 minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 1 1 11 1/ / / / Hoán v Hoán vHoán v Hoán v, chnh hp và t hp: , chnh hp và t hp:, chnh hp và t hp: , chnh hp và t hp: Hoán vị Chỉnh hợp Tổ hợp ! n P n = , với * 1 n n ≥   ∈  ℕ ! ( )! k n n A n k = − , với * 1 , k n n k ≤ ≤   ∈  ℕ ! !( )! k n n C k n k = − , với 0 , k n n k ≤ ≤   ∈  ℕ ! k k n n A k C = ! ( 1)( 2) 2.1 ! ( 1)! 0! 1 n n n n n n n = − − = − = 1 1 n A = ! n n A n = n n n P A = 0 1 1 1 1 n n n n k k n n k k k n n n C C C C C C C − − − − = = = + = S ố cách x ế p n ph ầ n t ử vào n v ị trí có th ứ t ự S ố cách ch ọ n k ph ầ n t ử trong n ph ầ n t ử có th ứ t ự S ố cách ch ọ n ra t ậ p h ợ p con g ồ m k ph ầ n t ử trong t ậ p h ợ p g ồ m n ph ầ n t ử không th ứ t ự 2 22 2/ / / / Công th Công thCông th Công th  c n c nc n c nh hh h thc Newton:  thc Newton: thc Newton:  thc Newton: * Công thức: 0 1 1 2 2 2 1 1 0 ( ) n n k n k k n n n n n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C ab C b − − − − − = + = = + + + + + ∑ * Tính chất: - Trong khai tri ể n ( ) n a b + có ( 1) n + s ố h ạ ng - T ổ ng s ố m ũ c ủ a a và b trong m ỗ i s ố h ạ ng b ằ ng n - S ố h ạ ng th ứ 1 k + trong khai tri ể n nh ị th ứ c là: 1 k n k k k n T C a b − + = CúNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 2 I/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII TOÁN I TOÁNI TOÁN I TOÁN - S ử d ụ ng các công th ứ c v ề hoán v ị , ch ỉ nh h ợ p và t ổ h ợ p - Chú ý cách bi ế n ñổ i d ạ ng: ! ( 1)! n n n = − , ! ( 1)( 2)! n n n n = − − ,… II/ VÍ D II/ VÍ DII/ VÍ D II/ VÍ D MINH HA  MINH HA MINH HA  MINH HA VD 1: Gi ả i các ph ươ ng trình sau: a. 4 6 5 2 x x x C C C + = b. 1 2 3 2 6 6 9 14 x x x C C C x x + + = − Giải a. ð K: 6 x x ≥   ∈  ℕ PT ! ! ! 2. 4!( 4)! 6!( 6)! 5!( 5)! x x x x x x ⇔ + = − − − ( 1)( 2)( 3) ( 4)( 5) 2( 4) 1 0 24 30 5 x x x x x x x − − − − − −   ⇔ + − =     2 7 ( 4)( 5) 2( 4) 1 0 21 98 0 14 30 5 x x x x x x x =  − − − ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔  =  K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 7 x = ho ặ c 14 x = b. ð K: 3 x x ≥   ∈  ℕ PT 2 2 ! ! ! 6. 6. 9 14 3 ( 1) ( 1)( 2) 9 14 1!( 1)! 2!( 2)! 3!( 3)! x x x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + + = − ⇔ + − + − − = − − − − 2 3 2 2 3 2 2 (3 3 ) ( 3 2 ) 9 14 9 14 0 ( 9 14) 0 x x x x x x x x x x x x x x ⇔ + − + − + = − ⇔ − + = ⇔ − + = 2 2 9 14 0 7 x x x x =  ⇔ − + = ⇔  =  K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 7 x = VD 2: Gi ả i các b ấ t ph ươ ng trình sau: a. 3 2 5 21 0 x x A A x + − ≤ b. 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + Giải a. ð K: 3 x x ≥   ∈  ℕ BPT ! ! 5. 21 0 ( 1)( 2) 5 ( 1) 21 0 ( 3)! ( 2)! x x x x x x x x x x x ⇔ + − ≤ ⇔ − − + − − ≤ − − 3 2 2 3 2 ( 3 2 ) (5 5 ) 21 0 2 24 0 ( 6)( 4) 0 x x x x x x x x x x x x ⇔ − + + − − ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ + − ≤ 4 x ⇔ ≤ K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 3 x = ho ặ c 4 x = D DD D NG 1: PH NG 1: PHNG 1: PH NG 1: PH NG TR NG TRNG TR NG TR ÌNH, H ÌNH, HÌNH, H ÌNH, H  P  P P  P HNG TR HNG TRHNG TR HNG TR ÌNH VÀ B ÌNH VÀ BÌNH VÀ B ÌNH VÀ B T PHNG TR T PHNG TRT PHNG TR T PHNG TR ÌNH ÌNHÌNH ÌNH  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 3 b. ð K: 3 x x ≥   ∈  ℕ BPT 1 (2 )! ! 6 ! . . 10 (2 1) ( 1) ( 1)( 2) 10 2 (2 2)! ( 2)! 3!( 3)! x x x x x x x x x x x x x ⇔ − ≤ + ⇔ − − − ≤ − − + − − − 2 2 2 (2 ) ( ) ( 3 2) 10 3 12 0 4 x x x x x x x x ⇔ − − − ≤ − + + ⇔ − + ≥ ⇔ ≤ K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 3 x = ho ặ c 4 x = VD 3: Gi ả i h ệ ph ươ ng trình: 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   Giải ð K: * , x y x y ≥   ∈  ℕ HPT ! 20 2 5 90 2 5 90 20 ( )! ! 5 2 80 10 10 10 !( )! (1) (2) y y y y y x x x x x y y y y x x x x x A C A C A x y x A C C C y x y  =     + = + = = −     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     − = = =        =  −  Thay (1) vào (2), ta có: 20 10 ! 2 2 ! y y y = ⇔ = ⇔ = Thay vào (1), ta có: 2 4 ! 20 ( 1) 20 20 0 5 ( 2)! x x x x x x x x = −  = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔  = −  K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 5 x = , 2 y = I/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII TOÁN I TOÁNI TOÁN I TOÁN - N ế u trong t ổ ng có ch ứ a 1 1 k n C k + , ta khai tri ể n ( ) n ax b + r ồ i l ấ y tích phân hai v ế . - N ế u trong t ổ ng có ch ứ a k n kC , ta khai tri ể n ( ) n ax b + r ồ i l ấ y ñạ o hàm hai v ế . - N ế u trong t ổ ng không có ch ứ a m ộ t trong hai s ố h ạ ng trên, ta khai tri ể n ( ) n ax b + r ồ i ch ọ n x . - N ế u trong t ổ ng có ch ứ a ch ỉ s ố không ñầ y ñủ , ta ñặ t t ổ ng b ổ sung r ồ i tính t ổ ng, hi ệ u. II/ II/ II/ II/ VÍ D VÍ DVÍ D VÍ D MINH HA  MINH HA MINH HA  MINH HA VD 1: Tính giá tr ị c ủ a bi ể u th ứ c 4 3 1 3 ( 1)! n n A A M n + + = + , bi ế t r ằ ng 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 149 n n n n C C C C + + + + + + + = Giải ð K: * n∈ ℕ Ta có: 2 2 2 2 1 2 3 4 ( 1)! 2( 2)! 2( 3)! ( 4)! 2 2 149 149 2!( 1)! 2! ! 2!( 1)! 2!( 2)! n n n n n n n n C C C C n n n n + + + + + + + + + + + = ⇔ + + + = − + + D DD D NG 2: CHNG MINH NG T NG 2: CHNG MINH NG TNG 2: CHNG MINH NG T NG 2: CHNG MINH NG T H HH H C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THCC, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC C, TÍNH GIÁ TR CA BIU THC  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 4 ( 1) ( 4)( 3) ( 2)( 1) ( 3)( 2) 149 2 2 n n n n n n n n + + + ⇔ + + + + + + + = 2 2 2 2 ( ) 2( 3 2) 2( 5 6) ( 7 12) 298 n n n n n n n n⇔ + + + + + + + + + + = 2 5 6 24 270 0 9 n n n n =  ⇔ + − = ⇔  = −  K ế t h ợ p v ớ i ñ i ề u ki ệ n, ta có: 5 n = Do ñ ó: 4 3 6 5 3 360 3.60 3 6! 720 4 A A M + + = = = VD 2: Ch ứ ng minh r ằ ng: 2012 0 2 2 4 4 2012 2012 2012 2012 2012 2012 3 1 2 2 2 2 C C C C + + + + + + = Giải Ta có: 2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 (1 ) x C C x C x C x C x + = + + + + + Cho 2 x = ta ñượ c: 2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 3 2 2 2 2C C C C C= + + + + + (1) Cho 2 x = − ta ñượ c: 0 1 2 2 3 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 1 2 2 2 2C C C C C= − + − + + (2) L ấ y (1) c ộ ng (2) v ế theo v ế , ta có: 2012 0 2 2 4 4 2012 2012 2012 2012 2012 2012 3 1 2 2 2 2C C C C   + = + + + + ⇒   ñ pcm VD 3: Tính t ổ ng 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 2 3 2013S C C C C= + + + + Giải Ta có: 2012 0 1 2 2 3 3 2012 2012 2012 2012 2012 2012 2012 (1 ) x C C x C x C x C x + = + + + + + 2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013 2012 2012 2012 2012 2012 (1 ) x x C x C x C x C x C x ⇒ + = + + + + + L ấ y ñạ o hàm hai v ế , ta có: ' ' 2012 0 1 2 2 3 3 4 2012 2013 2012 2012 2012 2012 2012 (1 ) x x C x C x C x C x C x     + = + + + + +     2012 2011 0 1 2 2 2012 2012 2012 2012 2012 2012 (1 ) 2012 (1 ) 2 3 2013 x x x C C x C x C x ⇒ + + + = + + + + Cho 1 x = ta ñượ c: 2012 2011 0 1 2 2012 2012 2012 2012 2012 2 2012.2 2 3 2013C C C C+ = + + + + 0 1 2 2012 2011 2012 2012 2012 2012 2 3 2013 2014.2 C C C C ⇒ + + + + = V ậ y: 2011 2014.2 S = VD 4: Tính t ổ ng 2 2 3 3 1 1 0 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 1 n n n n n n n S C C C C n + + − − − = + + + + + Giải Ta có: 0 1 2 2 3 3 (1 ) n n n n n n n n x C C x C x C x C x + = + + + + + L ấ y tích phân hai v ế , ta ñượ c: ( ) 0 1 2 2 3 3 (1 ) b b n n n n n n n n a a x dx C C x C x C x C x dx + = + + + + + ∫ ∫ 1 0 1 2 2 3 1 (1 ) 1 1 1 1 2 3 1 b b n n n n n n n a a x C x C x C x C x n n + + +   ⇒ = + + + +   + +    minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 5 Cho 3, 2 b a = = ta ñượ c: 2 2 3 3 1 1 1 1 0 1 2 3 2 3 2 3 2 4 3 2 3 1 1 n n n n n n n n n C C C C n n + + + + − − − − + + + + = + + V ậ y: 1 1 4 3 1 n n S n + + − = + VD 5: Tính t ổ ng 0 1 2 1 1 1 1 2 3 4 2 n n n n n S C C C C n = + + + + + Giải * Ta có: 0 1 2 2 3 3 0 1 2 2 3 3 4 1 (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n x C C x C x C x C x x x C x C x C x C x C x + + = + + + + + ⇒ + = + + + + + L ấ y tích phân hai v ế , ta ñượ c: ( ) 1 1 0 1 2 2 3 3 4 1 0 0 (1 ) n n n n n n n n x x dx C x C x C x C x C x dx + + = + + + + + ∫ ∫ (1) * Tính: 1 0 (1 ) n x x dx + ∫ ðặ t 1 t x dt dx = + ⇒ = và 0 1 1 2 x t x t = =   ⇒   = =   . Do ñ ó: 2 1 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 .2 1 (1 ) ( 1) ( ) 2 1 ( 1)( 2) n n n n n n n t t n x x dx t t dt t t dt n n n n + + + +   + + = − = − = − =   + + + +   ∫ ∫ ∫ L ạ i có: ( ) 1 1 0 1 2 2 3 3 4 1 0 2 1 3 2 4 2 0 0 1 1 1 1 2 3 4 2 n n n n n n n n n n n n n C x C x C x C x C x dx C x C x C x C x n + +   + + + + + = + + + +   +   ∫ 0 1 2 1 1 1 1 2 3 4 2 n n n n n C C C C n = + + + + + * V ậ y t ừ (1), ta có: 1 0 1 2 1 1 1 1 .2 1 2 3 4 2 ( 1)( 2) n n n n n n n S C C C C n n n + + = + + + + = + + + VD 6: Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 3 4 2 2.1 3.2 4.3 ( 1) ( 1)2 n n n n n n C C C n n C n n − + + + + − = − Giải Ta có: 0 1 2 2 3 3 (1 ) n n n n n n n n x C C x C x C x C x + = + + + + + L ấ y ñạ o hàm hai v ế , ta ñượ c: 1 1 2 3 2 1 (1 ) 2 3 n n n n n n n n x C C x C x nC x − − + = + + + + Ti ế p t ụ c l ấ y ñạ o hàm hai v ế , ta ñượ c: 2 2 3 2 ( 1)(1 ) 2.1 3.2 ( 1) n n n n n n n n x C C x n n C x − − − + = + + + − Cho 1 x = ta ñượ c: 2 3 2 2.1 3.2 ( 1) ( 1)2 n n n n n C C n n C n n − + + + − = − ( ñ pcm)  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 6 I/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII TOÁN I TOÁNI TOÁN I TOÁN - S ử d ụ ng công th ứ c khai tri ể n nh ị th ứ c Newton - S ố h ạ ng th ứ 1 k + trong khai tri ể n nh ị th ứ c ( ) n a b + là: 1 k n k k k n T C a b − + = - S ử d ụ ng công th ứ c: 0 0 0 ( ) n n k k k k m k m m n n k k k m C a b C C a b − = = = + = ∑ ∑ ∑ - S ử d ụ ng tính ch ấ t c ủ a l ũ y th ừ a v ớ i s ố m ũ th ự c: 1 n n m n m n a a a a − = = . ( ) a a a a a a a a α β α β α α β β α β αβ + − = = = . ( ) a b ab a a b b α α α α α α =   =     II/ VÍ D II/ VÍ DII/ VÍ D II/ VÍ D MINH HA  MINH HA MINH HA  MINH HA VD 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển các nhị thức sau: a. 12 1 x x   +     với 0 x > b. 7 3 4 1 x x   +     với 0 x > Giải a. Ta có: ( ) 12 12 12 12 12 12 12 2 2 12 12 12 0 0 0 1 1 k k k k k k k k k k k k x C x C x x C x x x − − + − = = =     + = = =         ∑ ∑ ∑ Do yêu cầu của bài toán, nên ta có: 12 0 3 24 0 8 2 k k k k − + = ⇔ − = ⇔ = Vậy số hạng không chứa x là: 8 12 12! 495 8!4! C = = b. Ta có: ( ) 7 7 7 7 7 7 7 3 3 3 3 4 4 7 7 7 4 4 0 0 0 1 1 k k k k k k k k k k k k x C x C x x C x x x − − − − − = = =     + = = =         ∑ ∑ ∑ Do yêu cầu của bài toán, nên ta có: 7 0 7 28 0 4 3 4 k k k k − − = ⇔ − + = ⇔ = Vậy số hạng không chứa x là: 4 7 7! 35 3!4! C = = VD 2: Tìm hệ số của 7 x trong khai triển nhị thức 2 (2 3 ) n x − , trong ñó n là số nguyên dương thỏa mãn ñẳng thức: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1024 n n n n n C C C C + + + + + + + + + = Giải Ta có: 2 1 0 1 1 2 3 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 (1 ) n n n n n n n n x C C x C x C x C x + + + + + + + + + = + + + + + Cho 1 x = ta có: 0 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n C C C C C + + + + + + + + + + + + = (1) Cho 1 x = − ta có: 0 1 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 n n n n n n C C C C C + + + + + + − + − + − = (2) D DD D NG 3: T NG 3: TNG 3: T NG 3: T ÌM H ÌM HÌM H ÌM H  S CA  S CA  S CA  S CA X XX X k kk k TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI N NH THC NEWTON N NH THC NEWTONN NH THC NEWTON N NH THC NEWTON  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 7 Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta ñược: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 n n n n n n C C C C + + + + + +   + + + + =   1 3 5 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n C C C C + + + + + ⇒ + + + + = Do ñó: 2 2 1024 2 10 5 n n n = ⇔ = ⇔ = Vì vậy: 10 10 10 10 10 10 10 0 0 (2 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3) k k k k k k k k k x C x C x − − = = − = − = − ∑ ∑ Theo yêu cầu của bài toán, ta có: 7 k = Hệ số của 7 x trong khai triển 10 (2 3 ) x − là: 7 10 7 7 3 7 10 10! 2 ( 3) .2 .3 2099520 7!3! C − − = − = − VD 3: Tìm hệ số của 5 x trong khai triển thành ña thức của biểu thức: 9 2 1 (2 ) P x x   = + −   Giải Ta có: 9 9 9 2 3 3 9 0 1 (2 ) 1 (2 ) (2 ) k k k P x x x x C x x =     = + − = + − = −     ∑ 9 9 3 2 9 9 0 0 0 0 (2 ) ( ) ( 1) 2 k k k m k m m k m m k m k m k k k m k m C C x x C C x − − + = = = = = − = − ∑ ∑ ∑ ∑ Theo yêu cầu của bài toán, ta có: 2 5 k m + = , trong ñó: 0 9,0 k m k ≤ ≤ ≤ ≤ . Do ñó: 0, 5 1, 3 m k m k = =   = =  Vậy hệ số của 5 x là: 5 0 0 5 3 1 1 2 9 5 9 3 ( 1) 2 ( 1) 2 4032 1008 3024 C C C C− + − = − = VD 4: Tìm hệ số của 7 x trong khai triển của biểu thức: 2 7 3 12 (1 2 ) (2 1) P x x x x= − − + Giải Ta có: 7 12 7 12 2 3 12 2 12 3(12 ) 1 7 12 7 12 0 0 0 0 ( 2 ) (2 ) ( 2) 2 k k m m k k k m m m k m k m P x C x x C x C x C x − + − − + = = = = = − − = − − ∑ ∑ ∑ ∑ Theo yêu cầu của bài toán, ta có: 2 7 5 3(12 ) 1 7 10 k k m m + = =   ⇔   − + = =   Vậy, hệ số của 7 x là: 5 5 10 2 7 12 ( 2) 2 408 C C− − = − VD 5: Tìm hệ số của 8 x trong khai triển thành ña thức của biểu thức: 2 5 7 ( 1) (2 ) P x x = − + Giải Ta có: 5 7 2 5 7 10 2 7 5 7 0 0 ( 1) (2 ) ( 1) . 2 k k k m m m k m P x x C x C x − − = = = − + = − ∑ ∑ Theo bài ra: (10 2 ) 8 2 2 k m k m − + = ⇔ − = , trong ñó: 0 5,0 7 k m ≤ ≤ ≤ ≤ . Do ñó: 1, 0 2, 2 3, 4 4, 6 k m k m k m k m = =   = =   = =  = =  Vậy, hệ số của 8 x là: 1 1 0 7 2 2 2 5 3 3 4 3 4 4 6 1 5 7 5 7 5 7 5 7 ( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 ( 1) . 2 3350 C C C C C C C C− + − + − + − =  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 8 I/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII/ PHNG PHÁP GI I/ PHNG PHÁP GII TOÁN I TOÁNI TOÁN I TOÁN Dạng toán: Trong một khai triển thành ña thức 2 0 1 2 ( ) n n P x a a x a x a x = + + + + . Hãy tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 2 , , , , n a a a a . Cách giải: - Xét bất phương trình: 1 0 k k a a + − < và nghiệm của bpt này thường có dạng 0 k k < . Do k ∈ ℕ nên 0 0,1,2, , k k = . - Từ ñó suy ra: 1 0 k k a a k k + ≥ ⇔ ≥ . ðến ñây, xảy ra hai khả năng: + Nếu 1 0 k k a a k k + = ⇔ = . Khi ñó, ta có: 0 0 0 0 1 2 1 2 k k k n a a a a a a a + + < < < < = > > > . Lúc này có hai hệ số lớn nhất là: 0 k a và 0 1 k a + + Nếu 1 k k a a + = vô nghiệm. Khi ñó, ta có: 0 0 0 0 1 2 1 2 k k k n a a a a a a a + + < < < < < > > > . Lúc này có duy nhất một hệ số lớn nhất là: 0 1 k a + II/ VÍ D II/ VÍ DII/ VÍ D II/ VÍ D MINH HA  MINH HA MINH HA  MINH HA VD 1: Xét khai triển: 9 2 9 0 1 2 9 (3 2) x a a x a x a x + = + + + + . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số 0 1 2 9 , , , , a a a a Giải Ta có: 9 9 9 9 9 9 9 0 0 (2 3 ) 2 (3 ) 2 3 k k k k k k k k k x C x C x − − = = + = = ⇒ ∑ ∑ 9 9 2 3 k k k k a C − = , trong ñó: 0,1,2, ,9 k = Xét bất phương trình: 9 1 8 1 1 9 9 9! 9! 2 3 2 3 2. 3. !(9 )! ( 1)!(8 )! k k k k k k k k a a C C k k k k − + − + + < ⇔ < ⇔ < − + − 2 3 2( 1) 3(9 ) 5 0,1,2,3,4 9 1 k k k k k k ⇔ < ⇔ + < − ⇔ < ⇔ = − + Do ñó: 1 5 k k a a k + = ⇔ = 1 6,7,8,9 k k a a k + > ⇔ = Vì vậy: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 a a a a a a a a a a < < < < < = > > > Vậy, hệ số lớn nhất là: 5 4 5 5 6 9 2 3 489888 k a a a C= = = = VD 2: Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển 30 (1 2 ) x + Giải Ta có: 30 30 30 30 0 1 2 30 30 0 (1 2 ) 2 2 k k k k k k k x C x a a x a x a x a C = + = = + + + + ⇒ = ∑ , trong ñó 0,1,2, ,30 k = D DD D NG 4: T NG 4: TNG 4: T NG 4: T ÌM H ÌM HÌM H ÌM H  S LN NHT TRONG MT  S LN NHT TRONG MT  S LN NHT TRONG MT  S LN NHT TRONG MT k kk k HAI TRI HAI TRIHAI TRI HAI TRI N NH THC N NH THC N NH THC N NH THC  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 9 Ta có: 1 1 1 30 30 30! 30! 2 2 2. !(30 )! ( 1)!(29 )! k k k k k k a a C C k k k k + + + < ⇔ < ⇔ < − + − 1 2 59 0,1,2, ,19 30 1 3 k k k k ⇔ < ⇔ < ⇔ = − + Từ ñó, suy ra: 1 20,21, ,30 k k a a k + > ⇔ = Do ñó: 0 1 19 20 21 30 a a a a a a < < < < > > > Vậy, hệ số lớn nhất trong khai triển là: 20 20 20 30 2 a C = VD 1: Cho 0 1 (1 ) n n n x a a x a x + = + + + . Tìm k và n , biết rằng 1 1 36 8 3 k k k a a a − + = = Giải Ta có: 0 1 0 (1 ) n n k k n n n k x C x a a x a x = + = = + + + ∑ . Do vậy: k k n a C = Do ñó: 1 1 1 1 1 1 36 8 36 8 3 36 8 3 8 3 k k n n k k k k k k n n n k k n n C C a a a C C C C C − − + − + +  =  = = ⇔ = = ⇔  =   (1) ðK: * , 1 n k n k  ∈  ≥ +  ℕ Khi ñó: ! ! 9 2 36. 8. 11 2 2 2 ( 1)!( 1)! ( )! ! 1 (1) ! ! 8 3 11 3 8 10 8. 3. ( )! ! ( 1)!( 1)! 1 n n k n k k n k n k k n k k n n k n n n k k k n k n k k   = =   − = = − − + −     − + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     − = − =     = =   − + − − − +   VD 2: Tìm các số hạng nguyên trong khai triển ( ) 9 3 3 2 + Giải Ta có: ( ) 9 1 1 9 9 9 3 3 3 2 2 9 0 3 2 3 2 3 2 k k k k C − =   + = + =     ∑ Theo bài ra, ta có: 9 3 2 9 3 2 k k k C − là s ố nguyên 3 3 9 2 9 0 9 k k k k k  =   ⇔ − ⇔   =   ≤ ≤  ⋮ ⋮ V ậ y trong khai tri ể n trên có hai s ố h ạ ng nguyên là: 3 3 1 9 3 2 4536 C = và 9 0 3 9 3 2 8 C = VD 3: Tìm s ố nguyên d ươ ng bé nh ấ t n sao cho trong khai tri ể n (1 2 ) n x + có hai h ệ s ố liên ti ế p có t ỉ s ố b ằ ng 3 7 . Giải Ta có: 0 (1 2 ) 2 n n k k k n k x C x = + = ⇒ ∑ H ệ s ố c ủ a hai s ố h ạ ng liên ti ế p là: 2 k k k n a C = và 1 1 1 2 k k k n a C + + + = D DD D NG 5: T NG 5: TNG 5: T NG 5: T ÌM H ÌM HÌM H ÌM H  S VÀ CÁC S HNG  S VÀ CÁC S HNG S VÀ CÁC S HNG  S VÀ CÁC S HNG TH TH TH TH A M A MA M A M ÃN ÃN ÃN ÃN I II I U KIN NÀO Ó U KIN NÀO ÓU KIN NÀO Ó U KIN NÀO Ó  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 10 Ta có: 1 1 1 2 1 3 1 6 13 7 2 1 2 2( ) 7 6 k k k n k k k n a C k k n k n k a C n k + + + + + = = = ⇔ = + ⇔ = + + − Vì ,n k ∈ ℕ , do ñ ó n bé nh ấ t 5 1 6 nhoû nhaát k k k  ⇔ ⇔ =  +  ⋮ . Khi ñ ó: 12 n = V ậ y: 12 n = Bài 1: Ch ứ ng minh r ằ ng: a. 1 1 ( 1) n n n P P n P − − − = − b. 1 2 3 1 1 2 3 ( 1) n n P P P n P P − + + + + + − = Bài 2: Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i s ố t ự nhiên n ta ñề u có: 1 ! 2 n n n +   ≤     Bài 3: Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i ,n k ∈ ℕ và 2 k n ≤ < ta ñề u có: a. 1 1 1 k k k n n n A A kA − − − = + b. 2 1 2 n n n n k n k n k A A k A + + + + + + = Bài 4: Ch ứ ng minh r ằ ng v ớ i m ọ i n ∈ ℕ và 2 n ≥ ta ñề u có: 2 2 2 2 2 3 4 1 1 1 1 1 n n A A A A n − + + + + = Bài 5: Cho ,n k ∈ ℕ và 2 k n ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 2 ( 1) ( 1) k k n n k k C n n C − − − = − Bài 6: Cho ,n k ∈ ℕ và 4 k n ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − − − − + + + + + = Bài 7: Cho k ∈ ℕ và 0 2008 k ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 1004 1005 2009 2009 2009 2009 k k C C C C + + ≤ + Bài 8: Cho ,n k ∈ ℕ và 0 k n ≤ ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 2 2 2 2 ( ) n n n n k n k n C C C + − ≤ Bài 9: Cho ,m n ∈ ℕ và 0 m n < < . Ch ứ ng minh r ằ ng: a. 1 1 m m n n mC nC − − = b. 1 1 1 1 1 2 1 m m m m m n n n m m C C C C C − − − − − − − = + + + + Bài 10: Cho * ,n k ∈ ℕ và k n ≤ . Ch ứ ng minh r ằ ng: 1 1 1 1 1 1 1 2 k k k n n n n n C C C + + +   + + =   +   Bài 11: Ch ứ ng minh r ằ ng: 0 2007 1 2006 2007 2007 0 2008 2008 2008 2008 2007 2008 2008 2008 1 1024.2 k k k C C C C C C C C − − + + + + + = Bài 12: Cho n là s ố nguyên d ươ ng, ch ứ ng ming r ằ ng: 2 3 1 1 2 1 ( 1) 2. 3. . 2 n n n n n n n n n C C C n n C n C C C − + + + + + = Bài 13: Cho n là s ố nguyên d ươ ng, ch ứ ng ming r ằ ng: 0 1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 2 1 2 n n n n n n n n n n C C C C C C C C + + + + + + + + + = Bài 14: Ch ứ ng minh r ằ ng: a. 0 1 1 5 5 5 5 5 5 k k k k n n n n C C C C C C C − − + + + + = , v ớ i 5 k n ≤ ≤ b. 0 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n C C C C C = + + + + BæI T ẬP VẬN DỤNG ¼ NH Ị THỨC NEWTON [...]... 3 Bài 28: Trong khai tri n sau ñây có bao nhiêu s h ng h u t : minh tu n — thpt m ng bi Trang 11 ( ) 7 3−4 5 ) 124 ôn thi ih c 7 1   Bài 29: Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n:  3 x + 4  , v i x > 0 x  28 −   Bài 30: Trong khai tri n  x 3 x + x 15    n hãy tìm s h ng không ph thu c vào x , bi t r ng: n n Cnn + Cn −1 + Cn − 2 = 79 Bài 31: Bi t r ng t ng các h s trong khai tri n ( x... trong các s a0 , a1 , , an 2 2 2n 18 1   Bài 36: Tìm s h ng không ch a x trong khai tri n nh th c  2x + 5  , v i x > 0 x  n  1  Bài 37: Tìm h s c a s h ng ch a x 26 trong khai tri n nh th c Newton c a  4 + x 7  , bi t r ng: x   1 2 n C2 n+1 + C2 n+1 + + C2 n +1 = 2 20 − 1 Bài 38: Tìm s h ng ch a x10 trong khai tri n nh th c Newton c a (2 + x) n , bi t r ng: 0 1 2 3 n 3n Cn − 3n−1 Cn + 3n−... c a P = ( x 2 + x − 1) 6 Bài 46: Tìm h s c a x 4 trong khai tri n thành ña th c c a P = (1 + x + 3 x 2 )10 minh tu n — thpt m ng bi Trang 12 ôn thi ih c Bài 47: Tìm h s c a x8 trong khai tri n thành ña th c c a (1 + x 2 (1 − x) ) 8  6  Bài 48: Tìm h ng t không ch a x trong khai tri n  1 + + x   x  1 3 2n Bài 49: Tìm s nguyên dương n th a mãn ñ ng th c C2 n + C2 n + + C2 n −1 = 2048 0 1 2 16... C2 n +1 + + (2n + 1).22 n C2 n +1 = 2005 Bài 60: Áp d ng khai tri n nh th c Newton c a ( x 2 + x)100 , ch ng minh r ng: 99 100 0 1 1 1 100C100   − 101C100   2 2 199 100  1  + + 200C100   2 =0 Bài 61: Cho n ∈ ℕ và n ≥ 2 1 a Tính tích phân: I = ∫ x 2 (1 + x3 ) n dx 0 minh tu n — thpt m ng bi Trang 13 ôn thi ih c b Ch ng minh r ng: 1 0 1 1 1 2 1 2n +1 − 1 n Cn + Cn + Cn + + Cn =... c: (1 − x + x 2 − x 3 ) 4 = a0 + a1 x + + a12 x12 Tính h s a7 10 10 Bài 72: Tìm h s c a x  1  trong khai tri n thành ña th c c a:  1 + + x3  , v i x ≠ 0  x  minh tu n — thpt m ng bi Trang 14 ôn thi ih c 1 3 2 Bài 73: Tìm n ∈ N * và x ∈ ℝ bi t r ng: Cn + Cn = 2Cn và s h ng th tư trong khai tri n thành ña n  1  th c c a  2 x −1 +  b ng 2010n 3 x 2   Bài 74: Tính các t ng sau: a S = 1 0... r ng: C2 n +1 + C22n +1 + + C2 n +1 = 220 − 1 n 2 0 Bài 80: Tìm h s c a x11 trong khai tri n ( x 2 + 2) n (3x 2 + 1) n , bi t: C22n − 3C2 nn−1 + + 32 n C2 n = 1024 minh tu n — thpt m ng bi Trang 15 ôn thi ih c . Công th Công thCông th Công th  c n c nc n c nh hh h thc Newton:  thc Newton:  thc Newton:  thc Newton: * Công thức: 0 1 1 2 2 2 1 1 0 ( ) n n k n k k n n n n n n n n n n n. h ạ ng th ứ 1 k + trong khai tri ể n nh ị th ứ c là: 1 k n k k k n T C a b − + = CúNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 2 I/ PHNG PHÁP. KHAI TRI TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI TRONG KHAI TRI N NH THC NEWTON N NH THC NEWTON N NH THC NEWTON N NH THC NEWTON  minh tun — thpt mng bi ôn thi i hc Trang 7