Sở giáo dục & đào tạo hoá Trờng thpt Hàm RồNG Những tính chất giao điểm Hypebol với đờng phân giác góc tạo hai đờng tiƯm cËn S¸ng kiÕn kinh nghiƯm Ngun hång quang Thanh hoá năm học 2012 - 2013 đặt vấn đề Cách năm đề tài SKKN ®· ®Ị cËp ®Õn vÊn ®Ị khai th¸c mét sè tính chất đặc trng Hypebol ax + bx + c Dx + E , (aD ≠ o) hc y= ax + b cx + d y = , (c 0) để giải toán cực trị đà giải đợc số toán Trong suốt thời gian qua đà dày công tìm hiểu thêm mối quan hệ đờng tiệm cận (H) tiếp tuyến nó, đà phát thấy số tính chất chúng , đặc biệt đà tìm 24 tính chất giao điểm Hypebol đờng phân giác góc tạo hai đờng tiệm cận (có thể coi 24 toán cực tri) Với phát ta đa cách giải chung cho tất toán dạng: ã Tìm đồ thị y = f(x) điểm M cho tiếp tuyến tạo với hai đờng tiệm cận tam giác có chu vi bé ? ã Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ M đến điểm I (giao điểm hai đờng tiệm cận ) ngắn ? ã Tìm đồ thị điểm M cho khoảng cách từ tiếp tuyến M đến điểm I ( giao ®iĨm hai ®êng tiƯm cËn ) lín nhÊt nhiều toán tơng tự khác Khi cha phát 24 tính chất nói toán dạng có cách giải khác , nhng cách giải cha nói lên cách nhìn chung Khi phát đợc 24 tính chất đà hớng dẫn học sinh có cách giải chung cho tất toán có dạng trên.Sau thời gian áp dụng phơng pháp học sinh đà có cách nhìn toán cách đơn giản tự tin Nhân dịp xin giới thiệu với thầy giáo em học sinh viết với nội dung : Những tính chất giao điểm Hypebol với đờng phân giác góc tạo hai đờng tiƯm cËn Víi mong mn gióp c¸c em häc sinh tự tin chủ động gặp toán dạng trên! Giải vấn đề Tính chất giao điêm Đ1/ Hypebol với Đờng phân giác góc hợp hai đ ờng tiệm cận Hypebol Trớc nêu tính chất ta đa mét sè ký hiƯu sau (H) lµ Hypebol y = ax + bx + c Dx + E , (aD ≠ o) hc y= ax + b cx + d (d1) tiện cận đứng của(H) (d2) tiệm cận lại ( ngang xiên) của(H) I giao điểm hai tiệm cận I góc tạo hai tiệm cân (d) phân giác góc I M , N hai giao điểm phân giác (d) với (H) (T) tiếp tuyến (H) M A giao điểm của(T) (d1) , (c 0) B giao điểm (T) và(d2) P chu vi tam giác IAB S diện tich tam giác IAB Tính chất: Giả sử đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận (H) cắt (H) hai điểm M, N điểm M N có tính chất sau: 1) Tiếp tuyến với (H) điểm M cắt hai tiệm cận hai điểm A B đoạn AB ngắn 2) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo với hai tiệm cận tam giác IAB cã chu vi nhá nhÊt 3) TiÕp tuyÕn víi (H) điểm M tạo với hai tiệm cận tam giác IAB có diện tích hình tròn ngoại tiếp nhỏ (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp nhỏ nhất) 4) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo víi hai tiƯm cËn mét tam gi¸c IAB cã diƯn tích hình tròn nội tiếp lớn (Bán kính đờng tròn nôi tiếp lớn nhất) 5) Tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận nhỏ 6) Tiếp tuyến với (H) điểm M có khoảng cách ®Õn giao ®iĨm I cđa hai tiƯm cËn lµ lín 7) Hai tiếp tuyến M N song song với có khoảng cách lớn so với khoảng cách hai tiếp tuyến song song khác (M, N hai giao điểm Hypebol với Đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận Hypebol ) 8) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F , Khi ®ã chu vi tam gi¸c IEF nhá nhÊt ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) 9) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IEF nhỏ ( I giao ®iĨm cđa hai ®êng tiƯm cËn) 10) Tõ ®iĨm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF lớn ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) 11) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm E F , Khi ®ã chu vi tam gi¸c MEF nhá nhÊt 12) Tõ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất) 13) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF lớn (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ nhất) 14) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm E F , Khi chu vi hình bình hành EIFM nhỏ ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) 15) Gọi M1 , M2 hình chiếu M lên tiệm cận M 1M2 ngắn 16) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận tổng MM1+ MM2 nhỏ 17) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận chu vi tam giác MM1M2 nhá nhÊt 10 SIAB=2SIMA = IA.d(M ; ∆2 ) = ( cx + d cx + d kc k )( )+a+ −a (cx0 + d ) c cx0 + d c k = c (không đổi) II/ Nhận xét : Từ tính chất ta rút nhận xét sau M giao điểm (H) đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận Mặt khác theo tính chất M trung điểm AB nên suy tam giác IAB cân I (IA = IB) Theo tính chất diện tích tam giác IAB không đổi góc I không đổi nên tích IA.IB không đổi Tích IA.IB không đổi suy tæng IA + IB nhá nhÊt IA = IB ( Tam giác IAB cân I ) Tacã ∧ ∧ AB = IA + IB − IA.IB cos I ≥ 2(1 − cos I ).IA.IB 20 ∧ ⇒ AB ≥ 2(1 − cos I ) IA.IB ( H»ng sè) DÊu b»ng x¶y IA = IB VËy IA = IB AB ngắn Sau ta áp dụng nhận xét để chứng minh 24 tính chất Đ1/ Đ3/ Chứng minh tính chÊt Trong mơc nµy ta sÏ chøng minh 24 tÝnh chất đà nêu Đ1 Gọi M giao điểm Hypebol với Đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận ta có tính chất sau 21 1)Tiếp tuyến với (H) điểm M cắt hai tiệm cận hai điểm A B đoạn AB ng¾n nhÊt Chøng minh: Tacã ∧ ∧ AB = IA + IB − IA.IB cos I ≥ 2(1 − cos I ).IA.IB ∧ ⇒ AB ≥ 2(1 − cos I ) IA.IB (*) Theo nhËn xÐt th× IA = IB , dấu (*) xảy Vậy AB đạt giá trị nhỏ (đpcm) 2)Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo với hai tiệm cận tam giác IAB cã chu vi nhá nhÊt Chøng minh: Gäi P chu vi tam giác IAB , ta có : P = IA + IB + AB ≥ IA.IB + 2(1 − cos I ) IA.IB (**) Theo nhËn xét IA = IB , dấu (**) xảy Vậy P nhỏ (đpcm) 22 3) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo víi hai tiƯm cËn mét tam gi¸c IAB cã diƯn tích hình tròn ngoại tiếp nhỏ Chứng minh: Theo định lý sin tam giác IAB ta có ∧ AB = R sin AIB , mµ AB ngắn nên R nhỏ tam giác IAB có diện tích hình tròn ngoại tiếp nhỏ (đpcm) 4) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo với hai tiệm cận tam giác IAB có diện tích hình tròn nội tiếp lớn (Bán kính đờng tròn nôi tiếp lớn nhất) Chứng minh: Ta có S IAB = pr , mà S IAB không đổi Mặt khác theo tính chất chu vi p tam giác IAB nhỏ nên r ( Bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, tam giác IAB có diện tích hình tròn nội tiếp lớn (đpcm) 5) Tổng khoảng cách từ M ®Õn hai tiƯm cËn lµ nhá nhÊt 23 Chøng minh: Gọi M1, M2 hình chiếu M lên hai tiệm cận Khi tích khoảng cách MM1.MM2 số không đổi Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách MM1+ MM2 nhỏ (đpcm) 6) Tiếp tuyến với (H) điểm M có khoảng cách đến giao ®iĨm I cđa hai tiƯm cËn (T©m ®èi xøng cđa (H) ) lớn Chứng minh: Theo tính chất diện tích tam giác IAB không đổi AB ngắn nên khoảng cách từ I đến AB ( Đờng cao thuộc cạnh AB tam giác IAB ) lớn (đpcm) 7) Hai tiếp tuyến M N song song với có khoảng cách lớn so với khoảng cách hai tiếp tuyến song song khác (H) (M, N hai giao điểm Hypebol với Đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận Hypebol ) 24 Chứng minh Vì I tâm đối xứng (H) nên khoảng cách hai tiếp tuyến M N lần khoảng cách từ I đến tiếp tuyến M Mà theo chứng minh khoảng cách từ I đến AB lớn , khoảng cách hai tiếp tuyến M N lớn (đpcm) 8)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F , Khi chu vi tam giác IEF nhỏ ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) Chøng minh: NhËn thÊy tam gi¸c IEF cã chu vi chu vi tam giác IAB mà ta đà chứng minh đợc chu vi tam giác IAB nhỏ nên ta có chu vi tam giác IEF nhỏ (đpcm) 9)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích đờng tròn ngoại 25 tiếp tam giác IEF nhỏ ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) Chứng minh: Tam giác IEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng dạng k = Mà theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nên hình tròn ngoại tiếp tam giác IEF có diện tích nhỏ (đpcm) 10) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn nội tiếp tam giác IEF lớn ( I giao điểm hai đờng tiệm cận) Chøng minh: Ta cã S IEF = pr , mµ S IEF không đổi Mặt khác theo tính chất chu vi p cđa tam gi¸c IEF nhá nhÊt nên r ( r bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, tam giác IEF có diện tích hình tròn nội tiếp lớn (đpcm) 26 11)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm E F , Khi chu vi tam giác MEF nhá nhÊt Chøng minh: NhËn thÊy tam gi¸c MEF cã chu vi chu vi tam giác IAB mà ta đà chứng minh đợc chu vi tam giác IAB nhỏ nên ta có chu vi tam giác MEF nhỏ (đpcm) 12)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF nhỏ Chứng minh: Tam giác MEF đồng dạng với tam giác IAB với tỷ số đồng dạng k = Mà theo tính chất 3, hình tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nên hình tròn ngoại tiếp tam giác MEF có diện tích nhỏ (đpcm) 27 13) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MEF lớn (Bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam gi¸c MEF nhá nhÊt) Chøng minh: : Ta cã S MEF = pr , mà S MEF không đổi Mặt khác theo tính chất 11 chu vi p tam giác MEF nhỏ nên r ( r bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, tam giác MEF có diện tích hình tròn nội tiếp lớn (đpcm) 14)Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm E F , Khi chu vi hình bình hành EIFM nhỏ ( I giao ®iĨm cđa hai ®êng tiƯm cËn) 28 Chøng minh: Nhận thấy hình bình hành EIFM có chu vi lần tổng IA + IB mà ta đà chứng minh đợc IA + IB nhỏ nên ta có chu vi hình bình hành EIFM nhỏ (đpcm) 15) Gọi M1 , M2 hình chiếu M lên tiệm cận M1M2 nhỏ Chứng minh: 2 ∧ ∧ M M = MM + MM − MM MM cos M ≥ (2 − cos M ).MM MM ∧ ⇒ M M ≥ (2 − cos M ) MM MM (không đổi) (*) Mà MM1= MM2 nên dấu (*) xảy M1M2 nhỏ 16) Gọi M1 , M2 hình chiếu M lên tiệm cận tổng MM1+ MM2 nhỏ 29 Chứng minh: Gọi M1, M2 hình chiếu M lên hai tiệm cận Khi tích khoảng cách MM1.MM2 số không đổi Mà MM1= MM2 Nên tổng hai khoảng cách MM1+ MM2 nhỏ nhất.(đpcm) 17) Gọi M1 , M2 hình chiếu M lên tiệm cận chu vi tam giác MM1M2 nhỏ Chứng minh: Kết hợp tính chất 15 16 suy chu vi tam giác MM1M2 nhỏ (đpcm) 18) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ Chứng minh: 2 ∧ ∧ M M = MM + MM − M M cos M ≥ (2 − cos M ).M M ∧ ⇒ M M ≥ (2 − cos I ) M M (*) Mà MM1= MM2 nên dấu (*) xảy M1M2 nhỏ Mặt khác theo định lý sin áp dụng vào tam giác MM1M2 30 M1M2 nhỏ góc M1MM2 không đổi suy bán kính hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ nên diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhỏ (đpcm) 19) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận diện tích hình tròn nội tiếp tam giác MM 1M2 lớn (Bán kính đờng tròn nội tiếp lớn nhÊt) Chøng minh: Ta cã S MM1M = pr , mà S MM1M không đổi Mặt khác theo tÝnh chÊt 17 chu vi p cđa tam gi¸c MM1M2 nhỏ nên r ( r bán kính đờng tròn nội tiếp ) lớn nhất, tam giác MM1M2 có diện tích hình tròn nội tiếp lớn (đpcm) 20) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2nhỏ (I giao ®iĨm cđa hai ®êng tiƯm cËn) 31 Chøng minh: NhËn thấy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 đờng tròn ngoại tiếp tam giác IM1M2( Vì tứ giác IM1 MM2 nội tiếp đờng tròn) Mà theo tính chất 18 diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác MM1M2 nhá nhÊt vËy ta cã (®pcm) 21) TiÕp tun víi (H) điểm M vuông góc với đờng thẳng IM ( I giao điểm hai tiệm cận) Chứng minh: Ta có M trung điểm AB M nằm phân giác góc AIB nên tam giác IAB cân I suy tiếp tuyến AB vuông góc với IM (đpcm) 22) Khoảng cách M đến tâm ®èi xøng I cđa (H) lµ nhá nhÊt so víi khoảng cách từ I đến điểm khác (H) 32 Chøng minh: Theo tÝnh chÊt 21 th× IM vuông góc với tiếp tuyến AB Các đoạn khác nối I với điểm khác điểm M (H) đờng xiên nên IM ngắn (đpcm) 23) Gọi M1, M2 hình chiếu M lên tiệm cận tổng khoảng cách MM1+ MM2 + IM nhỏ nhất( I giao điểm hai đờng tiƯm cËn) Chøng minh: Theo tÝnh chÊt 16 vµ tÝnh chÊt 22 ta cã tæng MM1+ MM2 + IM nhá 24) MN đoạn thẳng ngắn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai nhánh cđa Hypebol 33 Chøng minh: Theo tÝnh chÊt 21 th× MN vuông góc với hai tiếp tuyến (H) M N Các đoạn thẳng khác nối hai điểm hai nhánh (H) đờng xiên nên MN ngắn (đpcm) ====================== Sau tập mà giải ta áp dụng trực tiếp tính chất Đ4/ số tập đề nghị Bài tâp Cho hàm số y = x x +1 Tìm đồ thị điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ ®é lµ nhá nhÊt 34 ... của( H) (d2) tiệm cận lại ( ngang xiên) của( H) I giao điểm hai tiệm cận I góc tạo hai tiệm cân (d) phân giác góc I M , N hai giao điểm phân giác (d) với (H) (T) tiếp tuyến (H) M A giao điểm của( T)... (M, N hai giao điểm Hypebol với Đờng phân giác góc hợp hai đờng tiệm cận Hypebol ) 8) Từ điểm M kẻ đờng thẳng song song với hai tiệm cận lần lợt cắt lại hai tiệm cận E F , Khi chu vi tam giác. .. tuyến với (H) điểm M cắt hai tiệm cận hai điểm A B đoạn AB ngắn 2) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo với hai tiƯm cËn mét tam gi¸c IAB cã chu vi nhỏ 3) Tiếp tuyến với (H) điểm M tạo với hai tiệm cận