Chuyên đề: Bất đẳng thức kỳ 2

2 222 0
Chuyên đề: Bất đẳng thức kỳ  2

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẢNG THỨC TỔNG HỢP (Dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi và LTĐH-CĐ) Bài 4. Cho * ,a b ∈¡ thỏa ab + a + b = 3. Chứng minh: 2 3 ba ba ab 1a b3 1b a3 22 ++≤ + + + + + . Hướng dẫn Từ giả thiết a, b > 0 và ab + a + b = 3. Suy ra: . ab 3 (a b)= − + , (a+1)(b+1) = ab +a +b + 1 = 4 BĐT đã cho tương đương với BĐT: 2 2 3 3a(a 1) 3b(b 1) 3 a b 1 2 (a 1)(b 1) a b + + + + + ≥ + − + + + ( ) ( ) 1 ba 3 ba 4 3 ba 4 3 2 3 ba 2222 − + ++++≥++⇔ ( ) ( ) ( ) 4 ba 12 ba3ba36ba4 2222 − + ++++≥++⇔ ( ) 2 2 12 a b 3 a b 10 a b ⇔ + − + − + ≥ + (A) Đặt x = a+b > 0 2 2 x (a b) 4ab 4(3 x)⇒ = + ≥ = − 2 x 4x 12 0 x 6hay x 2⇒ + − ≥ ⇒ ≤ − ≥ x 2⇒ ≥ ( vì x > 0) 2 2 2 x a b 2ab= + + 2 2 2 2 a b x 2(3 x) x 2x 6⇒ + = − − = + − Thế x như trên , (A) thành 2 12 x x 4 0 x − − + ≥ , với x≥ 2 3 2 x x 4x 12 0⇔ − + − ≥ , với x≥ 2 ( ) ( ) 2 x 2 x x 6 0⇔ − + + ≥ , với x≥ 2 (hiển nhiên đúng) Vậy bđt cho đã được chứng minh. Bài 5. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh : 3 2 4 3 5x y z xy yz zx + + ≥ + + Hướng dẫn: - Phân tích để áp dựng BĐ Cauchy - Ta có ( ) ( ) ( ) 1 2 3 3 2 5 5 2 x y xy y z xy z x xy + ≥ + ≥ + ≥ . - Cộng vế điều phải chứng minh Bài 6. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + Hướng dẫn: abc abc abcabc cab cab cabcab bca bca bcabca 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 . 2 2 2 a bc b ca c ab a bc b ca b ca b c c a a b bc ca ab a b c abc abc abc ⇒ + + ≤ + + + + + + + + + + + + + + = ≤ = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Còn tiếp vào tuần sau! . minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + Hướng dẫn: abc abc abcabc cab cab cabcab bca bca bcabca 2 11 2 2 11 2 2 11 2 2 2 2 2 2 2 ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ ≤ + ⇒≥+ 2 2 2 1 1 1. ≥ + (A) Đặt x = a+b > 0 2 2 x (a b) 4ab 4(3 x)⇒ = + ≥ = − 2 x 4x 12 0 x 6hay x 2 + − ≥ ⇒ ≤ − ≥ x 2 ≥ ( vì x > 0) 2 2 2 x a b 2ab= + + 2 2 2 2 a b x 2( 3 x) x 2x 6⇒ + = − − = + − Thế x. BĐT: 2 2 3 3a(a 1) 3b(b 1) 3 a b 1 2 (a 1)(b 1) a b + + + + + ≥ + − + + + ( ) ( ) 1 ba 3 ba 4 3 ba 4 3 2 3 ba 22 22 − + ++++≥++⇔ ( ) ( ) ( ) 4 ba 12 ba3ba36ba4 22 22 − + ++++≥++⇔ ( ) 2 2 12 a b

Ngày đăng: 13/07/2014, 13:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan