1 NGÂN HÀNG ĐỀ THI Môn: PHƯƠNG PHÁP SỐ Dùng cho hệ ĐHTX, ngành Công nghệ thông tin Số tín chỉ: 3 (Đề thi gồm 4 câu, mỗi loại 1 câu làm trong 90 phút) A. CÂU HỎI LOẠI 1 (LÝ THUYẾT - 25’) 1. Hãy mô tả phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai số của phương pháp. 2. Hãy mô tả phương pháp dây cung để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai số của phương pháp. 3. Hãy mô tả phương pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai số của ph ương pháp. 4. Hãy mô tả phương pháp lặp đơn để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu điều kiện hội tụ và đánh giá sai số của phương pháp. 5. Hãy mô tả phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân xác định. Nêu sai số của phương pháp. 6. Hãy mô tả phương pháp SimSon để tính gần đúng tích phân xác định. Nêu sai số của phương pháp. 7. Hãy trình bày phương pháp khử Gauss để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 8. Hãy trình bày phương pháp khử Gauss-Jordan để tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính. 9. Hãy trình bày phương pháp lặp Jacobi để tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình tuyến tính.Nêu điều kiện hội tụ của phương pháp. 10. Hãy trình bày phương pháp nội suy Lagrange để tìm đa thức nội suy đI qua n+1 điểm cho trước. Nêu sai số của đa thức nội suy. 11. Hãy trình bày phương pháp sai phân tiến Newton với các khoảng chia đều để tìm đa thứ c nội suy đI qua n+1 điểm cho trước. Nêu sai số của đa thức nội suy. 12. Hãy trình bày phương pháp sai phân tiến Newton với các khoảng chia không đều để tìm đa thức nội suy đI qua n+1 điểm cho trước. Nêu sai số của đa thức nội suy. B. CÂU HỎI LOẠI 2 (20’) 1.Giải gần đúng phương trình: x-1/2sinx = 0,25 bằng phương pháp lặp qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x 4 -α | với khoảng phân ly nghiệm là [0; 1]. 2. Dùng phương pháp chia đôi tính nghiệm gần đúng của phương trình: x 3 -x-1 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x 4 -α | 3. Dùng phương pháp dây cung tính nghiệm gần đúng của phương trình: x 3 -x-1 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x 4 -α | HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG Km10 Đường Nguyễn Trãi, Hà Đông-Hà Tây Tel: (04).5541221; Fax: (04).5540587 Website: http://www.e-ptit.edu.vn ; E-mail: dhtx@e-ptit.edu.vn 2 4. Dùng phương pháp chia đôi tính gần đúng 5 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số |x 4 - 5 | 5. Cho tích phân: I = ∫ 1 0 x dx +3 Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng I bằng công thức hình thang. Hãy đánh giá sai số (|I-I * |≤ )( 12 2 abh M − ) 6. Cho tích phân: I = ∫ 1 0 x dx +3 Hãy chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn con bằng nhau rồi tính gần đúng I bằng công thức Simson. Hãy đánh giá sai số (|I-I * |≤ = )( 180 4 abh M − ). 7. Dùng phương pháp chia đôi (nhị phân) để tính gần đúng 6 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số. 8. Dùng phương pháp chia đôi để tính gần đúng 7 qua 4 bước lặp. Đánh giá sai số. 9. Dùng phương pháp Dây cung để tính gần đúng 7 qua 4 bước lặp, Đánh giá sai số. 10. Dùng phương pháp Dây cung để tính gần đúng 8 qua 4 bước lặp, Đánh giá sai số. C. CÂU HỎI LOẠI 3 (25’) 1. Tìm nghiệm hệ phương trình 2x 1 + 3x 2 +x 3 = 11 -x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 3x 1 +2x 3 = 9 Bằng phương pháp khử Gauss 2. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 10 2 1 x 1 17 A = 1 10 2 , x = x 2 b = 27 1 1 10 x 3 33 Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss hoặc Gauss-Jordan. 3. Tìm nghiệm hệ phương trình 4x 1 + 3x 2 +x 3 = 13 -3x 1 + 2x 2 - x 3 = -4 3x 1 +2x 3 = 9 Bằng phương pháp khử Gauss 4. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 10 2 1 x 1 10 A = 1 10 2 , x = x 2 b = 12 1 1 10 x 3 8 3 Hệ Phương trình trên có thoả mãn tính chất đường chéo trội không? Nếu có hãy giải bằng phương pháp Jacobi với giá trị xuất phát: x (0) = (0,0,0) T qua 3 bước lặp x (1) , x (2) , x (3) và đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x (3) theo chuẩn || . || ∞ (Công thức sai số: ||x (k) - x * || ≤ ||C ||1 ||C || − ||x (k) - x (k-1) ||≤ ||C ||1 ||C|| k − ||x (1) - x (0) ||) 5. Cho bảng các giá trị của hàm y = sin( 2 x ) tại các nút như sau: I x i y i 0 0 0,000 1 1,5 0,682 2 2,0 0,841 Hãy tính gần đúng giá trị của hàm y tại x = 1 bằng đa thức nội suy lagrange đi qua các điểm (x i ,y i ) trên. Đánh giá sai số lý thuyết của giá trị gần đúng nhận được. (Công thức sai số lý thuyết: R(x) = )!1( )( )1( + + n f n η ω n+1 (x)) 6. Cho bảng các giá trị của hàm y = sin(x/3) tại các nút như sau: I x i y i 0 0 0,000 1 1,5 0,479 2 2,0 0,618 Hãy tính gần đúng giá trị của hàm y tại x = 1 bằng đa thức nội suy lagrange đi qua các điểm (x i ,y i ) trên. Đánh giá sai số lý thuyết của giá trị gần đúng nhận được.(Công thức sai số lý thuyết: R(x) = )!1( )( )1( + + n f n η ω n+1 (x)) 7. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 5 1 2 x 1 10 A = 3 -8 2 , x = x 2 b = -1 1 2 4 x 3 11 Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss 8. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 1 1 2 x 1 0.6 A = 2 1 1 x = x 2 b = 0.5 1 1 1 x 3 0.5 Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss-Jordan. 9. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 4 0.5 0.1 0.2 x 1 1 A = 0.3 -0.8 0.2 , x= x 2 b = -0.1 0.1 0.2 0.4 x 3 1.1 Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss 10. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng 5 1 2 x 1 10 A = 3 -8 2 , x = x 2 b = -1 1 2 4 x 3 11 Hãy giải hệ phương trình này bằng phương pháp khử Gauss-Jordan. 11. Cho hệ phương trình Ax = b (1), trong đó ma trận A và các véc tơ x, b có dạng: A = Hệ Phương trình trên có thoả mãn tính chất đường chéo trội không? Nếu có hãy giải bằng phương pháp Jacobi với giá trị xuất phát: x (0) = (0,0,0) T qua 3 bước lặp x (1) , x (2) , x (3) và đánh giá sai số của nghiệm gần đúng x (3) theo chuẩn || . || ∞ (Công thức sai số: ||x (k) - x * || ≤ ||C ||1 ||C || − ||x (k) - x (k-1) ||≤ ||C ||1 ||C|| k − ||x (1) - x (0) ||) D. CÂU HỎI LOẠI 4 (20’) 1. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x-sinx = 0,25 bằng phương pháp lặp. 2. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -x-1=0 bằng phương pháp chia đôi. 3. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -x-1=0 bằng phương pháp dây cung 4. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 2 -2=0 bằng phương pháp chia đôi. 5. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 2 -3=0 bằng phương pháp dây cung. 6. Viết chương trình tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến bằng phương pháp tiếp tuyến với phương trình bất kỳ nếu thoả mãn. 7. Viết hàm cài đặt thuật toán khử Gauss 8. Viết hàm cài đặt thuật toán khử Gauss-Jordan 9. Viết hàm cài đặt thuật toán lặp Gauss-Seidel 10. Viết hàm cài đặt thuật toán lặp Jacobi 6 2 1 1 6 2 1 1 6 17 ; b = 27 20 x 1 ; x = x 2 x 3 . tuyến. Nêu sai số của phương pháp. 3. Hãy mô tả phương pháp tiếp tuyến để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai số của ph ương pháp. 4. Hãy mô tả phương pháp lặp đơn để. 1. Hãy mô tả phương pháp chia đôi để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi tuyến. Nêu sai số của phương pháp. 2. Hãy mô tả phương pháp dây cung để tìm nghiệm gần đúng của phương trình phi. đúng của phương trình phi tuyến. Nêu điều kiện hội tụ và đánh giá sai số của phương pháp. 5. Hãy mô tả phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân xác định. Nêu sai số của phương pháp.