Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Chuyên đề 9 : DẠNG TOÁN LÃI SUẤT ( TĂNG TRƯỞNG ) 1). Lãi ngân hàng : Khi ta có tiền không sử dụng đến , ta có thể gửi ngân hàng để lấy lãi . Có hai cách tính lãi . a). Lãi đơn : Lãi được tính theo tỉ lệ phần trăm trong một khoảng thời gian cố đònh trước. Ví dụ l. Khi gửi 1.000.000 đ (một triệu đồng) vào ngân hàng với lãi suất là 5% /năm thì sau một năm ta nhận được số tiền lãi là : 1.000.000 × 5% = 50.000 (năm mươi ngàn đồng). Số tiền lãi này như nhau được cộng vào hàng năm. Kiểu tính lãi này được gọi là lãi đơn. Thí dụ, sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi là : 1.000.000 + 2 × 50.000 = 1.100.000 đ (một triệu một trăm nghìn đồng). Nói chung, sau n năm, số tiền cả gốc lẫn lãi sẽ là : x n = 1.000.000+ 50.000n đ. Tiền vốn tăng trưởng như vậy là tăng tuyến tính, bởi vì giá trò của x n phụ thuộc một cách tuyến tính theo n . Nếu biểu diễn đồ thò của x n theo n ta sẽ được các điểm trên một đường thẳng. Kiểu tính lãi này không khuyến khích người gửi, bởi vì, khi ta cần rút tiền ra, thí dụ, sau 18 tháng, ta vẫn chỉ được tính lãi một năm đầu và tổng số tiền rút ra chỉ là x n = 1.000.000+ 50.000 = 1.050.000 đ Vì vậy các ngân hàng thường tính lãi suất với chu kì ngắn hơn,thí dụ, tính lãi theo tháng. Nếu lãi suất là 12 5 %/tháng thì cuối tháng đầu chúng ta sẽ có số tiền lãi từ một triệu đồng là 1.000.000 × 12 5 % = 4166 3 2 đ Sau một năm, tổng số tiền lãi vẫn như trước kia là : 4166 3 2 × 12 = 50000 đ Như vậy, với lãi đơn, không có sai khác gì nếu ta nhận lãi theo tròn năm hay theo từng tháng. Tuy nhiên, nếu ta rút tiền ra giữa chừng, thí dụ , sau 18 tháng, thì ta sẽ được số tiền lãi là: 4166 3 2 × 18 = 75000 đ Và nếu ta đóng tài khoản thì số tiền cà gốc lẫn lãi sau 18 tháng sẽ là . 1.000.000 + 75.000 = 1.075.000 đ nhiều hơn so với tính lãi theo năm là 25000 đ . b). Lãi kép : Sau một đơn vò thời gian ( tháng , năm ) , lãi được gộp vào vốn và được tính lãi . Loại lãi này được gọi là lãi kép . Ví dụ : Khi ta gửi 1.000.000 đ với lãi suất 5%/năm thì sau một năm ta vẫn nhận được số tiền lãi 50000 đ và số tiền cả gốc lẫn lãi là 1.050.000đ Toàn bộ số tiền này dược coi là tiền gốc và tổng số tiền cuối năm thứ hai sẽ là 1.050.000 +1.050.000 × 5% = 1.102.500 đ. Gọi x n là số tiền nhận được cuối năm thứ n thì x 0 = 1.000.000 đ, x 1 = 1.000.000 + 1.000.000 × 5% = 1.000.000 ( 1 + 5%) = 1.000.000 × 1,05 = 1.050.000 đ Trang 1 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Hoàn toàn tương tự, sau hai năm ta nhận được số tiền là : x 2 = x l + x 1 × 5% = x 1 (1+ 5%) = x 0 × (l+5%) 2 đ. Sau 3 năm, số tiền sẽ là: x 3 = x 2 + x 2 × 5% = x 2 (1+ 5%) = x 0 × (l+5%) 3 đ. Sau n năm, số tiền nhận được cả gốc lẫn lãi sẽ là: x n+1 = (1+ 5%)x n = l,05 x n Phương trình này chính là phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất . Nghiệm của phương trình này có thể tính trực tiếp như trên hoặc theo công thức là: x n = (1+ 5%) n x 0 c). Tăng trưởng đột biến : Trong mục trước , ta mở tài khoản với với số vốn ban đầu và sau đó để số vốn đó tự sinh lãi . Tuy nhiên , trong thực tế , ta thường hay sử dụng loại " tăng trưởng đột biếân ", tức là ta sẽ gửi vào hoặc rút ra một lượng tiền nào đó . Ví dụ 1: Giả sử rằng vào ngày 1 tháng giêng ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/ tháng . Khi ấy , sang ngày 1 tháng 2 ta có : 1000 + 1000 × 0,5 % = 1005 đô la Sang ngày 1 tháng 3 ta có số tiền là : 1005 + 1005 × 0,5 % = 1010,025 đô la Giả sử đầu tháng 3 ta rút ra 100 đô la , như vậy số tiền mà ta còn lại sẽ là 1010,025 - 100 = 910,025 đô la . Công thức : x n+1 = (1+r%)x n + d n , n = 0,1,2,3, Nếu d n ≡ d Ta có công thức : x n = q n x 0 + ( q n-1 + q n-2 + +q +1) d = q n x 0 + d 1q 1q n − − ( 1 ) Ví dụ 2 : Bạn gửi 1000 đô la được trả lãi kép theo tháng với lãi suất 0,5%/ tháng . Giả sử mỗi tháng ta phải rút ra 50 đô la để trả tiền điện. Hỏi số tiền còn lại sau một năm . Giải : Với lãi suất 0,5 % / tháng ta có : x 1 = 1,005 x 0 - 50 , , x n+1 = 1,005 x n - 50 , n = 0,1,2, Áp dụng công thức ( 1 ) với : r = 0,5 % , n = 12 , x n = 1000 , d = - 50 Ta được : x n =(1+0,5%) 12 × 1000 - 90,4448996932,44450 %5,0 1%)5,01( 12 ≈=× −+ đô la d). Trả lãi nợ : Ví dụ : Giả sử bạn vay 2000 đô la từ ngân hàng để đóng học phí . Phải trả lãi 6 %/ năm và bạn muốn trả hết nợ trong vòng 3 năm . Hỏi mỗi tháng bạn phải trả bao nhiêu tiền . Giải : Gọi m là số tiền hàng tháng mà bạn phải trả và x n là số tiền còn nợ sau n tháng . Như vậy , x 0 = 2000 đô la . Sau một năm số tiền còn lại là : x 1 = 2000 + 2000 × 6 % - 12 = ( 1 + 6% ) 2000 - 12 m Sau n + 1 năm số tiền còn lại là : x n+1 = 1,06 x n - 12 m Trang 2 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Áp dụng công thức ( 1 ) với n = 3 và x 3 = 0 ta được : 0 = 1,06 3 × 2000 - 12m 06,0 106,1 3 − Suy ra : m = ( ) 35,6235163547,62 12106,1 06,0200006,1 3 3 ≈= ×− ×× đô la . e). Lạm phát : Lạm phát xảy ra khi đồng tiền bò mất giá . Tỷ lệ phần trăm tăng lên trong chỉ số giá bán lẻ trong một năm được gọi là tỉ lệ lạm phát của năm. Thí dụ, khi nói tỷ lệ lạm phát là 3%, nghóa là ta cần 1+3 % = 1,03 đô la khi mua một vật trò giá là 1 đô la trước đây một năm . Nếu tỷ lệ lạm phát là hằng số từ năm này sang năm khác , thì cách tính giá trò hàng hóa hoàn toàn giống như trong trường hợp tính lãi kép . Thí dụ , với tỷ lệ lạm phát là 3 % / năm , sau 20 năm ta muốn mua một vật trò giá lúc đều là 1000 đô la thì cần số tiền là : x 20 = 1806111235,18061000 100 3 1 20 ≈=×       + đô la . Ta sử dụng công thức : x n = q n x 0 , n = 1,2, với r = 3 % , x 0 = 1000 và n = 20 năm . Mặc dù tỉ lệ lạm phát này là bình thường , sau một thời gian dài gía trò đồng tiền bò mất giá một cách đáng kể . Thí dụ , với tỉ lệ lạm phát là 3%, hỏi sau bao lâu thì giá trò đồng tiền chỉ còn một nửa ? Để trả lời câu hỏi này ta cần tìm n sao cho x n = 21 100 3 1 n =×       + Bằng máy tính, ta thấy : x 21 = (1 + 3 % ) 23 = 1,97 và x 22 = ( 1 + 3 % ) 24 = 2.03 Vì vậy , sau khoảng 24 năm,ta cần 2 đô la để mua một vật trò giá là đầu là 1 đô la . 2). Một số công thức tính toán lãi suất và một số ví dụ áp dụng . A : tiền vốn nhập lãi . a : tiền gửi vào hàng tháng . r : Lãi suất ( hàng tháng ) . n : thời gian ( tháng ) . * Ví dụ 1 : Một số tiền 58.000 đ được gửi tiết kiệm theo lãi suất 0,7 % tháng . Tính cả vốn lẫn lãi sau 8 tháng . Công thức : Giải : A = a (1+r) n = 58.000  (1,007) 8 = 61.328,69987 . Ấn phím : 58.000 1.007 8 (61.328,69987) . Trang 3 A = a ( 1+ r ) n × ^ = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà * Ví dụ 2 : Muốn 58.000 đ trở thành 70.021 đ . Hỏi phải gởi tiết kiệm trong bao lâu với lãi suất 0,7 % tháng . Công thức : Giải : n = )r1ln( a A ln + = = 27 tháng Ví dụ 3 : Số tiền 58.000 đ gởi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61.329 đồng . Tìm lãi suất / tháng . Công thức : Giải : = 0,007 = 0,7 % Ví dụ 4 : Mỗi tháng gửi tiết kiệm 50.000 đ với lãi suất 0.7 % / tháng . Hỏi sau 10 tháng thì lãnh về được bao nhiêu cả vốn lẫn lãi . Công thức : Giải : A = = 519.659,9 Ví dụ 5 : Muốn có 1.000.000 đ sau 10 tháng thì phải gởi quỹ tiết kiệm mỗi tháng bao nhiêu , nếu lãi suất là 0,6 % . Công thức : Giải : = 96.749,1 BÀI TẬP THỰC HÀNH : Trang 4 n = )r1ln( a A ln + r = 1 a A n − A = r ]1)r1)[(r1(a n −++ )007.1ln( 000.58 021.70 ln ( ) [ ] 1r1)r1( Ar a n −++ = 1 58000 61329 1 a A r 8 n −=−= ( ) 007,0 1007,1007,150000 r ]1)r1)[(r1(a 10n −×× = −++ ( ) ( ) [ ] ( ) 1006,1006,1 006,0000.000.1 1r1r1 Ar a 1010 −× × = −++ = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà 1). Số tiền 58.000 đ được gởi tiết kiệm theo lãi kép ( sau mỗi tháng tiền lãi được nhập thành vốn ) . Sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84.155 đồng . Tính lãi suất /tháng ( tiền lãi của 100 đ trong 1 tháng ) . 2). Dân số một nước là 65 triệu , mức tăng dân số 1 năm là 1,2 % . Tính dân số nước ấy sau 15 năm . 3). Dân số Hà Nội sau hai năm tăng từ 2.000.000 lên 2.048.288 người . Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu ? 4). Một người gửi 6800 đồng ( đôla ) vào ngân hàng với lãi suất hàng năm là 4,3%. Hỏi sau 1 năm , 2 năm , 3 năm , 4 năm , 5 năm , người đó có bao nhiêu tiền , biết rằng hàng năm người đó không rút lãi suất ra . BÀI TẬP 1). (Thi HS giỏi Hà Nội, 1996) Dân số một nước là 65 triệu, mức tăng dân số là l,2% mỗi năm. Tính dân số nước ấy sau 15 năm. 2). (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Dân số nước ta năm 1986 là 55 triệu, mức tăng dân số là 2, 2% mỗi năm. Tính dân số nước ta năm 1996 . 3). ( Thi Khu vực , Bộ GD ĐT , 2004 , Đề dự bò ) Một người gửi tiết kiệm 1000 đô-la vào ngân hàng trong khoảng thời gian 10 năm với lãi suất 5% năm. Hỏi rằng người đó nhận được số tiền nhiều hơn hay ít hơn bao nhiêu nếu ngân hàng trả lãi suất 12 5 % một tháng. 4). (Thi HS giỏi Cần Thơ, 2002) Một người sử dụng xe có giá trò ban đầu là 10 triệu. Sau mỗi năm, giá trò xe giảm 10% so với năm trước đó . a). Tính giá trò của xe sau 5 năm. b). Tính số năm để giá trò của xe nhỏ hơn 3 triệu. 5). a).Bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất đơn cố đònh theo năm.Sau 6 năm số tiền là 1330 đô-la. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu? b). Giả sử ngân hàng tính lãi kép. Hãy tính lãi suất tiết kiệm nếu sau sáu năm bạn vẫn nhận được số tiền là 1330 đô-la. c).Giả sử bạn gửi 1000 đô-la với lãi suất kép là 5%/năm trong vòng sáu năm. Hỏi bạn nhận dược bao nhiêu sau sáu năm. Nếu ngân hàng tính lãi suất theo q (3 tháng một lần tính lãi) thì bạn nhận được bao nhiêu. 6). Bạn quyết dinh gửi ngân hàng dể tăng gấp dôi số tiền 1000 đô-la của mình càng nhanh càng tốt. Ngân hàng đề nghò bạn chọn một trong ba cách gửi tiền: Cách l. Lãi suất 7,5%/ năm ; Cách 2. Lãi suất 7,25%/nửa năm. Cách 3. Lãi suất 7%/tháng. ~ Bạn chọn cách nào ? 7). Bạn được chỉ đònh là người thực hiện di chúc chia tài sản của người bác . Tài sản của ông ta được chia đều cho ba người con . Cổ phia61u trả lãi 7,75 %/năm và số tiền nhận được sau ba năm là 15.011,81 đô la . Hỏi ông bác đã có bao nhiêu Trang 5 Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà tiền lúc mua cổ phiếu . Nếu để sau 10 năm mới thực hiện di chúc thì mỗi người con nhận được chia bao nhiêu . 8). ( Thi HS giỏi TP HCM , 1996 ) Một số tiền 58.000 đ được gửi tiết kiệm theo lãi kép . Sau 25 tháng thì được cả vốn lẫn lãi là 84155 đ . Tính lãi suất / tháng ( tiền lãi của 100 đồng trong 1 tháng ) . 9). ( Thi Khu vực , Bộ GD&ĐT , 2004 ) Dân số xã Hậu Lạc hiện nay là 10000 người . Người ta dự đoán sau 2 năm nữa dân số xã Hậu Lạc là 10404 người . a). Hỏi trung bình mỗi năm dân số xã Hậu lạc tăng bao nhiêu phần trăm ? b). Với tỉ lệ tăng dân số hàng năm như vậy , hỏi sau 10 năm dân số Hậu Lạc là bao nhiêu ? 10). Dân số một nước là 65 triệu , mức tăng dân số là 1,2 % mỗi năm . a). Tính dân số nước ấy sau n năm . b). Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm . c). Dân số nước đó sau n năm sẽ vượt 100 triệu.Tìm số n bé nhất . 11). Dân số thế giới năm 1995 là 5,6 tỷ người . Hỏi với mức tăng trưởng 1,7 % thì số dân trên thế giới năm 2015 sẽ là bao nhiêu ? 12). (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004) Ông J muốn rằng sau 2 năm phải có 20.000.000 đ (hai mươi triệu đồng) để mua xe. Hỏi phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền như nhau hàng tháng là bao nhiêu, biết rằng lãi suất tiết kiệm là 0,075 % tháng. 13). (Thi chọn đội tuyển Thái Nguyên, Lớp 9, 2004) a). Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền là x đồng với lãi suất r% tháng (lãi suất kép). Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi?- Áp dụng bằng số : a = 75.000.000 đ; r = 0,62 ; n = 12 . b). Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất m% tháng (lãi kép). Biết người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi cuối tháng thứ n người ấy nhận dược bao nhiêu tiền cả gốc lẫn lãi? - ÁP dụng bằng số : a = 1.000.000 đ; m = 0,8 ; n = 12 . 14). Bạn gửi vào ngân hàng 2000 đô-la với lãi suất kép 4%/năm trong vòng 6 năm. Vào cuối mỗi năm bạn lấy ra 300 đô la. Lập phương trình sai phân tính số tiền còn lại sau mỗi năm. Hỏi sau sáu năm số tiền còn lại của bạn là bao nhiêu? 15).Ta gửi 1000 đô la với lãi suất 0,5 %/tháng , giả sử trong ba tháng đầu mỗi tháng lấy ra 125 đô-la, 70 đô-la và 95 đô-la. Hỏi số tiền còn lại vào đầu tháng thứ tư là bao nhiêu? Bạn muốn rút mỗi tháng 40 đô-la trong vòng 9 tháng sau đó. Hỏi cuối năm bạn còn bao nhiêu tiền? 16). a). Bạn vay 5000 đô-la để mua xe với lãi suất kép 12%/năm. Bạn sẽ trả tiền hàng quý và trả hết trong vòng 4 năm . Hỏi mỗi quý bạn phải trả bao nhiêu. b). Giả thiết rằng thay vì bạn phải trả lãi kép, bạn phải trả lãi đơn với lãi suất 10,75 % / năm trên toàn bộ tổng số tiền . Bạn có muốn chọn cách trả lãi này không? Trang 6 Giaựo trỡnh Giaỷi toaựn baống maựy tớnh Casio Fx 570 MS Caực chuyeõn ủe Trang 7 . Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx 570 MS Các chuyên đềà Chuyên đề 9 : DẠNG TOÁN LÃI SUẤT ( TĂNG TRƯỞNG ) 1). Lãi ngân hàng : Khi ta có tiền không. c). Tăng trưởng đột biến : Trong mục trước , ta mở tài khoản với với số vốn ban đầu và sau đó để số vốn đó tự sinh lãi . Tuy nhiên , trong thực tế , ta thường hay sử dụng loại " tăng trưởng. Công thức : Giải : A = a (1+r) n = 58.000  (1,007) 8 = 61.328,69987 . Ấn phím : 58.000 1.007 8 (61.328,69987) . Trang 3 A = a ( 1+ r ) n × ^ = Giáo trình Giải toán bằng máy tính Casio Fx