Nh NH À CÔNG TH Cho s a , b s n thì: c o a b m A LÝ THUY n n k Cn a n k b n n Cn a n Cn a n 1b Cn b n k a b n n k Cn a n Cn a n 1b Cnk a n k b n s k h n à: Tk k khai tri Cn n c k Cn a n k b k n a b ) ìb m ( d Các h n n e n Cn Cn a n n k t n a b m w v ie t n Cn f Cn Cn g Tam giác Pascal: n n 1 n 2 Ckm n k n k 1 Ckm Ckm w V a b w www.vietmaths.com Tính Ch a S b T th c S n n Cn b n a b a b a b 1 Ckm Ckm Ckm a b #0 a b a2 a3 3a 2b 3ab b3 2ab b – Thân T Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh M ay s 2n n n 1 k Cn Cn Cn Cnn 1 n k m k n n k Cn Cn Cn n Cn x x n k Cn x n k n n k Cn Cn x n n Cn x k k Cn x Cn x1 k k Cn Cn x n k Cn x n k n n k Cn x n n n Cn x h t D Khi c n i Cn v a có nhiên liên ti n m i i i Cn ta dùng Trong bi i n i a k Cn ta ch Trong bi i n i N i w v Trong bi h toán cho khai tri m x C h MAX k w i Cn àm i ie t i n xk , r i n n hay k xb àm x a thích h i Cn ta l xa i s i i i k Cn ta nhân hai v Trong bi w www.vietmaths.com k Vi n n Cn x n s x c o k n ên a; b thích n n i Cn x a n i xb i i i Cn x a n i ib i ình a n i n v n n l k b.i n v m có nghi i n ch ày s ên – B CÁC BÀI TOÁN V Bài tốn tìm h – Thân T Nguy êH - Lê Hồng Nam – 2009) Nh Ví d 1.1: (D(H Th Q x a th x Q x Khai tri rút g 10 14 x x a1 x a14 x14 a0 Ví d - 2000) Gi A2 x ình: m x 3.4 ie t x nên x x16 khai tri 1.3: Tìm h C x 10 x a x s x Ta có: b ình 2x 2x x x x x 10 3! x 2x 2x x x x x 10 3x 12 Vì x Ax2 t Gi x2 x 10 Gi 10 k w v Ta có: x 2 x 10 10 k C10 x 2x k k 10 k C10 x 20 2k xk k k C10 x 20 k w 20 k 16 k 4 x16 khai tri à: C10 Ví d 1.4: Tìm h S Tk 10 k k k Ta ch H w www.vietmaths.com 9 à: C9 , C10 , , C14 l 9 C9 C10 C14 1 1 10 10.11 10.11.12 10.11.12.13 10.11.12.13.14 24 20 11 55 220 715 2002 3003 a9 Ví d 14 x c o x s x Gi 10 x h H m a9 3360 x2 x1008 khai tri x3 2009 Gi k khai tri C k 2009 x 2009 k x3 k k C2009 x 4018 Thân T – Nguy 5k êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh Ta ch H 4018 5k 1008 k 602 602 x1008 khai tri C2009 1.5 Tìm h x8 khai tri c x2 x m Ví d Gi C8 C32 238 S h s : C83 x x C84 x x S V Ví d Ta có: P x theo l x 3x C10 C10 x x 238 x khai tri àm s x w v x 3x 10 C83C32 C84C4 A8 P x : C88 x x a x8 ch Nh C84 x x m C80 C8 x x ie t f x i k t i i k h i k 2k i i, k N C8k Cki th C84 C4 i Cách 2: Ta có: 10 Gi x 3x C10 x 2 3x 10 C10 x 3x 10 C10 x10 3x 10 x ch C10 x 2 x C10 x 3 x x khai tri H Ví d w Nh w www.vietmaths.com x8 là: H Cki x i k x8 i C8k x k k V k c o C8k x x Cách 1: Ta có f x k s 1.7: Tìm h C10 x 12 x3 x C10 x 3 x 3 P x là: 12C10 C10 540 960 1500 x16 khai tri f x x2 x 16 Gi Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh n 16 i f x k C16 C k 16 k k k Ví d i k 16 k i i, k N i k C C th x16 Vì v     khai tri c 200 2x 3y t Gi Ta có: x y 200 200 k C200 x 258570     200 k 3y k a k i k k k k k à: C16C80 C16C7 C16C82 C16C83 C16C84 Tìm h 200 k k C200 200 k 3k x 200 k y k 200 k 101 k 99 V ìm là: k 99 99 ie t Ta chon: 99 C200 299.399 Ví d a) S 12 12 2k b) Ta có: x n x2 b 1024 Hãy tìm à: ak k 12 k 12 C x k x k C12 x12 2k k 12 x8 có h à: C12 66 n n x thì: k )) Gi k khai tri Ta ch V V 99 C200 299.399 ax12 khai tri w N* c a a w v x khai tri b) Cho bi t h x x a) Tìm h m k w www.vietmaths.com i i i i i c o x k 16 i i k C16Cki x k s V i k k Cki x i k 16 16 i k C16 x k m i k x2 x2 h Xét khai tri Cnk x n k Cn Cn x Cnk x12 2k k n Cn Thân T n Cn Cn – Nguy 1024 êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh n 210 n 10 12 a (c x ) là: C10 210 x 26 khai tri A- 2006) Tìm h n x7 k Cn t C2 n bi k c C2 n C2nn n ph Gi T :C C2 n 1 C2 n C 2n C2 n 1 2n 2n 22 n 220 n 10 a x7 x ãn 11k 40 x h k 10 C v x 26 k th 10 C Ví d 210 w v 2x 2x Ta xét khai tri x w :S c S x5 c 2x S x5 c 2x V x5 c c u: 2x S k C10 x ìm là: 2x 4 10 k x7 n k k C10 x11k 40 C5k x k k 26 k x5 khai tri - 1998) Tìm h f x Nh n k ie t H 26 10 m Ta có s V 1, w www.vietmaths.com 2n k 2n , k , k 2n , nên: 1 2n C2nn C2 n C2 n C2 n 2n nh c 1 suy : T C2 n 220 C s n 2n h C2 n :C C 2n 220 ( n nguyên t M k 2n 2n 1 c o x4 th m c) Ví d 2x 2x 2x Gi k C4 x k ; 2x k k C6k x k ; 2x k 2x 7 C7k x k k là C50 x C6 x C52 x C50 x Thân T – Nguy C6 x C7 x 896 êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh Ví d - 2003) V n s a3 n x2 khai tri n n x Tìm n x 3n h a3 n 26n Gi n x2 1 Cn x n Cn x n 2 Cn x n m Cách 1: Ta có n Cn 26n n giá tr ìm th ãn n x x3n n n k Cn k x k w v x 3n x k n i Cn i x2 i 2i k i k 3 i k n 26n ìm th w Ví d x là: n giá tr x 2n 2n 3n 26n V x 3n h 2i ie t i Trong khai tri Cnk k i Cn x k a3n n x 3n n x 3n Nên c n x2 a x2 là: m n n ( Loai ) ài toán ( n n Cách 2: Xét khai tri x x t V n n s 26n x2 khai tri 2n 2n 3n ( Loai ) ài toán ( n n ãn - 2002)Cho khai tri x n n C w www.vietmaths.com a3n h x 3n Vì v ài toán .c o n n x Cn x n 2Cn x n 2 Cn x n n Cn D n 1, n không th ãn V n x 3n x n x n x n x n x n x C n x – Nguy n x C n n Cn ( n s b 20n Tính n x Thân T x x x x n C n n x n 5Cn s êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh Gi N n n! n! 5Cn 3! n ! n 1! n n n n (Nh V n ta có: x x 2 x n 3n 28 5n (lo n k C x k x x c o Ta có: Cn m n k V ên là: C 35.22 x 2.2 x 4 x h 135 , t Cn x n Cn 2 n Cnn 21 2x h Gi Cn x c n Cn n Ví d 1, giá tr 1.15: Tìm h Xét khai tri Ta có ak t 22 n n max x 17 2 x 22 t 22x 2 n n ( Loai) 2x w v x w V t n x có t s 22 22 x 135 22 ie t 2t t n n 42 x t 2t x s a th b T 35.22 x 2.2 t 1.14: Tìm x bi h 2x 140 x m Ví d w www.vietmaths.com K x x s 2x n 22 x x ìm 17 k ak ak ak Thân T Nguy k x – x 17 Gi 1 k k C17 ak tri k k 17 C k C17 k ak k xk k 0,1, 2, ,17 k k C17 k k C17 êH - Lê Hoàng Nam – 2009) Nh 17! k ! 16 k ! 5k 17 k 18 k 5k 17! 17! k ! 17 k ! k ! 18 k ! V i k V h à: C17 à: C17 k 5.44 5.44 à: C 5.44 tốn t 5.2 Tìm h uk uk u ình k uk Gi ình Gi T tìm tìm h n k Cn a n k b k x k òn l k0 uk u k0 un k0 uk1 uk1 u0 ãy s uk Vi a n có s m nh k Cn a n k b k , k ãy ta làm nh n ie t uk a bx a bx t Xét khai tri ìm s ãy max uk0 , uk1 uk ình uk Suy h uk k0 k C n a n k0 b k0 1.16: (HVKTQS, 2000) Khai tri 12 2x a0 a1 x a12 x12 w Ví d P x uk w v Gi Tìm max a0 , a1 , a2 , a12 w www.vietmaths.com T Ví d s 17 V h k m 17! k ! 17 k ! c o 10 Gi Cách 1: Xét khai tri ak k 12 k C k Xét b 2x 12 12 k C12 112 k 2x k k 0,1, 2, ,12 ak ak 1 Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 10 Nh 12!2k k ! 11 k ! 3k 23 k 12 k k Áp d cho k 0,1, 2, ,12 max a0 , a1 , a2 , a12 k k Z a0 a1 a7 a8 a9 a12 C12 218 126720 a8 ak h n suy ra: ak ình: 23 25 12 k k k k k k 1 3 C12 C12 12 k k max a0 , a1 , a2 , a12 a8 C12 218 126720 x x x t f x 15 Gi f x có 12 s ên ta có: f x x h ìm là: C16 V w v Sn S x tiên c nhân v Áp d 12 x 16 x x x5 x 16 ên c q là: bx u1 bx m m u1 q2 q bx công b m n q n s bx S x Suy h 1 x x 1 x n s u1 u2 un m 1 bx w Xét t rút g 4368 x k t ên c Bài tốn tìm h T n s ie t H xk m Vì t x khai tri 1.17: Tìm h k a Ví d k k 2k C12 1 bx m w www.vietmaths.com k 2k C12 ak s Cách 2: G T 23 m 12!2k k ! 12 k ! c o k C12 2k h k C12 2k 11 khai tri 1 bx 1 bx n bx m n m n Thân T bx – Nguy m bx x k S x tích gi bx bx m 1 h b êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 11 Nh 27 III S h b x k dx a T d b xk k àng tìm k a bk k Cn C k ak a bk k b (c dx) n dx ta có th I a b Ho n k Cn c n k d k x k dx I k n C c n k xk k d k k bk k n k k Cn c d k II.1: CMR 2Cn Nhìn vào t ch c d 1 bk k n k k Cn c d k 1 (c dx )n d n 1 b a a, b, c, d thích h ie t tốn ta ch 22 Cn 23 2 n n 3n 1 Cn Cn ( III 1) n n Gi àng tìm a 0, b Ti w v Ví d k a m ak n ak n a k a b õ tích phân (1 x) n dx r w Chú ý: Khi trình bày thi ph Cách khác: Ta có th ùng tích phân b k k Cn Cn Vi khơng nh ịn gi k n làm bài: (1 2) n 1 n VT ( III 1) 2Cn 22 Cn2 23 Cn n Cn n n õs Ví d khác Tính t w www.vietmaths.com k n Tùy Ví d k Cn c n k d k x k dx k a a b n b s b h I 1 (c dx) n (c dx )n d (c dx ) da d n h t Tính tr m Ýt c o D Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 27 S Vi òn l s Tr Ví d 2 Cn g 1 Cn (n 1) tính t ày ph Cn 2 “ 2, b 3, c 1, d 3 2009 2010 ta có: 2010 h 2009 ên s 3 n Cn 11 42010 2009 C C C2009 = 2010 2010 n 2 1 2 n II.2: Tính Cn Cn Cn Cn n Gi k 2 k Cn nên ta ngh k k so v ên k 2 Cn a 2 n Cn n toán ph C2009 t Ví d a M m m b phân (1 x) n dx b c ên 2, c Th n I C x k dx k Vi n k n C k n n x k 1dx k òn l ( x 1)(1 x )n dx I k w v ie t a (1 x )n V Cn w M x(1 x) n dx D I àng tìm a (1 x) n dx x n n 2 n (1 x) n 1 1 Cn Cn ( 1)n n Cn Cn 2n òn m “nh k Cn nên s 2k k k nguyên hàm Cn x k hay Cn x ích b 2k k Cn k w www.vietmaths.com Cn m Cn S Rõ ràng dùng tích phân th ìl àm 28 c o Nh k x(1 x )n dx ã x ìd x (1 x )n dx Vi ên 1, c Th Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 28 Nh 1 n k Cn ( 1)k x k òn l k 11 (1 x )n d (1 x ) 2 n x (1 x ) dx (1 x ) n n àm ti t x (1 x) n dx, x (2 x ) n dx, ( x 1)(1 x )n dx II.3: Rút g 1 Cn S n n 1 x n 1 n Cnn n n Cn n n n 1 11 Cn Cn2 Cn Gi Ví d II.4: Ch n Ta có: x x n k k Cn k k 1n k x n k 1 k k 0 n C k n k k Cn C k n 1 n k xk n Cnk k k x x k k k x dx xk k k 1 k n k n 1 k C k k1 k 11 Cn Cn Cn 1 k 1 n x n n Cn k w x n k k 1 n k x dx k x k n 1 x Cnk n w v n h Cnn x n Cn n C n Cn x Cn x Cn 2 n C ie t n n Cn x n t 1 C x C x a n x dx n Ví d m x w www.vietmaths.com Xét: f x n n Cn ; (1 n Z ) n 1 Cn Gi n s 1 c o V k 0 Ví d Ví d Cnk ( 1) k 2k n k Cn ( 1)k x k 1dx dx m Ph k 0 n x (1 x ) n dx 29 n Thân T Cnn – Nguy n 1 n êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 29 Nh 30 IV Công c Ýt i4k , i4k i , i4k , i4k k i v N T , S1 i 4k , S2 a1 x a2 x , S3 i 4k Ta có: i 4k i 4k S0 f (1) S2 f ( 1) S0 S V Re( f (i )) Re( f (i )) Im( f (i )) l IV.1: Rút g (2) (3) (4) ph Ví d C4 n C n T1 w v T1 c n tìm: f (i ) (1 i) n Ta c Ví d C4n w ình ph f (i ) n C4 n C44n Rõ ràng S1 S0 S2 f ( x) f (i ) ( S0 S ) ( S1 S3 )i nên cơng vi t s t Im( f (i )) (1) ie t f ( 1) f (1) f ( 1) S1 f (1) f ( 1) S2 f (1) f ( 1) S3 Re( f (i )), Im( f (i )) Gi (1 x) n M f (i ) ph (1 i ) 2n 2i 2n n ( 1) n ã tìm ì th gi àl C4 n C4 n C4 nn 1 IV.2: Tính T2 1C8 n 3C83n (8n 1)C8 nn w www.vietmaths.com f (i ) ( S0 S ) ( S1 S3 )i h S1 S3 S2 ) ( S1 S3 ) f (1) f (1) a f ( 1) ( S0 S0 Im( f (i )) S2 ) ( S1 S3 ) m (S0 f ( 1) Re( f (i )) S1 S3 f (1) a3 x an x n c o S0 a0 m f ( x) Gi ên ta ph 8n f ( x ) (1 x)8 n C80n 8n k Cn x k f '( x ) 8n(1 x )8 n k Thân T – Nguy k kCn x k k êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 30 Nh 31 8n g ( x ) 8nx(1 x)8 n L k kCn x k k Nh g (i ) : g (i ) 8ni(1 i )8 n T2 ph 8n 8n 8n k 8n C C84n C x k 8n(1 x) 8n 8n k 8n kC x k k 8n 8nx (1 x ) k 8n 8n(1 x)8 n (1 8nx) k 2C8kn x k 8nx (1 x )8 n (1 8nx ) k s h m k n k , m, n Z k Cn Cm n Cn x n Cn x n m n Cm x k x k Cm Ví d k Cm Cn n Cho m n Cn Cn x k Cm n Cnn Cm Cnk n k là: Cm Cn 1 Cn Cnk m k Cm Cn m n x = x m n m k Cm Cn m P k n Ch k, n Z w x x w Ta có: m n Cn Cnk n k Cn x k w v x m 1 m n Cm n x Cm n x m n n m m Cm Cm x Cm x m x k x Suy h Và h m k Cm ie t x k k m Cn 1.Cm Cn m Cm Gi t Cho a Ví d x f ( x) f (i ) 8ni(1 i )8 n (1 8ni ) 16 n n 128n 16 n i V M x k 2C8kn x k k ph Ch kC8kn x k k 8n T 8n C86n (8n ) C8 n : c o 8n www.vietmaths.com 4n.16n i m 2 C82n àm l Ta có: 4n.16n n.16 n T2 (1 x ) n n Cn n x x k CnCn n Cnn k Cn 2n ! ! n k ! n k Gi 1 x xn 2n , x 0 n Cn Cn x Cn x n 1 2n C2 n C2n x C2n x n n x Thân T Nguy – êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 31 Nh k n Cnn k Cn 2n ! ! n k ! n k n C2 n k ài tố Ví d Rút g Cn S1 Cn Gi n C C Cn n Cn Cn2 Cách 2: Cnn n x n x 2n Cnn n Cn Cnn n n Cn 1Cn Cn Cn x n xn M ( x) Sx n M (x) x n àh a C2nn VP (1) nên S M ( x) t Cn Cnn CnCnn h n Cn Cn x Cn x Cn x n Cn Cn x Cn x Cnn x n ìm h (1 x )n (1 x )m xp q p Cnp Cnp 1Cm Cnp 2Cm Cnp qCm Cm Cnp m k nam n k n - V.4 - TH&TT-2008) S ên l Cách 1: Ta có: n C n Cn n n Cn w s n n n C S w v theo quy t Ví d Cn2 2 Cn2 m ànn ie t Cách 3: Xét công vi t -M (1 x )n m T w www.vietmaths.com x VT S m k Ví d V.2 n n C C n Cn C n n n s Cách 1: n C2n Cn m V k CnCn c o k Cn Cn 32 n Cn n Cn Thân T Cnk Do k có th àt àm cơng vi àn Ví d tốn m C2nn Cn 2 Cn 3 Cn n Cnn ,v ên n C n n n C n n n Cnn n – Nguy k Gi n k n Cn Cn n êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 32 Nh M 2 Cn x n Cn 2n C2 n n n x n C2 n (*) h n x x n h Cn x n Cn x n Cn Cnn Cn Cnn n C2 n n Cn T (*) (**) Cn2 Cn Cn Cn x n (**) n Cn n n C2 n Cách 2: Ta có: n f ( x ) (1 x ) n C n C n x C n x C n x3 C n x n (1) h C n x 2Cn2 x 3Cn x3 nCnn x n n 1 x x Nhân v n 1 Cn n (1 x )n t 2Cn x 3Cn x nCnn x n 1 Cn xCn 2 2Cn x 2Cn x x M x n 1 n nCn n x x 3Cn 3 3Cn x 2Cn x3 n nCnn x nCn xn M x tìm h n x ta tìm w v 1 t x x Cách 3: Xét công vi nam 2Cn x x a Thay x b Cn m nx(1 x ) n x xf '( x ) S2 n nC2 n ànn có m i n – k n k n ìs Ví d ng ta có s n k n k k Cn P x n theo Do k có th S2 w quy t M n kC C w www.vietmaths.com ie t n (1 x ) n f '( x ) s Sn 1 x x 2n n n C2 n x C n x n C22n x n m n Cn c o 2S n 33 ành m k, n Ch k, n Z x k Thân T Ck0 Ck x – Nguy k Gi x n nC2 n S2 Ckn n Ckn n k n êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 33 Nh xk ên là: Ck0 Ck k x M Có h k P x x :C x n x Ckn k x x x k k n n k n C Ck0 Ck Ckn Ckn n PCM n Bài T Bài t Ch a) n C n n 1.7 1.C n b) C n n C n 3n 2 n 2.C n n n C n n ( 1) n C n nC n n n4 n Cn Cn e) f) Cn Bài t a) C1 30 n Cn Cn2 Cn n (n n 2) 4 n (n 1)(n 2)(n 3) n Cn Cn Cn 2n 1 3(n 1) 3(n 1) 2 n Cn n Cn n n 2n -TH&TT- 2008) Tính t sau: 27 29 3.2 C30 5.2 C30 27.2 26 C 30 29.2 28 C 30 - 2001) t a m b) 2.1C 3n 2 3.2C3 3n 23 n n 4.3C 3n 4 ( 1) n n(n 1)Cn n n n Cn Cn Cn ( 1) n n n 1 1 ( 1) n n n d) 2Cn Cn Cn Cn n 1 2002 e) S C2003 C2003 C2003 C2003 n Bài T - Th 3n Tk k P w Bài T w v ie t c) Cn minh: s .C nn h 3C3 3n n Cn 1 ( 1) n n TH&TT- 2004) Tk k 3k C62nk Ch - Th Tính T 2009 C2010 3C2010 C2010 C2007 31004 C2010 Bài T Cho khai tri ( x x 1)10 a T1 a0 a4 a8 a20 c T3 a0 a1 a4 a5 a16 a17 w www.vietmaths.com Cn 9n c) C1n 3n d) 2C 3n n n k n m th c o Nh 34 Thân T – Nguy a0 a1 x a2 x a20 x 20 Tính t b T2 d T4 a1 a5 a9 a17 a2 a3 a6 a7 a18 a19 êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 34 Nh 35 D ÁP D B ÀI TOÁN S Cho n Z Ch n n n 2n n n n C C C m M Ví d n c o Gi Ta có: x n Cn 1n k x k n Cn Cn x Cn x Cn x n k n n Cn 1n k1k 0 Cn Cn Cn Cn2 Cnn k n n n n C C C n n 2n n n n C C C Ví d n Cn Cn Cn n n n Cn Cn Cn s M - 1998) Cho: k n C2 n m n n C2 n k C2 n k n Ch k, n Z a n ns h v Gi k n, k Z 2n k ! n k ! n! n k ! n ! n k ! ak Ta n n C2 n k C2 n ak k 2n k ! n k ! n! n k n! n k ! w v ak ie t V ên ta c ak ak 2n k ! 2n k ! n! n k ! n! n k ! n n C2 n k C2 n Ví d 2n k ! ãy ak gi Ch C2nn b 2n k ! 2n k n n 1 n k n k n k dãy ak gi a0 a1 ak k n! n k n ! n k ! w 2n k n k ak ak w www.vietmaths.com Áp d k n t 2n Cho x À ak a0 ak n N n thì: 1 n Cn 2Cn2 3Cn nCn n Thân T – Nguy n! êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 35 Nh Xét khai tri L (1 x ) n C n n n C x C x àm hai v 36 Gi n C n x C n x n n(1 x) n x n x n2n Cn 2Cn 3Cn nCn 1 n.2n n ! 2n n ! n Vi òn l 1 Cn 2Cn2 x 3Cn x nCnn x n N, n c o n k ! 2.2k 2k k n ên lí quy n n! n “T qu ài toán Bài t ” 1 n Cn 2Cn 3Cn nCn n! PCM n m Ví d - 2000) a) Cho n Z Ch nn n v a) Ta có: n n n 1 n 1 k 1 1 k! n n n n m 1 Cn2 n n 1 2! n n m 1 n n Gi Cn Cn n m, n Ch n w nn n 1 n w v c) Cho n Z Ch d) m ie t 1 1! 2! n! b) ày ta có th a V k t V gi h k 2k w www.vietmaths.com k k! s Cách 1: Ta có: n ! 1.2.3.4 n 2.2.2 2n ( n s 2n n ! hay có th ùng quy n Cách 2: Ch V n n ! 2n 23 Gi n k v k k 2k V m Ch n Cn 1 3! n 1 n! n 1 nn n n 1 n n n soá Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 36 37 b) Ta có: 1 1! 1 2! 1 2! C 1 1 4! 3.4 1 1 5! 4.5 1 1 n n! n n n 1 1 1! 2! n! n Áp d b Cn Cn h Cn n n w n n 1 2! n n 1 Thân T Cnn w v n n n 1 n 1 n n V n d) Xét khai tri 1 n k 1 n n 1 2! n n n Cn nn k! m ie t 1 k! n n2 a t 2 Cn nn 1 1 2! 3! n! nn n n n 3! n3 n n n n 1 n n 1! n n! nn 1 3! n n 1 n! n n 1 n n * w www.vietmaths.com n 1 n c) Xét khai tri Cn Cn Cn Cn n n n n n n n n k n! k Mà: Cn k n k! n k ! k! k Cn nk s theo v m c o Nh 1 1 1 2! n 3! n n 1 n 1 n! n n n – êH 1 Nguy - Lê Hoàng Nam – 2009) 37 Nh n n m m * ** suy ra: 1 n N *, m Ví d Cho n 1 1 n Cm Cm Cm n m n n N * Ch k 1!i 1! 1997 k i k !i ! m 1! k 1! m 1 k k m m 1 k k Cm k m k C k 1 Cm m C n n (n m k n n n m n M S n m 2 Gi m n n n m 2 n n n lim x Cn m w n n lim n 2) k Cn m k k m w v n m n n n 1 m Cm k m k n m lim m 1 Ví d Ch n a) lim n b) N m m C m ! k ! m k ! k ! m m k ie t m m i k s m k ! m ! h m k ! k t k 1! m 1! ** a k !m ! Cik k1 w www.vietmaths.com k !i ! i k ! Cik k1 n n Gi Ta có: n m n 1! So sánh gi 1 c o 38 n 1 lim x a) k n n ên lí k Thân T – Nguy b) êH - Lê Hồng Nam – 2009) 38 Nh Ví d x Cho n N * 39 Ch n x n x 2n Gi x Ví d n k Cn a n k b k Cn a n Cnnb n Cho a, b n a n bn Ch a b Gi a i b i a M n b a n i bi b n i n n a b n b n k a k n k b n k Cn a n b n k n a b a) Ch minh r 1001 1 Cn a a n n n a b t Cnk a n k b k m Ví d 2000 2000 1001 x C2000 2000 1001 2000 V x V x 1001 2000 1001 2000 2000 1001 w 1001 1001 b) Ta có: C2000 C2000 n 1001 2000 C2000 1001 2000 1001 2000 x C2000 x 2000 1999 1001 C2000 1999 1001 2000 C2000 2000 C2000 X N 2000 1001 n ên chia h 1999 1001 C2000 C2000 1001 C200010011999 2000 1 Cn 3 n s 1999 C2000 1001 X 1001 3n C n 1001 1 Cn , n Z 3n Gi w v a) Ta có: n ie t b) 3n Cn 2000 1001 cho 11 w www.vietmaths.com k n n n k Cn b n k a k k a b i n k Cn a n k b k , b Z s b n i n h Ta có: a n i a n bn k n x a b c o n 2n m a x b x n Thân T n 1 Cn 3n 3n Cn 1n 1 n Cn1 Cnn n n 2n 8, n n Z – Nguy 2002 11.182 11 êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 39 Nh Ví d a) Cho p s k C p p, k 1, 2, , p ên t n h M np ên t b) k Cp p p.q np an n k p k p C p k p C1 k p p C1 k p p a Cpk p C k p, k 1, 2, , p p np ên lí ngun n ên khơng chia C pk p 2 p C p 1k k p C pp 1k k p ak ak p ak p ak p n p ie t V m Áp d t ak a ên t h V n an n p n a1 1p P Gi an v n k an P V n k : Xét ak n p m Gi k 1, 2, , p P s ên t : p p p p k p! q Vì p s k! p k ! 1.2.3 k k k Cp N p p p p k 1.2 k k Cp Bài T m a) n n n N * Ch w Bài 3: m w v Bài 1: Cho n Z Tính an a) lim , a n n! Bài 2: Cho a 0,1 m n m, n a1 a2 an S b) lim n an , a n! R Z Ch b) 19982001 19992001 1!2! 2!3! n ! n ! n n 1! n ! 2000 2001 22 n n ! a1 a2 an Bài 4: Cho a1 , a2 , , an Ch n Z w www.vietmaths.com s c o k Cp N, p s a) V 40 S S2 Sn 1! 2! n! Bài 5: Ch 1999 2.1C200 3.2C2000 2000.1999C2000 3998000 Thân T – Nguy n Z êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 40 Nh 41 M c o m L A LÝ THUY B CÁC BÀI TOÁN V C ÁP D C VÀ TÍNH T ……………………………………………………………………….20 D ÁP D À M ÀI TOÁN S ………………………………………………………36 w w v ie t m a t h – Võ Giang Giai - Nguy nh T Tu - Olimpic Các Di àn Toán h - k2pi.violet.vn- maths.vnmathscope.org- diendantoanhoc.net……… w www.vietmaths.com s TÀI LI Thân T – Nguy êH - Lê Hoàng Nam – 2009) 41 ... x Xác x x2 x2 n 2x 22 “TH&TT”- 2003) x kh k a x11 nh h s 32 n C2 n 1024 17 , x Bi n 3n Cn 3n Cn 3n Cn Cnn x khai tri Bài Tìm h 3 220 k Bài Tìm s 24 23 mãn: 3k C2 nn a) S ( c - Ngh 2009- Chuyên