Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Chứng tỏ rằng: + X có tính ngẫu nhiên + X có giá trị phụ thuộc vào kết phép thử + X ánh xạ từ Ω vào R + Biến cố “X nhận giá trị 1”, kí hiệu (X = 1), tập hợp ⎨SN, NS⎬ nghĩa (X = 1) = ⎨SN, NS⎬ HOẠT ĐỘNG 1.2 THỰC HÀNH XÁC ÐỊNH BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ Sinh viên thảo luận theo nhóm để thực nhiệm vụ sau: Xét phép thử: Gieo xúc xắc hai lần Kí hiệu S tổng số chấm xuất hai lần gieo Nghiên cứu biến ngẫu nhiên S NHIỆM VỤ 1: Hãy mô tả không gian mẫu Ω phép thử NHIỆM VỤ 2: Xét xem S lấy giá trị nào? Xác định biến cố (tập hợp con) (S = 6), (S < 5) Biến cố (S = 6) xảy nào? ĐÁNH GIÁ 1.1 a) Biến ngẫu nhiên gì? b) Biến ngẫu nhiên có liên quan với phép thử khơng? c) Tại lại có thuật ngữ biến ngẫu nhiên? d) Hãy cho ví dụ khác biến ngẫu nhiên 1.2 Trong bát đựng hạt đậu trắng hạt đậu đen Lấy ngẫu nhiên hạt Kí hiệu X số hạt trắng lấy a) X nhận giá trị nào? b) Biến cố (X < 1) có xảy khơng? 1.3 Một xạ thủ có ba viên đạn Anh ta bắn viên vào bia trúng hết đạn dừng lại 46 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN a) Hãy mơ tả khơng gian mẫu b) Kí hiệu X số viên bắn Lập bảng tương ứng kết phép thử giá trị X 1.4 Xét trò chơi xổ số đơn giản: bạn chọn ngẫu nhiên số số 0, 1, 2, , Sau bạn tổ chức lấy ngẫu nhiên thẻ từ 10 thẻ mà ghi số 0, 1, 2, , (hai thẻ khác ghi hai số khác nhau) Nếu số ghi thẻ trùng với số bạn chọn bạn thưởng 10 kẹo, ngược lại bạn khơng Kí hiệu X số kẹo bạn nhận a) Mô tả không gian mẫu b) Lập bảng giá trị X tương ứng với kết lấy thẻ THÔNG TIN PHẢN HỒI Đối với hoạt động 1.2, Ω = ⎨(i, j) với ≤ i ; j ≤ 6⎬ Ω gồm 36 phần tử (cặp số) S có tập giá trị S(Ω) = ⎨2, 3, 4, , 12⎬ (S = 6) = ⎨(1, 5) ; (5, 1) ; (2, 4) ; (4, 2) ; (3, 3)⎬ 47 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.2 PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Ta nói biến ngẫu nhiên X biến ngẫu nhiên rời rạc, miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm b) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị ⎨x1, x2, ⎬ biến cố (X = x1); (X = x2), lập thành hệ đầy đủ Đặt p1 = P(X = x1), p2 = P(X = x2), , pk = P(X = xk), pk ≥ 0, ∀k p1 + p2 + = Khi Ta có bảng phân phối (xác suất) biến ngẫu nhiên X thiết lập tương ứng giá trị biến ngẫu nhiên X xác suất để biến ngẫu nhiên nhận giá trị đó: X P x1 p1 x2 p2 xk pk Bảng cho ta biết luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên cách đầy đủ, thuận tiện B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 2.1 THỰC HÀNH XÁC ĐỊNH BIẾN CỐ TƯƠNG ỨNG VỚI GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: - Sinh viên thảo luận theo nhóm 4, người - Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên đọc thông tin để thực nhiệm vụ đây: Gieo đồng tiền cân đối đồng chất hai lần Hãy lập bảng phân phối xác suất số lần xuất mặt sấp hai lần gieo NHIỆM VỤ 1: 48 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN Kí hiệu X số lần xuất mặt sấp hai lần gieo Hãy kiểm tra Ω = ⎨SS, SN, NS, NN⎬ (X = 0) = ⎨NN⎬, (X = 1) = ⎨NS, SN⎬ (X = 2) = ⎨SS⎬ NHIỆM VỤ 2: Tính xác suất P(X = 0), P(X = 1) P(X = 2) Lập bảng phân phối X Tính P (X < 2), P(X > 0) HOẠT ĐỘNG 2.2 THỰC HÀNH LẬP BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: Sinh viên chọn hình thức tổ chức hoạt động sau: - Tự đọc thông tin - Thảo luận theo nhóm 4, người để thực nhiệm vụ sau: Từ hộp chứa cầu trắng cầu đen, lấy ngẫu nhiên Kí hiệu X số cầu trắng lấy Xác định bảng phân phối xác suất X NHIỆM VỤ 1: Hãy mô tả không gian mẫu (các trắng đánh số số 1, 2, đen số 4, 5) Xác định số phần tử NHIỆM VỤ 2: Xét xem X lấy giá trị nào? Tính xác suất P(X = 0), P(X = 2) từ suy P(X = 1) NHIỆM VỤ 3: Lập bảng phân phối xác suất X ĐÁNH GIÁ 2.1 a) Nêu định nghĩa biến ngẫu nhiờn rời rạc Cho ví dụ b) Bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiờn lập nào? Hãy lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên ví dụ đưa 2.2 Chọn ngẫu nhiên học sinh từ tổ gồm nam nữ Lập bảng phân phối xác suất số nam X số hai học sinh chọn 49 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MÔN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN 2.3 Gieo hai xúc xắc cân đối đồng chất, quan sát đến tích số chấm xuất hai lần gieo Giả sử biến ngẫu nhiên X liên kết với phép thử xác định sau: X nhận giá trị –1 tích số chẵn, tích số lẻ Lập bảng phân phối xác suất X 2.4 Rút ngẫu nhiên từ cỗ tú lơ khơ gồm 52 Lập bảng phân phối xác suất số át X rút THÔNG TIN PHẢN HỒI Với ví dụ hoạt động 2.2, X lấy ba giá trị 0, 1, P(X = 1) = 50 C1 × C1 3.2 3 = = C5 10 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.3 HÀM PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Xét biến ngẫu nhiên X liên quan với phép thử giả sử a số thực cho Khi phép thử tiến hành kết ω xuất X(ω) < a X(ω) ≥ a Như biến cố (X < a) xảy khơng Xác xuất P(X < a) biến cố (X < a) số xác định phụ thuộc vào a Nếu lấy b > a biến cố (X < a) kéo theo biến cố (X < b) nghĩa (X < a) ⊂ (X < b), P(X < a) ≤ P(X < b) Như tồn hàm số: F(x) = P(X < x), với x ∈ R Hàm số F(x) xác định tập số thực gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Đơi cịn viết FX (x) b)Từ định nghĩa, ta suy tính chất sau hàm phân phối: (i) F(x) hàm không giảm, tức x ≤ y F(x) ≤ F(y); (ii) F(x) hàm liên tục trái; (iii) lim F(x) = x → − ∞ lim F(x) = x → + ∞; (iv) Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị {x1, x2, , xn} pk = P(X = xk), với k = 1, 2, , n F(x) = Σ pk tổng trải k mà xk < x B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 3.1 TÌM HIỂU KHÁI NIỆM HÀM PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN NHIỆM VỤ: Chọn hình thức tổ chức hoạt động sau - Sinh viên tự đọc thông tin - Dưới hướng dẫn giáo viên, sinh viên thảo luận theo nhóm 3, người để thực nhiệm vụ sau: Giả sử X số lần xuất mặt sấp hai lần gieo đồng tiền cân đối đồng chất 51 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Hãy viết hàm phân phối X NHIỆM VỤ 1: Hãy kiểm tra lại rằng: Ω = {NN, NS, SN, SS} (X < x) = x≤0 ⎧∅, ⎪ < x ≤1 ⎪{ NN} , ⎨ ⎪{ NN, NS,SN} , < x ≤ ⎪ x > ⎩Ω, NHIỆM VỤ 2: Chứng tỏ rằng: 0, với x ≤ FX(x) = , với < x ≤ , với < x ≤ 1, với < x NHIỆM VỤ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = FX(x) Nêu nhận xét tính chất hàm số FX (x) NHIỆM VỤ 4: Chứng tỏ rằng: a) P(0,5 ≤ X < 1,5) = FX(1,5) - FX(0,5) = 1 − = 4 b) P(a ≤ X < b) = FX (b) - FX (a), với a < b ĐÁNH GIÁ 3.1 Giả sử Z biến ngẫu nhiên P(Z ≥ 1,96) = 0,025 Hãy tính P(Z < 1,96) 3.2 Giả sử T biến ngẫu nhiên cho P(T ≥ 2,02) = P(T ≤ -2,02) = 0,05 Tính P(2,02 < T < 2,02) 3.3 Một cửa hiệu cắt tóc có ghế ngồi cho khách đợi Thực tế bảng phân phối số khách đợi Y sau: 52 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Y P 0,424 0,161 0,134 0,111 0,093 0,077 Dùng kí hiệu biến ngẫu nhiên Y để biểu diễn biến cố sau: - Có hai khách đợi; - Có khách đợi Tính xác suất sau: a) P(Y = 2) b) P(Y ≥ 1) c) P(4 ≤ Y ≤ 4) d) P(2 < Y < 4) THÔNG TIN PHẢN HỒI Ta ln có đẳng thức: a) P(X ≥ C ) = – P(X < C), với C; b) P(a < X < b) = – ( P(X ≤ a) + P(X ≥ b)) = FX(b) – FX(a + 0), với a < b tuỳ ý 53 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.4 BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Một phép thử có hai kết đối lập nhau: kết gọi biến cố “thành cơng”, kí hiệu T kết thứ hai gọi biến cố “thất bại”, kí hiệu B Xác suất p = P(T) gọi xác suất thành công xác suất q = P(B) = − p gọi xác suất thất bại b) Một phép thử Bécnuli lặp lại n lần độc lập với điều kiện Khi số lần Sn xuất thành cơng n phép thử gọi biến ngẫu nhiên nhị thức với tham số (n, p) Khi Sn nhận n + giá trị 0, 1, 2, , n P(Sn = k) = C k pkqn–k, k = 0, 1, 2, , n n Phân phối xác suất Sn gọi phân phối nhị thức với tham số (n; p) B HOẠT ĐỘNG HOẠT ĐỘNG 4.1 TÌM HIỂU KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN NHỊ THỨC NHIỆM VỤ: - Sinh viên tự đọc - Giáo viên hướng dẫn sinh viên đọc thông tin để thực cỏc nhiệm vụ sau: Xác định phân phối X số lần xuất mặt S hai lần gieo đồng tiền cân đối đồng chất NHIỆM VỤ Hai lần gieo đồng tiền có phải hai phép thử Bécnuli không? Xác định p, q, n NHIỆM VỤ 2: Sử dụng thơng tin bản, tính P(X = k), với k = 0, 1, 54 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN ĐÁNH GIÁ 4.1 Từ hộp chứa cầu trắng cầu đen, lấy ngẫu nhiên sau xem màu hồn trả lại hộp lấy cách ngẫu nhiên Quá trình tiếp tục Hỏi: a) Mỗi lần lấy có phải phép thử Bécnuli khơng? Nếu kí hiệu T biến cố “quả lấy màu trắng” xác suất P(T) bao nhiêu? b) Kí hiệu X số trắng lấy sau 10 lần lấy Chứng tỏ X có phân phối nhị thức với tham số (10; ) Tính P(X = 4), P(X = 10) P(X ≥ 1) 4.2 Một xúc xắc cân đối đồng chất gieo lần ý đến xuất mặt chấm a) Có thể coi lần gieo phép thử Bécnuli hay không? b) Kí hiệu X số lần xuất mặt chấm X có phân phối gì? Tại sao? 4.3 Mười xạ thủ độc lập với bắn vào bia (mỗi người bắn viên) với xác suất bắn trúng đích 0,4 a) Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X số viên trúng đích b) Tính P(X ≥ 1) 4.4 Năm hạt đậu gieo xuống đất canh tác với xác suất nảy mầm hạt 0,90 Kí hiệu X số hạt nảy mầm a) X biến ngẫu nhiên gì? b) Lập bảng phân phối xác suất X THÔNG TIN PHẢN HỒI số lần xuất mặt S n lần gieo biến ngẫu nhiên phân phối nhị thức với tham số (n; ) a) Một đồng tiền cân đối đồng chất gieo n lần phép thử Bécnuli với p = q = b) Mỗi lần lấy cầu có hồn lại phép thử Bécnuli, 10 lần lấy 10 phép thử Bécnuli Như 2 P(X = 4) = C 10 ( )4 ( )6 P(X ≥ 1) = – P(X = 0) = – ( )10 5 55 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.5 BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC A THÔNG TIN CƠ BẢN Biến ngẫu nhiên liên tục biến ngẫu nhiên có tập giá trị khoảng (a; b) P(X = x) = 0, với x Như phân phối X cho bảng phân phối, mà phải cho hàm mật độ Ta nói hàm số f(x) xác định tập số thực R hàm mật độ biến ngẫu nhiên X, x FX (x) − FX (a) = ∫ f (t)dt , x > a a Từ đó, cho a dần tới −∞ ta có: x FX (x) = ∫ f (t)dt , với số thực x (1) −∞ Ngược lại, từ (1) ta có f(x) = F’X (x) Vì hàm mật độ hồn tồn xác định hàm phân phối nên thực tiễn người ta thường cho phân phối liên tục cách cho hàm mật độ Về mặt hình học, giả sử f(x) hàm mật độ biến ngẫu nhiên X Khi FX(a) diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hồnh đường thẳng có phương trình x = a song song với trục tung B HOẠT ÐỘNG HOẠT ÐỘNG 5.1 THỰC HÀNH TÍNH TỐN VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC NHIỆM VỤ Sinh viên tự đọc thông tin sau thảo luận theo nhóm 2, người để thực nhiệm vụ sau: Cho biến ngẫu nhiên X với hàm mật độ: ⎧2x, f(x) = ⎨ ⎩0, < x < 1; c x < h x > Hãy tính xác suất dạng P(a < X < b) lập hàm phân phối 56 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TỐN NHIỆM VỤ 1: Tính xác suất sau a) P( 0; F(x) = ⎨ ví i x ≤ 0, ⎩0, λ số dương a) Xác định hàm mật độ X b) Tính P(−1 < X < 2) THÔNG TIN PHẢN HỒI a) Đối với hoạt động 5.1: P( < X < ) = ∫ 2xdx = x = 3/ | 1/ 2 P(− 1 < X < ) = ∫ 0.dx + ∫ x dx 2 58 ( )2 − ( )2 = 16 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN ⎧0, x ≤ 0; ⎪ F(x) = ⎨ x , < x nên X−a σ có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) 59 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN TIỂU CHỦ ĐỀ 2.6 PHÂN PHỐI TIỆM CẬN CHUẨN A THÔNG TIN CƠ BẢN a) Giả sử Sn biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức với tham số (n; p), Moivre – Laplace chứng minh rằng: x t ⎛ Sn − np ⎞ − < x ⎟ = Φ (x) = lim P ⎜ ∫ e dt, với x∈ R ⎟ n →∞ ⎜ npq 2π −∞ ⎝ ⎠ lim P(Sn = k) − n →∞ ⎛ k − np ⎞ ψ⎜ ⎟ =0 npq ⎜ npq ⎟ ⎝ ⎠ Điều có nghĩa với n lớn biến ngẫu nhiên (1) (2) Sn − np có hàm phân phối xấp xỉ hàm npq phân phối chuẩn tắc Do với n lớn: ⎛ ⎞ S − np ≤ b ⎟ ≈ Φ (b) − Φ (a), a < b P⎜a ≤ n ⎜ ⎟ npq ⎝ ⎠ (3) b) Ta nói biến ngẫu nhiên X1, X2, , Xn độc lập với n số thực C1, C2, , Cn bất kì, biến cố (X1 < C1 ), (X2 < C2 ), , (Xn < Cn) độc lập Định lí giới hạn trung tâm khẳng định X1, X2, , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với kì vọng chung a, phương sai chung σ > , với X + X + + X n X = ta có: n ⎛ X−a ⎞ lim P ⎜ n < x ⎟ = Φ (x) với x ∈ R n →∞ ⎝ σ ⎠ Do n lớn: ⎛ ⎞ X−a P⎜b < n < c ⎟ ≈ Φ (c) − Φ (b), b < c σ ⎝ ⎠ 60 ... http://www.simpopdf.com NHẬP MƠN LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Y P 0 ,42 4 0 ,16 1 0 ,13 4 0 ,11 1 0,093 0,077 Dùng kí hiệu biến ngẫu nhiên Y để biểu diễn biến cố sau: - Có hai khách đợi; - Có khách đợi Tính xác. .. LÍ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN + P( -1 , 64 < Z < 1, 64) = 0,90; + P( -1 , 96 < Z < 1, 96) = 0,95; + P (- 2,58 < Z < 2,58) = 0,99 ĐÁNH GIÁ 5 .1 Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục Hãy so sánh xác suất. .. gồm 36 phần tử (cặp số) S có tập giá trị S(Ω) = ⎨2, 3, 4, , 12 ⎬ (S = 6) = ⎨ (1, 5) ; (5, 1) ; (2, 4) ; (4, 2) ; (3, 3)⎬ 47 Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - http://www.simpopdf.com