31 Ví dụ. Đường kính của một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn. Người ta đo thử 28 chi tiết máy do một máy sản xuất và tìm được phương sai mẫu hiệu chỉnh là S 2 = (2,0853) 2 (cm 2 ). a) Khi máy hoạt động bình thường thì độ lệch chuẩn của X của các chi tiết máy do máy sản xuất là 1,8cm. Với mức ý nghóa 1%, hãy xét xem máy có hoạt động bình thường không. b) Theo qui đònh mới, nếu độ lệch chuẩn của X lớn hơn 1,6cm thì phải điều chỉnh lại máy. Với mức ý nghóa 5%, có phải điều chỉnh lại máy không? Giải. Ta có: - Cỡ mẫu n = 28. - Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X: 222 S (2,0853) (cm ).= a) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về phương sai σ 2 = D(X) với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H 0 : σ 2 = (1,8) 2 với giả thiết đối H 1 : σ 2 ≠ (1,8) 2 Bước 1: Ta có: 22 22 0 (n 1)S 27.(2,0853) z 36,2373 (1, 8) − == = σ Bước 2: Tra bảng Phân phối Chi bình phương χ 2 với k= n-1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 22 0,005 2 49,65 α χ=χ = và 22 0,995 1 2 α − χ=χ= 11,80765. Bước 3: Kiểm đònh. Vì 2 1 2 11,80765 α − χ= ≤ z = 36,2373 ≤ 2 2 49,65 α = χ nên ta chấp nhận giả thiết H 0 : σ 2 = (1,8) 2 . Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, máy hoạt động bình thường. b) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về phương sai σ 2 = D(X) với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H 0 : σ 2 = (1,6) 2 với giả thiết đối H 1 : σ 2 > (1,6) 2 Bước 1: Ta có: 22 22 0 (n 1)S 27.(2,0853) z 45,8628 (1, 6) − == = σ Bước 2: Tra bảng phân phối Chi bình phương χ 2 với k = n – 1 = 27 bậc tự do, ta tìm được 22 0,05 40,11 α χ=χ = . Bước 3: Kiểm đònh. 32 Vì z = 45,8628 > 2 40,11 α = χ nên ta bác bỏ giả thiết H 0 : σ 2 = (1,6) 2 , nghóa là chấp nhận H 1 : σ 2 > (1,6) 2 . Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, phải điều chỉnh lại máy. 3.4. Kiểm đònh giả thiết về so sánh hai kỳ vọng 1) Kiểm đònh hai phía: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μ X = M(X) và μ Y = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0< α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu X 12 n (X , X , , X ) và Y 12 n (Y , Y , , Y ) ta có qui tắc kiểm đònh giả thiết hai phía về so sánh hai kỳ vọng như sau: BẢNG 8A KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG H 0 : μ X = μ Y với giả thiết đối H 1 : μ X ≠ μ Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước n X ≥ 30 và n Y ≥ 30 n X < 30 hoặc n Y < 30 1) Tính z 22 XY XY XY z SS nn − = + 22 XY XY XY z SS nn − = + 2) Tra Bảng z α k t α 3a) Chấp nhận H 0 |z|≤ z α |z|≤ k t α 3b) Bác bỏ H 0 |z| > z α |z| > k t α • z α thoả ϕ(z α ) = (1 - α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace • k t α với k = n X + n Y - 2 tra từ Bảng Phân phối Student 2) Kiểm đònh hai phía: Xét hai đám đông X, Y với các kỳ vọng μ X = M(X) và μ Y = M(Y) đều chưa biết. Với mỗi số α (0< α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu X 12 n (X , X , , X ) và Y 12 n (Y , Y , , Y ) ta có qui tắc kiểm đònh giả thiết một phía về so sánh hai kỳ vọng như sau: 33 BẢNG 8B KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG H 0 : μ X = μ Y với giả thiết đối H 1 : μ X > μ Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước n X ≥ 30 và n Y ≥ 30 n X < 30 hoặc n Y < 30 1) Tính z 22 XY XY XY z SS nn − = + 22 XY XY XY z SS nn − = + 2) Tra Bảng z 2α k 2 t α 3a) Chấp nhận H 0 z ≤ z 2α z ≤ k 2 t α 3b) Bác bỏ H 0 z > z 2α z > k 2 t α • z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 - 2α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace • k 2 t α với k = n-1 tra từ Bảng Phân phối Student BẢNG 8C KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI KỲ VỌNG H 0 : μ X = μ Y với giả thiết đối H 1 : μ X < μ Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước n X ≥ 30 và n Y ≥ 30 n X < 30 hoặc n Y < 30 1) Tính z 22 XY XY XY z SS nn − = + 22 XY XY XY z SS nn − = + 2) Tra Bảng z 2α k 2 t α 3a) Chấp nhận H 0 -z ≤ z 2α -z ≤ k 2 t α 3b) Bác bỏ H 0 -z > z 2α -z > k 2 t α • z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 - 2α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace • k 2 t α với k = n-1 tra từ Bảng Phân phối Student Ví dụ. Theo dõi giá cổ phiếu của hai công ty A và B trong một số ngày, người ta tính được các số liệu sau: Kỳ vọng mẫu Độ lệch mẫu hiệu chỉnh Công ty A 38,24 2,2 Công ty B 37,10 1,5 34 a) Cho biết số liệu trên có được từ 31 ngày theo dõi giá trò cổ phiếu (mỗi ngày một giá trò cho mỗi công ty). Vậy với mức ý nghóa 1%, có thể nói rằng có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B hay không? b) Cho biết số liệu trên có được từ 20 ngày theo dõi giá trò cổ phiếu (mỗi ngày một giá trò cho mỗi công ty).Với mức ý nghóa 4%, có thể nói rằng giá cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B hay không (Giả sử các giá trò cổ phiếu có phân phối chuẩn)? Giải. a) Đây là bài toán kiểm đònh về so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H 0 : μ A = μ B với giả thiết đối H 1 : μ A ≠ μ B Vì n A = n B = 31 > 30 nên ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Ta có: AB 22 2 2 AB AB XX 38,24 37,1 z 2,3838. SS (2,2)(1,5) nn 31 31 − − == = ++ Bước 2: Tra bảng giá trò hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(z α ) = (1 - α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được z α = 2,58. Bước 3: Kiểm đònh. Vì |z|= 2,3838 < 2,58 = z α nên ta chấp nhận giả thiết H 0 : μ A = μ B . Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, giá trò cổ phiếu trung bình của hai công ty A và B có thể xem là như nhau, nghóa là không có sự khác biệt thực sự về giá cổ phiếu trung bình của hai công ty này. b) Đây là bài toán kiểm đònh về so sánh hai kỳ vọng với mức ý nghóa α = 4% = 0,04: H 0 : μ A = μ B với giả thiết đối H 1 : μ A > μ B Vì n A = n B = 20 < 30 và các giá trò cổ phiếu X A , X B đều có phân phối chuẩn nên ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Ta có: AB 22 2 2 AB AB XX 38,24 37,1 z 1,9147. SS (2,2)(1,5) nn 20 20 − − == = ++ Bước 2: Đặt k = n A + n B – 2 = 38. Tra bảng phân phối Student ứng với k = 38 và 2α = 0,08 ta được k 2 t α = 1,799. 35 Bước 3: Kiểm đònh: Vì z = 1,9147 > 1,799 = k 2 t α nên ta bác bỏ H 0 : μ A = μ B , nghóa là chấp nhận μ A > μ B . Kết luận: Với mức ý nghóa 4%, có thể xem giá trò cổ phiếu trung bình của công ty A thực sự cao hơn của công ty B. 3.5. Kiểm đònh giả thiết về so sánh hai tỉ lệ 1) Kiểm đònh hai phía: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ p X ; Y có tỉ lệ p Y đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu X 12 n (X , X , , X ) và Y 12 n (Y , Y , , Y ) ta có qui tắc kiểm đònh giả thiết hai phía về so sánh hai tỉ lệ như sau: BẢNG 9A KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ H 0 : p X = p Y (= p 0 )với giả thiết đối H 1 : p X ≠ p Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước p 0 đã biết p 0 chưa biết 1) Tính z XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ ′′ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ với XnX YnY 0 XY nF nF p nn + ′ = + 2) Tra Bảng z α z α 3a) Chấp nhận H 0 |z| ≤ z α |z| ≤ z α 3b) Bác bỏ H 0 |z| > z α |z| > z α z α thoả ϕ(z α ) = (1 - α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace 2) Kiểm đònh một phía: Xét hai đám đông X, Y trong đó X có tỉ lệ p X ; Y có tỉ lệ p Y đều chưa biết. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, dựa vào các mẫu X 12 n (X , X , , X ) và Y 12 n (Y , Y , , Y ) ta có qui tắc kiểm đònh giả thiết một phía về so sánh hai tỉ lệ như sau: 36 BẢNG 9B KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ H 0 : p X = p Y (= p 0 )với giả thiết đối H 1 : p X > p Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước p 0 đã biết p 0 chưa biết 1) Tính z XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ ′′ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ với XnX YnY 0 XY nF nF p nn + ′ = + 2) Tra Bảng tìm z 2α z 2α 3a) Chấp nhận H 0 z ≤ z 2α z ≤ z 2α 3b) Bác bỏ H 0 z > z 2α z > z 2α z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 – 2α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace BẢNG 9C KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ SO SÁNH HAI TỈ LỆ H 0 : p X = p Y (= p 0 )với giả thiết đối H 1 : p X < p Y (mức ý nghóa α) Trường hợp Bước p 0 đã biết p 0 chưa biết 1) Tính z XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ XY nn 00 XY FF z 11 p(1 p) nn − = ⎛⎞ ′′ −+ ⎜⎟ ⎝⎠ với XnX YnY 0 XY nF nF p nn + ′ = + 2) Tra Bảng z 2α z 2α 3a) Chấp nhận H 0 -z ≤ z 2α -z ≤ z 2α 3b) Bác bỏ H 0 -z > z 2α -z > z 2α z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 – 2α)/2 tra từ Bảng giá trò hàm Laplace Ví dụ. Khảo sát một số sản phẩm cùng loại ở hai kho I và II, ta thu được các số liệu sau: Số sản phẩm Số phế phẩm Kho I 100 4 Kho II 200 24 a) Với mức ý nghóa 5%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở hai kho là như nhau hay không? 37 b) Với mức ý nghóa 1%, có thể nói rằng chất lượng hàng ở kho I tốt hơn kho II không? Giải. Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra: - Đối với kho I: Cỡ mẫu n 1 = 100; tỉ lệ mẫu phế phẩm F n1 = 0,04. - Đối với kho II: Cỡ mẫu n 2 = 200; tỉ lệ mẫu phế phẩm F n2 = 0,12. - 1n1 2n2 0 12 nF nF 100.0,4 200.0,12 7 p. n n 100 200 75 + + ′ == = ++ a) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H 0 : p 1 = p 2 với giả thiết đối H 1 : p 1 ≠ p 2 Ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Ta có: n1 n2 00 12 FF 0, 04 0,12 z 2,2454. 7711 11 1 p(1 p) 75 75 100 200 nn − − == =− ⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞ −+ ′′ −+ ⎜⎟⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎝⎠ Bước 2: Tra bảng giá trò hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(z α ) = (1 - α)/2 = 0,95/2 = 0,475 ta được z α = 1,96. Bước 3: Kiểm đònh: Vì |z|= 2,2454 > 1,96 = z α nên ta bác bỏ giả thiết H 0 : p 1 = p 2 , nghóa là chấp nhận H 1 : p 1 ≠ p 2 . Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, chất lượng hàng ở hai kho không như nhau. b) Đây là bài toán kiểm đònh giả thiết về so sánh hai tỉ lệ với mức ý nghóa α = 1% = 0,01: H 0 : p 1 = p 2 với giả thiết đối H 1 : p 1 < p 2 Ta kiểm đònh như sau: Bước 1: Tính z như trong Bước 1 ở câu a) ta được z= -2,2454. Bước 2: Tra bảng giá trò hàm Laplace để tìm z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 - 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49 ta được z 2α = 2,33. Bước 3: Kiểm đònh: Vì -z = 2,2454 < 2,33 = z 2α nên ta chấp nhận giả thiết H 0 : p 1 = p 2 . Kết luận: Với mức ý nghóa 1%, chưa thể nói rằng chất lượng hàng ở kho I tốt hơn kho II. 38 3.6. Kiểm đònh giả thiết về phân phối 1) Bài toán. Xét đám đông X chưa biết luật phân phối. Với mỗi số α (0 < α < 1) khá bé, hãy dựa vào một mẫu thu được của X để kiểm đònh giả thiết: H 0 : X có phân phối theo qui luật đã cho với giả thiết đối: H 1 : X không có phân phối theo qui luật đã cho với mức ý nghóa α. 2) Qui tắc kiểm đònh: Giả sử mẫu thu được gồm k nhóm có dạng: X i x 0 -x 1 x 1 -x 2 x i-1 -x i x k-1 -x k n i n 1 n 2 n i n k trong đó các giá trò n i (ngoại trừ n 1 và n k ứng với các khoảng đầu và cuối) không quá bé (n i ≥ 5). Đối với trường hợp rời rạc, ta thay khoảng x i-1 -x i bởi i1 i i xx x 2 − + ′ = , hơn nữa, khi X có thể lấy vô hạn giá trò, ta còn phải thay khoảng cuối x k-1 -x k bằng (x k-1 ,+∞) (hoặc khoảng đầu x 0 -x 1 bằng (-∞, x 1 ), nếu cần). Dựa vào phân phối đã cho trong H 0 để tính các xác suất p i = P(X = x i ′). Đối với trường hợp X liên tục, ta thay khoảng đầu x 0 -x 1 bằng (-∞, x 1 ); thay khoảng cuối x k-1 -x k bằng (x k-1 ,+∞) và dựa vào phân phối đã cho trong H 0 để tính các xác suất p i = P(x i-1 ≤ X ≤ x i ). Chú ý. Khi tính các p i , nếu chưa biết tham số nào của phân phối đã cho thì ta thay bằng ước lượng không chệch từ mẫu đang xét. Ta có qui tắc kiểm đònh như sau: BẢNG 10 KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT VỀ PHÂN PHỐI H 0 : X có phân phối theo qui luật đã cho (mức ý nghóa α) Bước 1: Tính 2 χ 2 k 2 ii i i1 (n np ) np = − χ= ∑ Bước 2: Tra Bảng 2 α χ Bước 3a: Chấp nhận H 0 2 χ ≤ 2 α χ Bước 3b: Bác bỏ H 0 2 χ > 2 α χ 2 α χ tra từ Bảng Phân phối Chi bình phương χ 2 với k – r –1 bậc tự do, trong đó r là số tham số chưa biết của phân phối. 39 Ví dụ 1. Điều tra 160 gia đình 4 con ở một vùng dân cư người ta thu được bảng số liệu sau: Số con gái 0 1 2 3 4 Số gia đình 16 48 62 30 4 Với mức ý nghóa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia đình 4 con có phân phối nhò thức hay không? Giải. Gọi X là số số con gái trong một gia đình 4 con. Bài toán yêu cầu kiểm đònh giả thiết sau với mức ý nghóa α = 5% = 0,05: H 0 : X có phân phối nhò thức X ∼ B(4,p) với p chưa biết với giả thiết đối: H 1 : X không có phân phối nhò thức như trên. Trước hết ta thay p bằng tỉ lệ mẫu số con gái trong một gia đình: n 1.48 2.62 3.30 4.4 p F 0,4344. 160.4 +++ ≈= = Ta tính các p i = P(X = i) theo công thức Bernoulli: ii4i i4 p C (0,4344) (0,5656) − = Cụ thể ta tính được: p 0 = 0,1023; p 1 = 0,3144; p 2 = 0,3622; p 3 =0,1855; p 4 =0,0356. Ta lập bảng: X i n i p i np i (n i -np i ) 2 /np i 0 16 0,1023 16,368 0,0083 1 48 0,3144 50,304 0,1055 2 62 0,3622 57,952 0,2828 3 30 0,1855 29,68 0,0035 4 4 0,0356 5,696 0,5050 Tổng n = 160 χ 2 = 0,9051 Bước 1: Ta có 2 k 2 ii i i1 (n np ) 0,9051 np = − χ= = ∑ . Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do p chưa biết). Ta có k – r – 1 = 5 – 1 – 1 = 3. Tra bảng phân phối Chi bình phương χ 2 ∼ χ 2 (3) với 3 bậc tự do, ta được: 22 0,05 7, 815 α χ=χ = . Bước 3: Kiểm đònh: Vì 2 χ = 0,9051 < 7,815 = 2 α χ nên ta chấp nhận giả thiết H 0 . Kết luận: Với mức ý nghóa 5%, có thể cho rằng số con gái trong một gia đình 4 con là X có phân phối nhò thức: X ∼ B(4, 0,4344). 40 Ví dụ 2. Quan sát một số người đến một trung tâm bưu điện trong 110 khoảng (mỗi khoảng 5 phút) ta thu được kết quả sau: Số người 0 1 2 3 4 5 Số khoảng 19 34 19 15 12 11 Gọi X là số người đến trung tâm này trong một khoảng thời gian 5 phút. Với mức ý nghóa 3%, có thể cho rằng X có phân phối Poisson hay không? Giải. Bài toán yêu cầu kiểm đònh giả thiết sau với mức ý nghóa α = 3% = 0,03: H 0 : X có phân phối Poisson X ∼ P(a) (a chưa biết) với giả thiết đối: H 1 : X không có phân phối Poisson. Trước hết ta thay a bằng kỳ vọng mẫu ii 1 aX Xn 2 n ≈ == ∑ Ta tính các p i = P(X = i) theo công thức: 2i i e2 p i! − = và lập bảng: X i n i p i np i (n i -np i ) 2 /np i 0 19 0,135335 14,8869 1,136408 1 34 0,270671 29,7738 0,599882 2 19 0,270671 29,7738 3,898554 3 15 0,180447 19,8492 1,184669 4 12 0,090224 9,92464 0,434982 (5;+∞) 11 0,052652 5,79172 4,683614 Tổng n = 110 χ 2 =11,9381 Bước 1: Ta có 2 k 2 ii i i1 (n np ) 11,9381. np = − χ= = ∑ Bước 2: Số tham số chưa biết là r = 1 (do a chưa biết). Ta có k – r – 1 = 6 – 1 – 1 = 4. Tra bảng phân phối Chi bình phương χ 2 ∼ χ 2 (4) với 4 bậc tự do, ta được: 22 0,03 10,7119 α χ=χ = . Bước 3: Kiểm đònh: Vì 2 χ = 11,9381 > 10,7119 = 2 α χ nên ta bác bỏ giả thiết H 0 . Kết luận: Với mức ý nghóa 3%, X không có phân phối Poisson. . np i (n i -np i ) 2 /np i 0 19 0,135335 14, 8869 1,13 640 8 1 34 0,270671 29,7738 0,599882 2 19 0,270671 29,7738 3,8985 54 3 15 0,18 044 7 19, 849 2 1,1 846 69 4 12 0,0902 24 9,9 246 4 0 ,43 4982 (5;+∞). n 1 .48 2.62 3.30 4. 4 p F 0 ,43 44. 160 .4 +++ ≈= = Ta tính các p i = P(X = i) theo công thức Bernoulli: ii4i i4 p C (0 ,43 44) (0,5656) − = Cụ thể ta tính được: p 0 = 0,1023; p 1 = 0,3 144 ;. p 3 =0,1855; p 4 =0,0356. Ta lập bảng: X i n i p i np i (n i -np i ) 2 /np i 0 16 0,1023 16,368 0,0083 1 48 0,3 144 50,3 04 0,1055 2 62 0,3622 57,952 0,2828 3 30 0,1855 29,68 0,0035 4 4 0,0356