Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ VI: Vài cách giải dặc biệt với phương trình khơng chuẩn mực Phương pháp tổng hai số âm: A ≥  ⇔ A=B=0 B ≥ A + B =  Phương pháp đối lập (chặn chặn hai vế) A ≥ M  B ≤ M ⇔ A = B = M A = B  Phương pháp phản chứng: A ≤ M A = M  ⇔ B ≤ N B = N A + B = M + N  Phương pháp biến đổi phương trình dạng tích có vế phải 1, nhân tử bị chặn ±1 :  A ≤1  A = B =1  B ≤1 ⇔   A.B =  A = B = −1  Dùng tham số ẩn số Đoán nghiệm chứng minh nghiệm Nguyễn Văn Hải 17 Phương trình lượng giác Ví dụ 1: Giải phương trình sau: a, cos x + tan x − cos x + tan x + = (1) b, cos x − cos x + 4(3sin x − 4sin x + 1) = (2) GIẢI: a, ĐK: x ≠ π + kπ (1) ⇔ (4 cos − cos x + 3) + (3 tan x + tan x + 1) = ( ⇔ cos x − ) +( )  cos x =  ⇔  tan x = −   π  x = ± + 2mπ   ⇔ π  x = − + nπ   tan x + = (m, n ∈ Z) So với điều kiện x = − π + k 2π nghiệm (1) k ∈ Z b, (2) ⇔ ( + cos x ) + ( − cos x ) + 4sin x + = ⇔ cos x + 2sin x + 4sin x + = ⇔ cos x x + (sin x + 1) = cos x = ⇔ sin x = −1 π   x = + kπ  ⇔  x = − π + k 2π   π ⇔ x = + l 2π (l ∈ Z) Nguyễn Văn Hải 18 Phương trình lượng giác Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a, cos x = + x (1)  π với x ∈  0,   2 b,2sinx = cos x (2) GIẢI: a, Ta nhận thấy x = nghiệm (1) Đặt f ( x ) = + x − cos x f ′( x) = + sinx ≥ ∀x ∈ R ⇒ f ( x) hàm tăng Do đó: x >0 ⇒ f ( x) > f (0) ⇒ + x − cos x > ⇒ cos x < + x : x > không nghiệm (1) x + x : x < o không nghiệm (1) Vậy x = nghiệm b, Với - x = : VT = 2sin0 = 20 = VP = cos = ⇒ x = nghiệm (2) - 0< x< π : ⇒ sin x > ⇒ 2sin x > 20 = :VT > 0< x< π Vậy: < x < ⇒ cos x < :VP < π khơng nghiệm (2), đó: x = nghiệm Nguyễn Văn Hải 19 Phương trình lượng giác *Bài tập: 6.1: Giải phương trình sau: a, cos x + − cos x = 2(1 + sin 2 x) b, sin3x + cos3x = – sin4x c, 4cosx – 2cos2x – cos4x = d, sin2x + sin2y + sin2(x + y) = e, tan2x + tan2y + cot2(x + y) = f, cos x 1 − + cos x −1 = cos x cos x g, cot x + cot x + =0 sin x.sin x.sin x 2 h, sin x + sin x = sin x.sin x 2     i,  cos x + ÷ +  sin x + ÷ = 12 + sin y cos x   sin x   j, x2 – 2x.sinxy + = 6.2: Giải phương trình sau: sin x a, = sin x + b, sin x sin x = cos x c, cos ( x + x ) = 3− x +3 x d, tan x + cot x = 2sin x e, tan x + tan y + cot x.cot y = + sin ( x + y ) Nguyễn Văn Hải 20 Phương trình lượng giác 6.3: Giải phương trình sau: a, cos x = − b, x − sin x2 π π (1 − x) ( x + 1)sin =0 3 với x ∈ [ 0,1] với ≤ x ≤ c, sin x + tan x − x = d, 2m − 2m(cos x + sin x) + π = cos x − sin x (theo tham số m) e, cos x + 1995.sin1994 x = 1995 6.4: a, Giải phương trình: ( cos x − cos x ) = + sin x b, Định a để phương trình sau có nghiệm: ( cos x − cos x ) = ( a + 4a + 3) ( a + 4a + ) + + sin x 6.5: a, Với giá trị a thi phương trình: + sin2ax = cosx Có nghiệm nhất? b, Chứng minh a số hữu tỷ khác b số vơ tỷ phương trình: + sin2ax = cox bx Có nghiệm 6.6: a, Định điều kiện a, b để phương trình sau có nghiệm: x + = 2[x-2cos(ax+b)] b, Định a, b để nghiệm phương trình sin(x + y) = a nghiệm phương trình cos(x + y) = b Nguyễn Văn Hải 21 Phương trình lượng giác VẤN ĐỀ VII: Tìm nghiệm phương trình lượng giác thoả mản điều kiện cho trước Giải phương trình siêu việt chứa biểu thức lượng giác Với phương trình lượng giác cho thêm điều kiện nghiệm, giải xong ta phải dựa vào điều kiện mà chọn nghiệm Nếu điều kiện nghiệm khoảng cho trước việc chọn nghiệm dẫn đến việc giải bất phương trình tập số nguyên Nếu điều kiện nghiệm cần thoả bất phương trình chứa hàm lượng giác, việc chọn nghiệm thiết thực khoảng BSCNN chu kỳ hàm số lượng giác có mặt phương trình bất phương trình điều kiện Việc giải phương trình siêu việt chứa biểu thức lượng giác, thường tuỳ thuộc đặc trưng phương trình Cần kết hợp cách giải phương trình mũ, logarit với giải phương trình lượng giác Đơi sử dụng phương pháp đối lập, đoán nghiệm Chú ý đến điều kiện ban đầu tốn Ví dụ: Tìm tổng nghiệm phương trình: cos x − tan x = cos x − cos3 x − (1) thoả ≤ x ≤ 70 cos x GIẢI: Điều kiện: x≠ π + kπ (1) ⇔ cos x − − tan x = − cos x − − tan x ⇔ cos x + cos x − =  cos x = −1 ⇔  cos x =   x = π + k 2π ⇔  x = ± π + k 2π  π 2π ⇔ x= +k 3 Nguyễn Văn Hải 22 Phương trình lượng giác Vì ≤ x ≤ 70 ⇔ ≤ π 2π +k ≤ 70 3 3−π 210 − π ≤k≤ ,k ∈Z 2π 2π ⇔ k ∈ { 0,1, 2, ,31,32} ⇔ Phương trình (1) có 33 nghiệm [1;70] lập thành cấp số cộng : x0 = π π 2π π π 2π ; x1 = + ; ; x32 = + 32 có cơng sai 3 3 3 S = x0 + x1 + x2 +…+ x32 = 33  π  π 2π  +  + 32    ÷  = 363π * Bài tập: 7.1: Tìm nghiệm phương trình: π 3π   sin  x − ÷ − cos  x + 4    ÷=  thoả mãn bất phương trình: cos x cos + sin 7.2: Giải phương trình sau: a, In sin ( x + x )  =   x x     b, log  sin − sin x ÷ + log  sin + cos x ÷ = 2    3 c, 2log ( cot x ) = log (cos x) 7.3: Tìm nghiệm phương trình ( cos5 x + cos x ) − cos 2 x + sin x = thoả mãn điều kiện x < 7.4: Tìm nghiệm phương trình: tan x + sin x + tan x − sin x = 3tan x a, Trên [ 0, π ] Nguyễn Văn Hải 23 Phương trình lượng giác b, Trên tồn trục số 7.5: Tìm nghiệm phương trình: π 5π   sin  x + ÷+ cos  x + 4    ÷=  thoả mãn bất phương trình cos x > 2− sin x cos − sin 7.6: Giải phương trình sau: 2 a, 4sin x + 41+ cos x = 10 b, log cos x sin x + log sin x cos x = x x −x c, 2cos = +  + sin x + cos x  d, sin x + cos x − sin x.cos x = + lg  ÷  + sin x.cos x  VẤN ĐỀ VIII: Tính giá trị biểu thức, tìm miền giá trị (GTLN, GTNN) hàm số phương pháp giải phương trình Nguyễn Văn Hải 24 Phương trình lượng giác Để tính giá trị hàm lượng giác cung, dựa vào mối liên hệ cung (bù, phụ, π , π ,…) công thức lượng giác, ta lập phương trình bậc hai hay ba mà hàm lượng giác nghiệm Giải phương trình ta tính giá trị Để tính giá trị biểu thức lượng giác số, ta lập phương trình lượng giác (tương tự trên) nhận hàm lượng giác biểu thức nghiệm Dựa vào định lý Viète phương trình bậc n ta suy giá trị biểu thức GHI CHÚ: Nếu phương trình có n nghiệm a1, …, an thì: (x-a1)(x-a2)…(x-an) = ⇔ x1n-S1xn-1+S2xn-2-S3xn-3+…+ (-1)nSn = Với: S1 = a1 + a2 + …+ an S2 = a1a2 + a2a3 + …+ ana1 ………………………………………… Sn = a1a2…an Để tìm miền giá trị hàm ( hay tìm GTLN, GTNN), ta làm sau: • Tim D (Miền xác định) • Lấy y ∈ T (Miền giá trị), giải phương trình y = f ( x) với x ∈ D Khi giải xong phương trình y = f ( x) ta thương đưa dngj phươg trình bậc hai hay bậc sinx, cosx Từ điều kiện có nghiệm phương trình suy miền giá trị cần tìm Ví dụ 1: Khơng dùng bảng tính sin 180 Nguyễn Văn Hải 25 Phương trình lượng giác GIẢI: sin 540 = cos360 Ta có: (540 + 360 = 900 ) ⇔ sin 3(180 ) = cos 2(180 ) ⇔ 3sin180 − 4sin 180 = − 2sin 180 ⇔ 4sin 180 − 2sin 180 − 3sin180 + Đặt: x = sin180 : < x < (1) ⇔ 4x3 – 2x2 – 3x + = ⇔ (x – 1)(4x2 + 2x – 1) = ⇔ 42 + 2x – =  −1 − (loại)