Dạng 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Chuyên đề: Hàm số Nội dung  Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:  Dạng 7A.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn số phụ  Dạng 7C.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  Bài tập mẫu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Đặt Điều kiện = − − 2 1 y sin x cos x 2 = ⇒ = − − = − − = 2 2 1 1 t cos x y sin x cos x t t f(t) 2 2 − ≥ ⇔ − ≤ ≤ 2 1 1 1 t 0 t 2 2 2 = − − ⇒ = − − − = ⇔ − = − ≥ = − ⇔ = ≤ ⇒ = − 2 2 2 2 2 2 1 t f(t) t t f '(t) 1 2 1 t 2 1 f '(t) 0 t t 0 2 1 1 1 t t t , t 0 t 2 4 2  Bài tập mẫu (tt) Ta có: So sánh ba giá trị trên, ta được Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn       = − − = − =  ÷  ÷  ÷       1 1 1 1 1 f ; f ; f 1 2 2 2 2 2 π = = − ⇔ = ± + π π = − = ⇔ = ± + π 1 2 max y 1 khi cosx x 2k 2 3 1 1 miny khi cos x x 2k 4 2 2  Lưu ý  1. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, nếu trong đầu bài có sin 2 x, cosx thì ta đặt t = cosx => -1 ≤ t ≤ 1 ; sin 2 x = 1-t 2 . Ta trở về bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(t).  2. Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [a ;b] , ta làm như sau :  Tính f ’(x) ; tìm nghiệm của phương trình f ’(x) trên đoạn [a ;b], giả sử là x 1 , x 2 ,…, x n  Tính các giá trị f(x 1 ), f(x 2 ), …, f(x n ) và f(a), f(b).  So sánh các giá trị trên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn  Bài toán tương tự Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Ta có: Ta có: so sánh ba giá trị trên, ta được Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn = + + −y x 3 3 2x ( ) = + + − − ≤ ≤ = − = ⇔ + = − + − + = − ⇔ = − 3 y x 3 3 2x; 3 x 2 1 1 y' ; y' 0 2 x 3 3 2x 2 x 3 3 2x 3 4 x 3 3 2x x . 2     − = = − =  ÷  ÷     3 3 3 3 6 y( 3) 3; y ; y 2 2 2 2 = = − = = 3 6 3 max y khi x 2 2 3 3 miny khi x 2 2 Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn số phụ  Bài tập mẫu Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Giải. Ta có Đặt Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ = + + 1 1 y cos x cos2x cos3x 2 3 ( ) ( ) = + + = + − + − = + − 2 3 3 2 1 1 y cosx cos2x cos3x 2 3 1 1 4 1 cos x 2cos x 1 4cos x 3cos x cos x cos x 2 3 3 2 ( ) = − ≤ ≤ ⇒ = + − = + − = ⇒ = + = ⇔ = = − 3 2 3 2 2 t cosx 1 t 1 4 1 4 1 y cos x cos x t t f(t) 3 2 3 2 1 f '(t) 4t 2t; f '(t) 0 t 0; t 2 + − =   − = − = = − − = −  ÷   3 2 4 1 t t f(t) 3 2 5 11 1 1 5 f( 1) ; f(1) ; f(0) ; f 6 12 2 2 12  Bài tập mẫu (tt) So sánh bốn giá trị trên, ta được = = ⇔ = π = − = − ⇔ = π + π 11 max y khi cosx 1 x 2k 12 5 min y khi cosx 1 x 2k 6 Dạng 7B. Sử dụng phép đặt ẩn phụ [...]... phép đặt ẩn phụ     mà tính đạo hàm để xét biến thiên của hàm số thì sẽ dài, phức tạp 2 Khi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số, trong trường hợp có thể, ta nên sử dụng phép đặt ẩn số phụ để đưa về hàm số đơn giản hơn 3 Khi đặt ẩn số phụ t, được hàm số f(t), ta phải tìm tập giá trị tương ứng của t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(t) trong tập giá trị trên Dạng 7B Sử dụng phép đặt... 1  x + 3 =  x + ÷ − 3  x + ÷ = t 3 − 3t x x x   3 2 1  1 x4 + 4 =  x2 + 2 ÷ − 2 = t2 − 2 x x   ( ) 2 − 2 = t 4 − 4t 2 + 2 Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ Bài của hàm nhất toán tương tự số trên một Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số , với x vô hạn y khoảng là số thực dương.= x + x1 − 3  x + x1 ÷+ 3  x + 1 ÷ x   3 2 3 Giải Đặt 1 1 t = x+ ; t = x+ ≥2⇒t≥2 x x 2 1  1 x2 + 2 =  x + ÷ − 2 =... [-1; 0] −1 ≤ −1 − t ≤ 1 t = sin x ⇒ sin y = −1 − t ⇒  ⇒ −1 ≤ t ≤ 0 −1 ≤ t ≤ 1 Dạng 7C Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ Bài của nhất tập mẫu hàm số trên một Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 1 1  y=x + − 2  x + ÷+ x + khoảng vô hạn Giải x  x  x  4 2 4 2 Đặt 1 t =x+ x  t ≤ −2 ( x ≠ 0 ) ⇒ x − tx + 1 = 0; ∆ = t − 4 ≥ 0 ⇒ t ≥ 2;  t ≥ 2 2 2... 12t 2 − 12 > 0 ∀t : t ≥ 2;  t ≥ 2 Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ nhất tập mẫu (tt) Bài của hàm số trên một Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi , suy ra khoảngf’(t) = 4t – 12t + 1 ≤ f’(-2) < 0 vô hạn t ≤ -2 ⇒  3  t ≤ −2 t ≥ 2  t ≥ 2 ⇒ f’(t) = 4t3 – 12t + 1 ≥ f’(2) > 0 Hàm số f(t) liên tục và nghịch biến trong (- ∞ ; -2) nên với t≤ -2 ⇒ f(t) ≥ f(-2) = - 4 Hàm số f(t) đồng biến trong (2 ;+∞) nên với t≥ 2... sánh các giá trị trên, ta được so  sinx = 0 sinx = −1 max Q = 1 khi  ;  siny = −1 siny = 0  Lưu ý 1  Trong bài sinx trên, khi minQ = −2 khi toán= siny = − đặt t = sinx, mà đưa ra điều kiện -1≤ 2 t ≤ 1 là sai   Phải thấy rằng Do đó hàm số f(t) chỉ xét trên [-1; 0] −1 ≤ −1 − t ≤ 1 t = sin x ⇒ sin y = −1 − t ⇒  ⇒ −1 ≤ t ≤ 0 −1 ≤ t ≤ 1 Dạng 7C Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên... 3  x + ÷ x x x    ( ) y = t 3 − 3t − 3 t 2 − 2 + 3t = t 3 − 3t 2 + 6 = f(t) f '(t) = 3t 2 − 6t; f '(t) = 0 ⇔ t = 0 (L), t = 2 f '(t) ≥ 0 ∀t : t ≥ 2 2 Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ Bài của hàm nhất toán tương tự (tt) số trên một Do đó hàm số f ’(t) đồng biến khi t≥ 2, khoảng⇒vô =hạn + 6 ≥ f(2) = 2 với t ≥ 2 f(t) t – 3t  3 2 Ta được min y = 2 khi t = 2 ⇔ x + 1 = 2 ⇔ x = 1 x ... f(t), ta phải tìm tập giá trị tương ứng của t và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(t) trong tập giá trị trên Dạng 7B Sử dụng phép đặt ẩn Bài toán tương tự phụ sinx + siny = -1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của Cho  biểu thức Q = sin3x + sin3y Giải Ta có ( Q = sin3x + sin3y = 3 ( sin x + sin y ) − 4 sin3 x + sin3 y ) 3 Đặt Q = −3 − 4 ( sin x + sin y ) − 3 sin x sin y ( sin x + sin y ) ... trong (- ∞ ; -2) nên với t≤ -2 ⇒ f(t) ≥ f(-2) = - 4 Hàm số f(t) đồng biến trong (2 ;+∞) nên với t≥ 2 ⇒ f(t) ≥ f(2) = 0 Ta được min y = − 4 khi t = −2 ⇔ x + 1 = −2 ⇔ x = −1 x Dạng 7C Tìm giá trị nhỏ Lưu của hàm số trên một nhất ý 1 Khi đặt nếu khoảng +vô ≠hạn sử dụng bất đẳng thức Cauchy t=x , 0 x ∈R  x để có điều kiện 1 là sai t=x+ ≥2 x Ta phải viết  t ≤ −2 1 t = x+ x ≠ 0 ) ⇒ x 2 − tx + 1 = 0; ∆ = . Dạng 7 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số Chuyên đề: Hàm số Nội dung  Dạng 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:  Dạng 7A .Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một. ẩn số phụ  Dạng 7C .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn Dạng 7A Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn Dạng 7A. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số. 0 1 t 1 Dạng 7C Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng vô hạn  Bài tập mẫu Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải Đặt Dạng 7C. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng