CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1)Phép thử Phép thử hay thí nghiệm ngẫu nhiên là thực hiện một bộ điều kiện xác định và quan sát kết quả sao cho kết quả của phép thử xẩy ra không xác định trước được. Ví dụ 1: Gieo một đồng xu có hai mặt sấp, ngửa cân xứng và đồng chất, kết quả xuất hiện mặt sấp(S) mặt ngửa(N) là một phép thử. 2) Biến cố liên kết với phép thử Định nghĩa : Xét một phép thử, Ω là tập tất cả các khả năng có thể xẩy ra và từng đôi xung khắc với nhau sao cho khi thực hiện phép thử kết quả đều thuộc về Ω . Khi đó Ω được gọi là không gian biến cố sơ cấp.Tập con A bất kỳ của Ω được gọi là một biến cố liên kết với phép thử. Ví dụ 2: Gieo một đồng xu cân xứng đồng chất có hai mặt S,N . Không gian biến cố sơ cấp ( Các khả năng có thể) là tâp Ω = (S,N); biến cố xuất hiện mặt sấp A = (S) ,biến cố xuất hiện mặt ngửa B = (N) là các biến cố liên kết với phép thử Ví dụ 3: Gieo một con xúc xắc đồng chất việc xuất hiện mặt trên trong phép thử là mặt i nào đó ( i = M1; M6). Không gian biến cố sơ cấp Ω = ( M1,M 2,M3,M4,M5,M6) 3) Các loại biến cố • Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xẩy ra theo phép thử. Ví dụ 4: Ω là biến cố chắc chắn • Biến cố bất khả là biến cố không bao giờ xẩy ra. Kí hiệu Ø. Ví dụ 5 : Biến cố xuất hiện mặt M 7 trong ví dụ 3 là bất khả • Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xẩy ra hoặc không xẩy ra • Ví dụ : Biến cố xuất hiện mặt (S) hoặc (N) ví dụ 1, biến cố xuất hiện một mặt nào đó từ 2, đến 6 ví dụ 3 là các biến cố ngẫu nhiên. 4) Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển ) Xác suất của biến cố A là một số không âm. Kí hiệu P(A) biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A và xác định như sau : ( m là khả năng thuận lợi cho A, n là khả năng có thể khi thực hiện phép thử) n m AP =)( Ví dụ 6: 1) Tìm xác suất xuất hiện mặt sấp ( ví dụ 1) 2) Tìm xác suất xuất hiện mặt số chẵn ( ví dụ 3) 5) Định nghĩa xác suất theo hình học Một phép thử có không gian các biến cố sơ cấp đồng khả năng Ω là một tập vô hạn không đếm được. A là biến cố bất kỳ được biểu diễn bằng một miền con của Ω ( m số đo của miền A, n là số đo của Ω ) n m AP =)( Ví dụ 7: Hai tàu thủy cùng đến một cầu cảng trả hàng. Thời gian chúng đến cảng là độc lập nhau trong 24 giờ. Hãy tính xác suất để chiếc nọ phải chờ chiềc kia để vào cầu cảng. Biết thời gian trả hàng của chiếc thứ nhất 2 giờ, chiếc thứ 2 4 giờ. Giải: Gọi x, y là thời điểm của tàu thứ nhất và thứ hai cập cảng Ω = {(x;y)|0≤ x ≤ 24; 0≤ y ≤ 24} a.Chiếc thứ nhất tới trước chiếc thứ hai đợi Khi đó x≤ y ≤x+2 (*) b. Chiếc thứ hai đến trước; Khi đó y ≤ x ≤ y+4 => x-4 ≤ y < x (**) E biến cố để chiếc nọ chờ chiếc kia được xác định(*) và (**) E={ (x;y)| x≤ y ≤ x+2 ; x-4 ≤ y < x ; x=y } Ω =ABNO; E = HOKMB S(Ω)= 24 2 ; S(E) =24 2 -[(22 2 +20 2 ):2] P(E) =242 :{242-[(222+202):2]} H x y 2 4 A B N O Y =x Y= x-4 Y=x+2 K M 24 24 6) Định nghĩa xác suất theo thống kê a) Tần suất của một phép thử : A là biến cố liên kết với phép thử. Lặp lại phép thử trong n lần thì có m lần luất hiện A. Khi đó f(A) = được gọi là tần suất xẩy ra biến cố A b) Định nghĩa: Tần suất của biến cố A trong một phép thử khi số lần thử càng lớn thi f(A) = P(A) n m Ví dụ 8: Một xạ thủ bắn 1000 phát vào bia, trong đó có 800 phát trúng bia, A là biến cố bắn trúng bia . Vậy P(A) = 0,8 7) Mối quan hệ giữa các biến cố a) Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố Bvà ký hiệu là A  B nếu và chỉ nếu A xẩy ra thì B xẩy ra b) Quan hệ tương đương , các biến cố A và B tường đương và ký hiệu A=B khi và chỉ chi A  B và B  A c) Tổng của hai biến cố : Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố ký hiệu là A  B biến cố tổng xẩy ra khi và chỉ khi A xẩy ra hoặc B xẩy ra d) Tích của hai biến cố: Tích của hai biến cố A và B ký hiệu A  B là một biến cố mà biến cố tích xẩy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xẩy ra. e) Biến cố xung khắc: A và B là hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu A  B = Ø f) Hiệu hai biến cố là một biến cố kí hiệu A\ B là một biến cố sao cho khi biến cố hiệu xẩy ra thì A xẩy ra mà không có B. g) Biến cố đối lập  A được gọi là biến cố đối lập của biến cố Akhi và chỉ khi  A xẩy ra thì A không xẩy ra và ngược lại. 8) Một số định lý về xác suất a)Định lý cộng xác suất:A và B là hai biến cố xung khắc đều là các biến cố liên kết của một phép thử khi đó ta có P(AU B) = P(A) + P(B) Ví dụ 9: Một hộp có 10 viên bi đồng chất cùng kích thước và khối lượng, trong đó có 6 bi đỏ và 4 bi xanh. Bốc ngẫu nhiên 2 viên. Tìm xác suất để hai viên cùng màu. [...]... một hộp đựng 20 sản phẩm, biết có 6 sản phẩm bị hỏng Lấy ngẫu nhiên 5 sản phẩm Tìm xác suất để có ít nhất một sản phẩm hỏng *Gọi A là biến cố cả 5 sản phẩm đều tốt, A là biến cố ít nhất một sản phẩm hỏng trong 5 sản phẩm lất ra Vậy 5 C14 P(A ) = 1- P(A)= 1- C 5 20 b) Định lý nhân xác suất: 1 Xác suất có điều kiện: Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện hiến cố B đã xẩy ra, được ký hiệu P(A/B),... − * Tính chất của xác suất có điều kiện 1)0≤ P(A/B)≤1 2) P(B/B) = 1 3) Nếu AC =Ø thì P( AC/B) =P(A/B) +P(C/B) 4) P(A/B) = 1- P(A/B) *Công thức nhân xác suất: P(AB) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Ví dụ 14:Một hộp đựng sản phẩm, biết có 6 chính phẩm, 4 phế phẩm Lần thứ nhất lấy ra 1 sản phẩm nếu là chính phẩm thì trả lạivà thêm vào 3 chính phẩm Lần thứ 2 lấy ra 1 sản phẩm.Tìm xác suất để 2 sản phẩm lấy... dụng công thức Bayes , xác định xác suất bóng đèn hỏng của các cơ sở sán xuất trong cửa hàng là : P(A1/A)= P(A2/A) = P(A3/A) = P ( A1).P ( A / A1) P ( A) 0,4.0,2 80 = = 0,0225 225 P ( A2).P ( A2 / A) 0,35.0,2 70 = = 0,0225 0,0225 225 P ( A3).P ( A / A3) 0,25.0,3 75 = = P ( A) 0,0225 225 Vậy khả năng của cơ sở 1 là nhiều nhất C- Các phép thử độc lập và công thức Bernoulli 1 Định nghĩa: Tiến hành n phép... [5.0,5+0,5-1]+1 => Khả năng nhất 2 đến 3 lần Ví dụ 20 : Một xạ thủ bắn vào bia liên tục 10 phát Tìm xác suất để anh ta bắn trúng 6 phát , biết xác suất trúng bia của anh ta là 0,8 Giải : Bắn 10 phát độc lập nên theo lược đồ Bernulli ta có 10 − 6 P(6,0,8)= C 0,8 (1 − 0,8) 6 10 6 Ví dụ 19: Cho biết xác suất khách vào một cửa hiệu có mua hàng là 0,3 Có 20 người vừa vào cửa hiệu Hỏi khả năng số người mua... (A1.A2.A3)( A1.A2.A3)=P(A1.A2.A3) + P( A1.A2.A3) * P (A1.A2.A3) =P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1,A2) = *P( A1.A2.A3) = 4 2 1 6 5 4 421 1 = 6 5 4 15 1 1 2 + = 15 15 15 Vậy P(B) = 9)Công thức xác suất toàn phần và định lý Bayses A-Công thức xác suất toàn phần : Giả sử B1,B2,…Bn là một nhóm đầy đủ các biến cố Biến cố A xẩy ra khi và chỉ khi các biến cố B1,B2,…Bn xẩy ra Nói cách khác A xẩy ra thì một biến cố Bi nào đó... P( B) Ví dụ11:Một hộp có 4 bi đỏ; 3 bi xanh, giả thiết chúng đều đồng chất, cùng khối lượng, hình dàng như nhau Lấy lần lượt ra 2 viên Tìm xác suất để viên thứ 2 là bi đỏ, biết viên thứ nhất cũng là bi đỏ Giải : Ai là biến cố viên lấy thứ i là bi đỏ( i=1,2) Xác suất để viên thứ 2 bi đỏ là P( A2/A1) = 3 1 = 6 2 Ví dụ 12: Chia một lớp sinh viên đi thực tập Nhóm 1 có 30 sinh viên trong đó có 10 nữ, nhóm... viên một) là 5 phép thử Bernoulli 2 Tần số xuất hiện biến cố Tìm xác suất để trong n phép thử Bernoulli biến cố A xuất m m n−m hiện m lần Kí hiệu P( m,p)= Cn p (1 − p) 3 Số có khả năng nhất: Ví dụ 18 :Ta gieo đồng xu có 2 A = ( S,N), A = ( xuất 1 hiện S); P(A) = Số mặt sấp xuất hiện từ 0 đến 5 tương 2 1 1 m 1 5− m 1 P m, suất ứng với (xác2 ) = C5 ( 2 ) (1 − 2 ) Trong 6 5 khả năng trên trong 5 lần gieo... thuộc nhóm 2 Ta có 28 10 = 0,35 ; P(A/B)= = 0,4 ; P(A) ≠ P ( A / B ) P(A) = 80 25 2) Hai biến cố độc lập: Định nghĩa (a): P(AB) = P(A).P(B) •Tính chất 1: A và B độc lập nếu P(A/B)=P(A) hoặc P(B/A) = P(B) •Tính chất 2:Ắt có và đủ A,B độc lập là A và hoặc B và B độc− lập độc lập − − A& B A • Định nghĩa 2(b): Các biến cố A,B,C độc lập toàn thể nếu chúng đôi một độc lập và P(ABC) = P(A)P(B)P(C) Ví dụ13:... khách vào là 20 phép thử Bernoulli Gọi số người mua có khả năng nhất là m m=[20.0,3+0,3-1]+1 => 6 người mua hàng Ví dụ 20 : Một công nhân quản lý 6 máy dệt Biết trong thời gian T thì xác suất để máy phải chăm sóc là 0,3 Tìm xác suất để trong thời gian T : a)Có đúng 4 máy phải chăm sóc; b) Có ít nhất 4 máy phải chăm sóc Giải : Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n =6; p = 0,3; P(4,0.3)= C 0.3 (1 −... hoàn toàn giống nhau về hình thức Hộp1đựng 4 chính phẩm, 2 phế phẩm; hộp 2 đựng 3 chính phẩm, 3phế phẩm; hộp 3 đựng 5 chính phẩm, 1 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ra một sản phẩm.Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là chính phẩm Giải: Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra là chính phẩm Gọi Ai là biến cố lấy từ hộp thứ i lấy ra ( i = 1,3) 1 1 1 P(A1) = 3 P(A2) = 3 ; P(A3) = ; 3 Các biến cố A1, . CHƯƠNG 2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1)Phép thử Phép thử hay thí nghiệm ngẫu nhiên là thực hiện một bộ điều kiện xác định và quan sát kết quả sao cho kết quả của phép thử xẩy ra không xác định trước. biến cố ngẫu nhiên. 4) Định nghĩa xác suất ( dạng cổ điển ) Xác suất của biến cố A là một số không âm. Kí hiệu P(A) biểu thị khả năng xẩy ra biến cố A và xác định như sau : ( m là khả. hiện phép thử) n m AP =)( Ví dụ 6: 1) Tìm xác suất xuất hiện mặt sấp ( ví dụ 1) 2) Tìm xác suất xuất hiện mặt số chẵn ( ví dụ 3) 5) Định nghĩa xác suất theo hình học Một phép thử có không