Đang tải... (xem toàn văn)
Lý thuyết về thang thời gian (time scale) được trình bày lần đầu tiên bởi Stefan Hilger vào năm 1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc. Cho đến nay đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về thang thời gian. Giải tích (phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian. Chẳng hạn, đã có những kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,…của hệ động lực trên thang thời gian. Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng. Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian.
1 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 2 Chương 1. Giải tích trên thang thời gian 4 1.1. Thang thời gian……………………………………………………… 4 1.1.1. Định nghĩa thang thời gian…………………………………… …4 1.1.2. Các định nghĩa cơ bản………………………………………… 5 1.2. Không gian tôpô …………………………………………… ……….9 1.3. Hàm chính qui và hàm rd-liên tục 11 1.4. Phép toán vi phân 13 1.4.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger……………………………… … 13 1.4.2. Tính chất của đạo hàm Hilger ………………………… ………15 1.4.3. Đạo hàm cấp cao………… ………………………… ……… 17 1.5. Phép toán tích phân…………………………………………… … 19 1.5.1. Tồn tại tiền nguyên hàm………………………………… …….19 1.5.2. Nguyên hàm……………………………………………….…… 19 1.5.3. Quy tắc xích…………………………………………….……… 21 Chương 2. Bất đẳng thức trên thang thời gian………………………………25 2.1. Các bất đẳng thức Holder, Cauchy- Schwarz, Minkowski 25 2.2. Bất đẳng thức Jensen…………………….…… ………… …………29 2.3. Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari…………………… ….31 2.4. Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……………….………………… 40 2.5. Bất đẳng thức Lyapunov………………………………… … ………46 2.6. Một số bất đẳng thức khác………………….……………… ……… 59 KẾT LUẬN…………………………………………………………………….84 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….85 2 MỞ ĐẦU Lý thuyết về thang thời gian (time scale) được trình bày lần đầu tiên bởi Stefan Hilger vào năm 1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc. Cho đến nay đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về thang thời gian. Giải tích (phép tính vi phân và tích phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã được “chuyển dịch” sang thang thời gian. Chẳng hạn, đã có những kết quả rất sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,…của hệ động lực trên thang thời gian. Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng. Hầu hết các bất đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề mà thời gian gần đây đang được nhiều nhà toán học quan tâm là thang thời gian, đồng thời so sánh các bất đẳng thức vi phân và sai phân với bất đẳng thức trên thang thời gian, để từ đó có cái nhìn tổng quát hơn về bất đẳng thức, tôi đã chọn Bất đẳng thức trên thang thời gian và Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học của mình. Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo. Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm thang thời gian, các khái niệm toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật và các điểm cô lập; các khái niệm và tính chất của các phép tính vi phân, tích phân trên thang thời gian cũng như đối chiếu kết quả trên một số thang thời gian thường gặp. 3 Chương 2 chúng tôi trình bày các bất đẳng thức cơ bản và quan trọng trên thang thời gian như Bất đẳng thức Holder , Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức Lyapunov và một số bất đẳng thức khác; đồng thời chúng tôi cũng tham chiếu các bất đẳng thức trên đối với các trường hợp thang thời gian liên tục và thang thời gian rời rạc. Để hoàn thành luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng, người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu và tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường. Xin được cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng Ninh, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân, đồng nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014 Người thực hiện Đỗ Văn Nhân 4 Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1. Thang thời gian 1.1.1. Định nghĩa thang thời gian Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng khác rỗng bất kì trong tập hợp các số thực . Thang thời gian thường được kí hiệu là . Ví dụ 1.1 1.1.1) Các tập 0 , , , , [1;2] [3;4], [1;2] trong đó là tập các số tự nhiên, 1,2,3, , còn 0 0,1,2, là những thang thời gian. 1.1.2) Các tập 0 0, 2 ,2 1 k k k k , 2 2 0 0 : , n n z 2 :z là những thang thời gian. 1.1.3) Cho 1 q là một số hữu tỉ cố định. Khi đó tập hợp 2 3 0 : 1, , , , n q q n q q q cũng là một thang thời gian. 1.1.4) Cho 0 n , các số điều hòa n H được xác định như sau 0 1 1 0, . n n k H H k Khi đó 0 : n H n là một thang thời gian. 1.1.5) Các tập , \ , 0;1 không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong nhưng không phải là tập đóng trong . 1.1.6) Mặt phẳng phức cũng không phải là thang thời gian vì nó là tập đóng nhưng không nằm trong . 5 Hai thang thời gian cơ bản và rất quan trọng thường gặp trong các chứng minh trước đây là tập số thực và tập số nguyên . 1.1.2. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.2 Cho là một thang thời gian, với mỗi t ta có các định nghĩa sau: Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử : được xác định bởi ( ): inf , . t s s t Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử : được xác định bởi ( ): sup , . t s s t Trong định nghĩa này chúng ta quy ước inf : sup và sup : inf , trong đó là tập hợp rỗng. Ví dụ 1.2 1.2.1) Cho thang thời gian . t Khi đó với mọi t ta có ( ) inf : inf , . t s s t t t Tương tự, ( ) sup : sup , . t s s t t t Như vậy, ( ) ( ) t t t với mọi . t 1.2.2) Cho thang thời gian . Khi đó với mọi t ta có ( ) inf : inf 1, 2, 3, 1. t s s t t t t t Tương tự ( ) 1 t t với mọi . t 1.2.3) Cho thang thời gian 0 : 2 n n . Ta có 1 ( ) 2 t t và 1 ( ) 2 t t . 6 1.2.4) Cho thang thời gian 2 2 0 0 :n n . Nếu t thì tồn tại số 0 n sao cho 2 t n hay t n . Ta có: 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 t n n t và 2 2 2 ( ) ( ) 1 1 t n n t . 1.2.5) Cho thang thời gian z 2 :z . Nếu t thì tồn tại số z sao cho 2 0 z t hay 2 log z t . Ta có: 2 log 1 1 ( ) (2 ) 2 2 2 t z z t t và 2 log 1 1 1 ( ) (2 ) 2 2 2 t z z t t . Định nghĩa 1.3 Cho là thang thời gian. Điểm t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu ( ) t t . Điểm t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ( ) t t . Điểm t được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu ( ) ( ) t t t . Ví dụ 1.3 1.3.1) Cho thang thời gian thì mọi điểm t đều là điểm cô lập. 1.3.2) Cho thang thời gian 0 : 2 n n (xem ví dụ 1.2.3). Ta có điểm 0 t là điểm cô lập phải, và mọi t , 0 t đều là điểm cô lập. 1.3.3) Cho thang thời gian z 2 :z (xem ví dụ 1.2.5). Ta có 1 ( ) ( ) 2 2 t t t t t với mọi t . Do đó mọi điểm t đều là điểm cô lập. 7 Định nghĩa 1.4 Cho là thang thời gian. Điểm t được gọi là điểm trù mật phải (right-dense) nếu ( ) t t . Điểm t được gọi là điểm trù mật trái (left-dense) nếu ( ) t t . Điểm t được gọi là điểm trù mật (dense) nếu ( ) ( ) t t t . Ví dụ 1.4 1.4.1) Cho thang thời gian thì mọi điểm t đều là điểm trù mật. 1.4.2) Cho thang thời gian 0, [2 ,2 1] k k k k . Ta có Nếu (2 ,2 1) t k k thì ( ) ( ) t t t nên t là điểm trù mật. Nếu 2 1 t k thì ( ) 1 2 2 t t k t và ( ) t t nên t là điểm cô lập phải và là điểm trù mật trái. Nếu 2 t k thì ( ) 2 t t k và ( ) 1 2 1 t t k t nên t là điểm cô lập trái và là điểm trù mật phải. 1.4.3) Cho thang thời gian 0 : n H n (Xem ví dụ 1.1.4). Ta có 1 1 1 1 1 ( ) 1 n n n n k H H H k n , 1 1 1 1 1 ( ) n n n n k H H H k n và 0 0 H H . Suy ra 0 H là điểm trù mật trái và cô lập phải. Mọi điểm 0 n H H của đều là điểm cô lập. 1.4.4) Cho 1 q , ta xác định : : k q q k và : 0 . q q Xét . q Ta có 1 ( ) inf : 1, . n m m t q n m q q q qt 8 nếu m t q và rõ ràng là 0 0. Vì vậy ta được t qt và t t q với mọi . t Do đó 0 là điểm trù mật phải và mọi điểm khác trong đều là điểm cô lập. Ta có bảng tóm tắt 1.1 t là điểm cô lập phải ( ) t t t right-scattered t là điểm trù mật phải ( ) t t t right-dense t là điểm cô lập trái ( ) t t t left-scattered t là điểm trù mật trái ( ) t t t left-dense t là điểm cô lập ( ) ( ) t t t t isolated t là điểm trù mật ( ) ( ) t t t t dense Bảng 1.1 Bảng 1.2 dưới đây mô tả hình ảnh hình học của các điểm 1 t : Điểm trù mật 2 t : Điểm trù mật trái và cô lập phải 3 t : Điểm trù mật phải và cô lập trái 4 t : Điểm cô lập Bảng 1.2 1 t 2 t ● ● ● ● 4 t 3 t ● 9 Định nghĩa 1.5 Cho là thang thời gian. Hàm hạt (grainiess function) là hàm : 0; được xác định bởi công thức ( ): ( ) t t t . Ví dụ 1.5 1.5.1) Cho thang thời gian thì ( ) 0 t với mọi t . 1.5.2) Cho thang thời gian thì ( ) 1 t với mọi t . Định nghĩa 1.6 Cho là thang thời gian và hàm : f . Ta kí hiệu hàm hợp của f và : là :f được xác định theo công thức ( ) ( ( )). f t f t Ví dụ 1.6 1.6.1) Cho thang thời gian thì ( ) ( ) f t f t với mọi t . 1.6.2) Cho thang thời gian thì ( ) ( 1) f t f t với mọi t . 1.2. Không gian tôpô Để hiểu rõ hơn các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên thang thời gian, sau đây chúng ta nhắc lại một vài kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại cương. Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X . Giả sử là một họ nào đó các tập con của . X Họ được gọi là một tôpô trên tập X (hay X được trang bị một tôpô ) nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn: 1) Tập và tập X là các phần tử của họ . 2) Hợp của một họ con tùy ý các phần tử của họ là một phần tử của họ . 3) Giao của hai phần tử tùy ý của họ là một phần tử của họ . 10 Cặp , X , trong đó là tôpô đã cho trên , X được gọi là một không gian tôpô. Giả sử , X là một không gian tôpô, M X là một tập con nào đó. Tôpô cảm sinh M trên M từ được định nghĩa như sau. Tập mở trong M là tất cả các tập có dạng , M A M A trong đó A . Khi ấy : , M M M A A M A A là một tôpô trên M . Thật vậy ta có: 1) Vì và X đều thuộc nên suy ra và M M X đều thuộc . M 2) Giả sử 1 2 , V V là hai phần tử bất kì của M . Khi ấy tồn tại 1 2 , U U sao cho 1 1 V M U và 2 2 V M U . Ta có 1 2 1 2 1 2 V V M U M U M U U . Vì 1 2 U U nên suy ra 1 2 M V V (theo định nghĩa tập M ). 3) Giả sử I V là một họ bất kì các tập thuộc M . Khi đó ta có I I I V M U M U với , U I . Vì I U nên suy ra M I V . Từ 1), 2), 3) suy ra M là một tôpô và ta gọi M là tôpô cảm sinh từ trên M . Trong luận văn này ta luôn giả thiết rằng thang thời gian được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường của tập số thực (tôpô thông thường trên tập số thực là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với giao hữu hạn và hợp bất kì của chúng), nghĩa là các tập mở của là giao của các tập mở trong với . Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô cảm sinh. [...]... (t ) t a 25 Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Các bất đẳng thức Holder , Cauchy- Schwarz, Minkowski Trước khi phát biểu và chứng minh Bất đẳng thức Holder trên thang thời gian ta xét một bổ đề cơ bản sau đây Bổ đề 2.1 Cho p, q là các số thực, p 1 và q p Với mỗi cặp số thực p 1 không âm , bất kỳ, ta luôn có bất đẳng thức 1 p 1 q p q Chứng minh Lưu ý đầu tiên... xét Bất đẳng thức Holder trên hai thang thời gian cơ bản là và Hệ quả 2.1 (Bất đẳng thức Holder trên thang thời gian , [16], trang 150) Cho f , g : a, b là các hàm khả tích thì ta có b a b p f t g t dt f t dt a trong đó p, q 1 và 1 p 1 q b q g t dt , a 1 1 1 p q Hệ quả 2.2 (Bất đẳng thức Holder trên thang thời gian. .. a Với thang thời gian và thì Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz được phát biểu như sau Hệ quả 2.3 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trên thang thời gian , [16], trang 10) Cho f , g : a, b là các hàm khả tích thì ta có b a b b 2 2 f t g t dt f t dt g t dt a a Hệ quả 2.4 (Bất đẳng thức Cauchy- Schwarz trên thang thời gian ,... 2.6 (Bất đẳng thức Minkowski trên thang thời gian , [16], trang 141) Cho n và các hàm số f , g :{1,2, , n 1} 0; Khi đó với mọi p 1 , ta có f (t ) g (t ) t 1 n p 1 p 1 1 n n pp p p f (t ) g (t ) t 1 t 1 2.2 Bất đẳng thức Jensen Bất đẳng thức sau đây là mở rộng của Bất đẳng thức Jensen cổ điển sang cho thang thời gian. .. Việc chứng minh Bất đẳng thức Jensen trên thang thời gian cũng rất gần với chứng minh Bất đẳng thức Jensen cổ điển 30 Định lí 2.4 (Bất đẳng thức Jensen, [1], trang 539-540) Cho a , b và c , d Nếu g : a, b c, d là rd- liên tục và F : c, d là liên tục và lồi thì b b g t t F g t t a F a ba ba Chứng minh Vì F là hàm lồi trên ... quả 2.8 (Bất đẳng thức Jensen khi , [6], trang 262) Cho n và hàm số g :{1, 2, , n 1} 0; Khi đó ta có bất đẳng thức n n 1 n 1 g (t ) g (t ) n t 1 t 1 Đây chính là Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân quen thuộc 2.3 Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli và Bihari Để đưa ra các bất đẳng thức tiếp theo, trước tiên ta đưa ra khái niệm hàm mũ và các... 0 a (đpcm) Nếu thì bất đẳng thức Jensen trình bày ở trên đây chính là bất đẳng thức Jensen cổ điển Nếu thì nó trở thành bất đẳng thức quen thuộc giữa trung bình cộng và trung bình nhân 31 Hệ quả 2.7 (Bất đẳng thức Jensen khi , [6], trang 262) Cho a , b và c, d Nếu g : a, b c, d là liên tục và F : c, d là liên tục và lồi thì b b g t dt... a 1 q b p Chia cả hai vế của bất đẳng thức trên cho f g t t ta được ngay bất a đẳng thức Minkowski 1 1 1 b p b p b p p p p f g t t f t t g t t (đpcm) a a a Hệ quả 2.5 (Bất đẳng thức Minkowski trên thang thời gian , [6], trang 300) Cho p 1 và f , g : a, b là các hàm khả tích... 1 n với mọi n 36 Bây giờ ta chuyển sang tìm hiểu về Bất đẳng thức Gronwall Ta biết rằng Bất đẳng thức Gronwall đóng vai trò quan trọng trong phương trình vi phân và phương trình sai phân, và đã được mở rộng sang thang thời gian như sau Định lí 2.10 (Bất đẳng thức Gronwall, [6], trang 256) Giả sử y, f Crd , , p R và p (t ) 0 Khi đó, nếu t y t f t y p ... e p t ,t0 e p t , f t0 Chứng minh Xem [6], trang 77-78 Định lí dưới đây được gọi là Định lí so sánh, đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh các bất đẳng thức trên thang thời gian Định lí này cũng là mở rộng Định lí về nghiệm của bất đẳng thức vi phân Định lí 2.8 (Định lí so sánh, [6], trang 255) Cho y, f Crd và p R Khi đó nếu y (t ) p t y t f . giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn. Thái Nguyên, tháng 04 năm 20 14 Người thực hiện Đỗ Văn Nhân 4 Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1. Thang. tập X là các phần tử của họ . 2) Hợp của một họ con tùy ý các phần tử của họ là một phần tử của họ . 3) Giao của hai phần tử tùy ý của họ là một phần tử của họ . 10 Cặp. Bất đẳng thức trên thang thời gian và Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học của mình. Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham khảo. Trong chương 1, chúng tôi