I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 2. 3 1 2x dx− ∫ 3. 2 1 1x dx+ ∫ 4. 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx π π + + ∫ 5. 1 0 ( ) x e x dx+ ∫ 6. 1 3 0 ( )x x x dx+ ∫ 7. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ − + ∫ 8. 2 3 1 (3sin 2 )x cosx dx x π π + + ∫ 9. 1 2 0 ( 1) x e x dx+ + ∫ 10. 2 2 3 1 ( )x x x x dx+ + ∫ 11. 2 1 ( 1)( 1)x x x dx− + + ∫ 12. 3 3 1 x 1 dx( ). − + ∫ 13. 2 2 2 -1 x.dx x + ∫ 14. 2 e 1 7x 2 x 5 dx x − − ∫ 15. x 2 5 2 dx x 2+ + − ∫ 16. 2 2 1 x 1 dx x x x ( ). ln + + ∫ 17. 2 3 3 6 x dx x cos . sin π π ∫ 18. 4 2 0 tgx dx x . cos π ∫ 19. 1 x x x x 0 e e e e dx − − − + ∫ 20. 1 x x x 0 e dx e e . − + ∫ 21. 2 2 1 dx 4x 8x+ ∫ 22. 3 x x 0 dx e e ln . − + ∫ 22. 2 0 dx 1 xsin π + ∫ II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 2. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 3. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 3. 4 0 tgxdx π ∫ 4. 4 6 cot gxdx π π ∫ 5. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 6. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 7. 1 2 0 1x x dx− ∫ 8. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 9. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 10. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 11. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 12. 1 2 0 1 1 dx x+ ∫ 13. 1 2 1 1 2 2 dx x x − + + ∫ 14. 1 2 0 1 1 dx x + ∫ 15. 1 2 2 0 1 (1 3 ) dx x+ ∫ 16. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 17. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 18. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 19. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 20. 2 sin 4 x e cosxdx π π ∫ 21. 2 4 sin cosx e xdx π π ∫ 22. 2 1 2 0 x e xdx + ∫ 23. 2 3 2 3 sin xcos xdx π π ∫ 24. 2 2 3 3 sin xcos xdx π π ∫ 25. 2 0 sin 1 3 x dx cosx π + ∫ 26. 4 0 tgxdx π ∫ 27. 4 6 cot gxdx π π ∫ 28. 6 0 1 4sin xcosxdx π + ∫ 29. 1 2 0 1x x dx+ ∫ 30. 1 2 0 1x x dx− ∫ 31. 1 3 2 0 1x x dx+ ∫ 32. 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ 33. 1 3 2 0 1x x dx− ∫ 34. 2 3 1 1 1 dx x x + ∫ 35. 1 1 ln e x dx x + ∫ 36. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 37. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 38. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 39. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 40. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ ∫ 41. 2 1 1 1 x dx x+ − ∫ 42. 1 0 2 1 x dx x + ∫ 43. 1 0 1x x dx+ ∫ 44. 1 0 1 1 dx x x+ + ∫ 45. 1 0 1 1 dx x x+ − ∫ 46. 3 1 1x dx x + ∫ 46. 1 1 ln e x dx x + ∫ 47. 1 sin(ln ) e x dx x ∫ 48. 1 1 3ln ln e x x dx x + ∫ 49. 2ln 1 1 e x e dx x + ∫ 50. 2 2 1 ln ln e e x dx x x + ∫ 51. 2 2 1 (1 ln ) e e dx cos x+ ∫ 52. 1 2 3 0 5+ ∫ x x dx 53. ( ) 2 4 0 sin 1 cos+ ∫ x xdx π 54. 4 2 0 4 x dx− ∫ 55. 4 2 0 4 x dx− ∫ 56. 1 2 0 1 dx x+ ∫ II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( ) b b b a a a x d u x v x v x u x dx= − ∫ ∫ Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv @ Dạng 1 sin ( ) ax ax f x cosax dx e β α           ∫ ( ) '( ) sin sin cos ax ax u f x du f x dx ax ax dv ax dx v cosax dx e e = =           ⇒       = =                   ∫ @ Dạng 2: ( )ln( )f x ax dx β α ∫ Đặt ln( ) ( ) ( ) dx du u ax x dv f x dx v f x dx  = =   ⇒   =   =  ∫ @ Dạng 3: sin .       ∫ ax ax e dx cosax β α Ví dụ 1: tính các tích phân sau a/ 1 2 2 0 ( 1) x x e dx x + ∫ đặt 2 2 ( 1) x u x e dx dv x  =   =  +  b/ 3 8 4 3 2 ( 1) x dx x − ∫ đặt 5 3 4 3 ( 1) u x x dx dv x  =   =  −  c/ 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 (1 ) (1 ) 1 (1 ) dx x x dx x dx dx I I x x x x + − = = − = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Tính I 1 1 2 0 1 dx x = + ∫ bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 = 1 2 2 2 0 (1 ) x dx x+ ∫ bằng phương pháp từng phần : đặt 2 2 (1 ) u x x dv dx x =    =  +  Bài tập 1. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 2. 1 ln e x xdx ∫ 3. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 4. 2 1 ln e x xdx ∫ 5. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 6. 1 ln e x xdx ∫ 7. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 8. 2 1 ln e x xdx ∫ 9. 2 0 ( osx)sinxx c dx π + ∫ 10. 1 1 ( )ln e x xdx x + ∫ 11. 2 2 1 ln( )x x dx + ∫ 12. 3 2 4 tanx xdx π π ∫ 13. 2 5 1 ln x dx x ∫ 14. 2 0 cosx xdx π ∫ 15. 1 0 x xe dx ∫ 16. 2 0 cos x e xdx π ∫ III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ: 1. ∫ +− − 5 3 2 23 12 dx xx x 2. ∫ ++ b a dx bxax ))(( 1 3. ∫ + ++ 1 0 3 1 1 dx x xx 4. dx x xx ∫ + ++ 1 0 2 3 1 1 5. ∫ + 1 0 3 2 )13( dx x x 6. ∫ ++ 1 0 22 )3()2( 1 dx xx 7. ∫ + − 2 1 2008 2008 )1( 1 dx xx x 8. ∫ − +− ++− 0 1 2 23 23 9962 dx xx xxx 9. ∫ − 3 2 22 4 )1( dx x x 10. ∫ + − 1 0 2 32 )1( dx x x n n 11. ∫ ++ − 2 1 24 2 )23( 3 dx xxx x 12. ∫ + 2 1 4 )1( 1 dx xx 13. ∫ + 2 0 2 4 1 dx x 14. ∫ + 1 0 4 1 dx x x 15. dx xx ∫ +− 2 0 2 22 1 16. ∫ + 1 0 32 )1( dx x x 17. ∫ +− 4 2 23 2 1 dx xxx 18. ∫ +− ++ 3 2 3 2 23 333 dx xx xx 19. ∫ + − 2 1 4 2 1 1 dx x x 20. ∫ + 1 0 3 1 1 dx x 21. ∫ + +++ 1 0 6 456 1 2 dx x xxx 22. ∫ + − 1 0 2 4 1 2 dx x x 23. ∫ + + 1 0 6 4 1 1 dx x x 24. 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ 25. 1 2 0 1 dx x x+ + ∫ 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC: 1. xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π 2. ∫ 2 0 32 cossin π xdxx 3. dxxx ∫ 2 0 54 cossin π 4. ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx 5. ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx 6. ∫ −− 2 0 22 )coscossinsin2( π dxxxxx 7. ∫ 2 3 sin 1 π π dx x 8. ∫ −+ 2 0 441010 )sincoscos(sin π dxxxxx 9. ∫ − 2 0 cos2 π x dx 10. ∫ + 2 0 sin2 1 π dx x 11. ∫ + 2 0 2 3 cos1 sin π dx x x 12. ∫ 3 6 4 cos.sin π π xx dx 13. ∫ −+ 4 0 22 coscossin2sin π xxxx dx 14. ∫ + 2 0 cos1 cos π dx x x 15. ∫ − 2 0 cos2 cos π dx x x 16. ∫ + 2 0 sin2 sin π dx x x 17. ∫ + 2 0 3 cos1 cos π dx x x 18. ∫ ++ 2 0 1cossin 1 π dx xx 19. ∫ − 2 3 2 )cos1( cos π π x xdx 20. ∫ − ++ +− 2 2 3cos2sin 1cossin π π dx xx xx 21. ∫ 4 0 3 π xdxtg 22. dxxg ∫ 4 6 3 cot π π 23. ∫ 3 4 4 π π xdxtg 24. ∫ + 4 0 1 1 π dx tgx 25. ∫ + 4 0 ) 4 cos(cos π π xx dx 26. ∫ ++ ++ 2 0 5cos5sin4 6cos7sin π dx xx xx 27. ∫ + π 2 0 sin1 dxx 28. ∫ ++ 4 0 13cos3sin2 π xx dx 29. ∫ + 4 0 4 3 cos1 sin4 π dx x x 30. ∫ + ++ 2 0 cossin 2sin2cos1 π dx xx xx 31. ∫ + 2 0 cos1 3sin π dx x x 32. ∫ − 2 4 sin2sin π π xx dx 33. ∫ 4 0 2 3 cos sin π dx x x 34. ∫ + 2 0 32 )sin1(2sin π dxxx 35. ∫ π 0 sincos dxxx 36. ∫ − 3 4 3 3 3 sin sinsin π π dx xtgx xx 37. ∫ ++ 2 0 cossin1 π xx dx 38. ∫ + 2 0 1sin2 π x dx 39. ∫ 2 4 53 sincos π π xdxx 40. ∫ + 4 0 2 cos1 4sin π x xdx 41. ∫ + 2 0 3sin5 π x dx 2. ∫ 6 6 4 cossin π π xx dx 43. ∫ + 3 6 ) 6 sin(sin π π π xx dx 4. ∫ + 3 4 ) 4 cos(sin π π π xx dx 45. ∫ 3 4 6 2 cos sin π π x xdx 46. dxxtgxtg ) 6 ( 3 6 π π π ∫ + 47. ∫ + 3 0 3 )cos(sin sin4 π xx xdx 48. ∫ − + 0 2 2 )sin2( 2sin π x x 49. ∫ 2 0 3 sin π dxx 50. ∫ 2 0 2 cos π xdxx 51. ∫ + 2 0 12 .2sin π dxex x 52. dxe x x x ∫ + + 2 0 cos1 sin1 π 53. ∫ + 4 6 2cot 4sin3sin π π dx xgtgx xx 54. ∫ +− 2 0 2 6sin5sin 2sin π xx xdx 55. ∫ 2 1 )cos(ln dxx 56. ∫ 3 6 2 cos )ln(sin π π dx x x 57. dxxx ∫ − 2 0 2 cos)12( π 58. ∫ π 0 2 cossin xdxxx 59. ∫ 4 0 2 π xdxxtg 60. ∫ π 0 22 sin xdxe x 61. ∫ 2 0 3sin cossin 2 π xdxxe x 62. ∫ + 4 0 )1ln( π dxtgx 63. ∫ + 4 0 2 )cos2(sin π xx dx 64. ∫ −+ − 2 0 2 )cos2)(sin1( cos)sin1( π dx xx xx 65. 2 2 sin 2 sin 7 − ∫ x xdx π π 66. 2 4 4 0 cos (sin cos ) + ∫ x x x dx π 67. 2 3 0 4sin 1 cos + ∫ x dx x π 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ: ∫ b a dxxfxR ))(,( Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: +) R(x, xa xa + − ) §Æt x = a cos2t, t ] 2 ;0[ π ∈ +) R(x, 22 xa − ) §Æt x = ta sin hoÆc x = ta cos +) R(x, n dcx bax + + ) §Æt t = n dcx bax + + +) R(x, f(x)) = γβα +++ xxbax 2 )( 1 Víi ( γβα ++ xx 2 )’ = k(ax+b) Khi ®ã ®Æt t = γβα ++ xx 2 , hoÆc ®Æt t = bax + 1 +) R(x, 22 xa + ) §Æt x = tgta , t ] 2 ; 2 [ ππ −∈ +) R(x, 22 ax − ) §Æt x = x a cos , t } 2 {\];0[ π π ∈ +) R ( ) 1 2 i n n n x x x; ; ; Gäi k = BCNH(n 1 ; n 2 ; ; n i ) §Æt x = t k 1. ∫ + 32 5 2 4xx dx 2. ∫ − 2 3 2 2 1xx dx 3. ∫ − +++ 2 1 2 1 2 5124)32( xxx dx 4. ∫ + 2 1 3 1xx dx 5. ∫ + 2 1 2 2008dxx 6. ∫ + 2 1 2 2008x dx 7. ∫ + 1 0 22 1 dxxx 8. ∫ − 1 0 32 )1( dxx 9. ∫ + + 3 1 22 2 1 1 dx xx x 10. ∫ − + 2 2 0 1 1 dx x x 11. ∫ + 1 0 32 )1( x dx 12. ∫ − 2 2 0 32 )1( x dx 13. ∫ + 1 0 2 1 dxx 14. ∫ − 2 2 0 2 2 1 x dxx 15. ∫ + 2 0 2cos7 cos π x xdx 16. ∫ − 2 0 2 coscossin π dxxxx 17. ∫ + 2 0 2 cos2 cos π x xdx 18. ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 19. ∫ + 7 0 3 2 3 1 x dxx 20. ∫ − 3 0 23 10 dxxx 21. ∫ + 1 0 12x xdx 22. ∫ ++ 1 0 2 3 1xx dxx 23. ∫ ++ 7 2 112x dx 24. dxxx ∫ + 1 0 815 31 25. ∫ − 2 0 5 6 3 cossincos1 π xdxxx 26. ∫ + 3ln 0 1 x e dx 27. ∫ − +++ 1 1 2 11 xx dx 28. ∫ + 2ln 0 2 1 x x e dxe 29. ∫ −− 1 4 5 2 8412 dxxx 30. ∫ + e dx x xx 1 lnln31 31. ∫ + + 3 0 2 35 1 dx x xx 32. dxxxx ∫ +− 4 0 23 2 33. ++ 0 1 3 2 )1( dxxex x 34. + 3ln 2ln 2 1ln ln dx xx x 35. + 3 0 2 2 cos 32 cos 2cos dx x tgx x x 36. + 2ln 0 3 )1( x x e dxe 37. + 3 0 2cos2 cos x xdx 38. + 2 0 2 cos1 cos x xdx 39. dx x x + + 7 0 3 3 2 40. + a dxax 2 0 22 VI. MT S TCH PHN C BIT: Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: += aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)( Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2 3 ; 2 3 ] thỏa mãn f(x) + f(-x) = x2cos22 , Tính: 2 3 2 3 )( dxxf +) Tính + + 1 1 2 4 1 sin dx x xx Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 0. Ví dụ: Tính: ++ 1 1 2 )1ln( dxxx ++ 2 2 2 )1ln(cos dxxxx Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó: a a dxxf )( = 2 a dxxf 0 )( Ví dụ: Tính + 1 1 24 1xx dxx 2 2 2 cos 4 sin + x x dx x Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó: = + aa a x dxxfdx b xf 0 )( 1 )( (1 b>0, a) Ví dụ: Tính: + + 3 3 2 21 1 dx x x + 2 2 1 5cos3sinsin dx e xxx x Bài toán 4: Nếu y = f(x) liên tục trên [0; 2 ], thì = 2 0 2 0 )(cos)(sin dxxfxf [...]... 7: Nếu f(x) liên t c trên R và tuần hoàn với chu kì T thì: a +T a T nT f ( x )dx = f ( x)dx 0 Ví dụ: Tính 2008 0 1 cos 2 x dx 0 C c bài tập áp dụng: 1 1 1 x dx 1+ 2x 1 1 3 4 2 (1 + e 1 x dx )(1 + x 2 ) 1 2 1 x )dx 5 cos 2 x ln( 1+ x 1 4 2 x7 x5 + x3 x + 1 dx cos 4 x x + cos x dx 2 x 4 sin 4 2 2 6 sin(sin x + nx)dx 0 2 tga sin 5 x 2 7 2 1 + cos x 2 dx cot ga e 1 e xdx 8 1 + x 2... dụ: Tính sin 0 2 2009 sin x dx x + cos 2009 x 2009 0 sin x sin x + cos x dx Bài toán 5: Cho f(x) x c định trên [-1; 1], khi đó: xf (sin x)dx = f (sin x)dx 20 0 x dx Ví dụ: Tính 1 + sin x 0 b Bài toán 6: a 0 b b f (a + b x )dx = f ( x)dx a Ví dụ: Tính x sin x 1 + cos 0 2 x x sin x 2 + cos x dx 0 b f (b x) dx = f ( x)dx 0 4 dx sin 4 x ln(1 + tgx)dx 0 Bài toán 7: Nếu f(x) liên t c. .. + x 2 ) VII TCH PHN HM GI TR TUYT I: 3 1 x 2 2 1dx 2 3 x 0 5 2 4 x + 3 dx 0 2 3 x 2 1 2 x dx x x m dx 4 0 1 sin x dx sin x dx 3 6 6 T f ( x) dx = n f ( x)dx 2 tg 2 x + cot g 2 x 2dx 0 3 4 2 7 sin 2 x dx 8 4 9 ( x + 2 x 2 )dx 2 11 cos x 1 + cos x dx 0 5 3 cos x cos 3 x dx 3 x 10 2 4 dx 0 12 2 VIII NG DNG CA TCH PHN: TNH DIN TCH HèNH PHNG Vớ d 1 : Tớnh din tớch hỡnh phng... y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x =1 b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1 c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x =4 d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2 Vớ d 2 : Tớnh din tớch hỡnh phng gii hn bi a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x =1 b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng... a/ th hm s y = x + x -1 , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x =1 b/ th hm s y = ex +1 , trc honh , ng thng x = 0 v ng thng x = 1 c/ th hm s y = x3 - 4x , trc honh , ng thng x = -2 v ng thng x =4 d/ th hm s y = sinx , trc honh , trc tung v ng thng x = 2 TNH TH TCH VT TH TRềN XOAY . I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG C CH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM C BẢN: 1. 1 3 0 ( 1)x x dx+ + ∫ 2. 2 2 1 1 1 ( ) e x x dx x x + + + ∫ 2. 3 1 2x dx− ∫ 3. 2 1 1x dx+ ∫ 4. 2 3 (2sin 3 )x cosx. ∫ + π 2 0 cos1 dxx 9. ∫ − −−+ 5 2 )22( dxxx 10. ∫ − 3 0 42 dx x 11. ∫ − − 3 2 3 coscoscos π π dxxxx 12. VIII. ỨNG DỤNG C A TÍCH PHÂN: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Ví dụ 1 : Tính diện tích hình. 39. 40. IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GI C: 1. xdxx 4 2 0 2 cossin ∫ π 2. ∫ 2 0 32 cossin π xdxx 3. dxxx ∫ 2 0 54 cossin π 4. ∫ + 2 0 33 )cos(sin π dxx 5. ∫ + 2 0 44 )cos(sin2cos π dxxxx 6.