Chủ đề 4: ĐẲNG THỨC , BẤT ĐẲNG THỨC& ỨNG DỤNG 1. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 2009 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có: 4ab ≤ (a + b) 2 1 4 a b a b ab + ⇔ ≤ + 1 1 1 ( , 0) 4 a b a b   ⇔ + ∀ >  ÷   Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 2 4 8 2 2x y z x y z x y z x y z         ≤ + ≤ + + = + +    ÷  ÷  ÷ + + +         Tương tự: 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z   ≤ + +  ÷ + +   và 1 1 1 1 1 2 8 2 2x y z x y z   ≤ + +  ÷ + +   Vậy 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + 1 1 1 1 2009 4 4x y z   ≤ + + =  ÷   Vậy MaxP = 2009 4 khi x = y = z = 12 2009 2. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 a b c a ab b b bc c c ca a + + = + + + + + + Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c Giải : Ta có: 3 2 2 2 3 a a b a ab b − ≥ + + (1) ⇔ 3a 3 ≥ (2a – b)(a 2 + ab + b 2 ) ⇔ a 3 + b 3 – a 2 b – ab 2 ≥ 0 ⇔ (a + b)(a – b) 2 ≥ 0. (h/n) Tương tự: 3 2 2 2 3 b b c b bc c − ≥ + + (2) , 3 2 2 2 3 c c a c ac a − ≥ + + (3) Cộng vế theo vế của ba bđt (1), (2) và (3) ta được: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c a ab b b bc c c ca a + + + + ≥ + + + + + + Vậy: S ≤ 3 ⇒ maxS = 3 khi a = b = c = 1 3. Tìm giá những số dương thỏa mãn: 2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 1 1 1 4 4 4 7 7 7a b b c c a a b c + + + + + + + + + + Giaỷi: p dng bt ng thc 1 1 4 ( 0, 0)x y x y x y + > > + Ta cú: 1 1 4 1 1 4 1 1 4 ; ; 2 2 2a+b+ca b b c a b c b c c a a b c c a a b + + + + + + + + + + + + + Ta li cú: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 4 4 2 2 0 2 2 4 7 2 1 1 1 0 a b c a b c a b c a b c a a b c = + + + + + + + + + + + Tng t: 2 2 1 2 1 2 ; 2 7 2 7b c a b c a b c + + + + + + T ú suy ra 2 2 2 1 1 1 4 4 4 7 7 7a b b c c a a b c + + + + + + + + + + ng thc xy ra khi v ch khi a = b = c = 1 2. Chng minh rng : 2 2 2 2. a b b c c a b c c a a b + + + + + + + + 3. Cho x, y, z là 3 số thực dơng thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1x y y z z x + + + + + + + + 4. Cho a, b, c l cỏc s thc dng tho món 3 =++ cba . Chng minh rng: 134)(3 222 +++ abccba 5. Cho x, y, z l cỏc s thc dng ln hn 1 v tho món iu kin 1 1 1 2 x y z + + Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). 6. Cho cỏc s thc a, b, c tha món : 0 1,0 1,0 1a b c< < < . Chng minh rng: ( ) 1 1 1 1 1 3a b c abc a b c + + + + + + ữ 7. Cho a,b,c l ba s thc dng. Chng minh: ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 2 b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + + + ữ ữ 8. Cho x,y,z tho món l cỏc s thc: 1 22 =+ yxyx .Tỡm giỏ tr ln nht, nh nht ca biu thc: 1 1 22 44 ++ ++ = yx yx P 9. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 1a b c+ + = . Chứng minh rằng: 7 2 27 ab bc ca abc+ + − ≤ . 9. Cho ba số a, b, c khác 0. Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 + + ≥ + + a b c a b c b c a b c a . 10. Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 . 2 a b c a bc b ac c ab abc + + + + ≤ + + + . Chủ đề 4: ĐẲNG THỨC , BẤT ĐẲNG THỨC& ỨNG DỤNG 1. Cho x, y, z là các số dương thoả mãn 1 1 1 2009 x y z + + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = 1 1 1 2 2 2x y. lớn nhất của biểu thức: P = 1 1 1 2 2 2x y z x y z x y z + + + + + + + + Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cơ- Si, ta có: 4ab ≤ (a + b) 2 1 4 a b a b ab + ⇔ ≤ + 1 1 1 ( , 0) 4 a b a b   ⇔. = 3 khi a = b = c = 1 3. Tìm giá những số dương thỏa mãn: 2 2 2 3a b c+ + = . Chứng minh bất đẳng thức 2 2 2 1 1 1 4 4 4 7 7 7a b b c c a a b c + + + + + + + + + + Giaỷi: p dng bt ng thc 1