SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 1 2 12 2 ' 0 3 2 0 ( ) xx y ax bx c x x xx Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a) x 1 x 2 x y’ + 0 – 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng 1 ( ; )x và 2 ( ; )x Hàm số nghịch biến trên khoảng 12 ( ; )xx – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x 1 ; y CĐ = y(x 1 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 2 ; y CT = y(x 2 ) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 1 x 2 x y’ + 0 – 0 + y y CĐ y CT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: x 4 x 1 x 3 1 2 x (x x ) / 2 2 x 5 x y y(x 4 ) y CĐ y(x 3 ) y CT y(x 5 ) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 3 ; y(x 3 )) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 1 2 12 2 ' 0 3 2 0 ( ) xx y ax bx c x x xx Xét dấu y’ (trong trái, ngoài cùng hoặc khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu a) x 1 x 2 x y’ – 0 + 0 – Hàm số đồng biến trên khoảng 12 ( ; )xx Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1 ( ; )x và 2 ( ; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x 2 ; y CĐ = y(x 2 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 1 ; y CT = y(x 1 ) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 1 x 2 x y’ – 0 + 0 – y y CT y CĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: x 4 x 1 x 3 1 2 x (x x ) / 2 2 x 5 x y y(x 4 ) y CT y(x 3 ) y CĐ y(x 5 ) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 3 ; y(x 3 )) làm tâm đối xứng) O x y x 2 y CĐ x 1 y CT I . O x y x 2 y CĐ x 1 y CT I . SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có 1 nghiệm (nghiệm kép) và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 2 0 ' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,yx (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x 0 ) Hàm số đồng biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x x 0 y’ + 0 + y y(x 0 )  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x 0 ) x x 1 x 2 x 0 x 3 x 4 y y(x 1 ) y(x 2 ) y(x 0 ) y(x 3 ) y(x 4 ) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x 0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 0 ; y(x 0 )) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 2 0 ' 0 3 2 0y ax bx c x x (nghiệm kép) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,yx (Vì =0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x x 0 ) Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x x 0 y’ – 0 – y y(x 0 )  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x 0 ) x x 1 x 2 x 0 x 3 x 4 y y(x 1 ) y(x 2 ) y(x 0 ) y(x 3 ) y(x 4 ) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x 0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 0 ; y(x 0 )) làm tâm đối xứng) I O x y y(x 0 ) ) x 0 . O x y y(x 0 ) ) x 0 . I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 5: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a > 0 Trường hợp 6: y’ = 0 vô nghiệm và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 2 ' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,yx (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) Hàm số đồng biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x ’ + y  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x 0 = –b/3a) x x 1 x 2 x 0 = –b/3a x 3 x 4 y y(x 1 ) y(x 2 ) y(x 0 ) y(x 3 ) y(x 4 ) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x 0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 0 ; y(x 0 )) làm tâm đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 ' 3 2y ax bx c 2 ' 0 3 2 0y ax bx c (vô nghiệm) (lưu ý nên sử dụng MTBT) ' 0,yx (Vì <0 y’ cùng dấu với hệ số a, với mọi x) Hàm số nghịch biến trên R – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x y’ – y  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y(0) – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 32 ax bx cx d 0 x = ? – Bảng giá trị: ( lấy các giá trị là số nguyên bên trái và bên phải điểm x 0 = –b/3a) x x 1 x 2 x 0 = –b/3a x 3 x 4 y y(x 1 ) y(x 2 ) y(x 0 ) y(x 3 ) y(x 4 ) (lưu ý có thể chỉ cần lấy 3 điểm là đủ để vẽ đồ thị) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm x 0 và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận điểm I(x 0 ; y(x 0 )) làm tâm đối xứng) I O x y y(x 0 ) ) x 0 . I O x y y(x 0 ) ) x 0 . SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 4 + bx 2 + c ( a0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a > 0 Trường hợp 2: y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 32 ' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 0 2 0 0 0 ' 0 2 (2 ) 0 (x ) 2 2 x x b y x ax b b xx a x a Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) x - 0 x 0 0 x y’ – 0 + 0 – 0 + Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 ( ;0)x và 0 ( ; )x Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0 ( ; )x và 0 (0; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y CĐ = y(0) Hàm số đạt cực tiểu tại x = x 0 ; y CT = y( x 0 ) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x - 0 x 0 0 x y’ – 0 + 0 – 0 + y y CT y CĐ y CT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y CĐ – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 42 ax bx c 0 x = ? (đặt 22 t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x 1 x 0 x 0 0 x 2 x y y(x 1 ) y CT y CĐ y CT y(x 2 ) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt;lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 32 ' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 0 2 0 0 0 ' 0 2 (2 ) 0 (x ) 2 2 x x b y x ax b b xx a x a Xét dấu y’ (khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số a) x - 0 x 0 0 x y’ + 0 – 0 + 0 – Hàm số đồng biến trên các khoảng 0 ( ; )x và 0 (0; )x Hàm số nghịch biến trên các khoảng 0 ( ;0)x và 0 ( ; )x – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = x 0 ; y CĐ = y( x 0 ) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x - 0 x 0 0 x y’ + 0 – 0 + 0 – y y CĐ y CT y CĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y CT – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 42 ax bx c 0 x = ? (đặt 22 t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x 1 x 0 x 0 0 x 2 x y y(x 1 ) y CĐ y CT y CĐ y(x 2 ) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm CĐ, CT và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng) O x y y CĐ -x 0 y CT x 0 O x y y CĐ -x 0 y CT x 0 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax 4 + bx 2 + c ( a0 ) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 3: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a > 0 Trường hợp 4: y’ = 0 có duy nhất 1 nghiệm x = 0 và hệ số a < 0  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 32 ' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 ' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) x 0 y’ – 0 + Hàm số đồng biến trên khoảng (0; ) Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;0) – Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 ; y CT = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 0 y’ – 0 + y y CT  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y CT – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 42 ax bx c 0 x = ? (đặt 22 t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 y y(-2) y(-1) y CT y(1) y(2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực tiểu và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng)  Tập xác định: D = R  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 32 ' 4 2 2 (2 )y ax bx x ax b 2 ' 0 2 (2 ) 0 0y x ax b x (lưu ý nên sử dụng MTBT) Xét dấu y’ (khoảng bên phải cùng dấu với hệ số a) x 0 y’ + 0 – Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;0) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ) – Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y CĐ = y(0) – Giới hạn: x lim y ; x lim y – Bảng biến thiên: x 0 y’ + 0 – y y CĐ  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = y CĐ – Giao với trục Ox: (lưu ý nên sử dụng MTBT) y = 0 42 ax bx c 0 x = ? (đặt 22 t x at bt c 0 ) – Bảng giá trị: x -2 -1 0 1 2 y y(-2) y(-1) y CT y(1) y(2) (Vẽ hệ trục Oxy; xác định điểm Cực đại và các điểm đặc biệt; lưu ý dáng điệu của đồ thị như hình vẽ. Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng) y CT O x y -1 1 y CĐ O x y -1 1 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = (ax+b)/(cx+d) (GV: Lưu Công Hoàn) Trường hợp 1: D = ad – bc > 0 Trường hợp 2: D = ad – bc < 0  Tập xác định: \ d D c  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 - ' 0, () ad bc d yx cx d c Hàm số đồng biến trên các khoảng d c ( ; ) và d c ( ; ) – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Tiệm cận: lim d x c y ; lim d x c y đường thẳng d x c là tiệm cận đứng. x a y c lim ; x a y c lim đường thẳng a y c là tiệm cận ngang. – Bảng biến thiên:  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = b/d – Giao với trục Ox: y = 0 x = –b/a – Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần) Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. (Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, rồi lấy đối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp) x d c y’ + + y a c a c  Tập xác định: \ d D c  Sự biến thiên: – Chiều biến thiên: 2 - ' 0, () ad bc d yx cx d c Hàm số nghịch biến trên các khoảng d c ( ; ) và d c ( ; ) – Cực trị: Hàm số không có cực trị – Tiệm cận: lim d x c y ; lim d x c y đường thẳng d x c là tiệm cận đứng. x a y c lim ; x a y c lim đường thẳng a y c là tiệm cận ngang. – Bảng biến thiên:  Đồ thị: – Giao với trục Oy: x = 0 y = b/d – Giao với trục Ox: y = 0 x = –b/a – Lập bảng giá trị tìm 1 số điểm mà đồ thị hàm số đi qua (nếu cần) Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I(–d/c; a/c) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. (Vẽ hệ trục Oxy; vẽ 2 đường tiệm cận; lấy điểm đặc biệt; vẽ 1 nhánh của đồ thị, rồi lấyđối xứng nhánh đó qua tâm I ta được nhánh còn lại; dáng điệu của đồ thị như hình vẽ trên; lưu ý đến tính đối xứng qua tâm I để vẽ hình được chính xác và đẹp) x d c y’ – – y a c a c “GIÁO VIÊN: LƯU CÔNG HOÀN – TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI ” TCN I TCĐ O x y TCN I TCĐ O x y