Trần Só Tùng www.mathvn.com CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghóa phép toán  Định nghóa, tính chất, phép toán vectơ không gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Lưu ý:    + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC    + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC     + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý       IA  IB  ; OA  OB  2OI Ta có: + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm tam giác ABC, O tuỳ yù Ta coù:         GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta có:           GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG       + Điều kiện hai vectơ phương: a b cù ng phương (a  0)  ! k  R : b  ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta có:      OA  kOB MA  k MB; OM  1 k Sự đồng phẳng ba vectơ  Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng       Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectô a , b , c , a b không       phương Khi đó: a , b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb      Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý     Khi đó: ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc Tích vô hướng hai vectơ  Góc hai vectơ không gian:         AB  u , AC  v  (u, v )  BAC (0  BAC  1800 )  Tích vô hướng hai vectơ khoâng gian:         + Cho u , v  Khi ñoù: u v  u v cos(u , v )      + Với u  hoặ c v  Qui ước: u.v     + u  v  u.v  21 Trần Só Tùng www.mathvn.com VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đẳng thức vectơ Dựa vào qui tắc phép toán vectơ hệ thức vectơ Cho tứ diện ABCD Gọi E, F trung điểm AB CD, I trung điểm EF      a) Chứng minh: IA  IB  IC  ID       b) Chứng minh: MA  MB  MC  MD  MI , với M tuỳ ý     c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) cho: MA  MB  MC  MD nhỏ Chứng minh tứ diện bất kì, đoạn thẳng nối trung điểm cạnh đối đồng qui trung điểm chúng (Điểm đồng qui gọi trọng tâm tứ diện) Cho tứ diện ABCD Gọi A, B, C, D điểm chia cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  1) Chứng minh hai tứ diện ABCD ABCD có trọng tâm VẤN ĐỀ 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng Phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng  Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng minh cách: + Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng + Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:       Nếu coù m, n  R: c  ma  nb a , b , c đồng phẳng      Để phân tích vectơ x theo ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, ta tìm số m, n, p     cho: x  ma  nb  pc Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M     cho MS  2 MA đoạn BC lấy điểm N cho NB   NC Chứng minh    rằn g ba vectơ AB, MN , SC đồng phẳng    HD: Chứng minh MN  AB  SC 3 Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L trung điểm cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P Q trung điểm NG JH    a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng    b) Chứng minh ba vectơ IL , JK , AH đồng phẳng    HD: a) MN , FH , PQ có giá song song với (ABCD)    b) IL , JK , AH có giá song song với (BDG) Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K trung điểm AE, EC, CD, BC, BE    a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng FM CN b) Gọi M, N hai điểm AF CE cho   Các đường thẳng FA CE vẽ từ M N song song với CF cắt DF EF P Q Chứng minh ba vectơ www.mathvn.com 22 www.MATHVN.com Trần Só Tùng www.mathvn.com    MN , PQ, CF đồng phẳng Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi M N trung điểm CD DD; G G trọng tâm tứ diện ADMN BCCD Chứng minh rằn g đường thẳng GG mặt phẳng (ABBA) song song với       HD: Chứng minh GG '   AB  AA '  AB, AA ', GG ' đồng phẳng     Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng vectơ d    a) Cho d  ma  nb với m n  Chứng minh ba vectơ sau không đồng phaúng:       ii) a, c , d i) b , c , d     b) Cho d  ma  nb  pc với m, n p  Chứng minh ba vectơ sau không đồng          phaúng: i) a, b , d ii) b , c , d iii) a, c , d HD: Sử dụng phương pháp phản chứng     Cho ba vectô a , b , c khác ba số thực m, n, p  Chứng minh ba vectơ          x  ma  nb , y  pb  mc , z  nc  pa đồng phẳng     HD: Chứng minh px  ny  mz        Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA '  a , AB  b , AC  c Hãy phân tích      vectơ B ' C , BC ' theo vectơ a , b , c         b) BC '  a  c  b HD: a) B ' C  c  a  b Cho tứ diện OABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC     a) Phân tích vectơ OG theo ba OA, OB, OC  b) Gọi D trọng tâm tứ diện OABC Phân tích vectơ OD theo ba vectô    OA, OB, OC         HD: a) OG   OA  OB  OC  b) OD   OA  OB  OC  Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I tâm hình hộp      a) Phân tích hai vectơ OI AG theo ba vectô OA, OC , OD     b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE , FG, FI             HD: a) OI   OA  OC  OD  , AG  OA  OC  OD b) BI  FE  FG  FI 10 Cho hình lập phương ABCD.EFGH     a) Phân tích vectơ AE theo ba vectô AC , AF, AH     b) Phân tích vectơ AG theo ba vectô AC , AF , AH         HD: a) AE   AF  AH  AC  b) AG   AF  AH  AC  2 VẤN ĐỀ 3: Tích vô hướng hai vectơ không gian Cho hình lập phương ABCD.ABCD       a) Xác định góc cặp vectơ: AB A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' vaø BD       b) Tính tích vô hướng cặp vectơ: AB vaø A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' BD Cho hình tứ diện ABCD, AB  BD Gọi P Q điểm thuộc       đường thẳng AB CD cho PA  k PB, QC  kQD (k  1) Chứng minh AB  PQ 23 Trần Só Tùng www.mathvn.com II HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC    Vectơ phương đường thẳng: a  VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng:  a//a, b//b   a , b    a ', b '       Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u, v )   Khi đó:  a, b    180    Nếu a//b a  b  a , b   00 Chú ý: 00   a , b   900 neá u 00    1800 neá u 90    180 Hai đường thẳng vuông goùc:  a  b   a , b   900     Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi ñoù a  b  u.v   Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với cắt chéo VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: Có thể sử dụng cách sau: Chứng minh góc hai đường thẳng 900 Chứng minh vectơ phương đường thẳng vuông góc với Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)   CSA  Chứng minh ASB  BSC Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC  rằn g SA  BC, SB  AC, SC  AB   HD: Chứng minh SA.BC = Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c a) CMR đoạn nối trung điểm cặp cạn h đối diện vuông góc với cạnh b) Tính góc hợp cạnh đối tứ diện HD:  b) cos( AC , BM )  HD: b) arccos a  c2 b2  c a2  b2 b2 a2 c2 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB tam giác vuông cân A, M điểm cạn h AD (M  A D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông b) Đặt AM = x Tính diện tích MNPQ theo a vaø x www.mathvn.com ; arccos ; arccos 24 www.MATHVN.com Trần Só Tùng www.mathvn.com Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cạnh Chứng minh raèng AC  BD, AB  CD, AD  CB III ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG Định nghóa d  (P)  d  a, a  (P) Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng  a, b  ( P ), a  b  O  d  (P )   d  a, d  b Tính chất  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng  a b a  b  (P )  b  a b     ( P ) a    a  ( P ), b  ( P ) ( P )  (Q) ( P )  (Q)  a  (Q)  ( P ) Q)     a ( P )   ( P )  a,(Q)  a  a  (P )  a  (P ) ba  a  P )     b ( P )    a  b,( P)  b Định lí ba đường vuông góc Cho a  (P ), b  (P ) , a hình chiếu a (P) Khi b  a  b  a Góc đường thẳng mặt phẳng  Nếu d  (P) d ,( P ) = 900   ,( P ) = d , d ' với d hình chiếu d (P)  Nếu d  ( P ) d Chú yù: 00  d ,( P )  900       VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Chứng minh hai đường thẳng vuông góc * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)  Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P)  Chứng minh d // a a  (P) * Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d  a, ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a  Sử dụng định lí ba đường vuông góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) 25 Trần Só Tùng www.mathvn.com b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO  (ABCD) b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằn g: a) BC  (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC 1 1 c)    2 OH OA OB OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác ; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạn h SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH  AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a a a a c) , 2 Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC HD: a) a, = a Gọi H K trung điểm cạn h AB AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK CK  SD Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL 8a 15 Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông HD: a) a www.mathvn.com c) 26 www.MATHVN.com Trần Só Tùng www.mathvn.com 10 Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2 b) Từ suy tứ diện có cặp cạn h đối vuông góc với cặp cạnh đối lại vuông góc với VẤN ĐỀ 2: Tìm thiết diện qua điểm vuông góc với đường thẳng Phương pháp: Tìm đường thẳng cắt vuông góc với đường thẳng cho, mặt phẳng cắt song song (hoặc chứa) với đường thẳng Cho hình chóp SABCD, có đáy hình thang vuông A B với AB = BC = a, AD = 2a; SA  (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạn h AB Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với AB Đặt AM = x (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (P) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x) Cho tứ diện SABC, có đáy tam giác cạnh a; SA  (ABC) SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với SC Tìm thiết diện tứ diện với (P) tính diện tích thiết diện a2 15 20 Cho tứ diện SABC với ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) vaø SA = HD: a M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) mặt phẳng qua M vuông góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện với (P) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn a HD: b) S = x(a – x); S lớn x = Cho hình tứ diện SABC với ABC tam giác cạnh a, SA  (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (P) qua S vuông góc với BC b) (P) qua A vuông góc với trung tuyến SI tam giác SBC c) (P) qua trung điểm M SC vuông góc với AB HD: S= a) a2 b) 2a 21 49 c) 5a 32 Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Vẽ đường cao AH tam giác SAB 27 Trần Só Tùng www.mathvn.com SH  SB b) Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SB (P) cắt hình chóp theo thiết diện a) CMR: 5a 18 VẤN ĐỀ 3: Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: Xác định góc đường thẳng a mặt phẳng (P)  Tìm giao điểm O a với (P)   (a ,( P ))  Chon điểm A  a dựng AH  (P) Khi AOH HD: hình gì? Tính diện tích thiết diện b) S = Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD) Gọi  M, N trung điểm cạn h SA BC Bieát ( MN ,( ABCD ))  60 a) Tính MN SO b) Tính góc MN vaø (SBD) a 10 a 30  ; SO = b) sin ( MN ,(SBD ))  2 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vuông cạnh a; SA  (ABCD) SA = HD: a) MN = a Tính góc giữa: a) SC (ABCD) HD: a) 600 b) SC vaø (SAB) c) SB vaø (SAC) b) arctan c) arcsin d) AC vaø (SBC) d) arcsin 21 7 14 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc  hợp với mặt bên SAB góc  a) Tính SA b) CMR: AB = a cos(   ).cos(   ) HD: a) a.sin    Bieát SA, SB, SC Cho hình chóp SABC, có ABC tam giác cân, AB = AC = a, BAC hợp với mặt phẳng (ABC) góc  a) CMR: hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn ngoại tiếp ABC b) Tính khoảng cách từ S đến mp(ABC) a.sin cos  Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy tam giác cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300 a) Tính AA b) Tính khoảng cách từ trung điểm M AC đến (BAC) c) Gọi N trung điểm cạnh BB Tính góc MN vaø (BAC) HD: b) a 66 54 c) arcsin 55 11 Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC tam giác vuông cân A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M AB trung điểm N BC có độ dài a, MN hợp với đáy góc  mặt bên BCCB góc  a) Tính cạn h đáy cạnh bên lăng trụ theo a  HD:  a) a www.mathvn.com b) 28 www.MATHVN.com Trần Só Tùng www.mathvn.com b) Chứng minh rằng: cos = HD: sin a) AB = AC = 2a.cos; BC = 2a cos; AA = a.sin IV HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC Góc hai mặt phẳng a  (P)  ( P),(Q)   a ,b    b ( Q )     a  (P ), a  c P ),(Q)  a ,b  Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng   ( b  ( Q ), b  c  Chú ý: 00  ( P),(Q)  900       Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q),  = ( S = S.cos P ),(Q) Khi đó:   Hai mặt phẳng vuông góc P ),(Q )  90  (P)  (Q)  (   ( P)  a  ( P )  (Q )  Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau:   a  (Q) Tính chất ( P )  (Q)  ( P )  (Q),( P )  (Q )  c  a  (Q)     A  (P)  a  ( P)  a  (P ), a  c  a  A, a  (Q) ( P )  (Q)  a   ( P )  ( R)  a  ( R) (Q)  ( R) VẤN ĐỀ 1: Góc hai mặt phẳng Phương pháp: Muốn tìm góc hai mặt phẳng (P) (Q) ta sử dụng cách sau:  Tìm hai đường thẳng a, b: a  (P), b  (Q) Khi đó: ( P ),(Q)   a , b     Giả sử (P)  (Q) = c Từ I  c, dựng  a  (P ), a  c   ( P ),(Q)    a , b  b  (Q), b  c Cho hình chóp SABC, có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a; SA  (ABC) SA = a Gọi E, F trung điểm cạnh AB AC a) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SEF) vaø (SBC) SAC ),(SBC ) = 600 HD: a) ( b) cos (( SEF ),(SBC ))  10 Cho hình vuông ABCD cạn h a, tâm O; SA  (ABCD) Tính SA theo a để số đo góc hai mặt phẳng (SCB) (SCD) 600   29 Trần Só Tùng www.mathvn.com HD: SA = a Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2a; SA  (ABCD) SA = a a) Tính góc mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tính góc mặt phẳng (SBC) (SCD) HD: Cho hình vuông ABCD cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính góc cặp mặt phẳng sau: a) (SBC) vaø (ABC) b) (SBD) vaø (ABD) c) (SAB) vaø (SCD) a) 600 HD: 10 b) cos (( SBC ),(SCD ))  a) tan (( SAD),(SBC ))  c) 300 b) arctan Cho hình thoi ABCD cạnh a, tâm O, OB = a a ; SA  (ABCD) vaø SO = 3  vuông a) Chứng minh ASC b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc c) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HD: c) 600 Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD hình thang vuông A D với AB = 2a, AD = DC = a Tính góc cặp mặt phẳng: a) (SBC) (ABC) b) (SAB) (SBC) c) (SBC) vaø (SCD) HD: a) 450 b) 600 c) arccos VẤN ĐỀ 2: Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng * Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P)  (Q), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a  (Q) P ),(Q )  90  Chứng minh (   * Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d  (P), ta chứng minh cách sau:  Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q)  Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) (R)  (P)  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD vuông góc với đáy DBC Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD ADC CMR: OH  (ADC) www.mathvn.com 22 www.MATHVN.com Trần Só Tùng Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) (SCD) c) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) HD: b) 900 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạn h a, SA  (ABCD) Gọi M, N a 3a điểm cạnh BC, DC cho BM = , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác vuông góc với đáy Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh SI  (ABCD), AD  (SAB) b) Tính góc BD mp(SAD) c) Tính góc SD mp(SCI) 10 c) arcsin Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳn g qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp có  mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo    Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị  HD: b) SHmax = b2 = b) x2 – y2 + b2 – 2a2 = Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạn h a, SA  (ABCD) ; M vaø N laø hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh rằn g điều kiện cần đủ để hai mặt phẳn g (SAM) (SMN) vuông góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) coù HD: b) arcsin c bc ;   arctan b Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) HD: www.mathvn.com a) x2 – y2 + số đo 300 laø a(x + y) + xy = a2 HD: a) a2 – a(x + y) + x2 = 0 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 60 , cạnh SC = a SC  (ABCD) 31 Trần Só Tùng www.mathvn.com a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK   90 từ suy (SAB)  (SAD) c) Chứng minh BKD a VẤN ĐỀ 3: Tính diện tích hình chiếu đa giác Phương pháp: Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) P ),(Q) Khi đó: (H) treân (Q),  = ( S = S.cos HD: b) IK    Cho hình thoi ABCD có đỉnh A mặt phẳng (P), đỉnh khác không (P), BD = a, AC = a Chiếu vuông góc hình thoi lên mặt phẳn g (P) ta hình vuông ABCD a) Tính diện tích ABCD ABCD Suy góc (ABCD) (P) b) Gọi E F giao điểm CB, CD với (P) Tính diện tích tứ giác EFDB EFDB HD: a) 450 b) SEFDB = 3a 2 3a ; SEFDB = 4 Cho tam giác cân ABC có đường cao AH = a , đáy BC = 3a; BC  (P) Gọi A hình chiếu A (P) Khi ABC vuông A, tính góc (P) (ABC) HD: 30 Cho tam giác ABC cạn h a, nằm mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) vẽ từ B C lấy đoạn BD = a , CE = a nằm bên (P) a) Chứng minh tam giác ADE vuông Tính diện tích tam giác ADE b) Tính góc hai mặt phẳng (ADE) (P) 3a HD: a) b) arccos Cho hình chóp SABC có mặt bên hợp với đáy góc  a) Chứng minh hình chiếu S mp(ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC S b) Chứng minh: SSAB + SSBC + SSCA =  ABC cos  Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc Gọi H trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH  (ABC) b) (SSBC)2 = SABC.SHBC Từ suy ra: (SABC)2 = (SSAB)2 + (SSBC)2 +(SSCA)2 Trong mặt phẳng (P) cho OAB vuông O, AB = 2a, OB = a Trên tia vuông góc với (P) vẽ từ A B bên (P), lấy AA = a, BB = x a) Định x để tam giác OAB vuông O b) Tính AB, OA, OB theo a x Chứng tỏ tam giác OAB vuông B Định x để tam giác vuông A c) Cho x = 4a Vẽ đường cao OC OAB Chứng minh CA  AB Tính góc hai mặt phẳng (OAB) (P) www.mathvn.com 32 www.MATHVN.com Trần Só Tùng HD: www.mathvn.com a) x = b) x = 4a c) arccos 39 26 IV KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đến mặt phẳng d ( M , a)  MH H hình chiếu M a (P) d ( M ,( P))  MH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song d(a,(P)) = d(M,(P)) M điểm nằm a d((P),(Q) = d(M,(Q)) M điểm nằm (P) Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Đường thẳng  cắt a, b vuông góc với a, b gọi đường vuông góc chung a, b  Nếu  cắt a, b I, J IJ gọi đoạn vuông góc chung a, b  Độ dài đoạn IJ gọi khoảng cách a, b  Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với  Khoản g cách hai đường thẳng chéo bằn g khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng VẤN ĐỀ 1: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Dựng đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b Cách 1: Giả sử a  b:  Dựng mặt phẳng (P) chứa b vuông góc với a A  Dựng AB  b B  AB đoạn vuông góc chung a b Cách 2: Sử dụng mặt phẳng song song  Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a  Chọn M  a, dựng MH  (P) H  Từ H dựng đường thẳng a // a, cắt b B  Từ B dựng đường thẳng song song MH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = MH = a(a,(P)) Cách 3: Sử dụng mặt phẳng vuông góc  Dựng mặt phẳng (P)  a O  Dựng hình chiếu b b (P)  Dựng OH  b H  Từ H, dựng đường thẳng song song với a, cắt b B  Từ B, dựng đường thẳng song song với OH, cắt a A  AB đoạn vuông góc chung a b Chú ý: d(a,b) = AB = OH 33 Trần Só Tùng www.mathvn.com Cho hình tứ diện OABC, OA, OB, OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) OA BC b) AI vaø OC a a b) Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a, SA  (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng: a) SC BD b) AC vaø SD HD: a a b) Cho tứ diện SABC có SA  (ABC) Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh ba đường thẳng AH, SK, Bc đồng qui b) Chứng minh SC  (BHK), HK  (SBC) c) Xác định đường vuông góc chung BC SA HD: c) Gọi E = AH  BC Đường vuông góc chung BC SA AE a) Cho tứ diện ABCD Chứng minh AC = BD, AD = BC dường vuông góc chung AB CD đường nối trung điểm I, K hai cạnh AB CD b) Chứng minh đường thẳng nối trung điểm I, K hai cạn h AB CD tứ diện ABCD đường vuông góc chung AB CD AC = BD, AD = BC HD: b) Giả sử BC = a, AD = a, AC = b, BD = b  Chứng minh a = a, b = b Cho hình vuông ABCD cạnh a, I trung điểm AB Dựng IS  (ABCD) IS HD: a) a) a Goïi M, N, P trung điểm cạnh BC, SD, SB Hãy dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung cặp đường thẳng: a) NP vaø AC b) MN vaø AP = HD: a) a b) a VẤN ĐỀ 2: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Để tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) ta cần xác định đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) Cho hình chóp SABCD, có SA  (ABCD) SA = a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kinh AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp SABCD với mặt phẳng (P) song song với a a d(B,(SCD)) = mp(SAD) cách (SAD) khoảng HD: a) d(A,(SCD)) = a ; www.mathvn.com 34 b) a c) a2 www.MATHVN.com Trần Só Tùng www.mathvn.com Cho hình lăng trụ ABC.ABC có AA  (ABC) AA = a, đáy ABC tam giác vuông A coù BC = 2a, AB = a a) Tính khoảng cách từ AA đến mặt phẳng (BCCB) b) Tính khoảng cách từ A đến (ABC) c) Chứng minh AB  (ACCA) tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC) a a 21 a b) c) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) SA = 2a a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC), từ C đến mp(SBD) b) M, N trung điểm AB AD Chứng minh MN song song với (SBD) tính khoảng cách từ MN đến (SBD) c) Mặt phẳng (P) qua BC cắt cạnh SA, SD theo thứ tự E, F Cho biết AD cách (P) HD: a) khoảng a , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (P) diện tích tứ giác BCFE a a a2 b) c) Cho hai tia cheùo Ax, By hợp với góc 60 , nhận AB = a làm đoạn vuông góc chung Trên By lấy điểm C với BC = a Gọi D hình chiếu C Ax a) Tính AD khoảng cách từ C đến mp(ABD) b) Tính khoảng cách AC vaø BD HD: a a 93 b) 31   60 Gọi O giao Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạn h a BAD 3a Gọi E trung điểm điểm AC BD Đường thẳng SO  (ABCD) vaø SO = BC, F laø trung điểm BE a) Chứng minh (SOF)  (SBC) b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) 3a 3a HD: b) d(O,(SBC)) = , d(A,(SBC)) = HD: a) a ; a) AD = a ; d(C,(ABD)) = 35 ... ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD 11 Cho hình tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng:... ba đường vuông góc  Sử dụng cách chứng minh biết phần trước Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD),... Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằn g: a) BC  (OAH) b) H trực tâm tam giaùc ABC 1 1 c)    2 OH OA OB OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Cho hình chóp SABCD, có đáy hình