O R CHUYÊN ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRÒN Tiết 21: XÁC ĐỊNH MỘT ĐƯỜNG TRÒN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Định nghĩa đường tròn, hình tròn: - Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, ký hiệu (O ; R), hoặc (O) * Định nghĩa hình tròn: - Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó. + Tính chất của đường tròn: - Tâm đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. - Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn. Ví dụ: Cho hình vẽ: Xác định tâm đối xứng, trục đối xứng của đường tròn. Giải: - O là tâm đối xứng. - AB, CD là trục đối xứng của đường tròn. * Cung và dây cung: - Giả sử A, B là hai điểm nằm trên đường tròn tâm O. Hai điểm này chia đường tròn thành hai phần mỗi phần gọi là một cung tròn (Gọi tắt là cung). - Đoạn thẳng nối hai mút của cung là dây cung. - Trong một đường tròn đường kính là dây cung lớn nhất. * Sự xác định đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác: - Một đường tròn được xác định khi biết tâm và bán kính của đường tròn đó hoặc khi biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn đó. 1 R O DC O A D B C A A A B O Hình.1 Hình. 2 Hình.3 Hình.4 Hình.5 O A' A Ví dụ 1: Cho hai điểm A và B Vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó. Giải: Xác định trung điểm O của đoạn thẳng AB=> (O; 2 AB ) Ví dụ 2 : Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng Vẽ một đường tròn đi qua ba điểm đó. Giải: Vẽ các đường trung trực ba cạnh của ∆ABC O là giao của ba đường trung trực cách đều ba đỉnh của tam giác => O là tâm của đường tròn đi qua đi qua ba điểm A, B, C. - Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một đường tròn. Nói cách khác qua ba đỉnh của một tam giác ABC bao giờ cũng dựng được một đường tròn xác định. Ta nói đường tròn đó ngoại tiếp tam giác, hay tam giác đó nội tiếp đường tròn. II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình vuông ABCD. O là giao điểm của hai đường chéo. OA = 2 cm. Vẽ (A; 2cm). Trong 5 điểm: A, B, C, D, O điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ?. Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?. Giải: OA = 2 < 2 => O và A nằm trong đường tròn tâm A. AB = AD = 2 => B và D nằm trên đường tròn tâm A. AC = 2 2 > 2 => C nằm ngoài đường tròn tâm A. Bài 2: Cho (O), dây AB. Biết M là trung điểm của AB, cho OA = 5cm, OM = 3cm . Tính AB ? Giải: Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông OAM ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 OA AM OM AM OA OM AM OA OM 5 3 4 = + ⇒ = − ⇒ = − = − = Vậy AB = 2AM = 8 cm. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền. Chứng minh: Xét tam giác vuông ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC => OB = OC Nối O với A => OA là đường trung tuyến Do đó OA = 1 2 BC => OA = OB = OC => O là tâm đường tròn đi qua A, B, C Vậy tâm của (O) ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC Tiết 22: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN. I. KIẾN THỨC CƠ BẢN a) Tâm đối xứng: A’ đối xứng với A qua O. Vậy tâm O là tâm đối xứng của đường tròn. 2 C O B A 5 3 O M B A A B C O 2 2 A B D C O Hình.6 Hình.7 Hình.8 Hình.9 Hình.10 O R I O C' C B A F E D C O B A O D C B A M O b) Trục đối xứng: C’ đối xứng với C qua đường kính thẳng AB. Do đó đường kính AB là một trục đối xứng của (O) Vậy, bất kỳ đường kính nào cũng là một trục đối xứng của đường tròn; đường tròn có vô số trục đối xứng. c) Đường kính và dây của đường tròn. Định lí 1: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. AB ≥ CD; AB ≥ EF d) Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây. Đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây Định lí 2: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. AB là đường kính, CD là một dây của (O); Nếu AB ⊥ CD tại I thì IC = ID I D C O B A Định lí 3: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy. AB là đường kính, CD là một dây khác đường kính của (O); Nếu AB ∩ CD = I Và IC = ID thì AB ⊥ CD I D C O B A Ví dụ: Đường kính AB đi qua trung điểm của dây CD nhưng không vuông góc với CD. (Vì dây CD đi qua tâm O) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: 3 Hình.1 1 Hình.1 2 Hình.1 3 Hình.1 4 Hình.1 5 M' M O I C' C O B A Cho hình vẽ, tìm điểm M’ đối xứng với M qua O? Học sinh dựng đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là M’, khi đó M’ là điểm đối xứng với M qua O (Vì OM’ = OM) Bài 2: Cho hình vẽ, tìm điểm C’ đối xứng với C qua đường thẳng AB? C O B A Giải: Qua C dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại I, cắt (O) tại C’, khi đó C’ là điểm đối xứng với C qua AB (Vì AB ⊥ CC’ và IC = IC’) Bài 3: Cho hình vẽ, biết OA = 5 cm; OM = 3 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Đường kính OM ⊥ AB nên M là trung điểm của AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM từ đó tính AB. M B A O 3. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Bài 4: Cho tam giác ABC, đường cao AH và BC. Chứng minh rằng: a) Bốn điểm A,B, H, K cùng thuộc một đường tròn. b) AB > HK Hướng dẫn: a) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABH (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABH là trung điểm I của AB) + Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông ABK (Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABK là trung điểm I của AB) + (I) đường kính AB có đi qua bốn điểm A, B, H, K không? ( Đường tròn (I) đi qua bốn điểm A, B, H, K ) b) AB là gì của (I)? ( AB là đường kính của (I) ) HK là gì của (I)? ( HK là dây của (I) ) So sánh đường kính AB và dây HK trong ( O ) Bài 5: 4 Hình.1 6 Hình.1 7 Hình.1 8 Hình.1 9 Hình.2 0 Cho hình vẽ, biết OA = 10 cm; OM = 6 cm. Tính AB =? Hướng dẫn: Dây AB không đi qua tâm, đường kính OM đi qua trung điểm M của AB nên OM ⊥ AB ⇒ AB = 2AM. Xét tam giác vuông AMO để tính AM ⇒ AB = 2AM M B A O 5 Hình.2 1 TIẾT 23: DÂY CUNG VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN TÂM VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Dây cung và khoảng cách đến tâm + Định lý : Trong một đường tròn Định lí 1: - Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm - Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Định lí 1: - Dây lớn hơn thì gần tâm hơn - Dây gần tâm hơn thì lớn hơn H K O A B D C +Ví dụ : Cho AB và CD là 2 dây khác đường kính của đường tròn ( O ; R ) gọi OH,OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB ,CD - dây AB = CD ⇔ OH = OK - dây AB > CD ⇔ OH < OK 2. Vị trí tương đối của dường thẳng và đường tròn : Xét đường tròn (O; R) và đường thẳng a. OH là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng a; (OH = d). + Đường thẳng và đường tròn cắt nhau. Ta có: A B + Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau. Ta có: a 6 Hình.2 2 d < R H d R d = R H O O Hình.2 3 Hình.2 4 + Đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Ta có: a VD1: d = 3cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn cắt nhau ) VD2: d = 7cm , R = 7cm ( Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau ) VD3: d = 6cm , R = 5cm ( Đường thẳng và đường tròn không giao nhau ) II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho hình vẽ, trong đó hai dây MN ; PQ bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. IM = 2cm ; IN = 14cm . Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây. Giải Kẻ OH ⊥ MN OK ⊥ PQ MN = MI + IN = 2 + 14 = 16 (cm) MH = 1 2 MN = 8(cm) IH = MH – MI = 8 – 2 = 6(cm) Do MN = PQ nên OH = OK I K H O Q P NM Tứ giác OHIK là hình chữ nhật lại có OH = OK nên OHIK là hình vuông . Do đó OH = OK = IH = 6(cm) Bài 2 : Điền vào các chỗ trống (….) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng) : R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5cm 7cm 6cm 3cm …… 8cm ………………. Tiếp xúc nhau ………… Giải R d Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn 5 cm 7 cm 6 cm 3 cm 7 cm 8 cm Đường thẳng cắt đường tròn Tiếp xúc nhau Đường thảng và đường tròn không giao nhau III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. Cho (O; 12cm) đường kính CD vẽ dây MN qua trung điểm I của OC sao cho · NID = 30 o . Tính độ dài dây MN. Hướng dẫn - Kẻ OH ⊥ MN - Xét tam giác vuông HOI Có : · HIO = 30 o do đó OH = 0 2 I = 3 (cm) - Xét tam giác vuông HON có : HN 2 = NO 2 – OH 2 ⇒ HN = 3 15 (cm) Vì MN = 2 HN vậy MN = 6 15 (cm) H I M O N D C 7 Hình.2 5 H d R d > R O Hình.2 5 Hình.2 6 Bài 2 . Cho đường thẳng a và một điểm O cách a là 6 cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 10cm. a. Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn tâm O ? Vì sao ? b. Gọi B và C là giao điểm của đường thẳng a và đường tròn O. Tính độ dài BC. Hướng dẫn a) Đường thẳng a cắt đường tròn (O) vì OH = 6 cm, OB = 10 cm; OH < OB hay d < R b) HC = 22 OHOB − = 22 610 − = 8 (cm) BC = 16 cm TIẾT 26: TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. + Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung + Khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn + Định lý: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Ví dụ 1: Hình 38. Đường thẳng xy đi qua điểm C của đường tròn (0) và vuông góc với bán kính OC ⇒ đường thẳng xy là tiếp tuyến của đường tròn (0) O C y x - Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau (hình 39) 8 B C 10 6 O H Hình.3 8 + A cách đều hai tiếp điểm B và C + Tia AO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến AB, AC. +Tia OA là tia phân giác tạo bởi hai bán kính OB, OC. Ví dụ 2 : Trên hình 43 ta có: BA và CA là hai tiếp tuyến của đường tròn (0). Theo tính chất tiếp tuyến ta có : AB ⊥ OB, AC ⊥ OC . Hai tam giác vuông OAB và OAC có OB = OC , OA là cạnh chung. Do đó ∆ OAB = ∆ OAC (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra AB = AC. · · OAB OAC = nên AO là tia phân giác của · BAC . · · AOB AOC = nên OA là tia phân giác của · BOC . II. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 : Cho tam giác ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC=5cm . Vẽ đường tròn (B, BA). Chứng minh rằng AC là tiếp tuyến của đường tròn . Chứng minh : Theo giả thiết ta có : ∆ ABC có AB =3, AC = 4, BC =5 nên BC2 = 52 = 25 AB 2 + AC 2 = 32 + 42 = 25 vậy BC 2 = AB 2 + AC 2 ⇒ ∆ ABC vuông tại A. Cũng theo giả thiết thì A ∈ (B;BA) nên AC là tiếp tuyến (B,BA). Bài 2 : Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) , kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm).Qua M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến AB, AC theo thứ tự ở D, E . Chứng minh rằng chu vi ∆ ADE bằng 2AB. Chứng minh: Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : AB = AC, DM = DB, EM = EC. Vậy chu vi tam giác ADE bằng : AD + DE + AE = AD + (DM + ME) + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC = 2AB. III. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B, BA) và đường tròn (C, CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A) . Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Bài 2 : Cho nửa đường tròn tâmO đường kính AB. Gọi Ax , By là các tia vuông góc với AB (Ax , By và nửa đường tròn thuộc cùng nửa mặt phẳng bờ AB) . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc tia Ax. Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt By ở N. a, Tính số đo · MON ? b, Chứng minh rằng MN = AM + BN. 9 Hình.4 0 Hình.4 1 Hình 39 c, Chứng minh rằng AM. BN = R2 (R là bán kính của đường tròn). 10 [...]... sỏnh hai cung nh QA v BP, t ú so sỏnh hai gúc 1 ã ã APO v PBT O 2 P Hỡnh.63 T B TIT 29: GểC Cể NH BấN TRONG NG TRềN GểC Cể NH BấN NGOI NG TRềN CUNG CHA GểC I KIN THC C BN * Gúc nh cú bờn trong ng trũn : 1) c im: - nh bờn trong ng trũn - Hai cnh l 2 cỏt tuyn 2) nh lớ : S o ca mt gúc cú nh bờn trong ng trũn bng na tng s o ca hai cung b chn Ni AD ta cú DFB l gúc ngoi ca tam giỏc ADF ẳ sd ẳ + sd... l gúc cú nh nm trờn ng trũn v hai cnh cha hai dõy cung ca ng trũn ú - Cung nm bờn trong gúc c gi l cung b chn Vớ d : A A C B B O C O Hỡnh.42.a Hỡnh.42.b A ã Hỡnh 42 (a;b) : BAC l gúc ni tip + Tớnh cht ca gúc ni tip : Trong mt ng trũn, s o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn O C Vớ d : ã s BAC = 1 ằ s BC 2 B + H qu : Trong mt ng trũn : Hỡnh.43 - Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng nhau - Cỏc... sỏnh hai cung + Khỏi nim : Hai cung c gi l bng nhau nu chỳng cú s o bng nhau Trong hai cung, cung no cú s o ln hn c gi l cung ln hn + VD: - Hai cung AB v CD bng nhau c kớ hiu l ằ = CD AB ằ ẳ ẳ ằ ằ - Cung EF nh hn cung GH c kớ hiu l EF < GH hay GH > EF 2 Liờn h gia cung v dõy 2 1 nh lớ 1: Vi hai cung nh trong mt ng trũn hay trong hai ng trũn bng nhau: a) Hai cung bng nhau cng hai dõy bng nhau b) Hai... tam giỏc ln lt ct ng trũn (O) ti M v N ; Gi H l giao im ca AD v BE Chng minh a/ T giỏc HECD ni tip trong mt /trũn b/ T giỏc ABDE ni tip trong mt ng trũn c/ CM = CN Hng dn gii a/ T giỏc HECD ni tip Ta cú A ã HEC = 900 (BE l ng cao) ã HDC E = 900 (AD l ng cao) ã ã vy HEC + HDC =1800 t giỏc HECD ni tip trong mt ng trũn b/ T giỏc ABDE ni tip ã Ta cú : AEB = 900 (AD l ng cao) ã ADB = 900 (BE l ng cao)... o gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung 1 ã ẳ S xAB = 2 S AnB 500 0 ã ẳ xAB = = 250 Vớ d: Cho AnB cú s o 50 => S 2 II BI TP P DNG Bi 1: a) Gúc trong hỡnh no l gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung? Hỡnh 55 Hỡnh 56 O O O O Hỡnh 57 Hỡnh 58 O Hỡnh 59 b) Gii thớch ti sao gúc trong cỏc hỡnh cũn li khụng phi gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung? Bi gii: a) Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung l gúc hỡnh 4 b) Cỏc hỡnh... nhau cng hai dõy bng nhau b) Hai dõy bng nhau cng hai cung bng nhau GT KL (0); A,B,C,D (0) a; AB = CD => ằ = CD AB ằ D C b; ằ = CD => AB = CD AB ằ Hỡnh.3 4 O A B 2.2 nh lớ 2 : Vi hai cung nh trong mt ng trũn hay trong hai ng trũn bng nhau: a) Cung ln hn cng dõy ln hn b) Dõy ln hn cng cung ln hn gt kl (0); A,B,C,D (0) D ằ a; ằ AB > CD => AB>CD ằ b; AB >CD => ằ AB > CD O C II BI TP P DNG Hỡnh.3 Bi 1:... III BI TP NGH Bi tp 1: Trong cỏc khng nh sau khng nh no ỳng, khng nh no sai? T giỏc ABCD ni tip ng trũn khi: Khng nh a, ỳng Sai ã ã DAB + BCD = 180 0 28 b, Bn nh A, B, C, D cỏch u im I c, ã ã DAB = BCD d, ã ã ABD = ACD e, Gúc ngoi ti nh B bng gúc A f, Gúc ngoi ti nh B bng gúc D g, ABCD l hỡnh thang h, ABCD l hỡnh thang vuụng k, ABCD l hỡnh thoi 29 Bi tp 2 : Cho ABC ni tip trong mt ng trũn tõm O ... R + R Hỡnh.2 7 b) Hai ng trũn tip xỳc trong: OO' = R R + Hai ng trũn khụng cú im chung a) Nu (O) v (O) ngoi nhau thỡ: OO > R + R Hỡnh.2 8 b) Nu (O) ng (O) thỡ: OO < R + R c) (O) v (O) ng tõm thỡ: OO = 0 * Hai ng trũn khụng giao nhau: Hỡnh.2 * Tip tuyn chung ca hai ng trũn + d1, d2 l hai tip tuyn chung ngoi ca 2 ng trũn (O) v (O) + m1 v m2 l 2 tip tuyn chung trong ca 2 ng trũn (O) v (O) II BI TP P... gia M ca cung AB v dõy MN song song vi dõy BC Gi giao im ca MN v AC l S Chng minh SM = SC v SN = SA A S O C Hng dn : ã ã ẳ ẳ MCB = ACM ( cựng chn hai cung bng nhau, AM = MB ) ã ã ã ã NMC = MCB ( so le trong ) => ACM = NMC hay SMC l Do tam giỏc cõn => SM = SC ã ã NAC = NMC ( cựng chn cung NC ã ã ã ANM = NMC (= ACM ) ã ã => CAN = ANM hay SAN l tam giỏc cõn => SA = SN Mt khỏc : N Hỡnh.53 ), m 18 Tit 28:... AB ly mt im D sao cho: AD = AC V ng trũn tõm O ngoi tip tam giỏc DBC T O ln lt h cỏc ng vuụng gúc OH, OK xung BC v BD ( H BC, K BD) a)Chng minh rng OH < OK b) So sỏnh hai cung nh BD v BC 15 Bi gii a, Trong tam giỏc ABC theo bt ng thc tam giỏc ta cú: BC > AB AC Do AC = AD nờn BC > AB AD hay BC > BD Theo nh lý v dõy cung v khong cỏch n tõm, t BC > BD suy ra OH < OK b, Theo ý a, BC > BD suy ra BC > . GểC Cể NH BấN TRONG NG TRềN GểC Cể NH BấN NGOI NG TRềN CUNG CHA GểC I. KIN THC C BN * Gúc nh cú bờn trong ng trũn : 1) c im: - nh bờn trong ng trũn. EF 2. Liên hệ giữa cung và dây 2. 1. Định lí 1: Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau: a) Hai cung bằng nhau căng hai