Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Môn thi : TOÁN I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 + (1 – m)x + m (1), m là số thực 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. 2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn điều kiện : 2 2 3 1 2 2 x x x 4+ + < Câu II (2,0 điểm) 1. Giải phương trình (1 sin x cos2x)sin x 1 4 cos x 1 tan x 2 π   + + +  ÷   = + 2 Giải bất phương trình : 2 x x 1 1 2(x x 1) − ≥ − − + Câu III (1,0 điểm) . Tính tích phân : 1 2 x 2 x x 0 x e 2x e I dx 1 2e + + = + ∫ Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Câu V (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0 4 2 3 4 7 x x y y x y x  + + − − =   + + − =   (x, y ∈ R). II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d 1 : 3 0+ =x y và d 2 : 3 0x y− = . Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d 1 tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng 1 2 : 2 1 1 x y z− + ∆ = = − và mặt phẳng (P) : x − 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6 . Câu VII.a (1,0 điểm). Tìm phần ảo của số phức z, biết 2 ( 2 ) (1 2 )z i i= + − B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm của các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho. 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng 2 2 3 : 2 3 2 x y z+ − + ∆ = = . Tính khoảng cách từ A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. Câu VII.b (1 điểm). 1 Lờ Trinh Tng THPT Trng Vng Cho s phc z tha món 2 (1 3 ) 1 i z i = . Tỡm mụun ca s phc z iz+ Bi gii thi i hc khi A 2010 I- Phn chung cho tt c cỏc thớ sinh: ( 7 im) Cõu 1: ( 2 im) 1) Khi m=1, ta cú y = x 3 -2x 2 + 1 + TX: D = Ă + lim , lim , x x y y - Ơ + Ơđ đ = - Ơ = + Ơ + o hm : y=3x 2 4x 0 ' 0 4 3 x y x ộ = ờ ờ = ờ = ờ ở Hm s ng bin trờn( - Ơ ;0) v ( 4 3 ; + Ơ )Hm s nghch bin trờn (0 ; 4 3 ) Hm s t cc tiu ti cỏc im 4 3 x = giỏ tr cc tiu ca hm s l 4 5 ( ) 3 27 y =- Hm s t cc i ti im 0x = giỏ tr cc i ca hm s l (0) 1y = + y=6x 4 2 2 11 0 U ; 3 3 27 y x ổ ử ữ ỗ ÂÂ = = ị ữ ỗ ữ ỗ ố ứ BBT x - Ơ 0 4 3 + Ơ y + 0 - 0 + y - Ơ 1 5 27 - + Ơ ( th hm s) 2) th ct trc honh ti 3 im phõn bit khi Pt: y = cú 3 nghim phõn bit Ta cú: (x-1)( - x m) = 0Pt luụn cú nghim c nh x=1; Vy, pt y = cú 3 nghim phõn bit khi - x m = 0 cú 2 nghim phõn bit khỏc 1 (a) Ta cú: (b ) 2 x y Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương Trong đó là nghiệm của pt: - x – m =0 Theo Viet ta có : Thay vào (b) => 1+2m <3 ⇔ m <1 (c ) Từ (a ) và (c ) => . Kết kuận, điều kiện thỏa mãn bài toán: Câu 2: (2 điểm) 1) Giải phương trình ( ) 1 sinx+cos2x sin 1 4 osx 1 t anx 2 x c   + +  ÷   = + π (1) ĐK : cos x ≠ 0 <=> x ≠ + k , k ∈ Z Phương trình(1) <=> ( ) 2 1 sinx 1 2sin sin x os cosxsin 1 4 4 osx sinx 2 1 osx x c c c   + + − +  ÷   = + π π <=> ( ) ( ) 2 2 2sin sinx 2 sin x cos x . osx 1 2 osx osx sinx 2 x c c c − + + + = + <=> ( ) 2 2sin sinx 1 osx 0x c− − = <=> 2 osx 0 2sin sinx 1 0 c x =   − − =  <=> osx 0 ( ) sinx 1 1 sinx 2 c loai   =  =   = −   <=> 2 6 , 7 2 6 x k k x k  = − +  ∈   = +   Z π π π π 2) Giải bất phương trình: ( ) 2 1 1 2 1 x x x x − ≥ − − + Vì : ( ) 2 2 2x 2x 1 0 2 x x 1 1− + > ⇒ − + > ⇒ Do đó: BPT ⇔ (1) ĐK : ⇔ 1 3 1 3 0 2 2 x x    + − − − ≤  ÷ ÷    ⇔ 1 3 2 3 0 2 2 x x + + − ≤ ⇔ ≤ Khi đó có : (1) ⇔ 3 Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 5 1 3 5 2 2 5 1 ( ) 2 x x x loai  − =  −  ⇔ =  + = −   Câu 3: (1 điểm) Tính tích phân 1 2 2 0 2x x 1 2e x x x x e e I d + + = + ∫ ( ) ( ) 1 2 1 1 1 1 3 2 0 0 0 0 0 1 2e 1 2e 1 x x x 1 2e 1 2e 3 2 1 2e x x x x x x x x e d e x I d x d d + + + = = + = + = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 1 0 1 1 1 1 1 2e ln 1 2e ln 3 2 3 2 3 x + = + + = + . Vậy : I 1 1 1 2e ln 3 2 3 + = + Câu 4 ( 1 điểm) Tính V S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Diện tích ABCD = a 2 và S AMN = 2 8 a ; S BMC = 2 4 a =>S CDMN = 2 5 8 a ; Đường cao hình chóp là SH=a 3 Do đó : V SCDMN = 1 3 SH. S CDMN = 3 5 3 ( ) 24 a dvtt Kẻ HK ⊥ SC; Do ( ) DM CN DM SNC DM SH ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  =>DM ⊥ HK, suy được HK là đường vuôg góc chung của DM và SC. HC= 2 5 5 a =>HK= 12 19 a =>d(SC,DM)= 12 19 a Câu 5: (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 4x 1 3 5 2 0 (1) 4x 2 3 4x 7 (2) x y y y  + + − − =   + + − =   Điều kiện : 3 5 ; 4 2 x y ≤ ≤ PT(1) <=> 2 (4 1) (3 ) 5 2x x y y+ = − − (1) Từ PT(2) 2 2 4x 2 3 4x 7 y+ − = − đặt f(x)= 2 4 2 3 4x x + − ; f ’ (x) = 0<=> 1 x 2 = Bảng biến thiên: x 0 1 2 3 4 y’ - 0 - 0 y 2 3 3 9 4 4 Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương G(x)= (4x 2 +1)x; h(y) = (3-y) 5 2y − G(x)tăng với x ≤ 3 4 ; h(y)giảm khi 5 2 y ≤ *) x < 1 2 ⇒ g(x)<1 từ (1) ⇒ h(y)<1 ⇒ y > 2 ⇒ 7- y 2 <3 ⇒ f(x)<3⇒ x >1/2 (vô lý) *) x > 1 2 ⇒ h(y)>1 Ta lại có : ( ) 3 1 4 x g x≤ ⇒ > Từ (1) ( ) 39 16 h y⇒ ≤ . Còn có: => Từ bảng biến thiên => (Vô lý) +) Nếu , thay vào hệ ta được y = 2. Vậy, hệ PT có nghiệm: 1 2 2 x y  =    =  . II- Phần riêng ( 3 điểm) A- Theo chương trình chuẩn: Câu 5a: ( 2 điểm) 1) Đặt tọa độ ( ) ( ) ( ) A , 3 ; , 3 ; , 3a a B b b C c c− . Các vectơ chỉ phương của d 1 và d 2 lần lượt là : ( ) ( ) 1 2 1, 3 ; 1, 3u u= − = ur uur Vì 2 AB u⊥ uuur uur => ( ) 3 1 3 b a b a + − = <=> b = 2a (1) vuông tại B => AC là đường kính của (T) và d 1 là tiếp tuyến của (T) nên 1 AC u⊥ uuur ur c = -2a (2) Vì = 0 => c = 4b =>A(-2b, = 3 2 => 1 1 ( ì 0) 2 3 2 3 A b b loaiv x   = − ∨ = >  ÷   Vậy A( , ); B(- , ); C(- , ); Gọi I(x,y) là tâm (T) AC là đường kính => IA = IB = IC 5 Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1; 1; 2 1 2 3 2 3 3 IA x y IB x y IC x y         = − + + = = + + − = = + + + =  ÷  ÷  ÷  ÷         Suy được : 3 6 3 2 x y  = −     = −   và kết luận phương trình đường tròn (T) : 2 2 3 3 1 6 2 x y     + + + =  ÷  ÷     2) Ta có: C (-1;-1;-1) , gọi M (1+2t; t; -2-t) ⇒ và = 6 ⇒ = 6 Vậy, có 2 điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán: và M 2 ( -3; -2; 0) Do đó: = d( ; (P)) = 1 6 . Câu 6a: (1 điểm) Tìm phần ảo số phức z biết Phần ảo : . B- Theo chương trình nâng cao: Câu 5b: ( 2 điểm) 1) Gọi m là hoành độ của M ta có: M(m;4-m) là trung điểm của AB. Gọi n là hoành độ của N ta có : N(n;4-n) là trung điểm của AC. ⇒B(2m-6 ;-2m+2), C(2n-6 ;-2n+2) ⇒ AB uuur (2m-12 ;-2m-4) và CE uur (7-2n ;-5+2n). Còn có AB uuur ^ CE uur ⇔ AB uuur . CE uur =0 ⇔ mn-2n-3m+8=0 (1) Ta có : AM uuur (m-6 ;-m-2) , AN uuur (n-6 ;-n-2) Mặt khác : = <=> 0(2) 4(3) m n m n é - = ê ê + = ë Từ (1) và (2) ta có : 2 5 8 0 m n m m ì = ï ï Û í ï - + = ï î Từ (1) và (3) ta có : 4 2 3 8 0 m n mn n m ì + = ï ï Û í ï - - + = ï î 0 4 m n ì = ï ï Û í ï = ï î hoặc 3 1 m n ì = ï ï Û í ï = ï î Vậy B(-6 ;2) và C(2 ;-6). Hoặc B(0 ;-4) và C(-4 ;0). 2) Ta có: B(-2,2,-3) A(0;0;-2) là véc tơ chỉ phương của Do đó: ( ) ; 153 ; 3 17 BA u h d A u     = ∆ = = = uuur r r Mặt cầu tâm A: = 25 => R = 5 Phương trình mặt cầu : 6 Lê Trinh Tường THPT Trưng Vương Câu 6b (1 điểm) Cho số phức x thõa mãn : ; Tìm môdun của số phức: Ta có : ( ) ( ) ( ) 3 1 8 os isin 8 os isin 3 3 8 4 4 1 1 1 i c c Z i i i i −       − + −  ÷  ÷  ÷ − + − −       = = = = − − − − − π π π π ⇒ Z = -4 + 4i ⇒ i*Z = -4 i – 4 ⇒ 8 8Z iZ i+ = − − Do đó : ( ) ( ) 2 2 8 8 8 2Z iZ+ = − + − = . 7 . tại A, cắt d 2 tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết phương trình c a (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng 3 2 và điểm A có hoành độ dương. 2. Trong không gian t a. điểm) Tính V S.ABCD và khoảng cách gi a hai đường thẳng DM và SC theo a. Diện tích ABCD = a 2 và S AMN = 2 8 a ; S BMC = 2 4 a =>S CDMN = 2 5 8 a ; Đường cao hình chóp là SH =a 3 Do đó. cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng t a độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A( 6; 6), đường thẳng đi qua trung điểm c a các cạnh AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm tọa