MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN Bài toán 1: Cho hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) có phương trình: (P 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 và (P 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 Với A 1 : B 1 : C 1 ≠ A 2 : B 2 : C 2 và điểm M O (xo; yo; zo) không thuộc (P 1 ) và (P 2 ). Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (P 1 ), (P 2 ) chứa điểm M O hoặc góc đối đỉnh của nó. Phương pháp thực hiện: Gọi P là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán khi đó M (x; y; z) ∈ (P)  M và M O cùng phía với (P 1 ) M và M O cùng phía với (P 2 ) d (M, (P 1 ) = d (M 1 , (P 2 )) (A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 ) (A 1 x O + B 1 y O + C 1 z O + D 1 ) >O  (A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 ) (A 2 x O + B 2 y O + C 2 z O + D 2 ) >O Từ hệ trên ta có được phương trình mặt phẳng (P) cần tìm. Bài toán 2 : Lập phương trình mặt phẳng phân giác của góc nhò diện (A,BC,D) Phương pháp thực hiện: Gọi (P) là mặt phẳng phân giác cần tìm. Khi đó, điểm M (x; y; z) ∈ (P):  M và A cùng phía với (BCA) M và D cùng phía với (ABC) d (M, (ABC) = d (M, (BCD)) Từ hệ đó ta có được phương trình mặt phẳng cần tìm. Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ) cho trước. Chú ý: Bài toán còn có thể phát hiểu dưới dạng khác “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d 1 )”. Phương pháp thực hiện: Cách 1: - Bước 1: Xác đònh các VTCP của (d 1 ), (d 2 ) - Bước 2: Gọi u r là một VTCP của đường thẳng (d), ta có: 1 2 &u u u u⊥ ⊥ ur r uur r 1 2 [ ; ]u u u⇒ = r ur uur Qua A Và có VTCP u r Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P 1 ) thỏa: Qua A (P 1 ) ⊥ (d 1 ) - Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P 2 ) thỏa: Qua A và (P 2 ) ⊥ (d 2 ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A x B y C z D A x B y C z D A B C B CA + + + + + + = + + + + - Bước 3: Khi đó (d) chính là giao tuyến của (P 1 ) và (P 2 ) Chú ý: Nếu ta chọn cách 2 thì lập phương trình tổng quát,rồi từ đó đưa về phương trình tham số và chính tắc , còn cách 1 thì lập phương trình tham số và chính tắc. Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng đi qua A vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt đường thẳng (d 2 ). Chú ý: Bài toán còn có thể phát biểu dưới dạng: “Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A vuông góc với 1 vectơ (hoặc song song với một mặt phẳng) và cắt đường thẳng (d 1 )”. Phương pháp thực hiện: Ta có thể thực hiện một trong ba cách sau: Qua A và (d 1 ) ⊥ (P 1 ) Qua A và (d 2 ) ⊥ (P 2 ) - Bước 3: Kết luận. * Nếu (P 1 ) ≡ (P 2 ): Bài toán có vô số nghiệm. * Nếu (P 1 ) ≠ (P 2 ): Gọi (d) là giao tuyến của (P 1 ) và (P 2 ): + d // d 2 thì bài toán vô nghiệm. + Còn lại, ta kết luận d là đường thẳng cần dựng. Qua A và (d 1 ) ⊥ (P) - Bước 2: Xác đònh giao điểm B của (d 2 ) và (P) * Nếu không tồn tại giao điểm. Kết luận vô nghiệm. * Nếu có vô số giao điểm (d 2 ⊂ (P 2 )). Kết luận có vô số đường thẳng trong (P) đi qua A cắt (d 2 ). * Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện bước 3. Qua A và có VTCP AB uuur Cách 3: Được thực hiện khi (d 2 ) cho dưới dạng tham số. - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d 2 ) tại B, khi đó tọa độ B thỏa phương trình tham số của (d 2 ), từ đó suy ra AB. Xác đònh tọa độ 1 u ur là VTCP của (d 1 ). - Bước 2: Vì (d) ⊥ (d 1 )  1 . 0AB u = uuur ur => tọa độ điểm B. Qua A và có VTCP AB uuur Chú ý: Cách 1 dẫn đến lập phương trình tổng quát của đường thẳng (d), sau đó đưa về chính tắc hay tham số , còn ta sử dụng cách 2 và 3 thì đưa về lập phương trình chính tắc và tham số. Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt hai đường thẳng (d 1 và (d 2 ). Bài toán còn được mở rộng khi ta thay điều kiện điểm A bằng điều kiện: - (d) // (d 3 ) và cắt (d 1 ) và (d 2 ) hoặc là: - (d) ⊥ (P) và cắt (d 1 ) và (d 2 ) (trong đó d 3 là đường thằng, (P) là mặt phẳng cho trước). Phương pháp thực hiện: Qua A và (d 1 ) ⊂ (P 1 ) Qua A và (d 2 ) ⊂ (P 2 ) - Bước 3: Kết luận d là giao của (P 1 ) và (P 2 ) + Nếu (P 1 ) song song hoặc trùng (P 2 ) thì vô nghiệm 2 + Nếu d // d 1 hoặc d // d 2 thì vô nghiệm. + Còn lại ta kết luận d chính là đường thẳng cần tìm. Cách 2: - Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A và chứa d 1 . - Bước 2: Xác đònh giao điểm B của (d 2 ) và (P) + Nếu không tồn tại giao điểm, kết luận vô nghiệm. + Nếu có vô số nghiệm, kết luận bài toán có vô số nghiệm đó chính là chùm đường thẳng trong (P) đi qua A. + Nếu có nghiệm duy nhất, ta thực hiện được tiếp theo bước 3: - Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và có VTCP AB uuur . Lưu ý: là ta cân kiểm chứng (d) không song song với (d 1 ). Cách 3: - Bước 1: Giả sử (d) cắt (d 1 ) và (d 2 ) theo thứ tự B và C. Khi đó tọa độ B, C theo thứ tự thỏa mãn các phương trình tham số của (d 1 ) và (d 2 ). - Bước 2: Từ điều kiện A, B, C thẳng hàng ta xác đònh tọa độ B, C. - Bước 3: Lập phương trình (d) qua A và B. Bài toán 6: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A, vuông góc với (d 1 )và nằm trong mặt phẳng (P). - Bước 1: Lập phương trình (đường thẳng) mặt phẳng (Q) thỏa: (Q) : qua A (Q) ⊥ (d 1 )  (Q) : qua A có VTCP u r - Bước 2: Khi đó (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Bài toán 7 : Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Cách 1: - Bước 1: Gọi d là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 ), khi đó một VTCP a r của (d) thỏa mãn: 1 2 1 2 & [ ; ]a a a a a a a⊥ ⊥ ⇒ = ur r uur r r ur uur - Bước 2: Gọi P 1 là mặt phẳng chứa (d) và (d 1 ) khi đó: (P 1 ) qua M 1 ∈ (d 1 )  (P 1 ): qua M 1 ∈ (d 1 ) => (P 1 ) có cặp VTCP 1 &a a ur r ø VTPT 1 1 [ ; ]n a a= ur ur r - Bước 3: Gọi (P 2 ) là mặt phẳng chứa (d) và (d 2 ), khi đó: (P 2 ) qua M 2 ∈ (d 2 )  (P 2 ): qua M 2 ∈ (d 2 ) => (P 2 ) có cặp VTCP 2 &a a uur r VTPT 2 2 [ ; ]n a a= uur uur r - Bước 4: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P 1 ) và (P 2 ) Cách 2: - Bước 1: Gọi A, B theo thứ tự là chân đường vuông góc chung với (d 1 ) và (d 2 ). - Bước 2: Từ đó suy ra tọa độ A, B theo phương trình tham số của (d 1 ) và (d 2 ). - Bước 3: Từ điều kiện: (d) ⊥ (d 1 )  1 AB a⊥ uuur ur  1 . 0AB a = uuur ur => t => tọa độ A, B (d) ⊥ (d 2 ) 2 AB a⊥ uuur uur 2 . 0AB a = uuur uur u Bước 4: Khi đó phương trình đường vuông góc chung (d) được cho bởi qua A và có VTCP AB uuur . Chú ý: Nếu (d 1 ), (d 2 ) chéo nhau và vuông góc, ta còn có thể thực hiện như sau: (d 1 ) ⊂ (P 1 ) (d 2 ) ⊥ (P 1 ) (d 2 ) ⊂ (P 2 ) (d 1 ) ⊥ (P 2 ) - Bước 3: Phương trình (d) chính là giao tuyến của (P 1 ) và (P 2 ). 3 Bài toán 8: Lập phương trình đường thẳng (d 1 ) là hình chiếu của (d) trên mặt phẳng (P). a) Nếu (d) ⊥ (P) ta có hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P). b) Nếu (d) // (P) ta thực hiện như sau: - Bước 1: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác đònh tọa độ điểm H A là hình chiếu vuông góc của A lên (P). - Bước 2: Phương trình đường thẳng (d 1 ) được cho bởi : (d 1 )// (d) & qua H A c) Nếu (d) cắt (P) ta thực hiện theo các bước sau: + Bước 1: Xác đònh tọa độ giao điểm I của (d) và (P) + Bước 2: Lấy điểm A ∈ (d), từ đó xác đònh tọa độ điểm H A là hình chiếu vuông góc của A lên (P). + Bước 3: Phương trình (d 1 ) được cho bởi: qua H A và VTCP A IH uuuur là hình chiếu vuông góc của A lên (P). Bài toán 9 : Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P). Cách 1: - Xác đònh VTPT n của mặt phẳng (P) - Lập phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với (P). - Hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P). Cách 2 : - Xác đònh VTPT n r của mặt phẳng (P) Giả sử H (x; y; z) là hình chiếu vuông góc của A lên (P), suy ra: ( ) ( ) ( ) // H P H P AH P AH n  ∈ ∈   ⇔ ⇒   ⊥    uuur r Tọa độ của H. Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng d 2 đối xứng với đường thẳng d 1 cho trước qua mặt phẳng (P) cho trước . Phương pháp thực hiện: a.Nếu ( ) 1 d P⊥ , ta có ngay 1 2 d d≡ b.Nếu d 1 // (P), ta thực hiện các bước sau: Bước 1:Lấy điểm A ∈ (d 1 ), từ đó xác đònh tọa độ điểm B đối xứng với A qua (P). Bước 2:Phương trình d 2 được xác đònh: qua B và d 2 //d 1 . c.Nếu d 1 cắt (P), ta thực hiện các bước sau: Bước1: Xác đònh tọa độ giao điểm I của d 1 với (P). Bước 2: Lấy điểm A ∈ (d 1 ), từ đó xác đònh tọa độ giao điểm A 1 đối xứng với A qua (P). Bước 3: Phương trình d 2 lập bởi VTCP 1 IA uur và qua A 1 . Bài toán 11: Xác đònh tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d. Phương pháp thực hiện: Cách 1: Bước 1: Xác đònh VTCP a r của đường thẳng d. Bước 2: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, suy ra tọa độ H thỏa mãn phương trình tham số của d. Bước 3: Ta có điều kiện: ( ) . 0AH d AH a AH a⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇒ uuur r uuur r tọa độ H Cách 2: Bước 1: Xác đònh VTCP a r của đường thẳng d. Bước 2: Lập phương trình mặt phẳng (P)thỏa mãn : qua A và vuông góc với d. Bước 3: Hình chiếu vuông góc của A chính là giao điểm của d và mặt phẳng P. 4 5 . MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG KHÔNG GIAN Bài toán 1: Cho hai mặt phẳng (P 1 ) và (P 2 ) có phương trình: (P 1 ): A 1 x. tham số , còn ta sử dụng cách 2 và 3 thì đưa về lập phương trình chính tắc và tham số. Bài toán 5 : Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt hai đường thẳng (d 1 và (d 2 ). Bài toán. thực hiện: Ta có thể thực hiện một trong ba cách sau: Qua A và (d 1 ) ⊥ (P 1 ) Qua A và (d 2 ) ⊥ (P 2 ) - Bước 3: Kết luận. * Nếu (P 1 ) ≡ (P 2 ): Bài toán có vô số nghiệm. * Nếu (P 1 ) ≠ (P 2 ):