BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VỤ GIÁO DỤC TRUNG HỌC CHƯƠNG TRÌNH PHÁT TRIỂN GIÁO DỤC TRUNG HỌC TÀI LIỆU TẬP HUẤN PHÁT TRIỂN CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN TRƯỜNG THPT CHUN MƠN TỐN (Tài liệu lưu hành nội bộ) Hà Nội, tháng năm 2012 Chủ trì biên soạn: Vụ Giáo dục Trung học Chương trình phát triển giáo dục trung học NHÓM TÁC GIẢ BIÊN SOẠN TÀI LIỆU: GS.TSKH Hà Huy Khoái GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu GS.TSKH Đặng Hùng Thắng PGS.TSKH Vũ Đình Hịa PGS.TS Nguyễn Vũ Lương TS Phạm Văn Quốc TS Lê Anh Vinh TS Trịnh Đào Chiến ��������������������������������������������������������������������������� ��������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� Mục lục Lời nói đầu Hà Huy Khoái Một số toán Số học - Tổ hợp Nguyễn Văn Mậu Lớp phương trình hàm Cauchy, d’Alembert dạng toán liên quan 22 Đặng Hùng Thắng Một số lớp phương trình Diophant 66 Vũ Đình Hồ Bài tốn tơ màu đồ thị 105 Nguyễn Vũ Lương Một cách tiếp cận tới toán tổ hợp 134 Trịnh Đào Chiến Một số dạng bất phương trình hàm 188 Phạm Văn Quốc Phương trình Pell 207 Lê Anh Vinh Bất biến nửa bất biến 220 Lời nói đầu Hoạt động bồi dưỡng theo môn, phân theo cụm, khu vực theo địa hình đặc thù văn hố, trở thành sinh hoạt chuyên môn truyền thống ngày vào nề nếp hệ thống trường trung học chun khiếu bậc phổ thơng Nhờ đó, đơn vị, trường THPT chuyên chủ động xây dựng chương trình hành động lựa chọn cách thức triển khai Đặc biệt chương trình tập huấn phát triển lực chuyên môn giáo viên trường THPT chuyên gắn với hoạt động bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ lực tổ chức hoạt động xã hội cho giáo viên giảng dạy đội tuyển trường THPT Chuyên Ban tổ chức xây dựng nội dung, chương trình kế hoạch cho hoạt động bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ; liên hệ mời giáo sư, nhà khoa học có kinh nghiệm tâm huyết trực tiếp giảng tổ chức semina khoa học Sản phẩm chương trình tập huấn xây dựng tập san (tài liệu tập huấn) lưu giữ nội dung gồm viết, giảng, đề thi Olympic đề xuất kèm theo lời giải giới thiệu xu hướng cập nhật với olympic khu vực quốc tế Vì thời gian gấp gáp, nên khâu chế nội dung tài liệu tập huấn chắn nhiều khiếm khuyết Mong nhận góp ý thầy, đồng nghiệp Ban Tổ chức Một số toán Số học - Tổ hợp Hà Huy Khoái Viện Toán học Bài giảng nhằm mục tiêu giới thiệu số tốn gọi thuộc loại "số học - tổ hợp" Thực khơng có "định nghĩa" cho loại tốn đó, nên giới hạn việc đưa số ví dụ loại toán thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, mà việc giải chúng đòi hỏi phương pháp số học tổ hợp Để tiện theo giõi, chũng tạm chia giảng thành bốn phần: Tỷ số vàng, Các dãy nhị phân, Tính chia hết Trị chơi Khi trình bày lời giải, chừng mực có thể, chúng tơi cố gắng mơ tả q trình hình thành nên lời giải đó, đưa lời giải ngắn gọn §1 Tỷ số vàng Chúng ta biết "tỷ số vàng" sau thường xuất khoa học, nghệ thuật đời sống √ 1+ Tỷ số vàng thường bắt gặp lời giải toán số học - tổ hợp Trước tiên ta xét ví dụ sau: Bài tốn Giả sử γ, δ số vô tỷ dương, thỏa mãn 1 + = γ δ Chứng minh đặt an = [nγ], bn = [nδ] số nguyên dương xuất lần trong hai dãy an , bn Phân tích - Lời giải Rõ ràng yêu cầu toán tương đương với việc chứng minh rằng, số đoạn hữu hạn tùy ý [1, 2, · · · , N ] có mặt hai dãy, xuất lần Như vấn đề đếm xem N − số nguyên dương nhỏ N , có số thuộc hai dãy nói Xét số nguyên dương n thỏa mãn [nγ] < N , tức n < N γ Như vậy, số n thỏa mãn n = 1, 2, · · · , [ N ] Tương tự, số m cho [mδ] < N γ m = 1, 2, · · · , [ N ] δ Như vậy, số nguyên dương nhỏ N , số số thuộc hai dãy an , bn [ N ] + [ N ] Do γ; δ số vô tỷ nên [ N ]; [ N ] ∈ Z Từ ta γ δ γ δ có: N N N −1