www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MƠN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I PHƢƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT Sử d ng tính chất chia hết Các tính chất thư ng dùng : – Nếu a  m a ± b  m b  m – Nếu a  b, b  c a  c – Nếu ab c mà ƯCLN(b , c) = a c – Nếu a m, b n ab mn – Nếu a b, a c với ƯCLN(b , c) = a bc – Trong m số nguyên liên tiểp, bao gi tồn m t số b i m Ví d Tìm x, y  Z thoả mãn : 3x + 17y = 159 (1) Giải : Nhận xét 3x  3, 159  3, suy 17y  Mà ƯCLN(17 , 3) = nên y  Đặt y = 3k (k  Z) Thay vào phương trình (1) ta : 3x + 17.3k = 159  x + 17k = 53  x = 53 – 17k  x  53  17k Từ ta nghiệm phương trình (1) :  (k Z)  y  3k Ví d Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2  2y2 = (2) Giải : Từ (2)  x phải số lẻ Đặt x = 2k + (k  Z) thay vào (2) ta : 4k2 + 4k + – 2y2 =  2(k2 + k – 1) = y2 Suy y2 số chẵn  y số chẵn Đặt y = 2t (t  Z), thay vào (2.1) ta có : 2(k2 + k - 1) = 4t2  k(k + 1) = 2t2 + (2.1) Ta thấy k(k + 1) số chẵn c n 2t2 + số lẻ nên phương trình (2.1) vơ nghiệm Vậy phương trình (2) khơng có nghiệm ngun TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN Đƣa phƣơng trình ƣ c s Ví d Tìm x, y  Z thoả mãn phương trình : xy – x – y = (3) Giải : Ta có (3)  xy – x – y + =  x(y – 1) – (y – 1) =  (x – 1)(y – 1) = Suy x –  Ư(3) Vì Ư(3)  {  ;  3} nên ta có bảng sau : x–1 y–1 x y –1 –3 –2 –3 –1 –2 Vậy nghiệm nguyên phương trình (3) là: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; –2), (–2 ; 0) Ví d Tìm x  Z để x2 – 2x – m t số phương Giải : Đặt x2 – 2x – = y2 (y  Z)  (x – 1)2 – y2 =  (x – – y)(x – + y) = (4) Vì = 1.5 = (–1).(–5), nên từ (4) ta có trư ng hợp : x   y  x  y  x  – Trư ng hợp :  (thoả mãn)   x   y   x  y   y   x   y  1  x  y    x  y  2 (thoả mãn) – Trư ng hợp :  x   y  5  x  y    x   y   x  y   x    – Trư ng hợp :  (thoả mãn) x   y   x  y   y  2  x   y  5  x  y  4  x  2   – Trư ng hợp :  (thoả mãn) x   y  1  x  y  y   Vậy giá trị x cần tìm x  {–2 ; 4} Tách giá trị nguyên Ví d Giải Ví d cách khác Giải : Biểu thị x theo y : x(y – 1)  y  (5) Ta thấy y  khơng phải nghiệm phương trình (5) (vì (5) trở thành 0x  3, vơ nghiệm), nên chia hai vế (5) cho y – ≠ ta : y2 x  1 y 1 y 1 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MƠN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ Vì x  Z nên  Z, suy y – phải ước y 1 Ta lập bảng : y–1 x y –1 –2 –3 –2 Vậy nghiệm nguyên phương trình (3) là: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; –2), (–2 ; 0) BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) 2x  3y  156 ; b) 3xy  x – y  ; c) 2x2  3xy – 2y2  ; d) x3 – y3  91 e) x2 – xy  6x – 5y – ; f) x2 – 2y2  ; Cho đa thức f(x) có hệ số nguyên Biết f(1).f(2) = 35 Chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun II PHƢƠNG PHÁP XÉT SỐ DƢ TỪNG VẾ Tìm nghiệm ngun phƣơng trình Ví d Tìm nghiệm nguyên phương trình : 9x   y2  y (6) Giải : Viết lại phương trình thành : 9x   y(y  1) (6.1) Ta thấy vế trái (6.1) số chia cho dư nên y(y  1) chia cho dư Nếu y chia hết cho y chia cho dư y(y  1) chia hết cho 3, trái với kết luận Do y chia cho dư Đặt y  3k  (k  Z) y   3k  Khi ta có : 9x   (3k  1)(3k  2)  9x  9k(k  1)  x  k(k  1) Thử lại x = k(k  1) y = 3k  thoả mãn phương trình cho Vậy nghiệm nguyên phương trình (6) x = k(k  1) y = 3k  (k  Z) Chứng minh phƣơng trình vơ nghiệm Ta chứng minh hai vế chia cho m t số m t số dư Ch ý : Hai số a – b a  b (a, b  Z) có tính chẵn lẻ TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Thật : Vì (a – b)  (a + b)  2a m t số chẵn nên a – b a  b số chẵn, số lẻ, tức ch ng tính chẵn lẻ Ví d Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên : x2 – y2  2006 (7) b) x2  y2  2007 (8) a) Giải : a) Cách Phương trình (7) viết thành : (x – y)(x  y) = 2006 (7.1) Vì (x – y)  (x  y)  2x số nguyên chẵn nên (x – y) (x  y) tính chẵn lẻ Từ (7.1) suy (x – y) (x  y) chẵn Do (x – y)(x  y) chia hết cho Nhưng 2006 không chia hết cho Từ suy (7.1) vơ nghiệm Từ phương trình (7) vơ nghiệm Cách Số phương chia cho dư Do x 2, y2 chia cho có số dư Suy x2 – y2 chia cho có số dư 0, 1, C n vế phải 2006 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun b) x2, y2 chia cho có số dư 0, nên x2 + y2 chia cho có số dư 0, 1, C n vế phải 2007 chia cho dư Vậy phương trình (8) khơng có nghiệm ngun BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) 3x2 – 4y2  13 ; b) 19x2  28y2  2009 ; c) x2  2y2 – 8y + ; d) x2 – 4y2  12345…20082009 Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thỏa mãn : x3  y3  z3  x  y  z  2008 (Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2007 – 2008) Tồn hay không số nguyên n thỏa mãn : n3 + 2006n  20082007 + (Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2006 – 2007) Chứng minh số A  100 0500 01 không lập phương m t số tự nhiên 49 cs 50 cs TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MƠN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ III PHƢƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Sắp thứ tự ẩn Ví d Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải : Cách Gọi số nguyên dương phải tìm x, y, z Theo đề ta có : x  y  z  xyz (9) Ta thấy x, y, z có vai tr nên ta thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn  x  y  z (*) mà khơng làm tính tổng qt tốn Từ (9) ta có xyz  x  y  z  3z  xy  (do z > 0) Từ xy  {1 ; ; 3} (vì x, y nguyên dương) Xét ba trư ng hợp : – Với xy  1, ta có x  y  Thay vào (9) ta  z  z, loại – Với xy  2, ta có x  1, y  Thay vào (9) ta z  – Với xy  3, ta có x  1, y  Thay vào (9) ta z  2, loại y  z Vậy ba số cần tìm ; ; 1    (9.1) xy yz zx 1 1 1 Giả sử  x  y  z Từ (9.1) suy :     2 2 2 xy yz zx x x x x Suy  , x2  hay x = (vì x nguyên dương) x Thay x = vào (9.1) :  y  z  yz  (y – 1)(z – 1)  Cách Chia hai vế (9) cho xyz > ta : Do  y   z  1, nên ta có m t trư ng hợp: y –  z –  hay y  z  Vậy ba số cần tìm ; ; Xét khoảng giá trị ẩn Ví d Tìm nghiệm ngun dương phương trình : 1   x y (10) Giải : Cách Do x, y có vai tr nên ta giả sử  x  y Từ (10) ta suy   y6 y TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 1   y3 y Như y  {4 ; ; 6} Xét ba Trư ng hợp : Mặt khác, từ (10) ta suy : – Trư ng hợp : x  4, từ phương trình ta y = 12 (thoả mãn) – Trư ng hợp : x  5, từ phương trình ta y  (loại) 15 – Trư ng hợp : x  6, từ phương trình ta y  Tóm lại, phương trình (10) có ba nghiệm ngun : (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) Cách Đưa phương trình cho phương trình ước số : 1    xy  3(x  y)   (x  3)(y  3)  x y Vế trái phương trình tích hai số nguyên x, y số nguyên Từ suy x – y – phải ước Vì Ư(3)  {  ;  3} nên ta có bảng sau : x–3 y–3 x y –1 –9 –6 12 3 6 Chỉ m t hay nhiều nghiệm nguyên Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn thể dạng : m t số nghiệm phương trình, chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Ví d 10 Tìm số tự nhiên x, cho : 2x 3x 5x (11) Giải : x x 2x 3x 2 3 Phương trình (11) viết thành : x  x         5 5 5 – Với x = 0, ta :   1, loại – Với x  1, ta :   , thoả mãn 5 x x x x 2 3 2 3 – Với x > 1,    ,    , suy         , loại 5 5 5 5 5 Vậy nghiệm (11) x = Sử d ng bất đẳng thức quen thu c M t số bất đẳng thức cần lưu ý : TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MƠN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ a b  ab (a, b  0, dấu có  a = b) – Bất đẳng thức Bunhiacopxki : (a2 + b2)(x2 + y2)  (ax + by)2 Dấu xảy ay = bx – Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối : - Bất đẳng thức Cơ–si : |x|  x, dấu có  x  ; -|x| ≤ x, dấu có  x ≤ -|x|  x  |x| |x| + |y| ≥ |x + y|, dấu có  xy  Ví d 11 Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình : (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y (12) Giải : Cách Áp d ng bất đẳng thức Cơ–si ta có : x2 +  2x, dấu có  x = x2 + y2  2xy, dấu có  x = y Vì x, y ngun dương nên nhân bất đẳng thức vế theo vế ta : (x2 + 1)(x2 + y2)  4x2y, dấu có x = y = Vậy phương trình (12) có nghiệm x = y = Cách (12)  x4 + x2y2 + x2 + y2 – 4x2y =  (x2 – y)2 + (xy – x)2 = Phương trình xảy : x  y  y  x y  x    x  y  (vì x, y nguyên dương)  xy  x  x(y 1)  y 1  BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) x2 + xy + y2 = 2x + y ; c) x2 – 3xy + 3y2 = 3y ; b) x2 + xy + y2 = x + y ; d) x2 – 2xy + 5y2 = y + ; 1 Tìm nghiệm nguyên phương trình :   x y xy Tìm số tự nhiên x, y thoả mãn :  xy (Trích đề thi HSG lớp 8, huyện Thái Th y 2007 – 2008) 10 Tìm số tự nhiên x thỏa mãn : a) 2x  3x  35 ; b) 3x  4x  5x ; TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH c) 5x  12x  17x www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN 11 a) Tìm ba số nguyên dương cho tích ch ng gấp đơi tổng ch ng b) Tìm bốn số ngun dương cho tổng ch ng tích ch ng 12 Tìm số nguyên x y cho : x3 + x2  x   y3 13 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : x! + y! = (x + y)! 14 Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun dương : x17  y17  1917 IV PHƢƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƢƠNG Sử d ng tính chất chia hết s phƣơng Các tính chất thư ng dùng : – Số phương không tận 2, 3, 7, – Số phương chia hết cho số nguyên tố p chia hết cho p2 – Số phương chia cho 3, cho dư – Số phương chia cho 5, cho số dư 0, – Số phương lẻ chia cho 4, số dư – Lập phương m t số nguyên chia cho dư 0, Ví d 12 Tìm số nguyên x để 9x + tích hai số nguyên liên tiếp Giải : Đặt x(9x + 5) = y(y + 1) với y nguyên : 36x + 20 = 4y2 + 4y  3(12x + 7) = (2y + 1)2 (13) Ta thấy vế trái (13) chia hết vế phải chia hết cho Số phương (2y + 1)2 chia hết cho 3, nên chia hết cho Mà 12x + không chia hết 3(12x + 7) không chia hết cho Mâu thuẫn chứng tỏ không tồn số nguyên x thoả mãn điều kiện đề Sử d ng tính chất kẹp Cần ch ý đến tính chất : hai số phương liên tiếp khơng có số phương Từ suy với số ngun a, x ta có : – Khơng tồn x để a2 < x2 < (a + 1)2 – Nếu a2 < x2 < (a + 2)2 x2 = (a + 1)2 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MÔN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ Ví d 13 Chứng minh với số nguyên k cho trước, không tồn số nguyên dương x cho : x(x + 1) = k(k + 2) Giải : Giả sử : x(x + 1) = k(k + 2) với k nguyên, x nguyên dương Ta viết phương trình thành : x2 + x + = (k + 1)2 Do x > nên x2 < x2 + x + < x2 + 2x + hay x2 < (k + 1)2 < (x + 1)2 (14) Ta thấy x2 (x + 1)2 hai số phương liên tiếp nên (14) xảy Vậy không tồn số nguyên dương x thoả mãn điều kiện đề Ví d 14 Tìm số ngun x để biểu thức x4 + 2x3 +2x2 + x + m t số phương Giải : Đặt x4 + 2x3 +2x2 + x + = y2 (18), với y số tự nhiên Ta có : y2 = (x4 + 2x3 + x2) + (x2 + x + 3) = (x2 + x)2 + (x2 + x + 3) Ta chứng minh a2 < y2 < (a + 2)2 với a = x2 + x 11 Thật : y2 – a2 = x2 + x + = (x + )2 + > 0, suy y2 > a2 2 2 2 (a + 2) – y = (x + x + 2) – [(x + x) + (x2 + x + 3)] = [(x2 + x)2 + 4(x2 + x) + 4] – [(x2 + x)2 + (x2 + x + 3)] 1 = 3x2 + 3x + = 3(x + )2 + > 0, suy y2 < (a + 2)2 2 2 2 Do a < y < (a + 2) nên y = (a + 1) , hay (x + x)2 + (x2 + x + 3) = (x2 + x + 1)2  (x2 + x)2 + (x2 + x) + = (x2 + x)2 + 2(x2 + x) +  x2 + x – =  x = x = –2 Với x = x = –2, biểu thức cho = 32, thoả mãn Vậy giá trị nguyên x cần tìm x  {-2 ; 1} BÀI TẬP 15 Tìm nghiệm nguyên phương trình : 3x  4y2  6x  13 16 Có tồn hay không hai số nguyên dương x y cho x + y y2 + x số phương 17 Chứng minh có vơ số số nguyên x y để biểu thức sau số phương : (1     x)(12  22  32   x ) TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN 18 Chứng minh khơng có số phương viết dạng 2p  3p p số nguyên tố 19 Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x4  x3 + x2  x  20 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x(x2  x  1)  4y(y  1) 21 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x4  x3  x2  x  y2  y 22 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x4 – 2y2  V PHƢƠNG PHÁP LÙI VÔ HẠN NGUYÊN TẮC CỰC HẠN Phƣơng pháp lùi vơ hạn Ví d 15 Tìm số ngun x, y, z thoả mãn đẳng thức : x3 + 2y3 = 4z3 (15) Giải : Từ (15) suy x  Đặt x  2x1 với x1 nguyên Thay vào (15) chia hai vế cho ta được: 4x1  y3  2z3 (15.1) Từ (15.1) suy y  Đặt y  2y1 với y1 nguyên Thay vào (15.1) chia hai vế cho ta được: 3 2x1  4y1  z3 (15.2) Từ (15.2) suy z  Đặt z  2z1 với z1 nguyên Thay vào (15.2) chia hai vế cho ta được: 3 x1  2y1  z1 (15.3) Như (x ; y ; z) nghiệm (15) (x1 ; y1 ; z1) nghiệm (15) x  2x1 , y  2y1 , z  2z1 Lập luận tương tự (x2 ; y2 ; z2) nghiệm (15) x1  2x2, y1  2y2 , z1  2z2 Cứ tiếp t c ta đến : x, y, z chia hết cho k với k số tự nhiên tuỳ ý Điều xảy x  y  z  Đó nghiệm nguyên (19) Nguyên tắc cực hạn Ví d 16 Chứng minh phương trình (19) khơng c n nghiệm khác nghiệm x  y  z  10 TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH www.VIETMATHS.com www.VIETMATHS.com CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƢỠNG HSG MƠN TỐN – PHẦN ĐẠI SỐ Giải : Giả sử nghiệm x  y  z  0, (19) c n có nghiệm (x ; y ; z ) ≠ (0 ; ; 0) Trong nghiệm vậy, chọn nghiệm (x ; y0 ; z0) có tổng   nhỏ Vì (x0 ; y0 ; z0) nghiệm (19) nên : x3  2y3  4z3 Suy x0  0 3 Đặt x0  2x1, ta : 8x1  2y3  4z3  4x1  y3  2z3 Suy y0  0 0 3 3 Đặt y0  2y1, ta : 4x1  8y1  2z3  2x1  4y1  z3 Suy z0  0 Đặt z0  2z1, ta 2x3  4y3  8z3  x3  2y3  4z3 0 0 0 Do (x1 ; y1 ; z1) nghiệm phương trình (18) Hơn nữa, cách chọn nên (x1 ; y1 ; z1) ≠ (0 ; ; 0), (x0 ; y0 ; z0) ≠ (0 ; ; 0) x y z x1  y1  z1     x  y  z 2 Điều trái với cách trọn (x0 ; y0 ; z0) Vậy, nghiệm x  y  z  phương trình (19) khơng c n nghiệm ngun khác BÀI TẬP 23 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) x3 – 3y3  9z3 ; c) x2  y2  6(z2  t2) ; b) x2  y2  3z2 ; d) x2  y2  z2  2xyz ; 24 a) Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 + y2  7z2 b) Chứng minh số không viết dạng tổng bình phương hai số hữu tỉ TRẦN NGỌC ĐẠI, THCS THỤY THANH 11 ... cho dư Vậy phương trình (8) khơng có nghiệm ngun BÀI TẬP Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) 3x2 – 4y2  13 ; b) 19x2  28y2  2009 ; c) x2  2y2 – 8y + ; d) x2 – 4y2  12345…20 082 009 Chứng... 2p  3p p số nguyên tố 19 Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương : x4  x3 + x2  x  20 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x(x2  x  1)  4y(y  1) 21 Tìm nghiệm nguyên phương trình : x4 ... (loại) 15 – Trư ng hợp : x  6, từ phương trình ta y  Tóm lại, phương trình (10) có ba nghiệm nguyên : (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) Cách Đưa phương trình cho phương trình ước số : 1    xy  3(x