25 Vế phải biểu thức trên nh nhau ở hai dòng đồng hình học, còn vế trái bằng hai lần số Ơle 2Eu. Nh vậy, đối với chất lỏng lý tởng, diều kiện đủ để đảm bảo đồng dạng thuỷ lực của các dòng áp lực là đồng dạng hình học. Bây giờ ta viết phơng trình Becnuli đối với thiết diện 1-1 và 2-2 cho một trong hai dòng chảy dới áp lực của chất lỏng nhớt. Có g2 v g2 v g p g2 v g p 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , trong đó - hệ số tổn thất cột áp giữa các thiết diện đang xét. Sau khi biến đổi về dạng không thứ nguyên sẽ đợc: 2 1 2 212 2 221 S/SEu2)v/()pp(2 . Thấy ở đây, muốn hai phơng trình cho hai dòng nh nhau thì phải có: S 1 /S 2 , các hệ số koriolis 1 và 2 nh nhau ( tức là đảm bảo đồng dạng hình học và động học) và hệ số sức cản nh nhau. Nh vậy, trong các dòng áp lực đồng dạng thuỷ lực có các hệ số và các số , , Eu, Re và một vài số nữa (sẽ nói sau) bằng nhau. Thay đổi của Re sẽ làm thay đổi tơng quan giữa các lực chủ yếu trong dòng và làm cho các hệ số nêu trên thay đổi ít nhiều. Do đó đối với các dòng dới áp lực của chất lỏng nhớt tất cả các hệ số trên đợc coi là hàm của chuẩn cơ bản và quyết định- số Reynolds Re (tuy vậy, trong phạm vi nào đấy của Re các hệ số trên không thay đổi). Trong các nghiên cứu thực nghiệm và mô hình hoá dòng chảy ở phòng thí nghiệm cần phải, thứ nhất, đảm bảo đồng dạng hình học giữa mô hình I và dòng thực II, kể cả điều kiện cửa vào và ra; thứ hai, đảm bảo cho số Re bằng nhau: Re I =Re II . Từ điều kiện thứ hai thấy vận tốc dòng trong thí nghiệm bằng: v I =v II L II I /(L I II ). Ngoài các chuẩn đồng dạng cơ bản nêu trên (Eu, Re, Fr), trong thuỷ lực còn dùng các chuẩn khác trong các trờng hợp riêng. Khi xét dòng chịu nhiều ảnh hởng của sức căng bề mặt (ví dụ sự phân dã dòng thành các hạt khi phun nhiên liệu vào động cơ) ngời ta đa vào chuẩn Vebe (We), nó băng tỉ số lực căng bề mặt với lực quán tính. Đối với trờng hợp này (1.46) có dạng We=L/(v 2 L 2 )=/(v 2 L)=idem. Khi xét dòng không ổn định tuần hoần với chu kì T (ví dụ dòng trong đờng ống nối với bơm pittong) ngời ta đa ra chuẩn Strukhal (Sh), nó kể đến các lực quán tính cục bộ do chuyển động không ổn định. Lực này tỉ lệ với khối lợng (L 3 ) và gia tốc t/v , tức là tỉ lệ với v/T. Khi đó (1.46) có dạng L 3 v/(v 2 L 2 T)=L/(vT)=idem hay Sh=vT/L=idem. Khi kể đến độ nén đợc của chất lỏng ngời ta đa ra hệ số Mach (M), nó kể đến lực đàn hồi. Lực này tỉ lệ với diện tích (L 2 ) và môdun đàn hồi thể tích K=c 2 (c- vận tốc âm thanh trong môi trờng đang xét), tức là tỉ lệ với c 2 L 2 . Điêù kiện (1.46) có dạng c 2 L 2 /(v 2 L 2 )=c 2 /v 2 =idem hay M=v/c=idem. Chuẩn Mach có ý nghĩa quan trọng khi xét chuyển động của khí. Số Mach càng gần một thì ảnh hởng của tính nén đợc đối với chuyển động càng lớn. 1.4.2 Chế độ chảy của chất lỏng trong các ống Các thí nghiệm cho thấy có hai chế độ chảy của chất lỏng và khí trong các ống: chảy tầng và chảy rối. Hình1.9. Hai dòng đồng dạng. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 26 Chảy tầng là dòng chảy theo lớp, không có xáo trộn của các phần tử chất lỏng, không có xung tốc độ và áp suất. ở chế độ này các đờng dòng hoàn toàn đợc xác định bởi hình dạng của đờng ống, nếu trong ống thẳng tiết diện khôngđổi thì các đờng dòng có hớng song song đờng tâm ống và không có chuyển dịch ngang. Chảy tầng là chế độ chảy có trật tự và khi cột áp không đổi thì là chế độ dừng hoàn toàn (ở chế độ không ổn định vẫn có khả năng chảy tầng). Tuy vậy không đợc coi trong chảy tầng không có xoáy, mặc dù trong đó không có các xoáy nhìn thấy, cùng với chuyển động tịnh tiến vẫn xảy ra hiện tợng quay có trật tự của các phần tử lỏng riêng rẽ quanh tâm tức thời với vận tốc góc nào đó. Chảy rối là dòng chảy có sự xáo trộn mạnh của chất lỏng kèm theo các xung tốc độ và áp suất. Chuyển động của các phần tử lỏng riêng biết giống chuyển động hỗn loạn của phân tử khí. Trong dòng chảy rối các vec tơ tốc độkhông những chỉ có thành phần dọc ống mà còn có thành phần vuông góc đờng tâm ống (H.1.10) tạo ra chuyển động ngang và quay của các khối chất lỏng. Điều này giải thích tại sao có các xung tốc độ và áp suất. Chế độ chảy của chất lỏng nhất định thay đổi ở một tốc độ trung bình xác định đợc gọi là vận tốc tới hạn v th . Các thí nghiệm cho thấy gía trị vận tốc này tỉ lệ với độ nhớt động và tỉ lệ nghịch với đờng kính ống, tức là: v th =k /d, hay k=v th d/ . Trị số không thứ nguyên thu đợc gọi là số Reynolds tới hạn Re th . Thực nghiệm cho thấy rằng trong ống tròn Re th 2300. Nh vậy, chuẩn đồng dạng Reynolds cho phép đánh giá chế độ chảy của chất lỏng trong ống. Khi Re< Re th chất lỏng chảy tầng, khi Re>Re th - chảy rối. Nói chính xác hơn, chảy rối hoàn toàn xảy ra khi Re4000, khi Re=23004000 chế độ chảy ở trong vùng chuyển tiếp. Trong thực tế gặp cả chảy tầng và chảy rối, chảy tầng thờng thấy ở các chất lỏng có độ nhớt rất lớn nh dầu nhờn còn chảy rối thấy ở xăng, dầu hoả, rợu, axit và các chất lỏng khác có độ nhớt nhỏ. Thay đổi chế độ chảy khi đạt Re th là do chế độ này mất ổn định còn chế độ kia sẽ ổn định. Ví dụ, khi Re<Re th khi chảy tầng sẽ ổn định: chảy rối nhân tạo (do rung ống chẳng hạn) sẽ tắt dần, chảy tầng lại xác lập khi ngừng tạo rối. Khi Re>Re th xảy ra hiện tợng ngợc lại, chảy rối sẽ ổn định. Trị số Re th khi chuyển từ chảy tầng sang chảy rối có thể có trị số lớn hơn Re th đối với quá trình chuyển tiếp ngợc lại. Trong các điều kiện thí nghiệm đặc biệt, hoàn toàn không có các yếu tố gây rối, ngời ta có thể tạo ra đợc chảy tầng khi Re>Re th , nhng chuyển động này hết sức không ổn định, chỉ cần có nhiễu nhỏ là chuyển sang chảy rối. Trong thực hành các điều kiện tạo chảy rối- rung động ống, chỗ có cản cục bộ, lu lợng thay đổi. 1.4.3. Hiện tợng xâm thực Trong một số trờng hợp chuyển động của chất lỏng trong ống kín xảy ra các hiện tợng liên quan đến thay đổi trạng thái pha của chất lỏng nh chuyển thành hơi hoặc phân tách các khí hoà tan trong chất lỏng. Ví dụ khi chất lỏng chảy qua chỗ có thiết diện thu hẹp, vận tốc tăng và áp suất giảm. Nếu khi đó áp suất tuyệt đối đạt đến giá trị bằng áp suất hơi bão hoà của chất lỏng này ở nhiệt độ đã cho, hoặc áp suất ở đó khí hoà tan bắt đầu tách ra khỏi chất lỏng, thì tại chỗ đó bắt đầu diễn ra quá trình tạo hơi hoặc khí mạnh. Đến khu vực dòng chảy rộng ra, Hình 1.10. Xung tốc độ và đặc điểm đờng dòng trong chảy rối. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 27 vận tốc chậm lại và áp suất tăng; hơi đã tạo ra bắt đầu ngng tụ và khí bắt đầu hoà tan chở lại vào chất lỏng. Hiện tợng phá vỡ sự liên tục của dòng, do tạo các bọt hơi và khí vì áp suất cục bộ trong dòng giảm, đợc gọi là xâm thực. Xâm thực kèm theo tiếng động đặc trng và nếu kéo dài sẽ gây phá huỷ xâm thực (xói mòn) bề mặt thành kim loại. Điều đó đợc giải thích là do quá trình ngng tụ các túi hơi (và nén các bọt khí) diễn ra với tốc độ rất lớn, chất lỏng xung quanh bóng hơi ập vào tâm bóng và ở thời điểm kết thúc (vỡ bóng hơi) gây ra va đập thuỷ lực cục bộ làm áp suất tăng đáng kể ở những điểm riêng rẽ. Theo kết quả một số nghiên cứu, áp suất cục bộ khi xâm thực có thể lớn đến hàng trăm at [2]. Vật liệu không bị phá huỷ ở chỗ tạo hơi mà ở chỗ hơi ngng tụ. Khi xâm thực xảy ra các hiện tợng sau: 1. Sức cản tăng đáng kể và làm giảm khả năng lu thông của đờng ống do các bọt khí làm giảm mặt cắt ớt của dòng, tốc độ ở đó tăng mạnh. Nếu ở trong các máy bơm thì sẽ làm giảm lu lợng, cột áp, hiệu suất có ích và công suất bơm. 2. Va đập thuỷ lực gây tróc rỗ các bề mặt kim loại các chi tiết trong các máy thuỷ lực, chong chóng, mặt ngoài xi lanh động cơ diesel (do rung động làm cho nớc làm mát bị nén và giãn nở) v.v. Đây là tác hại lớn nhất do xâm thực, các vết rỗ có thể rất sâu. 3. Gây ăn mòn hoá học ở khu vực xâm thực do ô xy tách ra. Hiện tợng này càng tăng cờng do va đập thuỷ lực phá huỷ lớp ô xit bảo vệ bề mặt kim loại. 4. Tăng nhiệt độ cục bộ bề mặt chi tiết do khí bị nén, do va đập và biến dạng cục bộ của bề mặt chi tiết. Hiện tợng này còn gây nên ăn mòn điện hoá do tạo ra các cặp ngẫu nhiệt giữa chỗ nóng và lạnh. 5. Ngng tụ hơi và va đập gây tiếng ồn và rung động các máy thuỷ lực [3]. Nh vậy, xâm thực là hiện tợng không mong muốn. Trong các hệ thống thuỷ lực, xâm thực có thể xuất hiện ở những chỗ áp suất thấp nh khu vực cửa hút của bơm, sau những chỗ có cản cục bộ lớn. Mỗi chỗ cản cục bộ hay bơm, về mặt xâm thực, đợc đặc trng bằng một chuẩn không thứ nguyên gọi là số xâm thực: 2/v pp 2 1 bh1 , (1.50) trong đó p 1 và v 1 - áp suất tuyệt đối và tốc độ dòng ở thiết diện trớc chỗ cản cục bộ hoặc bơm. Thấy rằng, số xâm thực có ý nghĩa tơng tự nh số Ơle Eu, nó đợc sử dụng nh chuẩn đồng dạng đối với dòng chảy xâm thực. Trị số mà tại đó trong chỗ cản cục bộ bắt đầu xâm thực đợc gọi là số xâm thực tới hạn th . Đ1.5. Chảy tầng 1.5.1. Lí thuyết chảy tầng trong ống tròn Nh đã giới thiệu ở mục 1.4.2, chảy tầng là chế độ chảy có trật tự, theo từng lớp không có xáo trộn. Lí thuyết chảy tầng dựa trên định luật ma sát của Niutơn. Ma sát này giữa các lớp chất lỏng chuyển động là nguồn gốc tổn thất năng lợng duy nhất trong trờng hợp này. Xét chảy tầng ổn định của chất lỏng trong ống tròn, thẳng có đờng trong bằng 2r 0 . Để bỏ ảnh hởng của trọng lực và đơn giản đa ra kết luận, giả thiết ống nằm trong mặt phẳng ngang. ở khá xa đầu ống, khi dòng hoàn toàn ổn định ta tách ra một đoạn dài l giữa thiết diện 1-1 và 2-2 (hình 1.11). Giả sử áp suất ở thiết diện 1-1 bằng p 1 , thiết diện 2-2 bằng p 2 . Do đờng kính ống không đổi, tốc độ của chất lỏng không thay đổi, hệ số sẽ không thay đổi dọc theo dòng do tính ổn định của nó, do đó phơng trình Becnuli cho các thiết diện đã cho có dạng http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 28 p 1 /( g)=p 2 /( g)+h fr , trong đó h fr - tổn thất cột áp do ma sát theo chiều dài. Từ đó h fr =(p 1 -p 2 )/(g)=p fr /(g), và điều này có thể thấy từ các cột chất lỏng đặt ở các thiết diện trên. Trong dòng chất lỏng, tách ra một khối trụ bán kính r, đồng trục với ống và có hai mặt đầu ở các thiết đã chọn. Viết phơng trình chuyển động đều cho khối chất lỏng tách ra, tức là cân bằng giữa các lực áp suất và lực cản. Kí hiệu ứng suất tiếp trên bề mặt trụ là , có (p 1 -p 2 ) r 2 -2 rl =0, từ đó =p fr r/(2l). Từ công thức thấy, ứng suất tiếp trong mặt cắt ngang ống thay đổi theo qui luật tuyến tính theo r. Biểu đồ ứng suất tiếp ở bên trái hình 1.11 (biểu đồ này không phụ thuộc chế độ chảy). Ta biểu diễn ứng tiếp theo qui luật ma sát của Niutơn thông qua độ nhớt động lực và gradien theo phơng ngang của tốc độ; trong đó thay biến y bằng bán kính r: = dv/dy=- dv/dr. Dấu âm chỉ rằng chiều tính r ngợc với chiều của y (tính từ thành ống). Thay trị số vào biểu thức ở trên, đợc p fr /(2l)=- dv/dr. Ta đợc gia số của vận tốc dv=-p fr rdr/(2 l). Nh vậy, nếu dr>0 thì dv<0. Thực hiện tích phân thu đợc C 2 r l2 p v 2 fr . Hằng số tích phân tìm đợc theo điều kiện biên, khi r=r 0 thì v=0: l4 rp C 2 0fr . Tốc độ chất lỏng trên bề mặt trụ bán kính r )l4/()rr(pv 22 0fr . (1.51) Biểu thức này là qui luật phân bố tốc độ trên mặt cắt ngang ống tròn khi chảy tầng. Đờng cong mô tả biểu đồ tốc độ là đờng parabol. Tốc độ lớn nhất ở tâm ống (r=0) )l4/(rpv 2 0frmax . (1.52) Ta sử dụng qui luật phân bố tốc độ này để tính lu lợng. Biết lu lợng phân tố qua diện tích phân tố bằng: dQ=vdS. Thay v bằng biểu thức (1.51), diện tích phân tố dS lấy ở dạng vành tròn bán kính r và rộng dr, ta có )l4/(rdr2)rr(pdQ 22 0fr . Sau khi tích phân trên toàn bộ diện tích mặt cắt ngang, thu đợc 4 0 fr r 0 22 0 fr r l8 p rdr)rr( l2 p Q 0 . (1.53) Hình 1.11. Cơ sở lí thuyết chảy tầng trong ống tròn. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 29 Vận tốc trung bình tìm đợc bằng cách chia lu lợng cho diện tích: )l8/(rp)r/(Qv 2 0fr 2 0tb . (1.54) Nh vậy, so với (1.52) thấy v tb =0,5v max . Để có qui luật sức cản h fr theo lu lợng và kích thớc ống, từ (1.53) có )r/(lQ8p 4 0fr . Chia biểu thức này cho g, thay = và chuyển d=2r 0 , thu đợc h fr =p fr /( g)=128 lQ/( gd 4 ). (1.55) Công thức trên dùng để tính sức cản đờng ống ở chế độ chảy tầng do G. Poazeil thành lập năm 1840. Ta đa qui luật này về dạng công thức của Veisbakh- Darci: g2 v d l h 2 tb fr . Muốn vậy, thay lu lợng trong (1.55) bằng 4/vd tb 2 , nhân và chia cho v tb và nhóm các nhân tử, thu đợc g2 v d l Re 64 g2 v d l dv 64 h 2 tb 2 tb tb fr , hay g2 v d l h 2 tb fr , (1.56) trong đó =64/Re. (1.57) Tổn thất cột áp do ma sát ở chế độ chảy tầng tỉ lệ với bậc nhất với tốc độ trung bình (bình phơng tốc độ trung bình ở công thức cuối là do ta biến đổi nhân chia cả tử và mẫu với v tb ), còn hệ số tổn thất đờng dài tỉ lệ nghịch với số Re cũng tức là tỉ lệ nghịch với vận tốc trung bình. Biết qui luật phân bố tốc độ trên mặt cắt ống, dễ dàng tính đợc hệ số Koriolis ở trong các phơng trình Becnuli có kể đến độ không đều của tốc độ đối với trờng hợp chảy tầng ổn định trong ống tròn. Trong biểu thức (1.37), ta thay vận tốc bằng (1.51) và vận tốc trung bình bằng (1.54), kể đến 2 0 rS và dS=2 rdr. Sau khi biến đổi thu đợc 0 r 0 2 0 3 2 0 2 S 3 3 tb r rdr ) r r 1(16dSv Sv 1 . Thay biến 2 0 2 r/r1z , đựơc 0 1 3 2dzz8 . Nh vậy, động năng thực tế của dòng chảy tầng phân bố tốc độ dạng paraboll lớn hơn so với của cũng dòng ấy nhng tốc độ phân bố đều 2 lần. Bằng cách trên có thể chứng minh rằng động lợng của dòng chảy tầng phân bố tốc độ paraboll lớn hơn động lợng của cũng dòng ấy nhng tốc độ phân bố đều là lần, trong đó hệ số đợc gọi là hệ số Buxxinhexk, trong trờng hợp này bằng 4/3. Lí thuyết chảy tầng trong ống tròn đã trình bày khá đúng so với thực tế và các qui luật sức cản thờng không cần hiệu chỉnh gì, trừ các ngoại lệ sau: 1) khi chảy ở đoạn đầu ống, nơi diễn ra quá trình hình thành dần prôfin tốc độ paraboll; 2) khi chảy kèm theo trao đổi nhiệt; 3) khi chảy ở dạng giọt và có khe hở với vật bao; 4) khi chảy với độ sụt áp lớn. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 30 15.2. Đoạn bắt đầu của chảy tầng Nếu chất lỏng chảy từ bình chứa nào đó vào ống thẳng đờng kính không đổi và chuyển động trong đó ở chế độ chảy tầng thì phân bố tốc dộ trên thiết diện ngang gần cửa vào trong thực tế gần nh đồng đều, đặc biệt khi lối vào lợn trong (hình 1.12). Nhng sau đó do tác dụng của lực nhớt diễn ra sự phân bố lại tốc độ trên mặt cắt ngang: các lớp chất lỏng kề với thành bị hãm lại, còn phần ở tâm, nơi vẫn còn giữ đợc phân bố đồng đều tốc độ, chuyển động nhanh dần vì lu lợng qua các thiết diện bằng nhau không đổi. Chiều dày lớp chất lỏng bị hãm tăng dần cho tới khi bằng bán kính ống, profin paraboll tốc độ dặc trng của chảy tầng đợc thiết lập. Đoạn đầu ống trong đó hình thành profin paraboll tốc độ đợc gọi là đoạn đầu dòng chảy (l b ). Ngoài giới hạn đoạn này là chẩy tầng ổn định, profin paraboll tốc độ giữ không đổi bất kể chiều dài ống với điều kiện ống thẳng và thiết diện không đổi. Lí thuyết chảy tầng ở phần trớc chỉ thích hợp với chảy tầng ổn định và không áp dụng trong giới hạn đoạn bắt đầu. Để xác định chiều dài đoạn bắt đầu có thể sử dụng công thức gần đúng của Syler, liên hệ chiều dài này với đờng kính ống và số Re: l b /d=0,029Re. (1.58) Sức cản ở đoạn đầu ống lớn hơn ở các đoạn sau. Điều này đợc giải thích là do đạo hàm dv/dy ở thành ống ở đoạn đầu lớn hơn so với ở các đoạn chảy ổn định cho nên ứng suất tiếp lớn hơn theo qui luật Niutơn, trong đó càng gần mép ống giá trị này càng lớn, hay nói cách khác, nó giảm theo toạ độ x. Tổn thất cột áp trên đoạn ống có chiều dài l<l b đợc tính theo công thức (1.55) hoặc (1.56) và (1.57) nhng phải hiệu chỉnh bằng hệ số k lớn hơn một. Trị số của k có thể xác định theo đồ thị hình 1.13, trong đó nó đợc xem là hàm của thông số không thứ nguyên x.10 3 /(dRe). Khi tăng thông số này giá trị k giảm, và khi x/(dRe)=l b /(dRe)=0,029, tức là khi x=l b , thì k=1,09. Nh vậy, sức cản cả đoạn đầu ống lớn hơn 9% so với sức cản của cũng đoạn đó nhng lấy ở chế độ chảy tầng ổn định. Đối với các ống ngắn giá trị hệ số k nh thấy trên đồ thị khác một nhiều. Khi chiều dài l ống lớn hơn l b , tổn thất cột áp bao gồm tổn thất trên đoạn đầu và tổn thất đoạn chảy tầng ổn định: g2 v d )ll( d l 09,1h 2 bb fr . Khi tính đến (1.57) và (1.58) và thực hiện phép biến đổi, thu đợc g2 v ) d l 64165,0( Re 1 h 2 fr . (1.59) Hình 1.12. Hình thành profin paraboll tốc độ ở đầu ống. Hình 1.13. Phụ thuộc của k và vào x.10 3 /(dRe). http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 31 Nếu chiều dài tơng đối của ống l/d đủ lớn, số hạng bổ sung trong ngoặc, bằng 0,165, có thể bỏ qua do nhỏ. Tuy vậy, trong tính toán cần chính xác các ống chiều dài không lớn so với l b thì cần kể đến số hạng này. Đối với đoạn bắt đầu ống có lối vào trơn tru hệ số koriolis tăng từ 1 cho tới 2 (xem đồ thị). 1.5.3. Chảy tầng trong khe giữa hai thành và trong các ống chữ nhật Ta xét trờng hợp chảy tầng trong khe do hai thành phẳng song song tạo thành, khoảng cách giữa chúng là a (hình 1.14). Gốc toạ độ đặt ở giữa khe hở, hớng trục Ox dọc theo dòng, còn Oy vuông góc với thành. Lấy hai thiết diện vuông góc dòng chảy cách nhau một đoạn l và xét dòng có chiều rộng bằng một đơn vị. Tách khối hộp chất lỏng giữa các mặt cắt đã chọn, nằm đối xứng với trục Ox và có kích thớc các cạnh l 2y 1. Khi đó điều kiện cân bằng dọc theo Ox sẽ là 2yp fr =- (dv/dy)2l, trong đó p fr =p 2 -p 1 là chênh áp giữa các thiết diện đang xét. Dấu âm trong biểu thức là do dv/dy<0. Từ đó ydy l p dv fr . Thực hiện tích phân, thu đợc Cy l2 p v 2 fr . Vì khi y=a/2 thì v=0, tìm đợc 4 a l2 p C 2 fr . Thay vào đợc )y 4 a ( l2 p v 2 2 fr . (1.60) Tiếp theo ta tính lu lợng q của dòng có chiều rộng đơn vị. Lấy hai phân tố diện tích đối xứng qua trục Oz có kích thớc 1dy và viết lu lợng phân tố bằng: dy2y 4 a l2 p vdSdq 2 2 fr , từ đó có 2/a 0 3 fr 2 2 fr l12 ap dyy 4 a l p q . (1.61) Ta biểu diễn tổn thất áp suất thông qua lu lợng tổng Q=qb trong khe có chiều rộng b1: p fr =12lQ/(a 3 b). (1.62) Khi một trong các thành tạo ra khe hở chuyển động theo hớng song song với mặt thành kia, áp suất chất lỏng dọc theo chiều dài không đổi, thành chuyển động kéo chất lỏng theo và xuất hiện cái gọi là chuyển động ma sát không áp lực. Ta tách ra một phân tố trong dòng nh Hình 1.14. Sơ đồ xét chảy tầng trong khe. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 32 hình1.14, xét các lực tác dụng lên nó. Vì áp suất p tác dụng lên mặt phải và trái phân tố nh nhau, cho nên để cân lực thì ứng suất tiếp ở mặt dới và trên phải cũng nh nhau, tức là =const. áp dụng định luật Niutơn cho trờng hợp này thu đợc =-dv/dy =C (dấu âm là do khi dy>0 thì dv<0) và sau khi tích phân v=-(C/ )y+C 1 . (1.*) Các hằng số C và C 1 tìm đợc khi kể đến điều kiện biên: khi y=a/2 thì v=0 và y=-a/2 thì v=u, trong đó u- vận tốc thành. Từ đó có: C=u/a và C 1 =u/2. Sau khi thay C và C 1 vào phơng trình trên thu đợc v=(1/2-y/a)u. (1.63) Lu lợng chất lỏng q qua khe có chiều rộng đơn vị đợc xác định theo vận tốc trung bình q=(u/2)a. (1.64) Nếu dịch chuyển trình bày ở trên của thành có kèm theo cả thay đổi áp suất trong chất lỏng trong khe, thì qui luật phân bố tốc độ đợc tính nh tổng các công thức (1.60) và (1.63): u) a y 2 1 ()y 4 a ( l2 p v 2 2 fr . (1.**) Phân bố tốc độ trong khe nh ở hình (1.16) có hai khả năng: a) hớng chuyển động của thành trùng với hớng chuyển động của chất lỏng dới tác dụng của độ chênh áp; b) hớng chuyển động của thành ngợc với hớng chuyển động của chất lỏng. Lu lợng chất lỏng qua khe chiều rộng đơn vị trong trờng hợp này là tổng lu lợng thể hiện bằng các công thức (1.61) và (1.64), tức là 2 ua l12 ap q 3 fr . Số hạng đầu gọi là lu lợng dòng áp lực, còn số hạng thứ hai- lu lợng ma sát. Công thức đa ra có thể dung cho trờng hợp khe hở tạo bởi hai mặt trụ, ví dụ giữa piston và xy lanh, với điều kiện khe hở giữa chúng nhỏ so với đờng kính các mặt và các mặt trụ nằm đồng tâm. Nếu piston nằm lệch tâm so với xy lanh thì khe hở a giữa chung là đại lợng thay đổi: a=R+ecos -r=a 0 (1+ cos ), trong đó a 0 =R-r và =e/a. Xét khe hở có chiều rộng phân tố rd nh khe phẳng, có biểu thức tính lu lợng phân tố sau: Hình 1.15. Profin tốc trong khe có thành chuyển động. Hình 1.16. Profin tốc độ trong khe có thành chuyển động và có giáng áp. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 33 rd)cos1( l12 ap rd l12 ap dQ 3 3 0fr 3 fr . Tích phân theo vòng tròn ta thu đợc ) 2 3 1(Qd)cos1(r l12 ap Q 2 0 2 0 3 3 0fr , trong đó 3 0 fr 0 a l12 r2p Q - lu lợng trong trờng hợp đồng tâm. Từ biểu thức trên có thể thấy lu lợng lớn nhất khi =1, Q=2,5Q 0 . Khi tính toán các dòng chảy trong ống không tròn ngời ta sử dụng cái gọi là bán kính thuỷ lực, bằng tỉ số giữa diện tích mặt cắt trên chu vi ớt : R h =S/ hoặc đờng kính thuỷ lực D h =4R h (đối với mặt cắt tròn D h =d). ở chế độ chảy tầng trong trờng hợp này đợc tính toán bằng công thức Veisbakh- Darxi (1.41) suy rộng, trong đó d đợc thay bằng D h và bằng = k, tức là g2 v Re 64 k g2 v D l 'h 22 h fr , (1.65) trong đó k- hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc hình dạng mặt cắt. Đối với thiết diện chữ nhật (ab) thì D h =2ab/(a+b) và k=f(b/a): b/a. 1 1,5 2 3 4 5 10 k0,89 0,92 0,97 1,07 1,14 1,19 1,32 1,50 Thiết diện dạng đa giác đều cạnh a có k=0,83. *Từ các phơng trình phân bố tốc độ chất lỏng trong khe tiết diện không đổi (1.60) và (1.63), có thể chuyển thành dạng vi phân đã biết trong Bôi trơn thuỷ lực để tính toán áp suất do khe hở thay đổi tạo ra. ở đây, khi xét cân bằng lực cho phân tố chất lỏng ngời ta chỉ tính đến các lực áp suất và ma sát mà bở qua các lực khối khác: ví dụ nh trọng lợng, lực quán tính và một số yếu tố khác nh hệ số độ nhớt thứ hai (thể tích), nó kể đến tiêu tán năng lợng do nén và giãn của chất lỏng, v.v. Trong khe hở của các cặp ma sát, chất lỏng chảy tầng (vì khe hở và do đó số Re nhỏ) và tuân theo qui luật ma sát của Niu tơn. Nh vậy, các công thức(1.60) và (1.63) thành lập trên cơ sở định luật ma sát của Niutơn đều có thể sử dụng đợc, kể cả cho trơng hợp tiết diện khe thay đổi. Muốn vậy ta chỉ cần đổi phơng trình phân bố vận tốc viết cho chiều dài hữu hạn thành đoạn phân tố, cụ thể là thay x p l p fr . Trong trờng hợp tổng quát nhất, phơng trình (1.**) có thể viết dới dạng 2 UU y a UU ) 4 a y( x2 p v baba 2 2 x , trong đó U a và U b là các vận tốc của các mặt theo trục x, có giá trị dơng nếu ngợc chiều với trục x (qui định chiều chuyển động nh vậy chỉ nhằm mục đích đa về dạng giống các công thức đã biết). Các số hạng cuối đợc thành lập từ (1.*) vơí các điều kiện biên: y=-a/2 v x =-U a , y=a/2 v x =-U b . Thay kí hiệu chiều cao khe hở a bằng h [h=f(x,z)] và đổi biến y=y-h/2, từ phơng trình trên thu đợc phơng trình a ba 2 x Uy h UU )hyy( x2 p v . Tơng tự nh vậy, đối với phơng z ta cũng có a ba 2 z Uy h WW )hyy( z2 p v , trong đó W a và W b là vận tốc của hai mặt theo phơng z, chiều dơng ngợc trục z. Trong đó phơng y trùng với chiều cao h. Thay các phơng tình trên vào phơng trình liên tục dành cho trờng hợp tổng quát nhất: chất lỏng nén đợc, chuyển động không ổn định và giả sử hai mặt tiến lại nhau với vận tố V 0 : http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com 34 0 z v y v x v t z y x , hay 0dy z v dy y v dy x v dy t z y x . Thực hiện tích phân biểu thức này từ 0 đến h, coi áp suất và mật độ không thay đổi theo phơng vuông góc dòng chảy (phơng y). Có 0dy z v dy y v dy x v dy t h 0 z h 0 y h 0 x h 0 , hay 0 z )h( 2 WW )h z p 12 ( z V x )h( 2 UU )h x p 12 ( x h t ba 3 0 ba 3 . Trong trờng hợp chuyển động phẳng, tức là vận tốc theo phơng z bằng không và chất lỏng không nén đợc, phơng trình trên có dạng đơn giản hơn 0ba 3 V12 x h UU6) x ph ( x . Giả sử tại x=x 0 là điểm bắt đầu vùng làm việc, tại đó h=h 0 và giả thiết 0 x p 0 xx (giả thiết này vẫn đợc dùng trong Bôi trơn Thuỷ lực), ta lấy tích phân xác định từ x 0 đến x, tại đó khe hở bằng h sẽ thu đợc )xx(V12)hh(UU6 x ph 000ba 3 , hay 3 00 3 0ba h )xx(V12 h )hh(UU6 x p . Phơng trình này là phơng trình cơ bản trong Bôi trơn thuỷ lực do Reynolds thành lập. Nếu thay độ nhớt bàng hàm phụ thuộc áp suất (1.16) sẽ đợc 3 00 )pp( 0 3 0ba )pp( 0 h )xx(Ve12 h )hh(UUe6 x p 00 . Đối với ổ đỡ trợt, ta sẽ thiết lập đợc quan hệ phụ thuộc của h vào x (x là toạ độ dài của cung tròn, tính từ chỗ bắt đầu hình thành màng dầu) nếu biết độ lệch tâm của trục cũng nh kích thớc của trục và ổ. Thay vào và giải phơng trình trên sẽ đợc biểu đồ phân bố áp suất trong vùng làm việc và tính đợc lực nâng của màng dầu. Tuy nhiên, cho đến nay việc giải bài toán này bằng giải tích vẫn cha đợc giải quyết triệt để vì còn nhiều yếu tố ảnh hởng làm cho bài toán trở thành rất phức tạp về toán học. Có thể nêu một vài yếu tố ảnh hởng nh: vấn đề truyền nhiệt, biến dạng của ổ, hình dạng kích thớc chính xác ban đầu của ổ và ngõng trục, dao động ngang v.v. 1.5.4. Các trờng hợp chảy tầng đặc biệt Kèm theo trao đổi nhiệt. Trong các trờng hợp chảy tầng xét ở trên không kể đến sự thay đổi nhiệt độ và, do đó, sự thay đổi độ nhớt của chất lỏng trong phạm vi thiết diện cũng nh dọc theo dòng chảy, tức là giả thiết nhiệt độ là hằng số ở tất cả các điểm trong dòng chảy. Dòng chảy nh vậy gọi là dòng đẳng nhiệt. Nếu chất lỏng chuyển động trong đờng ống có nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ xung quanh đáng kể thì quá trình chảy sẽ kèm theo quá trình trao nhiệt cho môi trờng qua thành ống và, dĩ nhiên, quá trình làm lạnh chất lỏng. Khi nhiệt độ chất lỏng nhỏ hơn môi trờng nhiều sẽ xảy ra qua trình hâm nóng chất lỏng. Trong cả hai trờng hợp kể trên, nhiệt độ và độ nhớt chất lỏng không giữ nguyên, dòng chảy không phải là dòng đẳng nhiệt. Do đó các công thức (1.60) và (1.61), thu đợc với giả thiết độ nhớt không đổi trên thiết diện, khi dùng cho dòng chảy có trao đổi nhiệt đáng kể cần phải hiệu chỉnh. Khi chảy kèm theo làm lạnh, các lớp kề thành ống có nhiệt độ thấp hơn, còn độ nhớt lớn hơn so với phần cơ bản ở bên trong dòng. Do đó xảy ra sự hãm các lớp gần thành mạnh hơn và gradien tốc độ gần thành giảm. http://kimcokynhan.wordpress.com http://kimcokynhan.wordpress.com . của L: -1 =x+y-3z; 1=x 1 +y 1 -3 z 1 ; -1 =x 2 +y 2 -3 z 2 ; 1=x 3 +y 3 -3 z 3 ; các số mũ của T: -2 =-y; 0=-y 1 ; -1 =-y 2 ; 0=-y 3 ; các số của M: 1=z; 0=z 1 ; 1=z 2 ; 0=z 3 . Giải 12 phơng trình trên. ta viết phơng trình Becnuli đối với thiết diện 1-1 và 2- 2 cho một trong hai dòng chảy dới áp lực của chất lỏng nhớt. Có g2 v g2 v g p g2 v g p 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 , trong đó - hệ số tổn thất. đợc vdv 4 d dxdp 4 d 0 hay 0dx. d 4 ) 2 v (ddp 0 2 . Sử dụng công thức 2/ v 4 2 0 , biểu thức trên có thể viết thành 0 2 v d dx ) 2 v (d dp 22 . Nhân phơng trình này với 2 , sẽ có 0 2 )v( d dx ) 2 v (ddp 22 2 .