TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - TIN Bài dịch Lớp Toán VB2-K2 (nhóm 2) Nguyễn Trâm Anh Nhóm 2 Trang 124 Họ và tên: Nguyễn Trâm Anh Dịch từ trang 124 đến 133 trang Số thứ tự trong bảng phân công: Bài dịch a a a a Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 125 Họ và tên: Đình Thị Hải Yến Dịch từ trang 134 đến 143 trang Bài dịch: (2) G’ là đặc trưng của G Vì bất kỳ một ánh xạ f tự đẳng cấu nào từ một hoán tử tới một hoán tử :       , , f x y f x f y  (3) G là Aben khi và chỉ khi G’ tầm thường. (4) G/G’ là Aben. Do đó tạo thành thương số của G bởi G’, đôi khi còn được gọi là sự điều chỉnh bởi G’, cũng có thể hiểu như “nhóm giao hoán Aben”. Và điều này làm ảnh hưởng tới tất cả biến x và y bởi sự xác định của G’. (5) Nếu N  G, thì G/N là Aben khi và chỉ khi ' G N  . Điều chứng minh (4) với G’ thay thế bới N cho thấy G/N là phần tử giao hoán nếu tất cả các hoán tử thuộc về N, đó là, nếu G’<=N. Quá trình lấy đi các hoán tử có thể được lặp đi lặp lại:         ' 0 1 2 ' ' , , G G G G G G    Và thông thường thì:       ' 1 , 0,1,2 i i G G i    Từ khi   1 i G  là đặc trưng trong   i G , 1 phép quy nạp đối số thể hiện rằng mỗi   i G là đặc trưng, do đó bình thường, trong G. Nhóm G được gọi là giải được nếu   1 r G  cho vài r. Sau đó, chúng ta có nguyên 1 dãy số:       1 0 1 r r G G G G       gọi là dãy số được suy ra của G. Mỗi nhóm Aben là giải được, bởi (3). Chú ý là một nhóm mà vừa đơn giản, vừa giải được phải là sự sắp xếp của các nguyên tố tuần hoàn. Đối với nhóm con pháp tuyến ' G thì không đáng kể; Nếu nó là G, thì 1 loạt chuỗi sẽ không đạt tới giá trị 1. Bởi (3), G là nhóm giao hoán, và bởi (5.5.1). G phải là sự sắp xếp của các nguyên tố tuần hoàn. Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 126 Một nhóm G không là nhóm giao hoán Aben (như An,n ≥5) thì không thể giải được. Cứ cho là G không phải là nhóm giao hoán Aben, thì G không quan trọng. Vì vậy, G’ =G, như trong đoạn trước, loạt chuỗi gốc sẽ không đạt tới 1. Có rất nhiều cách tương đương dùng để miêu tả giải được. 5.7.3 Mệnh đề: Những điều kiện sau đây tương đương với:. (i) G là nhóm giải được. (ii) G có một dãy chuẩn tắc với những tính chất của nhóm Aben. (iii) G có một dãy con chuẩn tắc với những tính chất của nhóm Aben. Chứng minh: bởi vì (i) bao hàm cả (ii) ở điều (4) và bao hàm cả (iii) bởi sự định nghĩa của dãy chuẩn tắc và dãy con chuẩn tắc, vấn đề chỉ là (iii) kéo theo (i). Giả sử G là dãy con chuẩn tắc:       1 0 1 r r G G G G       với những tính chất của nhóm Aben. Từ đó 1 G / G là nhóm Aben, chúng ta có ’ 1 G G  từ (5), và một phép quy nạp đối số sau đó cho thấy rằng (i ) i G G  với mọi i. [Bước quy nạp là   ’ (i 1) (i) ' 1 G G G G i i      khi đó i i 1 G / G  là nhóm Aben. Do đó   r r G G 1   . Kết quả tiếp theo cho một số tính chất rất hữu ích của các nhóm khả giải được. 5.7.4 Tính chất Nhóm con và nhóm thương số của nhóm giải được là nhóm giải được. Ngược lại, nếu N là nhóm con chuẩn tắc của G và cả N và G/N là nhóm giải được, thì G cũng làm nhóm giải được. Chứng minh: Nếu H là nhóm con của nhóm giải được G, thì H là nhóm giải dc bởi vì     i i H G  với mọi i. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm giải được G, quan sát thấy hoán tử G/N trông giống như 1 1 xyx y N   , để   ’ ’ G / N G N / N  ( Không ’ G / N , từ đó N không cần thiết là một nhóm con của ’ G ). Phép quy nạp,   (i) (i) G / N G N / N  Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 127 và từ đó N/N là tầm thường, G/N là nhóm giải được. Ngược lại, giả sử chúng ta có 1 dãy con chuẩn tắc từ: N 0 =1 đến N r =N và 1 dãy con chuẩn tắc từ   0 0 G / N 1 i.e.,G N   đến s G / N G / N  (i.e., s G G  ) với tính chất của nhóm Aben trong cả 2 trường hợp. Sau đó chúng ta cắt và nối các loạt dãy của N với loạt dãy của G. Dãy kết quả thu được là nhóm con chuẩn tắc tương ứng định lý, và các yếu tố còn lại của nhóm Aben bới định lý của đẳng cấu thứ 3. 5.7.5 Hệ quả: Nếu G là một dãy hợp thành, thường thì nếu G là hữu hạn, thì G là nhóm giải được khi và chỉ khi nếu dãy hợp thành của G là nhóm có cấp nguyên tố. Chứng minh: Lấy i 1 i G / G  là yếu tố hợp thành của nhóm giải được G. Bởi (5.7.4), G i+1 là nhóm giải được, và 1 lần nữa bởi(5.7.4) G i+1 /G i là nhóm giải được. Nhưng yếu tố hợp thành phải là nhóm đơn, vì vậy i 1 i G / G  là nhóm có cấp nguyên tố, theo như quan sát ở (5.7.2). Ngược lại, nếu yếu tố hợp thành của G là nhóm có cấp nguyên tố thì dãy hợp thành là dãy con chuẩn tắc với tính chất của nhóm Aben. Nhóm lũy linh phát sinh từ một dãy chuẩn tắc khác nhau. Chúng ta sẽ nhận được gián tiếp được một khái niệm và một cách viết ngắn gọn. 5.7.6 Mệnh đề Nếu G là nhóm hữu hạn, thì những điều kiện sau là tương đương, và định nghĩa nhóm lũy linh. [ Lũy linh của một nhóm tùy ý sẽ được định nghĩa trong (5.7.8)] (a) G là tích trực tiếp của các nhóm con Sylow của nó. (b) Mọi nhóm con Sylow của G đều là chuẩn tắc trong G Chứng minh: (a) kéo theo (b): Bởi (1.5.3), thừa số của một tích số trực tiếp là nhóm con chuẩn tắc. (b) kéo theo (a): bởi (5.5.4), ở đây có duy nhất một p i nhóm con Sylow của i H cho mỗi ước nguyên tố p i của |G|, i = 1,…,k. Dựa vào áp dụng thành công của (5.2.4) , chúng ta có 1 k 1 k H ···H H H   cái mà G định nghĩa bởi p nhóm con Sylow. Khi tất cả là hữu hạn 1 k G H H   . Hơn nữa, mỗi H i  j i j H   là không đáng kể, bởi vì bậc của H i là lũy thừa của các nguyên tố phân biệt. 5.7.7 Hệ quả Mỗi nhóm hữu hạn Aben và p – nhóm hữu hạn là lũy linh. Chứng minh: Một nhóm hữu hạn Aben phải đáp ứng điều kiện (b) (5.7.6). nếu P là một nhóm hữu hạn, thì P chỉ có một nhóm con Sylow, P chính nó, vì vậy các điều kiện của (5.7.6) là thỏa mãn. ♣ Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 128 Bây giờ chúng ta nối các thảo luận này với các dãy chuẩn tắc. Giả sử chúng ta đang thử xây dựng một dãy chuẩn tắc đối với các nhóm G, bắt đầu với G 0 = 1. Chúng ta lấy G 1 làm Z(G), tâm của G; chúng ta có G1  G bởi (5.1.3), Ví dụ 3. Chúng ta định nghĩa G 2 như định lý tương ứng:   2 1 1 G / G Z G / G  Và từ đó   1 1 Z G / G G / G chúng ta có 2 G G  . Một cách tổng quát, chúng ta lấy   i i 1 i 1 G / G Z G /G    , Và bằng phép quy nạp. Chúng ta có i G G  . Sự khó khăn ở đây chính là không có đảm bảo rằng i G sẽ đạt đến G. Tuy nhiên, chúng ta sẽ thành công nếu G là một p-nhóm hữu hạn. Điểm mấu chốt là một nhóm hữu hạn không đáng kể có một tâm không đáng kể, bởi (5.5.3). Vì vậy, bằng phép quy nạp, i i 1 G / G  là không đáng kể với mỗi i, vì vậy i 1 i G < G  . Từ đó G là hữu hạn, nó phải đạt đến cuối cùng. 5.7.8 Định nghĩa và bình luận. Một chuỗi trung tâm của G là 1 chuỗi chuẩn tắc 0 1 1 r G G G G     như   1 1 / / i i i G G Z G G    cho mỗi 1, , . i r  ( chuỗi mà chỉ được miêu tả là trong trường hợp đặc biệt thì được gọi là chuỗi trung tâm) Một nhóm tùy ý G được cho là lũy linh nếu nó có một chuỗi trung tâm. Vì vậy, 1 p_nhóm hữu hạn là lũy linh và trong trường hợp thông thường, mỗi p-nhóm con Sylow là lũy linh. Bây giờ lấy tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm lũy linh là nhóm lũy linh. ( Nếu G ij là 1 số hạng i đầu tiên của dãy tâm của thừa số j đầu tiên H j , với G ij = G nếu dãy này là dãy cuối của G thì ij j G  sẽ là số hạng đầu tiên của dãy cho cái tích j j H  . Vì vậy, nhóm hữu hạn thỏa mãn với điều kiện của (5.7.6) là chuỗi trung tâm. Ngược lại, nó có thể đưa ra rằng nhóm hữu hạn có chuỗi trung tâm thõa mãn (5.7.6). Vì vậy 2 định nghĩa của nhóm lũy linh xác nhận cho nhóm hữu hạn. Chú ý: Một nhóm lũy linh là nhóm giải được. Nếu   1 1 / / i i i G G Z G G    , thì một phần tử thuộc 1 / i i G G  giao hoán với nhau kể từ khi chúng trao đổi với tất cả mọi phần tử trong 1 / i G G  , vì vậy 1 / i i G G  là nhóm Aben. Kết quả là p_nhóm hũu hạn là nhóm giải được. Một số bài tập ứng dụng trong phần 5.7 1. Cho 1 ví dụ về nhóm giải được không là nhóm Aben. 2. Chỉ ra rằng nhóm giải được có dãy hợp thành phải là dãy hữu hạn. Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 129 3. Chứng minh trực tiếp ( không được sử dụng lũy linh) p_nhóm hữu hạn là nhóm giải được. 4. Cho 1 ví dụ về nhóm giải được nó không là nhóm lũy linh. 5. Chỉ ra rằng nếu 5 n  thì S n là không giải được. 6. Nếu P là p_nhóm hữu hạn đơn, chỉ ra rằng P có cấp p. 7. Lấy P là p_nhóm hữu hạn không tầm thường. Chỉ ra rằng P có 1 nhóm con chuẩn tắc N mà chỉ số   : P N là p. 8. Lấy G là nhóm hữu hạn bậc r p m , với r là số nguyên dương và p không chia hết m. Chỉ ra rằng với bất kỳ k=1,2,…,r nào thì G có bậc của nhóm con là p k . 9. Cho một ví dụ: G là nhóm với N là nhóm con chuẩn tắc như N và G/N là nhóm Aben, nhưng G không là nhóm Aben. ( nếu “Aben” được thay thế bới “giải được” thì sẽ không có ví dụ nào có thể xảy ra với (5.7.4). 10. Nếu G là nhóm giải được, suy ra độ dài của nó, dl(G), là số nguyên r không âm nhỏ nhất nếu như G (r) =1. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm giải được G, có thể nói được gì về sự liên quan giữa dl(G), dl(N) và dl(G/N) ? 5.8 Phần tử sinh và quan hệ Trong (1.2.4), chúng ta đã đưa ra một mô tả chính thức của nhóm nhị diện thông qua phần tử sinh và các mối quan hệ, và bây giờ chúng ta thử hoàn thành các khái niệm một chính xác hơn. 5.8.1 Định nghĩa và bình luận Các nhóm tự do G trên tập hợp S ( hay nhóm tự do với cơ sở S) bao gồm tất cả từ trên S, đó là tất cả các dãy hữu hạn 1 1 , 0,1, x x n  , khi đó với mỗi x i là 1 phân tử của S hoặc nghịch đảo của một phân tử của S. Chúng ta chú ý trường hợp n=0 như là phần tử rỗng của  . Nhóm phép toán là ghéo các đối tượng để ràng buộc rằng nếu s và s -1 xảy ra trong trật tự, nó có thể bị giản ước. Từ rỗng là 1 đồng nhất thức, và ngược lại chúng có thể tính theo cách hợp lý nhất, ví dụ như:   1 1 1 1 stu u t s      . Chúng ta nói G tự do trên S. Giả sử rằng G tự do trên S, và ta cố gắng xây dựng 1 đồng cấu f từ G đến 1 nhóm H tùy ý. Điểm mấu chốt ở đây đó chính là f hoàn toàn được xác định bởi chính cái giá trị của chính nó trên S. Nếu f(s 1 ) = a, f(s 2 ) = b, f(s 3 ) = c thì         1 1 1 1 2 3 1 2 3 f s s s f s f s f s ab c      . 5.8.2 Định lý Nếu G là tự do trên S và g là một hàm tùy ý từ S tới một nhóm H, thì có một Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 130 đồng cấu duy nhất : f G H  như là f g S   Chứng minh: diễn giải trên là một minh chứng tốt của một ví dụ cụ thể với tất cả các đặc điểm của trường hợp tổng quát. Các phân tích cho thấy cả sự tồn tại và tính duy nhất của f. Một chứng minh hình thức phải chứng minh rằng tất cả các khía cạnh của trường hợp thông thường được bao hàm. Ví dụ nếu     1 1 1 1 2 3 1 2 4 4 3 à v= , ì u s s s v s s s s s th f u f v      để sự giản ước 1 4 4 s s  trong trường hợp này là rất khó. Tính toán cụ thể của loại này là khá thuyết phục và chúng ta sẽ không theo đuổi các chi tiết hình thức. ( thấy ở ví dụ trang 343 - 345). 5.8.3 Hệ quả Bất kỳ nhóm H nào cũng là ảnh đồng cấu của 1 nhóm tự do. Chứng minh: Cho S là 1 tập hợp các phần tử sinh từ H (nếu cần thiết, lấy S=H), và cho G là tự do trên S, xác định   g s s  với mọi s S  nếu f mở rộng duy nhất của g tới G, thì khi S sinh ra từ H, f là toàn cấu. Trở lại với (1.2.4) chúng ta mô tả 1 nhóm H sử dụng phần tử sinh R và F, và quan hệ: 2 1 , , n R I F I RF FR     . Quan hệ cuối cùng là tương đương RFRF I  , từ đó 2 F I  . Từ 2 , à RFRF n R F v thì gọi là relators. Và sự chi tiết của phần tử sinh và quan hệ gọi là sự trình bày. Chúng ta sử dụng kí hiệu: 2 , | , , n H R F R R RFRF  Hoặc 2 1 , | , , n H R F R I F I RF FR      Chúng ta phải nói chính xác những gì nó có nghĩa là để xác định một nhóm bởi phần tử sinh và các quan hệ, và cho thấy trình bày ở trên mang lại một nhóm đẳng cấu với nhóm nhị diện D 2n . Chúng ta bắt đầu với các nhóm tự do trên {R, F} và đặt tất cả quan hệ bằng đồng nhất thức. Nó là tự nhiên để thực hiện bởi các nhóm tạo ra các quan hệ, nhưng có một kỹ thuật khó ; phân nhóm này không nhất thiết phải là chuẩn tắc. 5.8.4 Định nghĩa Lấy G là tự do trên các thiết lập S, và để cho K là một tập hợp con của G. Chúng ta xác định nhóm | S K như | G K , nơi K là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất của G bao hàm K. Thật không may, đó là một định lý của logic toán học là không có thuật toán khi đưa ra một bài trình bày, bạn sẽ thấy cấp của nhóm. Trong thực tế, không có thuật toán để xác định xem một từ nhất định của | S K trùng với đồng nhất thức. Luận lý học nói rằng vấn đề từ cho các nhóm là nan giải. Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 131 Nhưng mặc dù không có giải pháp chung, có những trường hợp cụ thể mà có thể được phân tích, và kết quả sau đây là rất hữu ích. Cho | H S K  là một sự biểu diễn, và cho L là một nhóm được tạo ra bởi các từ trong S. Nếu L đáp ứng tất cả các hệ thức của K, sau đó có một đẳng cấu : H L   . Do đó, | H | ≥ | L |. Chứng minh: Lấy G là nhóm tự do trên S, và lấy i là một ánh xạ đồng nhất từ S, coi như là một tập hợp con của G đến S, coi như là một tập hợp con của L. Bởi (5.8.2), i có một phần mở rộng duy nhất cho một đồng cấu f của G vào L, và trong thực tế f là một đồng cấu vì S sinh ra L. Bây giờ với bất kỳ ánh xạ f nào từ G để cùng một từ trong L, và kể từ khi L đáp ứng tất cả các mối quan hệ, chúng ta có ker K f  . Nhưng hạt nhân của f là một nhóm con chuẩn tắc của G, do đó ker K f  . Các yếu tố định lý cung cấp một toàn cấu: : / G K L   5.8.6 Làm rõ một biểu diễn Nếu L là một nhóm hữu hạn được tạo ra bởi những từ của S, sau đó trong thực tế, các bước quan trọng trong xác định L với / H S K  là một chứng minh cho thấy | H | ≤ | L |. Nếu chúng ta có thể thực hiện điều này, sau đó bằng (5.8.5), | H | = | L |. Trong trường hợp này, α là một ánh xạ toàn ánh của các tập hữu hạn cùng kích thước, vì vậy nên α là đơn ánh là tốt, do đó là một đẳng cấu. Đối với nhóm nhị diện chúng ta có 2 , | , , n H R F R R RFRF  và 2 n L D  .Trong (1.2.4) chúng ta chứng tỏ mỗi từ của H có thể là biểu thị như i j R F với 0 1 à 0 1 i n v j      . Trước đó 2 2 n H n D L    . Vì vậy sự biểu diễn H là mô tả chính đáng cho nhóm nhị diện. Một số bài tập cho mục 5.8 1. Chỉ ra một biểu diễn của nhóm xyclic có bậc n là | n a a 2. Chỉ ra nhóm bộ bốn ( thấy (trong ví dụ 4 (2.1.3)) có một biểu diễn là 4 2 2 1 , | 1, , a b a b a ab ba    3. Cho 3 2 1 , | 1, 1, H a b a b ba a b     là một biểu diễn của 3 S 4. Biểu diễn duy nhất của một nhóm là gì? Trong phần 5 – 11, chúng ta đã ví dụ các cách kết hợp khác nhau từ các nhóm con, cái mà mở rộng về khái niệm tích trực tiếp và H là một nhóm con tùy ý. Chúng ta nói rằng nửa tích trực tiếp của N Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 132 bởi H nếu G=NH và 1 N H   . (Nếu H G  , chúng ta có tích trực tiếp). Để ký hiệu thuận tiện, ghi bằng chữ n, có thể với chỉ số dưới, sẽ luôn luôn chỉ ra một phần tử của N và giống như h luôn luôn thuộc về H. Ở vấn đề 5 và 6 ta giả sử G là tích số một nửa của N bời H. 5. Nếu 1 1 2 2 n h n h  chỉ ra rằng 1 2 1 2 à n n v h h   6. Nếu : i N G  là một bao hàm thức và : G H   là phép chiếu     nh h   thì dãy 1 1 i N G H      là chính xác. Chú ý rằng  được xác định rỡ bởi vấn đề 5 và rõ ràng rằng  là đồng cấu. Cho thấy rằng dãy chia bên phải, ở đây là một đồng cấu : H G   như là 1     7. Ngược lại, giả sử rằng các trình tự chính xác trên dãy chia bên phải. Từ đó ψ là đơn ánh, chúng ta có thể bất kể H ( và N là tốt) như là nhóm con của G, với ψ và i như là các ánh xạ bao hàm. Cho thấy G là nửa tích trực tiếp của N bởi H. 8. Lấy N và H là các nhóm tùy ý, lấy f là một ánh xạ đồng cấu của H trong Aut N, một nhóm tự đẳng cấu của N, xác định một phép nhân trên G N H   bởi           1 1 2 2 1 1 2 1 2 , , , n h n h n f h n h h  [ với     1 2 f h n là giá trị đồng cấu của   1 f h tại các điểm n 2 ]. Tính toán trực tiếp cho thấy G là nhóm với (1,1) tùy ý và ngược lại cho bởi         1 1 1 1 , , n h f h n h      . Cho thấy G nửa tích của   1 N  bởi   1 H  . 9. Cho thấy rằng mỗi tích số trực tiếp một nửa tăng từ phép dựng hình của vấn đề 8. 10. Chỉ ra một ví dụ rằng có khả năng cho một dãy ngắn chính xác của nhóm để chia về phí bên phải chứ không phải bên trái. [ Nếu : h G N  là một xạ ảnh tách trái chính xác trong dãy của vấn đề 6, sau đó h và  có thể được sử dụng để xác định G với các tích số trực tiếp của N và H. Vì vậy, sự chia tách bên trái ngụ ý một sự chia tách bên phải, nhưng không giống như các kết quả cho các kiểu mẫu trong (4.7.4) , không ngược lại. 11. Cho một ví dụ về một chuỗi chính xác ngắn của các nhóm mà không chia bên phải. 12. Lấy N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G hữu hạn, và lấy P là p_nhóm con Sylow của N. Nếu   G N P là tầm thường của P trong G, chỉ ra rằng       G G G N P N NN P   bởi (1.4.3) [ Nếu g G  , nhìn thấy quan hệ giữa P và gPg -1 .] [...]... nếu t là đại số trên F (T), các trường tạo ra bởi T trên F (xem Phần 3.1, bài toán 1) Chúng ta nói rằng T mở rộng ra E đại số trên F nếu mỗi t trong E phụ thuộc đại số trên T trên F, có nghĩa là, E là một mở rộng đại số của F (T) Một cơ sở siêu việt cho E / F là một tập hợp con của E đó là độc lập đại số hơn F và mở rộng E đại số trên F (Từ bây giờ, chúng ta sẽ thường xuyên coi F cố định và giảm thấp... đại số trên F Độc lập đại số của một tập vô hạn có nghĩa là độc lập đại số của tất cả các tập con hữu hạn Bây giờ, nếu một bộ T kéo dài một không gian vector V, sau đó mỗi x trong V là sự kết hợp tuyến tính của các yếu tố của T, do đó x phụ thuộc vào T một cách tuyến tính Thay thế "tuyến tính" của "đại số" , chúng tôi nói rằng yếu tố t ∈ E phụ thuộc đại số trên T trên F nếu t là đại số trên F (T), các... đại số Một dấu hiệu cho thấy cách hình thức hoá sự khai triển được đưa cho trong dãy các bài tập Xem thêm Morandi, "Các trường và Lý thuyết Galois ", các trang 173-182 Cho E / F là một mở rộng Phần tử t1,…, tn ∈ E là phụ thuộc đại số trên F ( hay là tập hợp{ t1,…, tn}là phụ thuộc đại số trên F ) nếu có f đa thức khác không ∈ F[ X1,…, Xn ] sao cho f ( t1,…, tn ) = 0 ; cách khác ti là độc lập đại số trên... đại số và khoảng cách bằng mở rộng đại số Chúng ta sẽ nhận thấy là mỗi mở rộng siêu việt có cơ sở siêu việt, và bất kỳ hai tính siêu việt cơ sở cho mở rộng đã cho có cùng số các yếu tố trong cùng một tập hợp Toàn bộ số hạng này sẽ được định nghĩa ngắn gọn Trình bày trong văn bản sẽ hoàn toàn không hình thức ; tôi tin rằng kiểu này tốt nhất nhấn mạnh mối quan hệ bền vững giữa tuyến tính và độc lập đại. .. hình thành các giao điểm của A và B Nếu (c, 0) (tương đương (0, c)) là một điểm có thể dựng, chúng ta gọi là số có thể dựng Nó theo từ (ii) và (iii) mà (a, b) là một điểm có thể dựng khi và chỉ khi a và b là số có thể dựng Nó có thể nhận thấy mỗi số hữu tỷ có thể xây dựng, và các số có thể xây dựng tạo thành trường Bây giờ trong (v), giao của A và B có thể được tìm thấy ít nhất bằng số học thông thường... Hồng My Nhóm 2 Họ và tên: Phan Thị Hồng My Dịch từ trang 154 đến 163 trang Số thứ tự trong bảng phân công: Trang 150 Bùi Thị Thu Nhóm 2 Họ và tên: Bùi Thị Thu Dịch từ trang 164 đến 173 trang Số thứ tự trong bảng phân công: 6.8 Tính giải được bằng căn thức 6 Làm tiếp bài toán 5, cho thấy rằng nếu X p – c không là bất khả quy trên F, thì E = F (ω) 7 Làm tiếp bài toán 6, cho thấy rằng nếu X p – c không... Galois của f là S5, không giải được ( Xem mục 6.6, Bài toán 3 và Mục 5.7, Bài toán 5 ) Như vậy f không giải được bằng căn thức Có khái niệm cơ bản cần được nhấn mạnh Ý nghĩa của định lý tính giải được của Galois không chỉ cần có một số ví dụ đa thức xấu Vấn đề chính là không có phương pháp chung cho giải phương Trang 155 Bùi Thị Thu Nhóm 2 trình đại số trên hữu tỷ bằng căn , nếu bậc của đa thức là 5... đó G là tuần hoàn Chứng minh G là một nhóm giao hoán (nhóm Abel) hữu hạn, do đó có chứa một phần tử g để r là số mũ của G , đó là, bội số chung nhỏ nhất của các bậc của tất cả các phần tử của G ; xem phần 1.1, vấn đề 9 Vì vậy nếu x  G khi đó bậc của x chia r , vậy x r  1 Bởi vậy mỗi phần tử của G là một nghiệm của X r  1 , vậy G  r Nhưng G là một bội số của bậc của mọi phần tử, vì vậy G ít Trang... Lâm Thị Bích Thủy Nhóm 2 Gọi d là một số nguyên dương mà không phải là một số lập phương, và để cho  là căn bậc ba 1 1 1 1 dương của d Cho   ei 2 /3    i 3 , khi đó  2  e  i 2 /3    i 3   1    Đa thức tối 2 2 2 2 thiểu của  trên số hữu tỷ  là f  X   X 3  d , vì nếu f được rút gọn khi đó nó sẽ có một thừa số tuyến tính và d sẽ là một số lập phương Đa thức tối thiểu của ... Thị Bích Thủy Nhóm 2 nhất lớn hơn bội số chung nhỏ nhất, vậy G  r Chúng ta kết luận rằng bậc và số mũ đều giống nhau Nhưng khi đó g có bậc G , vậy G  g và G là tuần hoàn 6.4.5 MỆNH ĐỀ GF  p m  là một trường con của E  GF  p n  khi và chỉ khi m là một ước số của n Chứng minh “chỉ khi” một phần theo sau từ (6.4.3), vì vậy giả sử rằng m chia n Nếu t là số nguyên dương bất kỳ lớn hơn 1, khi đó . Nguyễn Trâm Anh Dịch từ trang 124 đến 133 trang Số thứ tự trong bảng phân công: Bài dịch a a a a Đình Thị Hải Yến Nhóm 2 Trang 125 Họ và tên: Đình Thị Hải Yến Dịch từ trang 134. Thị Hải Yến Dịch từ trang 134 đến 143 trang Bài dịch: (2) G’ là đặc trưng của G Vì bất kỳ một ánh xạ f tự đẳng cấu nào từ một hoán tử tới một hoán tử :       , , f x y f x f y  (3). minh (4) với G’ thay thế bới N cho thấy G/N là phần tử giao hoán nếu tất cả các hoán tử thuộc về N, đó là, nếu G’<=N. Quá trình lấy đi các hoán tử có thể được lặp đi lặp lại:         ' 0