Sở giáo dục và đào tạo Hng yên đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin) Hớng dẫn chấm thi (Bản Hớng dẫn chấm thi gồm 04 trang) I. Hớng dẫn chung 1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh hớng dẫn quy định. 3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn. II. Đáp án và thang điểm Bài 1: (2,0 điểm) 2 3. 2 2 3 . 2 2 3A = + + + + ( ) 2 3. 4 2 3= + + 0,5 đ 2 3. 2 3 4 3 1= + = = 0, 5 đ 1 1 5 2 . 3 2 2 5 2 5 1 B ữ= + + ữ + + ( ) 2 1 5 2 1 . 1 2 5 2 5 1 + + = + + 0,5 đ ( ) ( ) ( ) 5 3 . 2 5 3 . 2 5 3 2 1 2 1 2 1 1 5 3 7 3 5 14 6 5 + + + = = + = + = + + + 0,5 đ Vậy A=B Bài 2: (2,0 điểm) a) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 4 0 2 1 2 2 4 0x x x x x x x = + = Đặt ( ) 2 2 . 0x x y y = . Phơng trình là 2 2 3 0y y = Nhẩm nghiệm đợc 1y = (loại) 3y = (thoả mãn) 0,5 đ Với 3y = ta có phơng trình 2 2 2 2 3 2 9 2 9 0x x x x x x = = = ' 1 9 10. = + = Tập nghiệm phơng trình là { } 1 10 ; 1 10+ 0,5 đ b) 3 3 2 4 1 x y xy x y xy m + = + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 3 2 4 6 2 7 3 1 2 2 2 2 x y xy x y xy x y m xy m x y xy m x y xy m + = + = + = = + = + = 0,25 đ Trang 1 Khi đó ;x y là hai nghiệm của phơng trình ( ) 2 2 3 7 3 0t m t m + = (I) Hệ có nghiệm ( ) ;x y mà 0 ; 0x y> > phơng trình (I) có hai nghiệm dơng 0,25 đ ( ) ( ) 2 2 3 7 3 3 2 0 ' 0 0 3 0 1 0 7 3 0 m m m m S m m P m = + > > > > hoặc 7 2 3 m 0,5 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Giả sử có x, y thoả mãn ( ) ( ) 3 3 4 1 1 3xy y x y x x+ = + + = + + (*) - Với 1x = không thoả mãn (*) - Xét 1x Ta có 2 3 (*) 1 1 y x x x = + + + Vì ;x y  nên { } 1 3; 1;1;3x + 0,5 đ { } 4; 2;0;2x . Thay lần lợt các giá trị của x vào ( ) * ta đợc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ; 4;20 , 2;4 , 0;4 , 2;4x y . 0,5 đ b) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 1 2 a b c a a ab bc ca a b a c + + + = + + + = + + Suy ra 2 1 1 1 2 2 2 a a b c bc bc b c + + = + 0,5 đ Tơng tự có: 2 2 1 1 1 1 1 1 ; 2 2 2 2 2 2 b b a c c c a b ac ac a c ab ab a b + + + + = + = + Do vậy 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a a b b c c bc ac ab b c a c a b a b c + + + + + + + + + + + + 0, 5 đ Bài 4: (3,0 điểm) a) Ta có ã ã ã 0 90AEO AFO AIO= = = A, E, O, I, F cùng thuộc một đờng tròn đờng kính AO suy ra ã ã AEF AIF= 0,5 đ Lại có ã ã EHF AEF= (Góc tiếp tuyến và dây -góc nội tiếp chắn cung EF) Suy ra ã ã //EHF AIF EH BC= 0,5 đ b) Ta có AE, AF tiếp xúc với (O) tại E và F nên ;AO EE AE OE AEO vuông tại E và 2 .AN AO AE= 0,5 đ Trang 2 d Q K N H F E I A B C O E F I B D A C Có ã ã ã ã 2 ; . AB AE ACE AEB EAC BAE AEC ABE AE AB AC AE AC = = = =: Do vậy . .AN AO AB AC= không đổi. 0,5 đ c) Gọi K là giao điểm của EF và BC. Ta có ã ã 0 90 , , ,ONK OIK O N K I= = cùng thuộc (Q) đờng kính OK. Suy ra Q là tâm đờng tròn đi qua O, N, I. và Q d (d là đờng trung trực của KI) (1) 0,5 đ Ta có ANK AIO : . . AN AK AN AO AK AI AI AO = = Suy ra . . . AB AC AK AI AB AC AK AI = = không đổi. Mặt khác K thuộc tia AB cố định nên K cố định. K và I cố định nên d cố định (2) Từ (1) và (2) suy ra tâm đờng tròn đi qua O,N,I luôn thuộc đờng thẳng cố định d. 0,5 đ Bài 5: (1,0 điểm) Nhận xét: Trong 2011 điểm đã cho luôn tìm đợc hai điểm sao cho đờng thẳng d nối chúng chia mặt phẳng thành hai nửa mà các điểm đã cho cùng nằm trên một nửa mặt phẳng bờ d. Chọn đoạn thẳng lớn nhất nối hai điểm trong các điểm đã cho nằm trên d, giả sử hai điểm đó là A, B. (1) 0,25 đ Theo gt luôn có điểm không thuộc AB, ta xét các góc nhìn đoạn AB có đỉnh là những điểm thuộc 2011 điểm đã cho nằm ngoài d. Do số góc này hữu hạn nên luôn chọn đợc góc nhỏ nhất. Giả sử là ã ACB . Vẽ (I) ngoại tiếp ABC thì (I) là cần tìm. 0,25 đ Thật vậy: - Dễ thấy các điểm trong các điểm đã cho thuộc d phải thuộc đoạn AB (theo (1)). Các điểm này nằm trong (I). - Giả sử có D trong 2011 điểm ở ngoài (I) (hình vẽ) ta có ã ằ ằ ằ ã 1 1 1 2 2 2 ADB sd AB sd EF sd AB ACB= < = vô lý vì ã ACB là nhỏ nhất. 0,25 đ Trang 3 HÕt Trang 4 . tạo Hng yên đề chính thức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 2010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào các lớp chuyên Toán, Tin) Hớng dẫn chấm thi (Bản Hớng dẫn chấm thi gồm. và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi. 4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn. II. Đáp án và thang điểm Bài 1: (2,0 điểm) 2 3. 2 2 3. dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ. 2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn