Bất đẳng thức phụ 1. , , 0a b c ≥ 9( )( )( ) 8( )( ) 2 2 2 2 2 2 6 a b b c c a a b c ab bc ca a b a c b c b a c b c a abc + + + ≥ + + + + ⇔ + + + + + ≥ Áp dụng 9 ( )( )( ) 8( ) a b c a b b c c a ab bc ca + + ≤ + + + + + 2. , , 0a b c > ( )( ) 0 2 2 a a b a c a bc cyc − − ≥ + ∑ (chưa giải được) 3. , , 0a b c > 2 ( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2ab bc ca a b b c c a ab c bc a a bc + + = + + + + + 2 2 2 3( ) 3 ( )ab c bc a a bc abc a b c≥ + + = + + CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 1. Cho , , 0a b c > . CMR 3 3 3 2. 3 2 2 2 3 a b c ab bc ca abc a b c + + + + + ≥ + + Cách 1. (SOS) Ta sử dụng hai đẳng thức sau 1 3 3 3 2 2 2 3 ( )[( ) ( ) ( ) ] 2 a b c abc a b c a b b c c a+ + − = + + − + − + − và 1 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ] 2 a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − Suy ra 3 3 3 2 2 2 ( )[( ) ( ) ( ) ] 1 3 6 a b c a b c a b b c c a abc abc + + + + − + − + − = + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 2. 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b b c c a a b c a b c + + − + − + − = − + + + + 3 3 3 1 2 2 2 2. 3 [( ) ( ) ( ) ] 2 2 2 2 2 2 3 6 a b c ab bc ca a b c a b b c c a abc abc a b c a b c   + + + + + + ⇒ + = + − + − + − −  ÷ + + + +   Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ] 0 2 2 2 6 a b c a b b c c a abc a b c   + + − + − + − − ≥  ÷ + +   Ta chỉ cần chứng minh 1 2 2 2 0 ( )( ) 6 2 2 2 6 a b c a b c a b c abc abc a b c + + − ≥ ⇔ + + + + ≥ + + Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì 2 2 2 ( )( ) 9a b c a b c a bc + + + + ≥ Cách 2. (AM-GM, BCS phối hợp các bđt ngược chiều ) 3 3 3 3 3 3 2 ( )( ) 3 2. 3 2 2 2 2 2 2 2 3 3 ( ) a b c ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c abc a b c + + + + + + + + + ≥ + + + + Ta sẽ chứng minh 3 3 3 2 ( )( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 1 ( )( ) 3 ( ) (*) 2 2 2 2 3 ( ) a b c ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c abc a b c + + + + ≥ ⇔ + + + + ≥ + + + + Thật vậy 3 3 3 2 2 2 2 ( )( ) ( ) BCS a b c a b c a b c+ + + + ≥ + + 2 ( ) 3 ( ) AM GM ab bc ca abc a b c − + + ≥ + + 2. (Bài tương tự- KC 51) 3 3 3 9. 12 2 2 2 a b c ab bc ca abc a b c + + + + + ≥ + + Cách 1. (SOS) Ta sử dụng hai đẳng thức sau 1 3 3 3 2 2 2 3 ( )[( ) ( ) ( ) ] 2 a b c abc a b c a b b c c a+ + − = + + − + − + − và 1 2 2 2 2 2 2 [( ) ( ) ( ) ] 2 a b c ab bc ca a b b c c a+ + − − − = − + − + − Suy ra 3 3 3 2 2 2 ( )[( ) ( ) ( ) ] 3 2 a b c a b c a b b c c a abc abc + + + + − + − + − = + 2 2 2 9 ( ) ( ) ( ) 9. 9 . 2 2 2 2 2 2 2 ab bc ca a b b c c a a b c a b c + + − + − + − = − + + + + 3 3 3 9. 2 2 2 9 2 2 2 12 [( ) ( ) ( ) ] 2 2 2 2 2( ) a b c ab bc ca abc a b c a b c a b b c c a abc a b c + + + + ⇒ + + +   + +  ÷ = + − + − + − −  ÷ + +   Ta chỉ cần chứng minh 9 0 2 2 2 2 2( ) a b c abc a b c + + − ≥ + + 2 2 2 ( )( ) 9a b c a b c abc⇔ + + + + ≥ Bất đẳng thức cuối cùng đúng (AM-GM). CÁC ÁP DỤNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI VÀ NGƯỢC DẤU TRONG BĐT CÔSI 1. Sửa đề(Chọn điểm rơi) Cho a, b. c >0 và abc =1 . Tìm GTNN của 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c P b c c a a b = + + + + + 2 2 2 2 2 2( 2 ) 2 2( 2 ) 2 2( 2 ) 4 ( ) ( ) 3 2 9 2 9 2 9 3 a b c b c a c a b P a b c a b c b c c a a b + + + + + + ≥ + + + + + ≥ + + + + + 3 2 2 ( ) 3 2 3 3 P a b c abc ⇒ ≥ + + ≥ = 2.Bài tương tự (Iran Mo 1998) Cho Cho a, b, c, d >0 thỏa abcd= 1. C/m 3 3 3 3 a b c d a b c d+ + + ≥ + + + Giải 3 1 1 3a a+ + ≥ ; … 3 3 3 3 8 3( )a b c d a b c d+ + + + ≥ + + + Ta có 1 4abcd a b c d= ⇒ + + + ≥ 3 3 3 3 3( ) 2.4 3( ) 2( )a b c d a b c d a b c d a b c d⇒ + + + ≥ + + + − ≥ + + + − + + + 3. Cho ba số , , [0,1]a b c ∈ . Tìm GTLN và TGNN của 1 1 1 a b b c c a P c a b + + + = + + + + + Tìm min: P = 0(chọn điểm rơi 0a b c = = = ) Tìm max: 1 1 1 3 ( 1) 1 1 1 P a b c c a b   + = + + + + +  ÷ + + +   4. (ImoShortlist 1998). Cho , , 0x y z > và 1xyz = . CMR 3 3 3 3 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 x y z y z z x x y + + ≥ + + + + + + Ta có Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1x y z= = = 3 1 1 3 (1 )(1 ) 8 8 4 x y z x y z + + + + ≥ + + 5. (ImoShortlist 1990). Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa 1ab bc cd da+ + + = . C/m 3 3 3 3 1 3 a b c d b c d c d a a b d a b c + + + ≥ + + + + + + + + Ta có 3 1 1 18 12 2 a b c d a b c d + + + + ≥ + + , … 3 3 3 3 1 3 3 a b c d a b c d b c d c d a a b d a b c + + + ⇒ + + + ≥ − + + + + + + + + Ta có [ ] 2 2 2 1 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) 4( )( ) 4 ab bc cd da a c b d a b c d a c b d a c b d a c b d = + + + = + +   ⇒ + + + = + + + ≥ + + = + + =   2a b c d ⇒ + + + ≥ 6. (Komal Magazine) . Cho ba số dương a, b, c. C/m: 2 1 1 1 27 ( ) ( ) ( ) 2( ) a a b b b c c c a a b c d + + ≥ + + + + + + Ta có 3 3 3 1 1 1 3 27 ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) 3 .3 ( )( )( ) a a b b b c c c a abc a b b c c a abc a b b c c a + + ≥ = + + + + + + + + + [ ] 3 3 27 27 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 .3 ( )( )( ) a b c a b b c c a abc a b b c c a ≥ + + + + + + + + + + 7. (Iran MO 1998). Cho bốn số thực dương a, b,c ,d thỏa abcd = 1. C/m 3 3 3 3 1 1 1 1 max ,a b c d a b c d a b c d   + + + ≥ + + + + + +     - Ta C/m: 3 3 3 3 a b c d a b c d+ + + ≥ + + + 3 1 1 3a a+ + ≥ , … 3 3 3 3 8 3( )a b c d a b c d⇒ + + + + ≥ + + + (1) Và 4 8 2.4 2( )abcd a b c d= ≤ + + + (2) Từ (1) và (2) suy ra 3 3 3 3 3( ) 8 3( ) 2( )a b c d a b c d a b c d a b c d+ + + ≥ + + + − ≥ + + + − + + + - Ta C/m: 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc bcd dab acd a b c d a b c d a b c d abcd + + + + + + ≥ + + + ⇔ + + + ≥ 3 3 3 3 a b c d abc bcd dab acd⇔ + + + ≥ + + + Ta có 3 3 3 3a b c abc+ + ≥ ; 3 3 3 3b c d bcd+ + ≥ ; 3 3 3 3a b d abd+ + ≥ ; 8. (France Pre MO 2005). Cho ba số dương x, y, z thỏa 2 2 2 3.x y z+ + = C/m 3 xy yz zx z x y + + ≥ Nháp 2 xy yz y z x + ≥ , xy yz zx x y z z x y ⇒ + + ≥ + + , tới đây ta không sử dụng được già thiết 2 2 2 2 ( ) 3( ) 9x y z x y z+ + ≤ + + = , ngược dấu.Từ đây ta thấy cần thiết phải bình phương hai vế bđt cần chứng minh: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 9 3 xy yz zx x y y z z x x y y z z x x y z z x y z x y z x y + + ≥ ⇔ + + + + + ≥ ⇔ + + ≥ Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y z y z x + ≥ ; 2 2 2 2 2 2 2 y z z x z x y + ≥ ; 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x x z y + ≥ 9. (ImoShortlist 1996). Cho các số dương x, y, x thỏa xyz = 1. C/m 5 5 5 5 5 5 1 xy yz zx x xy y y yz z z zx x + + ≤ + + + + + + Ta C/m bất đẳng thức phụ: 5 5 2 2 ( )x y x y x y+ ≥ + ( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT 1 ( ) ( )( ) 2 n m n m n n m m a b a b a b + + + ≥ + + , ta có 5 5 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( )( ) ( ) ( ) (2 ) ( ) ( ) 2 4 4 x y x y x y x y x y xy x y x y x y+ ≥ + + ≥ + + ≥ + = + ) 5 5 5 5 5 5 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) xy yz zx xy yz zx x xy y y yz z z zx x x y x y xy y z y z yz z x z x z x ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + 1 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) xyz xyz xyz xy x y yz y z zx z x xy x y xyz yz y z xyz zx z x xyz = + + = + + + + + + + + + + + + + + z x y x y z x y z x y z = + + + + + + + + 10. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd + + + ≤ + + + + + + + + + + + + Xét bổ đề sau : , ,x y z∀ thì 4 4 4 ( )x y z xyz x y z+ + ≥ + + . C/m bổ đề: Ta có 4 2 2 2 2x y z x yz+ ≥ , Suy ra + + + + + ≥ + + 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( )x y z x y y z z x x yz y zx z yx Ta lại có + + ≤ + + 2 2 2 2 2 2 4 4 4 x y y z z x x y z Cách trình bày điêu luyện: + + ≥ + + + + + ≥ + + = + + 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2( ) 2 ( )x y z x y z x y y z z x x yz y zx z yx xyz x y z Với , , , 0a b c d > , ta có : 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) abc a b c abcd abc a b c d a b c abcd bcd b c d abcd bcd a b c d b c d abcd cda c d a abcd cda a b c d c d a abcd dab d a b abcd dab a b c d d a b abcd ≤ = + + + + + + + + + ≤ = + + + + + + + + + ≤ = + + + + + + + + + ≤ = + + + + + + + + + 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) VT abc a b c d bcd a b c d cda a b c d dab a b c d d a b c a b c d abc bcd cda dab a b c d abcd abcd bcda cdab ≤ + + + + + + + + + + + + + + +     = + + + = + + +  ÷  ÷ + + + + + +     Cộng vế theo vế ta được điều phải chứng minh. Hoặc ≤ = = + + + + + + + + + + + + 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 ( ) ( )abc a b c abcd abc a b c d a b c abcd a b c abcd ≤ = = + + + + + + + + + 1 ( ) ( ) d d abc a b c abcd abcd a b c d a b c d 11. (Việt Nam MO ). Cho n số thực dương thỏa 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n a a a + + = + + + . C/m 1 2 ( 1) n n a a a n≥ − 12. (APMO 1998). Cho x, y, z là các số dương. C/m 3 2( ) 1 1 1 2 x y z x y z y z x xyz   + +    + + + ≥ +  ÷  ÷ ÷      Ta có 3 3 2( ) 2( ) 1 1 1 2 2 2 x y z x y z x y z x y z x y z y z x y z x z x y xyz xyz       + + + +    + + + ≥ + ⇔ + + + + + + ≥ +  ÷  ÷  ÷  ÷ ÷          3 2( )x y z x y z x y z y z x z x y xyz     + + ⇔ + + + + + ≥  ÷  ÷     Ta có 2 2 2 3 x y z x x y y y z z z x x x y y y z z z x y z x y y z z z x x x y xy y z yz z x zx x y               + + = + + + + + + + + = + + + + + + + +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷               3 3 3 3 3 3x y z xyz xyz xyz ≥ + + . 13. (Canada MO 2002). Cho ba số dương x ,y, z . C/m 3 3 3 x y z x y z yz zx zx + + ≥ + + Ta có 3 3 x y z x yz + + ≥ 14. (Macedonia MO 2000). Cho ba số dương a, b, c. C/m 2 2 2 2( )a b c ab ac+ + ≥ + Ta có 2 2 2 2 2 ( ) 2 2( ) 2 2 b c b c a b c a a ab ac + + + + = + ≥ = + 15. Cho ba số dương a, b, c thỏa a + b + c = 3. CMR 2 2 2 3 2 1 1 1 a b c b c a + + ≥ + + + . Ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 a ab ab ab a a a b b b = − ≥ − = − + + và 3ab bc ca+ + ≤ BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1. Chứng minh: 1. 2 2 2a b ab+ ≥ 2. 2 ( ) 4a b ab+ ≥ 3. 2 2 2 2( ) ( )a b a b+ ≥ + 4. 4 4 2 2 2 2( ) ( )a b a b+ ≥ + Bài 2. Chưng minh 1) 2 1 2a a+ ≥ 2) 4 2 4 4a a+ ≥ 3) 1 4 a a+ ≥ 4) 1 2 a b a b+ ≥ + − 5) 3 4 a b c a b c+ + + ≥ + + 6) 2 2 2 3 2( )a b c a b c+ + + ≥ + + 7) 2 2 2 12 4( )a b c a b c+ + + ≥ + + Bài 3. Chứng minh: 1) 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + 2) 2 ( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + + 3) 2 2 2 2 3( ) ( )a b c a b c+ + ≥ + + 4) 2 2 2 2 2 ( )a b c a b c+ + ≥ + 5) 4 4 4 2 2 2 2 2 2 a b c a b b c c a+ + ≥ + + 6) 4 4 2 2 2 2 2 ( )a b c a b c b a+ + ≥ + + 7) 6 6 2 3 3 3 3 ( )a b c a b c a b+ + ≥ + + 8) 6 4 2 3 2 2 3 a b c a b b c ca+ + ≥ + + 9) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a a bc b ca c ab+ + ≥ + + Bài 4. Chứng minh: 1) 3 3 2 2 ( , 0)a b a b ab a b+ ≥ + ≥ 2) 4 4 3 3 a b a b ab+ ≥ + 3) 5 5 3 2 2 3 ( , 0)a b a b a b a b+ ≥ + ≥ 4) 5 5 4 4 ( , 0)a b a b ab a b+ ≥ + ≥ 5) 6 6 5 5 a b a b ab+ ≥ + 6) 6 6 4 2 2 4 a b a b a b+ ≥ + 7) ( , 0, , ) n m n m n m m n a b a b a b a b m n N + + + ≥ + ≥ ∈ Bài 5. Chứng minh: 1) 2 1 0a a+ + > 2) 2 1 0a a− + > 3) 4 1 0a a− + > 4) 4 1 0a a+ + > Bài 6. Chứng minh: 1) 2 2 1 1 3 1 a a a a − + ≥ + + 2) 2 2 1 1 3 1 a a a a + + ≥ − + 3) 2 2 1 3 1 a a a a − + ≤ + + 4) 2 2 1 3 1 a a a a + + ≤ − + Bài 7. Chứng minh: 1) 2 2 0a ab b− + ≥ 2) 2 2 0a ab b+ + ≥ 3) 2 2 2 2 1 3 a ab b a ab b − + ≥ + + 4) 2 2 2 2 1 3 a ab b a ab b + + ≥ − + 5) 3 2 2 2 ( , 0) 3 a a b a b a ab b − ≥ > + + Bài 8. Chứng minh: 1) 2 1 ( 1)x x x≥ − ≥ 2) 2 2 3 ( 3)x x x− ≥ − ≥ 3) 5 6 ( 6)x x x− ≥ − ≥ 4) 2 2 2 2 1 x x + ≥ + Bài 9. Chứng minh: 1) 2 ( )( ) ( ) ( 0)ax by ay bx a b xy ab+ + ≥ + ≥ 2) 4 4 2 2 1 2 ( 1)a b c a ab a c+ + + ≥ − + + 3) 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6a b b c c a abc+ + + + + ≥ 4) 2 2 2 2 2 ( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + + 5) 2 ( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 10. Cho , 1.a b ab > = Chứng minh: 2 2 2 2 a b a b + ≥ − Bài 11. Cho 1.ab > Chứng minh: 2 2 1 1 2 1 1 1 ab a b + ≥ + + + Bài 12. Cho 1.a b+ ≥ Chứng minh: 3 3 1 4 a b+ ≥ Bài 13. Cho 2.a b+ ≥ Chứng minh: 4 4 3 3 a b a b+ ≥ + Bài 14. Cho , , , 0.a b c d > Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d a c b d + ≤ + + + + + Bài 15. Chứng minh: 3 3 3 3 0 a b c abc a b c + + − ≥ + + Baøi 16. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Bài 17. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 3( )a ab b b bc c c ac a a b c+ + + + + + + + ≥ + + Bài 18. Cho 0; .a b c ab≥ > ≥ Chứng minh: 2 2 2 2 . a c b c a c c b + + ≥ + + Bài 19. Cho 1 1 2 , , 0, .a b c a c b > + = Chứng minh: 4 2 2 a b c b a b c b + + + ≥ − − Bài 20. Cho , , 0.a b c ≥ Chứng minh: 2 2 2 3 3 3 a b b c c a a b c + + + + + ≥ + + Bài 21. Cho [ ] , , 0,1 .a b c ∈ Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 2( ) ( ) 3a b c a b b c c a+ + − + + ≤ Bài 22. Cho , , 0, .a b c a b c> = + Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 .a b c< + Bài 23. Cho 0.a b≥ ≥ Chứng minh: 2 2 ( ) ( ) 8 2 8 a b a b a b ab a b − + − ≤ − ≤ Bài 24. Cho , , 0, 1.a b c abc > = Chứng minh: 1) 5 5 2 2 ( )a b a b a b+ ≥ + 2) 5 5 5 5 5 5 1 ab bc ca a b ab b c bc c a ca + + ≤ + + + + + + Bài 25. Cho 0 2,0 3,0 2, 3.c b a a b c≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ + + = Chứng minh: 2 2 2 4 5a b c abc≤ + + + ≤ Bài 26. Cho 2 2 , 0 ( 1) ( 1) 0 x y y y x x >    + + − =   Chứng minh: 2 2 1x y+ < Bài 27. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 abcd a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd + + + ≤ + + + + + + + + + + + + Bài 28. Cho 0 .x y z< ≤ ≤ Chứng minh: 1 1 1 1 1 ( ) ( )y x z x z x z y x z     + + + ≤ + +  ÷  ÷     Bài 29. Cho 1998 1998 1996 1996 , 0a b a b a b >    + = +   Chứng minh: 2 2 2a b+ ≤ BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI (CAUCHY) BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 30. Cho , 0.a b > CMR: 1) 2a b ab+ ≥ 2) 2 ( ) 4a b ab+ ≥ 3) 2 2 2 2( ) ( )a b a b+ ≥ + 4) 2 2 2a b ab+ ≥ 5) 1 1 4 a b ab + ≥ Bài 31. Cho , 0.a b > CMR: 1) 2 a b b a + ≥ 2) ( )(1 ) 4a b ab ab+ + ≥ 3) 1 1 ( ) 4a b a b   + + ≥  ÷   Bài 32. Cho , , 0,a b c > Chứng minh: 1) a b c ab bc ca+ + ≥ + + 2) 1a b ab a b+ + ≥ + + 3) ab bc ca a bc b ca c ab+ + ≥ + + 4) 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + Bài 33. Cho , , 0,a b c > Chứng minh: 1) ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ 2) 1 1 1 8 a b c b c a     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     Bài 34. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1) ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + 2) 1 1 1a b c bc ca ab a b c + + ≥ + + 3) 1 b a ab a b a b + + ≥ + + 4) 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 5) 4 4 4 2 2 2 a b c a b c b c a + + ≥ + + 6) 3 3 3 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + 7) 4 4 4 2 2 2 a b c ab bc ca b c a + + ≥ + + 8) 2 2 2 2 2 2 2( ) a b b c c a a b c c a b + + + + + ≥ + + Bài 35. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1) 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 )a b b c c a abc+ + + + + ≥ + 2) ( ) ( ) ( )ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + ≥ Bài 36. Cho 1.a b+ ≥ Chứng minh: 1) 2 2 1 2 a b+ ≥ 2) 4 4 1 8 a b+ ≥ 3) 8 8 1 128 a b+ ≥ Bài 37. Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh: 1) ( )( )( )abc a b c b c a c a b≥ + − + − + − 2) ( )( )( ) 8 2 abc a b c p a p b p c p + +   − − − ≤ =  ÷   3) 1 1 1 1 1 1 a b c b c a c a b a b c + + ≥ + + + − + − + − 4) 3 a b c a b c b c a c a b + + ≥ + − + − + − BÀI TẬP NÂNG CAO Bài 38. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1) 2 2 2 2 a b c a b c b c a c b a + + + + ≥ + + + 2) 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 3) 2 2 2 3 2 3 2 3 2 5 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 4) 2 2 2 4 3 4 3 4 3 7 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 5) 2 2 2 * ( ) 1 a b c a b c m N mb c mc a ma b m + + + + ≥ ∈ + + + + 6) 2 2 2 * ( , ) a b c a b c m n N mb nc mc na ma nb m n + + + + ≥ ∈ + + + + Bài 39. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1) 3 3 3 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 2) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 3) 3 3 3 2 2 2 2 3 2 3 2 3 5 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 4) 3 3 3 2 2 2 3 4 3 4 3 4 7 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 5) 3 3 3 2 2 2 5 6 5 6 5 6 11 a b c a b c b c c a a b + + + + ≥ + + + 6) 3 3 3 2 2 2 * ( ) 1 a b c a b c n N nb c nc a na b n + + + + ≥ ∈ + + + + 7) 3 3 3 2 2 2 * ( , ) a b c a b c n m N nb mc nc ma na mb n m + + + + ≥ ∈ + + + + Bài 40. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1) 3 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + + 2) Cho abc = 1. Chứng minh: i) 2 2 2 3 2 a b c b c c a b a + + ≥ + + + ii) 3 3 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )a b c b a c c a b + + + + + iii) 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c b c a + + ≥ + + + Bài 41. Chứng minh: 1) Nếu 0a b> > thì 1 2 ( ) a a b + > − 2) Nếu 1a b> > thì 1 2 ( )( 1) a a b b + ≥ − + 3) Nếu 0a b> ≥ thì 2 4 3 ( )( 1) a a b b + ≥ − + 4) Nếu 0a b c> > > thì 1 4 ( )( ) a c a b b c + ≥ − − 5) Nếu 1a > thì 3 27 5 2 2( 1)( 1) a a a + ≥ − + 6) Nếu a b c> > thì 1 2 4 ( )( )( ) a a b b c b c + ≥ − − + Bài 42. Chứng minh: 1)Nếu , , 0a b c > và 1 1 1 2 1 1 1a b c + + ≥ + + + thì 1 8 abc ≤ 2) Nếu , , , 0a b c d > và 1 1 1 1 3 1 1 1 1a b c d + + + ≥ + + + + thì 1 81 abcd ≤ 3) Nếu 1 2 , , , 0, n a a a ≥ và 1 2 1 1 1 1 1 1 1 n n a a a + + + = − + + + thì 1 2 2 1 ( 1) n a a a n ≤ − 4) Nếu 1 2 , , , 0 n a a a > và 1 2 1 n a a a+ + + = thì 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 ( 1) n n n a a a      − − − ≥ −  ÷  ÷ ÷  ÷      5) Nếu 1 2 , , , 0 n a a a > và 1 2 1 1 1 1 2007 2007 2007 2007 n a a a + + + = + + + thì 1 2 2007 1 n n a a a n ≥ − HD: 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)( 1) b c bc a b c a b c b c b c b c   + + ≥ ⇒ ≥ − + = − + − = + ≥  ÷ + + + + + + + + + + + +   Tương tự 1 2 1 ( 1)( 1) ca b c a ≥ + + + 1 2 1 ( 1)( 1) ab c a b ≥ + + + Suy ra 1 8 8 1 ( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) abc abc a b c a b c ≥ ⇒ ≤ + + + + + + Bài 43. Cho 3 3 3 , , 0, 3.a b c a b c> + + = Chứng minh: 1) 3a b c+ + ≤ 2) 2 2 2 3a b c+ + ≤ 3) 4 4 4 3a b c+ + ≥ 4) 5 5 5 3a b c+ + ≥ 5) 6 6 6 3a b c+ + ≥ 6) 7 7 7 3a b c+ + ≥ 7) 8 8 8 3a b c+ + ≥ 8) 3 ( 3) n n n a b c n+ + ≥ ≥ 9) 1 1 1 ( ) n n n n n n a b c a b c n N + + + + + ≥ + + ∈ 10) ( ) m m m n n n a b c a b c m n+ + ≥ + + ≥ Bài 44. Cho , , 0, 1.a b c abc > = Chứng minh: 1) 2 2 2 a b c a b c+ + ≥ + + 2) 4 4 4 3 3 3 a b c a b c+ + ≥ + + 3) 1 1 1 ( ) n n n n n n a b c a b c n N+ + ≥ + + ∈ 4) ( , , ) m m m n n n n n n m m m a b c a b c m n m n N+ + ≥ + + ≥ ∈ 5) ( , , ) m m m n n n a b c a b c m n m n N+ + ≥ + + ≥ ∈ Bài 45. Cho , , 0.x y z > Chứng minh: 1 1 1 ( 1) 6 x y z xyz x y z x y z y z x   + + + + + + ≥ + + +  ÷   Bài 46. Cho 3 , , 0, . 4 a b c a b c> + + = Chứng minh: 3 3 3 3 3 3 3a b b c c a+ + + + + ≤ Bài 47. Cho , , 0.a b c > Chứng minh: 1 1 n n n n a b c n n b c a c b a n + + > − + + + − Bài 48. Cho 3 3 3 1. x y z− − − + + = Chứng minh: 9 9 9 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z y x z z y x + + + + ≥ + + + Bài 49. Cho 0.x y z+ + = Chứng minh: 3 4 3 4 3 4 6. x y z + + + + + ≥ Bài 50. Cho , , , 0a b c d > và 1 1 1 1 1 . 6 6 6 6 2a b c d + + + ≥ + + + + Bài 51. Chứng minh: 1) Nếu [ ] , 0,1a b∈ thì: (1 )(1 ) 1. 1 1 a b a b b a + + − − ≤ + + 2) Nếu [ ] , 0,2a b∈ thì: 8 2 (2 )(2 ).a b a b ≥ + − − + 3) Nếu [ ] , , 0,1a b c ∈ thì: (1 )(1 )(1 ) 1. 1 1 1 a b c a b c b c c a a b + + + − − − ≤ + + + + + + 4) Nếu [ ] , , 0,2a b c ∈ th ì: (2 )(2 )(2 ) 1. 2 2 2 8 a b c a b c b c c a a b − − − + + + ≤ + + + + + + Bài 52. Chứng minh: 1) Nếu 2 2 1 , 0, 2 a b a b> + = thì 1 1 1 6. 1 2ab a b + + ≥ − 2) Nếu , 0, 1a b a b > + = thì 2 2 1 1 1 6. a b a b + + ≥ + 3) Nếu 1 , 0, 2 a b a b> + = thì 2 2 1 10 10 48. a b a b + + ≥ + 4) Nếu 1a b c+ + = thì 2 2 2 1 1 1 1 30. ab bc ca a b c + + + ≥ + + Bài 53. Chứng minh: 1) Nếu 2 2 2 , , 0, 1a b c a b c> + + = thì 2 2 2 2 2 2 3 3 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + 2) Nếu 3 3 3 , , 0, 1a b c a b c> + + = thì 3 3 3 2 2 2 2 1 1 1 a b c a b c + + > − − − 3) Nếu , , 0a b c > th ì a b c a b c a b b c c a b c c a a b + + < + + + + + + + + [...]... Bài 57.Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 2 + 3 abc  b  c  a  Bài 58 Cho a, b, c > 0 Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 + + ≥ + + a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 1) BẤT ĐẲNG THỨC B.C.S BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 59 Chứng minh: 16 1) Nếu 2 x + 3 y = 4 thì 2 x 2 + 3 y 2 ≥ 2) Nếu 3) Nếu 4) Nếu 5 4 2 + 2 y = 2 thì x + y ≥ 5 6 x + y = 5 thì 9 x 2 + y 2 ≥ 5 49 3x + 4 y = 7 thì x 2 . b c a b c a b c abc abc a b c + + − ≥ ⇔ + + + + ≥ + + Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì 2 2 2 ( )( ) 9a b c a b c a bc + + + + ≥ Cách 2. (AM-GM, BCS phối hợp các bđt ngược chiều ) 3 3 3 3 3 3 2 (. 2 2 2 2( ) a b c abc a b c + + − ≥ + + 2 2 2 ( )( ) 9a b c a b c abc⇔ + + + + ≥ Bất đẳng thức cuối cùng đúng (AM-GM). CÁC ÁP DỤNG KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI VÀ NGƯỢC DẤU TRONG BĐT CÔSI 1. Sửa đề(Chọn. zx x + + ≤ + + + + + + Ta C/m bất đẳng thức phụ: 5 5 2 2 ( )x y x y x y+ ≥ + ( C/m Bđt phụ: Áp dụng BĐT 1 ( ) ( )( ) 2 n m n m n n m m a b a b a b + + + ≥ + + , ta có 5 5 4 4 2 2 2 2 2 2 1 1