b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1 j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 22 12 xx1 k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 v x 2 của phơng trình l. Tìm GTNN của 12 xx m. Tìm GTLN của 222 2 122 1 x1x x14x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 n. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 v x 2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m 12 22 12 21 x1x1 xx xx B Giải : a. Giải phơng trình với 5 m 3 Với 5 m 3 ta có phơng trình : 22 72 xx 03x7x20 33 2 7 4.3.2 49 24 25 0; 5 phơng trình có hai nghiệm phân biệt : 12 75 1 75 x;x2 63 6 Vậy với 5 m 3 phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt l 1 v 2 3 b. Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0vớimọi m 2m 1 1 1 0vớimọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 Vậy với m<1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm trái dấu. d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dấu Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu khi 2 2m 2 1 0( luôn dúng) 0 m10 m 1 ac 0 m 1 0 Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dấu. e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi 2 0 2m 2 1 0 m1 m1 1 ac 0 m 1 0 m 1 2m 1 m b2m10 2 0 a Vậy với m > 1 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng dơng. f. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng âm Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Phơng trình có hai nghiệm cùng âm khi www.VNMATH.com www.VNMATH.com 3 2 0 2m 2 1 0 m1 m1 1 ac 0 m 1 0 vô n g hiệm 2m 1 m b2m10 2 0 a Vậy không có giá trị no của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm cùng âm. g. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 Để phơng trình có nghiệm dơng ta có các trờng hợp sau : Phơng trình có một nghiệm dơng v một nghiệm bằng 0 Thay x = 0 vo phơng trình ta có m - 1 = 0 hay m = 1. Thay m = 1 vo phơng trình ta đợc x 2 - x = 0 xx 1 0 x 0hoặcx 1 ( thỏa mãn ) Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng, điều kiện l : 2 0 2m 2 1 0 m1 m1 1 ac 0 m 1 0 m 1 2m 1 m b2m10 2 0 a Phơng trình có hai nghiệm trái dấu, điều kiện l : ac 0 1. m 1 0 m 1 0 m 1 Kết hợp cả ba trờng hợp ta có với mọi m thì phơng trình đã cho có nghiệm dơng h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có x 1 .x 2 = c m1 a Phơng trình có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau khi x 1 .x 2 = 1 m11 m 2 Vậy với m = 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm l hai số nghịch đảo của nhau. i. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x 1 + 5x 2 = -1 Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m Theo định lí Viet v đề bi ta có : 12 12 12 xx 2m1(1) x.x m 1 (2) 2x 5x 1 (3) Nhân hai vế của (1) với 5 sau đó trừ các vế tơng ứng cho (3) ta đợc : 5x 1 + 5x 2 2 x 1 5x 2 = 10m 5 + 1 11 10m 4 3x 10m 4 x 3 (4) Thay (4) vo (1) ta có : 22 10m 4 10m 4 6m 3 10m 4 1 4m x 2m1 x 2m1 3333 (5) Thay (4) v (5) vo (2) ta đợc phơng trình : www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 2 2 2 12 10m 4 1 4m . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16m 9m 9 33 40m 17m 5 0 17 4.40. 5 1089 0; 33 17 33 1 17 33 5 m;m 80 5 80 8 Vậy với 15 mhoặcm 58 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bi. j. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn 22 12 xx1 Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : 12 12 xx 2m1(1) x.x m 1 (2) Theo đề bi : 2 22 22 12 12 12 12 12 12 xx1xx2xx2xx1 xx 2xx1(3) Thay (1) v (2) vo (3) ta có (2m 1) 2 2(m 1) = 1 22 22 (2m - 1) - 2(m - 1) = 1 4m 4m 1 2m 2 1 4m 6m 2 0 2m 3m 1 0 Phơng trình có dạng a + b + c = 0 nên có hai nghiệm l m 1 = 1 ; m 2 = c1 a2 Vậy với 1 m1hoặcm 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện đề bi. k. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 v x 2 của phơng trình Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : 12 12 12 12 xx1 xx 2m1 m 2 x.x m 1 mx.x 1 12 12 1 2 12 xx1 x.x 1 x x 2x.x 1 2 Vậy hệ thức cần tìm l 12 12 xx2x.x 1 l. Tìm GTNN của 12 xx Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : 12 12 xx 2m1(1) x.x m 1 (2) Đặt A = 22 2 222 12 12 12 1 122 12 12 xx 0 A xx xx x2xxx xx 4xx Thay (1) v (2) vo ta có 2 2 222 A2m14m14m4m14m44m8m412m211 với mọi m (3) M A0nêntừ(3) A1vớimọim Dấu bằng xảy ra khi (2m - 2) 2 = 0 m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 5 Vậy GTNN của 12 Axx l 1 xảy ra khi m = 1 m. Tìm GTLN của 222 2 122 1 x1x x14x Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m Theo định lí Viet ta có : 12 12 xx 2m1(1) x.x m 1 (2) Ta có 2 2 222 22222 122 1121212 1212 Ax1x x14x x x 5xx x x 2xx 5xx (3) Thay (1) v (2) vo (3) ta đợc : 22 22 2 2 2 A 2m 1 5 m 1 2 m 1 4m 4m 1 5m 10m 5 2m 2 m 4m 2 2m4m42m2 Vì 22 m 2 0 với mọi m A 2 m 2 2 với mọi m Dấu bằng xảy ra khi (m 2) 2 = 0 hay m = 2 Vậy GTLN của 222 2 122 1 Ax1x x14x l 2 khi m = 2 n. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 v x 2 , chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vo m : 12 22 12 21 x1x1 xx xx B Phơng trình đã cho l phơng trình bậc hai có a = 1 ; b = 2m - 1 ; c = m - 1 2 2 2m 1 4.1. m 1 4m 4m 1 4m 4 2 2 4m 8m 4 1 2m 2 1 Vì 22 2m 1 0với mọi m 2m 1 1 1 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 v x 2 với mọi m. Theo định lí Viet ta có : 12 12 xx 2m1(1) x.x m 1 (2) 22 12 12 112 2 12 2 2 22 22 12 21 1 2 1 2 22 12 12 12 22 2 12 2 22 222 xx xx x1.x x1.x x1x1 Ta có: xx xx xx xx xx xx 2xx 2m1 2m12m1 xx m1 4m 1 4m 4m 1 2m 1 2m 2 4m 8m 4 4 m1 m1 m1 B Vậy biểu thức B không phụ thuộc vo giá trị của m. Đề bi 2. Cho phơng trình (m+1)x 2 - 2(m+2)x + m + 5 = 0 a. Giải phơng trình với m = -5 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 3x 2 = 4 h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1 i. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 .Tính theo m giá trị của 22 12 Ax x j. Tìm m để A = 6 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 6 k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm l 1 2 . Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm l 12 21 6x 1 6x 1 v 3x 3x Giải : a. Giải phơng trình với m = -5 Thay m = -5 vo phơng trình ta có : -4x 2 + 6x = 0 x0 2x 0 3 2x 2x 3 0 2x 3 0 x 2 Vậy với m = -5 , phơng trình có hai nghiệm l 0 v 3 2 b. Tìm m để phơng trình có nghiệm Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . Phơng trình có một nghiệm x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có nghiệm khi 1 2m 1 0 m 2 Tóm lại phơng trình có nghiệm khi 1 m 2 c. Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 2m 1 0 m 2 ( thỏa mãn ) Tóm lại phơng trình có nghiệm duy nhất khi 1 m1hoặcm 2 Chú ý : Trờng hợp phơng trình bậc hai có 0 cũng đợc coi l có nghiệm duy nhất d. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 2m 1 0 m 2 Tóm lại phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi 1 mv m1 2 e. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 7 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 Phơng trình có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 m10 m 1 (vô nghiệm) m50 m 5 m1m5 0 5m 1 m10 m 1 m50 m 5 Vậy với -5 < m < -1 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu Chú ý : Giải BPT ( m + 1 )( m + 5 ) < 0 (1) có cách nhanh hơn nh sau : Để (1) xảy ra thì m + 1 v m + 5 l hai số trái dấu. Ta luôn có m + 1 < m + 5 nên (1) xảy ra khi m + 1 <0 m<-1 5m 1 m + 5 >0 m>-5 Trờng hợp chỉ cần biết kết quả của các BPT dạng nh (1), hãy học thuộc từ ngoi cùng trong khác v dịch nh sau : ngoi khoảng hai nghiệm thì vế trái cùng dấu với hệ số a , trong khoảng hai nghiệm thì vế trái khác dấu với hệ số a ( hệ số a l hệ số lũy thừa bậc hai của vế trái khi khai triển, nghiệm ở đây l nghiệm của đa thức vế trái ) Ví dụ với BPT (1) thì vế trái có hai nghiệm l -1 v -5 , dạng khai triển l m 2 + 6m + 5 nên hệ số a l 1 >0. BPT cần vế trái < 0 tức l khác dấu với hệ số a nên m phải trong khoảng hai nghiệm, tức l -5 < m < -1. Còn BPT ( m + 1 )( m + 5 ) > 0 (2) sẽ cần m ngoi khoảng hai nghiệm (cùng dấu với hệ số a), tức l m < -5 hoặc m > -1 Một số ví dụ minh họa : m3m7 0 m 7hoặcm3; 2m43m9 0 3m2 2m 6 1 m 0 1 m 3 ; 5 m 2m 8 0 m 4hoặcm 5 f. *Tìm m để phơng trình có hai nghiệm cùng dơng Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có hai nghiệm cùng dơng khi 11 mm1 2m 1 0 0 22 ac 0 m 1 m 5 0 m 1 m 5 0 m 5hoặc m 1 2 I b 2m 2 m 2 m 1 0 m 2hoặcm 13 0 0 a m1 1 m5hoặc1m 2 Chú ý : Để tìm nghiệm của hệ bất phơng trình (I) ta lấy nháp vẽ một trục số, điền các số mốc lên đó v lấy các vùng nghiệm. Sau đó quan sát để tìm ra vùng nghiệm chung v kết luận. Việc lm đó diễn tả nh sau : 5 2 1 1 (1) (2) (2) (3) (3) www.VNMATH.com www.VNMATH.com 8 ở hình trên các đờng (1) ; (2) ; (3) lần lợt l các đờng lấy nghiệm của các bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) trên trục số. Qua đó ta thấy m<-5 hoặc -1 < m < 1 2 l các giá trị chung thỏa mãn cả ba bất phơng trình (1) ; (2) ; (3) nên đó l tập nghiệm của hệ bất phơng trình (I) g. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 3x 2 = 4 Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0 Tức l m1 m1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo đề bi v định lí Viet ta có 12 12 12 2m 2 b xx 1 am1 cm5 x.x 2 am1 x3x 4 3 Từ (1) v (3) ta có hệ phơng trình 12 1 2 1 12 12 22 2 2m 4 2m 4 2m 4 m m 4 2m 4 xx x x x xx m1 m1 m1 m1 m1 m1 2m 4 m m x3x 4 2x 4 x x m1 m1 m1 Thay vo (2) ta có phơng trình : 22 m4 m m5 .m4.mm5m1dom1 m1m1 m1 5 m 4m m 5m m 5 2m 5 0 m thỏa mãn 2 Vậy 5 m 2 l giá trị cần tìm. h. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm m tích của chúng bằng -1 Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 9 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0 Tức l m1 m1 1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo định lí Viet ta có x 1 .x 2 = m5 m1 Vậy để phơng trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn tích hai nghiệm bằng -1 thì m phải thỏa mãn điều kiện (1) v m5 1 m 5 m 1 m 3 thỏa mãn m1 Vậy m = -3 l giá trị cần tìm. i. Khi phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 .Tính theo m giá trị của 22 12 Ax x Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0 Tức l m1 m1 1 1 2m 1 0 m 2 Khi đó theo định lí Viet : 12 12 2m 2 b xx 1 am1 cm5 x.x 2 am1 2 2 22 2 2 1 2 1 12 2 12 1 2 12 2 22 2 222 2m 5 2m 4 Tacó A x x x 2x x x 2x x x x 2x x m1 m1 2m 4 2 m 5 m 1 4m 16m 16 2m 12m 10 2m 4m 6 m1 m1 m1 2 2 2m 4m 6 1 Vậy A với m 1v m 2 m1 j. Tìm m để A = 6 2 2 2m 4m 6 1 Ta có A với m 1v m 2 m1 2 2 2 2 22 2 12m4m6 Với m 1v m tacó A 6 6 2m 4m 6 6 m 1 2 m1 2m 4m 6 6m 12m 6 4m 8m 0 4m m 2 0 m 0hoặcm 2 Kết hợp với điều kiện ta có m = -2 l giá trị cần tìm. k. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm l 1 2 . Khi đó hãy lập phơng trình có hai nghiệm l 12 21 6x 1 6x 1 v 3x 3x Với m = -1 phơng trình trở thnh -2x + 4 = 0 x2 . P.trình có một nghiệm duy nhất x = 2 Với m -1 phơng trình l phơng trình bậc hai có a = m+1 , b = -2(m+2) , c = m+5 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 10 2 '22 m2 m1m5 m 4m4m 6m5 2m1 Phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 khi nó l phơng trình bậc hai có 0 Tức l m1 m1 1 1 2m 1 0 m 2 Thay x = 1 2 vo phơng trình đã cho ta có (m+1).( 1 2 ) 2 - 2(m+2). 1 2 + m + 5 = 0 m+1 - 4m - 8 + 4m + 20 = 0 m = -13 ( thỏa mãn (1)) Vậy với m = -13 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 trong đó có một nghiệm l 1 2 . Thay m = -13 phơng trình trở thnh -12x 2 + 22x - 8 = 0 6x 2 - 11x + 4 = 0 Theo định lí Viet : 12 12 11 4 2 xx :xx 663 . Khi đó : 2 2 22 12 12 12 1 2 11 22 2 1 12 12 11 2 11 6. 12. 6x x 12xx x x 6x 1 6x 1 6x x 6x x 14 636 7 2 3x 3x 3x x 3x x 2 3. 3 12 1 2 12 21 12 211 36. 6. 1 36x x 6 x x 1 6x 1 6x 1 36 36 .6 2 3x 3x 9x x 6 9. 3 Do đó phơng trình cần tìm có dạng y 2 - 7y + 6 = 0 (2) Chú ý : Phơng trình (2) không nên lấy ẩn l x vì dễ gây nhầm lẫn với phơng trình của đề bi II. Chú ý : Khi gặp phơng trình có tham số ( thờng l m) ở hệ số a (hệ số của lũy thừa bậc hai)ta cần xét riêng trờng hợp hệ số a = 0 để kết luận trờng hợp ny có thỏa mãn yêu cầu của đề bi hay không. Sau đó xét trờng hợp a khác 0, khẳng định đó l phơng trình bậc hai rồi mới đợc tính . C. hm số v đồ thị I. Ví dụ Đề bi 1: Cho hm số bậc nhất : y = ( 2m 5 )x + 3 với m 5 2 có đồ thị l đờng thẳng d Tìm giá trị của m để a. Góc tạo bởi (d) v v trục Ox l góc nhọn, góc tù ( hoặc hm số đồng biến, nghịch biến) b. (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) c. (d) song song với đờng thẳng y = 3x 4 d. (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x 4y 3 = 0 f. (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm có honh độ l -2 g. (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ âm) h. (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung) www.VNMATH.com www.VNMATH.com [...]... 3x + 2y = 1 3 2 Ta có 3x + 2y = 1 y x 1 2 3 2 (d) song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1 (d) song song với đờng thẳng y x 3 7 2m 5 2 m 4 7 ( thỏa mãn) m 1 1 4 3 3 2 2 Vậy m 1 2 7 l giá trị cần tìm 4 e (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0 1 2 Ta có 2x - 4y - 3 = 0 y x 3 4 1 2 (d) luôn cắt đờng thẳng 2x - 4y - 3 = 0 (d) luôn cắt đờng thẳng y x 2m 5 3 4 1 11 5 11 m Kết... -3 vo ta có 2 (-3) 3n = -9 n = 1 ( thỏa mãn ) Vậy m = -3 , n = 1 b (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh độ l -1 m2 (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 m3n 1 3 1 n 5 6 3 (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l -1 0 = ( m + 1 ) ( -1) 3n + 6 m + 3n = 5 Thay m = 2 vo ta đợc 2 + 3n = 5 n = 1 ( thỏa mãn ) Vậy m = 2 , n = 1 c (d) cắt trục honh tại... điểm có honh độ l 1 (d) đi qua diểm ( -3 ; -3 ) v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 3 (d) đi qua ( 2 ; -5 ) v có tung độ gốc l -3 (d) đi qua hai điểm ( -1 ; 3 ) v ( -3 ; 1 ) Giải : a (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1) m 3 m 1 2 (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 3n 6 5 n 1 3 (d) đi qua điểm ( 2 ; -1) -1 = ( m + 1) .2 3n +6 2m - 3n = -9 Thay m = -3 vo... khi m > góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi b (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d ta có -1 = 2 ( 2m - 5) + 3 4m 10 + 3 = -1 m = Vậy với m = 3 ( thỏa mãn) 2 3 thì (d ) đi qua điểm ( 2 ; -1) 2 Chú ý : Phải viết l Thay x = 2 ; y = -1 vo phơng trình đờng thẳng d , không đợc viết l Thay x = 2 ; y = -1 vo đờng thẳng d c (d) song song với đờng thẳng y... + y = -3 tại điểm có honh độ l -2 Thay x = -2 vo phơng trình đờng thẳng 2x + y = -3 ta đợc 2 (-2) + y = -3 y = 1 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 11 (d) cắt đờng thẳng 2x + y = -3 tại điểm (-2 ; 1 ) Thay x = -2 ; y = 1 vo phơng trình đờng thẳng d ta có 1 = ( 2m 5 ) (-2) + 3 -4m + 10 +3 = 1 m = 3 ( thỏa mãn) Vậy m = 3 l giá trị cần tìm g (d) cắt trục honh tại điểm ở bên trái trục tung ( có honh độ... trên trục tung Giải : Hm số có a = 2m 5 ; b = 3 a Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn, góc tù Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc nhọn khi đờng thẳng d có hệ số a > 0 2m 5 >0 m > 5 ( thỏa mãn) 2 Góc tạo bởi đờng thẳng d v v trục Ox l góc tù khi đờng thẳng d có hệ số a < 0 2m 5 góc tạo... l nghiệm của phơng trình ẩn x sau : ( 2m 5 )x + 3 = 5x - 3 ( 2m - 10 ) x = -6 x 6 3 ( vì m 5 ) 2m 10 m 5 3 vo phơng trình đờng thẳng y = 5x - 3 m5 3 15 3m 15 3m 5 3 m5 m5 m5 Thay x ta có y = (d) cắt đờng thẳng y = 5x - 3 tại điểm có tung độ dơng 3m 0 3m m 5 0 m m 5 0 0 m 5 m5 5 l giá trị cần tìm Kết hợp với các điều kiện ta có 0 < m < 5 v m 2 j Chứng tỏ (d ) luôn đi qua một... 2 h (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm (hoặc ở bên trái trục tung) (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 2m 5 3 m 4 Honh độ giao điểm của (d) v đờng thẳng y = 3x + 1 l nghiệm của phơng trình ẩn x sau : ( 2m 5 )x + 3 = 3x + 1 ( 2m - 8)x = -2 x 2 ( vì m 4 ) 2m 8 (d) cắt đờng thẳng y = 3x + 1 tại điểm có honh độ âm 2 5 0 2m 8 0 m 4 ( thỏa mãn các điều kiện m v m 4 ) 2m 8... lấy điều kiện đó để so sánh trớc khi kết luận) Đề bi 2: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = ( m + 1) x 3n + 6 Tìm m v n để : a (d) song song với đờng thẳng y = -2x + 5 v đi qua điểm ( 2 ; -1) b (d) song song với đờng thẳng y = 3x + 1 v cắt trục honh tại điểm có honh độ l -1 c (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l d e f g 3 v cắt trục tung tại điểm có tung độ l 2 1 (d) song song với đờng thẳng y... honh tại điểm có honh độ l 3 v cắt trục tung tại điểm có 2 tung độ l 1 (d) cắt trục honh tại điểm có honh độ l 3 3 0 = ( m + 1 ) 3n + 6 m 2 2 2n = -5 (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ l 1 1 = -3n + 6 n = Thay vo phơng trình m - 2n = -5 ta có m - 2 Vậy n = 5 3 5 5 = -5 m = 3 3 5 5 ,m=3 3 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 13 . . Khi đó : 2 2 22 12 12 12 1 2 11 22 2 1 12 12 11 2 11 6. 12 . 6x x 12 xx x x 6x 1 6x 1 6x x 6x x 14 636 7 2 3x 3x 3x x 3x x 2 3. 3 12 1 2 12 21 12 211 36. 6. 1 36x x 6 x x 1 6x. 2m1 (1) x.x m 1 (2) 22 12 12 11 2 2 12 2 2 22 22 12 21 1 2 1 2 22 12 12 12 22 2 12 2 22 222 xx xx x1.x x1.x x1x1 Ta có: xx xx xx xx xx xx 2xx 2m1 2m12m1 xx m1 4m 1 4m 4m 1 2m 1. www.VNMATH.com www.VNMATH.com 4 2 2 2 12 10 m 4 1 4m . m 1 10m 4 . 1 4m 9 m 1 10m 40m 4 16 m 9m 9 33 40m 17 m 5 0 17 4.40. 5 10 89 0; 33 17 33 1 17 33 5 m;m 80 5 80 8 Vậy với 15 mhoặcm 58 thì