SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂKLĂK TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG ********* HÀ DUY NGHĨA CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP Krông pắc, Tháng 12 năm 2010 WWW.MATHVN.COM MỤC LỤC Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1 Xây dựng trường số phức 3 1.1 Định nghĩa số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Dạng đại số của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Xây dựng số i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Các phép toán trên dạng đại số . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.3 Số phức liên hợp và Môđun của số phức . . . . . . . . 7 1.3 Dạng lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Tọa độ cực của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Biểu diễn lượng giác của số phức . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Phép toán trong dạng lượng giác của số phức . . . . . 11 1.4 Căn bậc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức . . . 12 1.4.1 Căn bậc n của số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Biểu diễn hình học của số phức . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Tích thực của hai số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Chương 2 Một số bài toán về số phức 18 2.1 Dạng 1: Tính toán, biến đổi trên trường số phức . . . . . . . . 18 2.2 Dạng 2:ứng dụng số phức trong việc giải toán sơ cấp . . . . . 20 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 1 LỜI MỞ ĐẦU Số phức có vai trò quan trọng trong toán học, gần như trường số phức thỏa mãn các yêu cầu của toán học, chính vì thế mà mặc dù gọi là số ảo nhưng trường C đóng vai trò quan trọng trong đời sống thực của chúng ta. Đặc biệt ở cấp THPT nó có rất nhiều ứng dụng để dễ dàng tiếp cận các bài toán sơ cấp khó, vì vậy trong những năm gần đây Bộ giáo dục đã đưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông. Nhằm mục đích giới thiệu đến quý thầy cô giáo, và các em học sinh một cách chi tiết hơn về số phức, cách tiếp cận cũng như ứng dụng của nó trong việc giải các bài toán ôn thi đại học, các bài toán trong kỳ thi Olympiad quốc gia và quốc tế, nên tôi đã viết chuyên đề này. Bài viết được tham khảo trên tài liệu chính [2] "Complex Number from A to Z" của các tác giả Titu Andreescu, Dorinandrica, được trình bày ngắn gọn với hai chương cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Cụ thể ở mỗi chương như sau: Chương I: Giới thiệu về tập số phức, chứng minh trong tập số phức này có các phép toán cộng nhân như trên tập các số thực, đồng thời giới thiệu các dạng biểu diễn của nó cũng như các tính chất đặc trưng trong từng dạng. Chương II: Gồm hai phần chính, phần 1 là giới thiệu các bài toán liên quan đến số phức nhằm giúp mọi người làm quen các kỷ thuật tính toán trên trường số phức.Phần hai là ứng dụng của số phức trong việc giả các bài toán sô cấp từ lượng giác đến hình học, bất đẳng thức, Mặc dù đã rất cố gắng nghiên cứu tìm hiểu tài liệu và bằng nhưng kinh nghiệm giảng dạy của mình, trong thời gian ngắn tôi đã hoàn thành bài viết. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 2 Nhưng do năng lực của bản thân và thời gian còn hạn chế nên bài viết không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn để bài viết được hoàn thiện hơn. Tác giả Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Chương 1 XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC Trong chương này, phần đầu tôi trình bày cách xây dựng trường số phức, cấu trúc đại số, cấu trúc hình học, dạng lượng giác của số phức. Tham khảo trên tài liệu[1][2]. 1.1 Định nghĩa số phức Xét tập R 2 = R × R = {(x, y)}|x, y ∈ R. Hai phần tử (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) ∈ R 2 được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu (x 1 = x 2 , y 1 = y 2 ) Ta xây dựng phép toán trong R 2 như sau: ∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ) ∈ R 2 Phép cộng :z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ). Phép nhân :z 1 z 2 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Định nghĩa 1.1.1. Tập R 2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập số phức C, phần tử (x, y) ∈ C là một số phức. Định lý 1.1.2. (C, +, .) là một trường(nghĩa là trênC với các phép toán đã định nghĩa có các tính chất tương tự trênR với các phép toán cộng nhân thông thường) Chứng minh. Để chứng minh (C, +, .) là trường ta chứng minh các vấn đề sau. (i) Phép cộng có tính giao hoán :∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ) ∈ C ta có z 1 + z 2 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) = (x 2 + x 1 , y 2 + y 1 ) = z 2 + z 1 . 3 WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 4 (ii) Phép cộng có tính kết hợp : ∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ), z 3 = (x 3 , y 3 ) ∈ C ta có (z 1 + z 2 ) + z 3 = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) + (x 3 , y 3 ) = (x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 ) = (x 1 , y 1 ) + (x 2 + x 3 , y 2 + y 3 ) = z 1 + (z 2 + z 3 ). (iii) Tồn tại phần tử không 0 = (0, 0) ∈ C. Thật vậy ta có:∀z = (x, y) ∈ C, z + 0 = (x, y) + (0, 0) = (x + 0, y + 0) = (x, y) = z. (iv) Tồn tại phần tử đối ∀z = (x, y), ∃−z = (−x, −y) là phần tử đối. Thật vậy z + (−z) = (x, y) + (−x, −y) = (x −x, y −y) = (0, 0). (v) Phép nhân có tính chất giao hoán ∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ) ∈ C, ta có: z 1 z 2 = (x 1 x 2 −y 1 y 2 , (x 1 y 2 +x 2 .y 1 ) = (x 2 x 1 −y 2 .y 1 , (x 2 y 1 +x 1 y 2 ) = z 2 .z 1 . (vi) Phép nhân có tính chất kết hợp ∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ), z 3 = (x 3 , y 3 ) ∈ C ta có: (z 1 z 2 )z 3 = (x 1 .x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1 )(x 3 , y 3 ) = ((x 1 x 2 − y 1 y 2 )x 3 − (x 1 y 2 + y 1 x 2 .)y 3 , (x 1 .x 2 − y 1 y 2 )y 3 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 )x 3 ) = (x 1 x 2 x 3 −y 1 y 2 x 3 −x 1 y 2 y 3 −y 1 x 2 y 3 , x 1 x 2 y 3 −y 1 y 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 x 3 ) Tương tự ta cũng có : z 1 (z 2 z 3 ) = (x 1 x 2 x 3 −x 1 y 2 y 3 −y 1 x 2 y 3 −y 1 y 2 x 3 ; x 1 x 2 y 3 +x 1 y 2 x 3 +y 1 x 2 y 3 −y 1 y 2 y 3 ) điều này chứng tỏ :(z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) (vii) Phép nhân phần tử đơn vị Tồn tại phần tử đơn vị 1 = (1, 0) ∈ C Thật vậy ta có : ∀z 1 = (x, y) ∈ C, 1.z = (1, 0)(x, y) = (1x − 0y, 1y + 0.x) = (x, y) = (x, y)(1, 0) = z.1 = z. (viii) Tồn tại phần tử nghịch đảo, ∀z 1 = (x, y) ∈ C, z = 0 , phần tử nghịch đảo của z là z −1 =  x x 2 +y 2 , − y x 2 +y 2  (ix) Phép nhân phân phối với phép cộng Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 5 ∀z 1 = (x 1 , y 1 ), z 2 = (x 2 , y 2 ), z 3 = (x 3 , y 3 ) ∈ C ta có: z 1 (z 2 + z 3 ) = (x 1 , y 1 )(x 2 + x 3 , y 2 + y 3 ) = (x 1 (x 2 + x 3 ) − y 1 (y 2 + y 3 ); x 1 (y 2 + y 3 ) + y 1 (x 2 + x 3 )) = (x 1 x 2 + x 1 x 3 − y 1 y 2 − y 1 y 3 , x 1 y 2 + x 1 y 3 + y 1 x 2 + y 1 x 3 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 ) + (x 1 x 3 − y 1 y 3 , x 1 y 3 + y 1 x 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 Vậy ta đã chứng minh được (C, +, .)thỏa mãn các tiên đề của trường. Do đó (C, +, .) là một trường số. Có rất nhiều cách biểu diễn của số phức trên, mà mỗi cách có thể khác thác được một số tính chất đặc biệt các nhau của tập C, sau đây tôi giới thiệu một số cách biểu diễn đó. 1.2 Dạng đại số của số phức 1.2.1 Xây dựng số i Xét tương ứng f : R → R × {0}, f(x) = (x, 0) Dễ dàng chứng minh được f là ánh xạ và là một song ánh. Ngoài ra ta cũng có:(x, 0) + (y, 0) = (x + y, 0), (x, 0)(y, 0) = (xy, 0), vì f là song ánh nên ta có thể đồng nhất (x, 0) = x. Đặt i = (0, 1), khi đó ta có :z = (x, y) = (x, 0)+(0, y) = (x, 0)+(y, 0)(0, 1) = x + yi = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + iy. Từ đó ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.2.1. Mỗi số phức tùy ý z = (x, y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z = x + yi với x, y là những số thưc tùy ý, và trong đó hệ thức i 2 = −1. Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 6 Hệ thức i 2 = −1 suy trực tiếp từ phép nhân hai số phức i 2 = ii = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1 Biểu thức x + yi gọi là dạng đại số của số phức z = (x, y)., Vì vậy ta có thể viết C = {x + yi | x, y ∈ R, i 2 = −1}và từ bây giờ ta ký hiệu cho số phức z = (x, y) = x + yi và ta có các khái niệm liên quan sau đây: x =Rez gọi là phần thực của số phức z y =Imz gọi là phần ảo của số phức z i gọi là đơn vị ảo. Nếu số phức có phần thực x = 0 gọi là thuần ảo. Hai số phức z 1 , z 2 gọi là bằng nhau nếu Re(z 1 ) = Re(z 2 ) và Im(z − 1)=Im(z 2 ). Số phức z ∈ R nếu và chỉ nếu Im(z) = 0. Số phức z ∈ C\R nếu Im(z) = 0. 1.2.2 Các phép toán trên dạng đại số Tương tự, ta cũng định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau C = {x + yi | x, y ∈ R, i 2 = −1} (i). Phép cộng Tổng của hai số phức z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 , là một số phức z được xác định : z = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ). Kí hiệu z = z 1 + z 2 . (ii).Phép nhân Tích của hai số z 1 = x 1 + iy 1 và z 2 = x 2 + iy 2 là một số phức z được xác định bởi: z = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 7 Kí hiệu z = z 1 z 2 . Định nghĩa này trùng với định nghĩa các phép toán trên C ở phần trước. 1.2.3 Số phức liên hợp và Môđun của số phức Định nghĩa 1.2.2. Cho số phức z = x + iy, số phức có dạng x − iy được gọi là số phức liên hợp của số phức z, kí hiệu là z, nghĩa là z = x + yi và z = x + i y = x − i y. Mệnh đề 1.2.3. . 1. z = z ⇔ z ∈ R 2. z = z 3. z.z là số thực không âm. 4. z 1 + z 2 = z 1 + z 2 5. z 1 .z 2 = z 1 z 2 6. z −1 = (z) −1 , z ∈ C ∗ 7.  z 1 z 2  = z 1 z 1 , z 2 ∈ C ∗ Chứng minh. . 1. Ta có:z = z nên suy ra x+yi = x −yi ⇒ 2yi = 0 ⇒ y = 0 ⇒ z = x ∈ R. 2. Ta cóz = x − yi, ⇒ z = x + yi = z. 3. Ta có :z.z = (x + yi)(x − yi) = x 2 + y 2 ≤ 0 4. Ta cóz 1 + z 1 = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 )i = (x 1 + x 2 ) − (y 1 + y 2 )i = (x 1 − y 1 i) + (x 2 − y 2 )i = z 1 + z 2 Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 8 5. Ta cóz 1 z 1 = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (x 1 x 2 − y 1 y 2 ) − i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) = (x 1 − y 1 i)(x 2 − y 2 i) = z 1 z 2 . 6. Ta có:z 1 z = 1 ⇒  z 1 z  = 1 ⇒ z 1 z = 1 ⇒ z −1 = (z) −1 7. Ta có :  z 1 z 2  =  z 1 . 1 z 2  = z 1 1 z 2 = z 1 1 z 2 = z 1 z 2 . Định nghĩa 1.2.4. Cho số phức z = x + iy khi đó √ x 2 + y 2 gọi là modulus ( trị tuyệt đối ) của số phức z ký hiệu |z| = √ x 2 + y 2 . Mệnh đề 1.2.5. . 1. −|z| ≤ Re(z) ≤ |z|, −|z| ≤ Im(z) ≤ |z| 2. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0 3. |z| = |−z| = |z| 4. z.z = z 2 5. |z 1 .z 2 | = |z 1 ||z 2 | 6. |z 1 | − |z 2 | ≤ |z 1 + z 2 | ≤ |z 1 | + |z 2 | 7.    z −1    = |z| −1 , z ∈ C ∗ 8.    z 1 z 2    = |z 1 | |z 2 | , z 2 ∈ C ∗ 9. |z 1 | − |z 2 | ≤ |z 1 − z 2 | ≤ |z 1 + z 2 | 10. |z 1 + z 2 | 2 + |z 1 − z 2 | 2 = 2(|z 1 | + |z 2 |). Chứng minh. Các mệnh đề (1-4) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa. • (5) Ta có |z 1 z 2 | 2 = (z 1 z 2 )(z 1 z 2 ) = (z 1 z 1 )(z 2 z 2 )) = |z 1 | 2 |z 2 | 2 . Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM [...]... WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 12 Ch ng minh Đ i v i m nh đ (1),(2),(4) suy ra tr c ti p t đ nh nghĩa và tính ch t c a lũy th a Ta ch ng ming cho m nh đ (3) Ta có : eiφ = cos(φ) + isin(φ) = cos(φ) − isin(φ) = cos(−φ) + isin(−φ) = e−iφ 1.4 Căn b c n c a đơn v và bi u di n hình h c c a s ph c 1.4.1 Căn b c n c a s ph c Đ nh nghĩa 1.4.1 Cho s ph c w = 0 và s nguyên n ≥ 2 Khi... hai s ph c a và b là m t s xác đ nh b i 1 a.b = (ab + ab) 2 T đ nh nghĩa trên ta suy ra tr c ti p m nh đ sau M nh đ 1.5.2 Cho các s ph c a, b, c, z, cá m nh đ sau đây là đúng 1 a.a = |a|2 2 a.b = b.a 3 a.(b + c) = a.b + a.c 4 (αa) = α(a.b) = a(αb)∀α ∈ R 5 a.b = 0 n u và ch n u OA ⊥ OB v i A(a), B(b) 6 (az).(bz) = |z|2 (a.b) Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ... THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 27 K T LU N Bài vi t tuy ng n nhưng tác gi cũng c g ng nói lên đư c ý nghĩa c a vi c h c s ph c trư ng ph thông, cũng như giúp cho m i ngư i d dàng ti p c n s ph c m t cách chi ti t hơn Trong chuyên đ ti p theo tôi s gi i thi u chi ti t hơn v "s ph c và hình h c" và ng d ng c a nó đã đư c th hi n qua Bài t p 2.2.9... yi có bi u di n hình h c là M (z), khi đó kho ng cách t M (z) đ n O là Môđun c a s ph c z Xét hai s ph c z1 = x1 + y1 i, z2 = x2 + y2 i và các véc tơ tương ng v1 = x1 i + y1 j, v2 = x2 i + y2 j, khi đó : Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 14 • T ng hai s ph c : z1 + z2 = (x1 + x2 )i + (y1 + y2 )i • T ng hai véctơ :v1 + v2 = (x1 + x2 )i... a đ ph c c a đi m M3 khi đó M3 (r1 r2 , θ1 + θ2 ) là đi m bi u di n c a tích z1 z2 Hình 1.1: Bi u di n t ng hai s Hình 1.2: Bi u di n tích m t s th c ph c dương và m t s ph c Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 15 Chú ý: i) V i s th c dương r t p h p các s ph c v i Môđun r bi u di n trên m t ph ng ph c là đư ng tròn C(O, r) (ii) Các s... di n các căn b c 3 c a s ph c z=1+i Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Đ nh lý 1.4.7 Trang 16 1 N u n |q thì nghi m b t kỳ c a phương trình z n − 1 = 0 cũng là nghi m c a phương trình z q − 1 = 0 2 Các nghi m chung c a phương trình z m − 1 = 0 và z n − 1 = 0 là các nghi m c a phương trình z d = 0, d = U CLN (m, n) 3 Các căn b c n nguyên th y... = r1 (cos t1 + i sin t1 ), z2 = r2 (cos t2 + i sin t2 ) khi đó : Hai s z1 , z2 g i là b ng nhau n u n u r1 = r2 và t2 − t1 = k2π, k ∈ Z Tích hai s ph c z1 z2 là s ph c đư c xác đ nh : z1 z2 = r1 r2 (cos(t1 + t2 ) + i sin(t1 + t2 )) Đ nh lý 1.3.1 ( De Moivre), Cho z = r(cos t + i sin t) và n ∈ N, khi đó ta có z n = rn (cos nt + i sin nt) Chú ý : Công th c De Moivre v n đúng cho lũy th a nguyên âm Ngoài... = 0 1 (3t − 1)(3t2 − 12t − 13) = 0 ⇒ t = (t ∈ Q) 3 V i x = 3y thay vào phương trình x3 − 3xy = 18 ta đư c: x = 3, y = 1 Bài t p 2.1.4 Cho p, q là hai s ph c, q = 0 Ch ng minh r ng n u các nghi m phương trình b c hai x2 + px + q = 0 có môđun b ng nhau thì p q s th c Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM là S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 20 (1999 Romanian Mathematical Olympiad-Final... v c a phương trình th 2 c a h v i i và c ng hai phương trình l i ta đư c:  √  u − iv 4 2 2 u + iv + 2 = √ + i √ u + v2 3 7 u−iv 1 M t khác ta có: u2 +v2 = z nên phương trình trên tr thành:  √  1  2 4 2 z+ = √ +i √ z 3 7 T c là z là nghi m c a phương trình √  2 4 2 z2 −  √ + i √ z+1=0 3 7  Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Suy ra... quá n nguyên t cùng nhau v i n Hà Duy Nghĩa THPT Phan Đình Phùng Đăk Lăk WWW.MATHVN.COM S ph c và ng d ng đ gi i toán sơ c p Trang 26 L i gi i Xem tài li u ([2],p 50) Bài t p 2.2.9 G i M, N, P, Q, R, S là trung đi m c a các c nh AB, BC, CD, DE, EF, F A c a m t l c giác Ch ng minh r ng RN 2 = M Q2 + P S 2 n u và ch n u M Q ⊥ P S ( Romanian Mathematical Olympiad-Final Round,1994) L i gi i G i a, b, c, . vị và biểu diễn hình học của số phức 1.4.1 Căn bậc n của số phức Định nghĩa 1.4.1. Cho số phức w = 0 và số nguyên n ≥ 2. Khi đó nghiệm z của phương trình z n − w = 0 là căn bậc n của số phức. Lăk WWW.MATHVN.COM Số phức và ứng dụng để giải toán sơ cấp Trang 15 Chú ý: i) Với số thực dương r tập hợp các số phức với Môđun r biểu diễn trên mặt phẳng phức là đường tròn C(O, r) (ii) Các số phức {z,. vị ảo. Nếu số phức có phần thực x = 0 gọi là thuần ảo. Hai số phức z 1 , z 2 gọi là bằng nhau nếu Re(z 1 ) = Re(z 2 ) và Im(z − 1)=Im(z 2 ). Số phức z ∈ R nếu và chỉ nếu Im(z) = 0. Số phức z ∈