Tr−êng §¹i häc Vinh NguyÔn Trung Hßa To¸n rêi r¹c Vinh - 2010 0 Chơng 1. Quan hệ 1.1. Quan hệ hai ngôi v các tính chất 1.1.1. Định nghĩa v các ví dụ Trongcuộcsốngtathờng gặp rất nhiều hi ện tợng đợc diễn tả bởi thuật ngữ quan hệ, chẳng hạn quan hệ bạn bè, quan hệ đồng hơng, quan hệ thầy trò, Hoặc cuối năm học ta thờng quan tâm đến điểm trung bình chung học tập của các thnh viên trong lớp, khi đó ta có mối quan hệ giữa sinh viên của lớp v số thực l điểm trung bình chung học tập của các sinh viên. Hay cuối học kỳ ta phải xếp lịch thi học kỳ, khi đó ta thờng xét quan hệ giữa lớp trong khoa v môn đợc lớp đó học trong học kỳ, gọi tắt l quan hệ Học, chẳng hạn 45A Học xác suất; 44B Học toán rời rạc; 44B Học kinh tế, 44A Học tâm lý học, 44A Học kinh tế Có nghĩa l ta phải ghép cặp (lớp x, môn y) v hiểu l lớp x học môn y. Nh vậy, tập tất cả các cặp (lớp x, môn y) sao cho lớp x học môn y đặc trng cho quan hệ Học,v ta có thể coi quan hệ Học l tập con của tích đề-các của hai tập các lớp v các môn học. Hình thức hoá các hiện tợngấytacókháiniệmquanhệ,l một khái niệm rất quan trọng của toán học v đợc ứng dụng trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt l trong tin học. Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B l một tập con R của tích đề các A ì B.Nếu(a, b) R thì ta nói rằng a có quan hệ R với b v ký hiệu aRb thay thế cho ký hiệu (a, b). Ví dụ 1. Quan hệ Họckỳ4= {(a, b) với a l một lớp nođócủakhoá 44, còn b l một môn m lớp a học trong học kỳ 4 (năm học 2004-2005)}. Rõ rng quan hệ Họckỳ4l một tập con của quan hệ Học đã nói ở trên. Ví dụ 2. Quan hệ trực thuộc (hnh chính) l tập con I c ủa tích đề-các của tập H tất cả các huyện của V iệt nam v tập T l tập tất cả các tỉnh của Việt nam. Khi đó (Hng nguyên, Nghệ an), (Tĩnh gia, Thanh hoá), (Hơng sơn, H tĩnh), (Nam đn, Nghệ an) l nhữngphầntửcủatậpIv ta th ờng nói Hng nguyên trực thuộc Nghệ an, Tĩnh gia trực thuộc Thanh hoá, Hơng sơn trực thuộc H tĩnh, Nam đn trực thuộc Nghệ an. Ví dụ 3. Một hm số bất kỳ trên miền xác định D l một quan hệ từ D đến R,m mỗi phần tử của quan hệ nyl một cặp (x, f(x)),v đây l một loại quan hệ hai ngôi đặc biệt, ở chỗ mọi x D đềucóv chỉ có duy nhất một f(x) tơng ứng. 1 Trong số các quan hệ hai ngôi, ta quan tâm đặc biệt đến các quan hệ hai ngôi trên một tập: Một quan hệ hai ngôi R trên tập A l một quan hệ từ A đến A,nghĩa l R l tập con của bình phơng đề các A ì A. Ví dụ 4. Xét tập A tất cả sinh viên lớp 48K, ta có các quan hệ hai ngôi sau: a. Quan hệ đồng hơng, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho a có gia đình cùng huyện với b. b. Quan hệ công tác, gồm tất cả các cặp h ai sinh viên (a, b) sao cho a có công việc cần trao đổi với b. c. Quan hệ bạn thân, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho a chơi thân với b. d. Quan hệ lớn tuổi hơn, gồm tất cả các cặp hai sinh viên (a, b) sao cho a sinh trớc b. Ví dụ 5. Xét tập các số nguyên Z: a. Quan hệ đồng d theo mô đun 5 trên tập các số nguyên Z đợc định nghĩa nh sau: a đợc gọi l đồng d với b theo mô đun 5 khi v chỉ khi a v b có cùng số d khi chia cho 5. b. Quan hệ < trên tập Z. 1.1.2. Các phép toán trên tập các quan hệ Giả sử có các quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y , khi đó chúng đều l các tập con của tích đề-các X ì Y , nên có thể xét các phép toán tập hợp l phép hợp, phép giao, phép trừ, phép lấy hiệu đối xứng. Chúng đợc xem l các phép toán trên các quan hệ v kết quả của chúng đều l cácquanhệhai ngôi từ X đến Y . Ta sẽ xây dựng viphéptoánmới. Phép nghịch đảo: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y . Quan hệ ngợc (nghịch đảo) của quan hệ R l quan hệ S từ Y đến X sao cho S = {(y,x)|(x, y) R}.Quanhệngợc của R đợc ký hiệu bởi R 1 . Ví dụ 1. Nếu X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c}, R = {(1,b), (2,a), (4,c)} thì R 1 = {(b, 1), (a, 2), (c, 4)}. Phép hợp thnh: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi từ tập X đến tập Y , S l một quan hệ hai ngôi từ tập Y đến tập Z. Hợp thnh của các quan hệ 2 R v S l quan hệ T từ X đến Z với T = {(x, z)|y Y sao cho (x, y) R v (y, z) S}. Quan hệ hợp thnh T đợc ký hiệu bởi R S hoặc RS. ChúýrằngRS có thể l tập rỗng mặc dầu R v S đều khác rỗng v phép hợp thnh có tính chất kết hợp, nghĩa l (R S) V = R (S V ). Ví dụ 2. Giả sử X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c }, Z = {, , }, R = {(1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}, S = {(a, ), (b, ), (c, )}, khi đó RS = {(1, ), (2, ), (3, ), (4, )}. Phép luỹ thừa: Giả sử R l một quan hệ hai ngôi trên tập X. Luỹ thừa bậc n của quan hệ R ,kýhiệul R n ,vớin =1, 2, l quan hệ đợc xác định bởi hệ thức truy hồi R n = R n1 R với R 1 = R. Ví dụ 3. Giả sử X = {1, 2, 3, 4}, R = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}.Ta có R 2 = RR = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 2)}, R 3 = R 4 = {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)}, v do đó R n = R 3 với mọi n 3. 1.1.3. Các tính chất có thể có của quan hệ hai ngôi trên một tập a. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất phản xạ nếu với mọi a X đều có aRa. Ví dụ 1. Quan hệ đồng hơng ở ví dụ 4, quan hệ đồng d ởvídụ5 (mục 1.1.1) l cácquanhệcótínhphảnxạ. b. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất đối xứng nếu với mọi a, b X, aRb khi v chỉ khi bRa. Ví dụ 2. Cácquanhệđồnghơng, bạn thân ở ví dụ 4; quan hệ đồng d ởvídụ5(mục1.1.1)l các quan hệ có tính đối xứng. c. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất phản xứng nếu với mọi a, b X sao cho aRb v bRa thì a = b. Ví dụ 3. Quan hệ < trên tập Z (ví dụ 5 mục 2.1.1) có tính phản xứng. d. Quan hệ hai ngôi R trên một tập X đợc gọi l có tính chất bắc cầu nếu với mọi a, b, c X sao cho aRb v bRc thì aRc. Ví dụ 4. Các quan hệ đồng hơng,lớntuổihơnởvídụ4;cácquanhệ đồng d, < ở ví dụ 5 (mục 1.1.1) có tính chất bắc cầu. Sau đây ta có định lý về mối liên hệ giữa quan hệ bắc cầu R v các luỹ thừa của R. 3 Định lý 1. Qu an hệ R trên tập A có tính bắc cầu khi v chỉ khi R n R với mọi n =1, 2, 3, Chứng minh. Cần: Rõ rng R 1 R, tức l với n =1điều kiện cần đã đúng. Giả sử R n R ta sẽ chứng minh R n+1 R. Thật vậy, theo định nghĩa của luỹ thừa bậc n củaquanhệtacóR n+1 = R n R nghĩa l với mọi (x, z), (x, z) R n+1 khi v chỉ khi tồn tại y A sao cho (x, y) R n v (y,z) R. Theo giả thiế quy nạp, (x, y ) R n kéo theo (x, y) R v do R có tính chất bắc cầu nên từ (x, y) R v (y, z ) R suy ra (x, z) R.VậyR n+1 R. Đủ: Giả sử (x, y) R v (y, z) R,khiđó(x, z) R 2 . Theo giả thiết R n R với mọi n =1, 2, nên ta có ngay R 2 R,suyra(x, z) R,tức l R có tính bắc cầu. Bitập: 1. Có bao nhiêu quan hệ khác nhau từ tập có m phần tử đến tập có n phần tử? Quan hệ bù của quan hệ R,kýhiệul R,l tập các cặp đợc sắp {(a, b)|(a, b) / R}.TìmR 1 v R trong các trờng hợp sau: 2. R l quan hệ < trên Z. 3. R l quan hệ chia hết trên N + 4. R l quan hệ hm , nghĩa l R = {(a, f(a)) f(a) l ảnh của a qua ánh xạ f. 5. Liệt kê 16 quan hệ khác nhau trên tập {0, 1} 6. Trongsố16quanhệkhácnhautrêntập{0, 1}, những quan hệ nol a. Phản xạ b. Đối xứng. c. Phản xứng. d. Bắc cầu. 7. Có bao nhiêu quan hệ trên tập gồm n phần tử l a. Phản xạ b. Đối xứng. c. Phản xứng. 8. Cho R l quan hệ có tính phản xạ trên tập A. Chứng minh rằng R n cũng cótínhphảnxạvớimọisốnguyêndơng n. 4 9. Cho R l quan hệ có tính đối xứng trên tập A. Chứng minh rằng R n cũng có tính đối xứng với mọi số nguyên dơng n. 10. Chỉ ra một ví dụ về một quan hệ bắc cầu R sao cho R 2 = R 1.2. Biểu diễn quan hệ 1.2.1. Ma trận logic v các phép toán trên các ma trận logic Giả sử a, b l các biến (biến boolean) chỉ nhận một trong hai g iá trị 0 hoặc 1 (giá trị logic). Ta gọi tuyển của a v b l giá trị c = a b := 1 nếu a =1hoặc b =1 0 nếu a = b =0, ký hiệu tuyển của a v b bởi a b. Ta gọi hội của a v b l giá trị c = a b := 1 nếu a = b =1 0 nếu a =0hoặc b =0, ký hiệu hội của a v b bởi a b. Ma trận logic cỡ m ì n l một ma trận có m dòng v n cột, trong đó các phần tử của nó chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1. Giả sử cho hai ma trận A =[a i,j ] v B =[b i,j ] cũng cỡ. a. Tuyển (tổng boolean) của hai ma trận A v B,kýhiệuA B,l ma trận C =[c i,j ] trong đó c i,j = a i,j b i,j . b. Hội của hai ma trận A v B,kýhiệuA B,l ma trận C =[c i,j ] trong đó c i,j = a i,j b i,j . c. Tích boolean của ma trận A cỡ m ì n v ma trận B cỡ n ì p l ma trận C = A B := [c i,j ] cỡ m ì p trong đó c i,j =(a i,1 b 1,j ) ããã (a i,k b k,j ) ããã (a i,n b n,j ) (các dấu ngoặc có thể đợc bỏ đi). Ta ký hiệu tích boolean của hai ma trận A v B l A B Dễ thấy rằng ma trận vuông I n =[ i,j ] cấp n trong đó i,j = 1 nếu i = j 0 nếu i = j 5 l ma trận đơn vị đối với phép nhân boolean, nghĩa l với mọi ma trận A cỡ mìn (hoặc mọi ma trận B cỡ nìp) ta đều có AI n = A (hoặc I n B = B). Đồng thời tích boolean có tính chất kết hợp, nghĩa l A(B C)=(AB)C nếu một trong hai vế của đẳng thức nytồntại. ThuậttoántínhtíchboolecủamatrậnA cỡ m ì n v ma trận B cỡ n ì p,lu trữ kết quả vomatrậnC. Với i := 1 đến m Với j := 1 đến p c i,j := 0 với k := 1 đến n c i,j := c i,j (a i,k b k,j ). Vì tích boolean của các ma trận logic có tính chất kết hợp nên ta có thể định nghĩa luỹ thừa boolean nh sau: d. Luỹ thừa boole bậc r của một ma trận vuông logic A cấp n,kýhiệu bởi A [r] đợc định nghĩa bằng truy hồi nh sau: A [r] = A A [r1] , với r =1, 2, v A [0] = I n . hoặc đợc xác định bởi A [r] = A A ãããA rlần 1.2.2. Biểu diễn quan hệ bằng ma trận a. Xây dựng biểu diễn Cho A l tập hợp hữu hạn có m phần tử đã đợc đánh số thứ tự A = {a 1 ,a 2 , a m } v B l tập hợp hữu hạn có n phần tử đã đợc đánh số thứ tự B = {b 1 ,b 2 , b n } . Khi đó tích đề các A ì B có m ì n phần tử v một cách tự nhiên ta có thể biểu diễn chúng nh l một bảng gồm m dòng v n cột, trongđóvịtríởdòngi cột j l cặp (a i ,b j ).VìR l một tập con của tích đề các Aì B, nên biểu diễn của R sẽ đợctạonêntừbảngởtrênbằngcáchcặp no thuộc R sẽ đợc thay bởi 1, cặp no không thuộc R sẽ đợc thay bởi 0. Từ đó ta có định nghĩa biểu diễn sau: Giả sử R l mộtquanhệtừtậpA đến tập B v cácphầntửcủaA, B đã đợc sắp xếp theo một thứ tự cố định no 6 đó A = {a 1 ,a 2 , a m }, B = {b 1 ,b 2 , b n }. Matrậnlogicbiểudiễnquanhệ R l ma trận M R =[r i,j ],trongđó r i,j = 1 nếu (a i ,b j ) R 0 nếu (a i ,b j ) / R Để ý rằng thứ tự của các phần tử của A v B honton tuỳ ý, tuy nhiên phải đợc cho trớc cố định. Nói cách khác ứng với một thứ tự của các phần tử trong A hoặc B ta sẽ có một biểu diễn ma trận của quan hệ R.Đặcbiệt khi A = B ta quy định thứ tự của các phần tử của A v của B l nh nhau. b. Các ví dụ. c. Ma trận biểu diễn các quan hệ phản xạ, đối xứng, phản xứng Biểu diễn quan hệ bởi ma trận logic cho ta một cách nhìn trực quan hơn các quan hệ. Khi A = B, với biểu diễn nytadễdng kiểm tra các tính chất của quan hệ R. Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xạ khi v chỉ khi M R l ma trận cómọiphầntửtrênđờng chéo chính bằng 1. Quan hệ R trên tập A có tính chất đối xứng khi v chỉ khi M R l ma trận đối xứng qua đờng chéo chính. Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xứng khi v chỉ khi M R l ma trận có r i,j =0hoặc r j,i =0khi i = j. d. Ma trận biểu diễn hợp, giao của hai quan hệ. Từ định nghĩa ma trận biểu diễn quan hệ v các định nghĩa hợp v giao của hai quan hệ (nh l hợp v giao của hai tập hợp), tuyển, hội của các ma trận logic ta dễ dngsuyrarằngmatrậnbiểudiễnhợpcủahaiquanhệl tuyển của hai ma trận logic biểu diễn các quan hệ đã cho v ma trận biểu diễn giao của hai quan hệ l hội của hai ma trận logic biểu diễn các quan hệ đã cho. e. Ma trận biểu diễn hợp thnh của hai quan hệ. Định lý. Giả sử A, B, C l các tập hữu hạn có số các phần tử tơng ứng l m, n, p.GiảsửR, S l các quan hệ hai ngôi từ A đến B v từ B đến C tơng ứng. Gọi M R =[r i,k ],M S =[s k,j ],M RS =[t i,j ] l cácmatrậnbiểu diễn R, S, RS tơng ứng. Khi đó ta có M RS = M R M S 7 Chứng minh: Xét t i,j l phầntửbấtkỳ(ởdòngi cột j)củaM RS .Tacót i,j =1khi v chỉ khi a i RSc j ,điềuđócónghĩal tồn tại b k no đó thuộc B để a i Rb k v b k Sc j , nghĩa l tồn tại k để r i,k =1v s k,j =1, nghĩa l (r i,1 s 1,j ) (r i,k s k,j ) (r i,n s n,j )=1, nghĩa l phầntửởdòngi cột j của ma trận tích M R M S bằng 1. Vậy M RS = M R M S . 1.2.3. Biểu diễn quan hệ bằng đồ thị có hớng. a. Định nghĩa đồ thị có hớng Đồ thị có hớng l một bộ đôi G =(V,E) trong đó V l một tập hợp, gọi l tập các đỉnh; E V 2 ,l tập các cặp sắp thứ tự các phần tử của V , đợc gọi l tập các cạnh. Với mỗi cạnh (a, b) E,đỉnha đợc gọi l đỉnh đầu, b gọi l đỉnh cuối của cạnh. Nếu a trùng b, cạnh (a, a) đợc gọi l một khuyên. Đồ thị có hớng thờng đợc biểu diễn (minh hoạ) một cách trực quan nh hình vẽ dới đây: Ví dụ. b. Đồ thị có hớngbiểudiễnquanhệ Từ định nghĩa đồ thị có hớng ở trên, nếu R l một quan hệ hai ngôi trên tập hợp A,tacóthểbiểudiễnR nh l một đồ thị G =(A, R) (với tập A đóng vai trò của tập V ;TậpR đóng vai trò của tập E). Do đó có thể đồng nhất một quan hệ R trên tập A vớimộtđồthịcóhớng G v cách tiếp cận nychotamộtcáchnhìntrựcquanhơn. 8 Ví dụ. Cho tập A = {1, 2, 3, 4}, R l quan hệ < t hông thờng, khi đó đồ thị biểu diễn R đợc minh hoạ bởi hình sau: Ví dụ. Cho đồ thị G =(V,E) đợc minh hoạ bởi hình: Khi đó ta xác định đợc quan hệ hai ngôi E tơng ứng trên tập V = {1, 2, 3, 4} nh sau: E = {(1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}. Quan hệ ny cũng có thể diễn đạt l quan hệ đồng d theo môđun 2, hoặc l quan hệ cùng chẵn, cùng lẻ. c. Đồ thị biểu diễn quan hệ phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu. Theo biểu diễn quan hệ bởi đồ thị có hớng nh trên,tanhậnthấyrằng Quan hệ R trên tập A có tính chất phản xạ khi v chỉ khi đồ thị G = (A, R) có khuyên ở tất cả các đỉnh của nó. Quan hệ R trên tập A có tính chất đối xứng khi v chỉ khi trên đồ thị G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b, thì sẽ có cạnh ngợc lại, có đỉnh đầu l b v có đỉnh cuối l a. Quan hệ R trên tập A có tính chất phản đối xứng khi v chỉ khi trên đồ thị G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b, thì sẽ không có cạnh ngợc lại, có đỉnh đầu l b v có đỉnh cuối l a,nghĩal với mỗi cặp đỉnh chỉ có nhiều nhất một cạnh giữa chúng. Quan hệ R trên tập A có tính chất bắc cầu khi v chỉ khi trên đồ thị G =(A, R) nếucócạnhcóđỉnhđầul a,đỉnhcuốil b v có cạnh có đỉnh đầu l b,đỉnhcuốil c thì sẽ có cạnh có đỉnh đầu l a v đỉnh cuối l c.Tuy nhiên việc kiểm tra một quan hệ có tính bắc cầu hay không thờng khó khăn hơn việc kiểm tra các tính chất trên. 9 [...]... bi toán đếm v câu hỏi thứ ba liên quan đến lớp các bi toán liệt kê Phơng pháp để giải quyết các bi toán thuộc các lớp bi toán nói trên cũng mang các đặc thù khác nhau Phơng pháp để giải quyết các bi toán tồn tại thờng sử dụng các công cụ chứng minh diễn dịch (suy diễn) hoặc phản chứng Đối với các bi toán đếm thờng sử dụng các công cụ chứng minh quy nạp hoặc các công cụ tính toán, còn đối với các bi toán. .. liên hệ giữa các phép toán ma trận v phép toán quan hệ ta có [2] [n] MR = MR MR MR e Các thuật toán xác định bao đóng bặc cầu của quan hệ R Thuật toán 1 Từ định lý trên, ta có thuật toán sau để xác định ma trận MR biểu diễn bao đóng bắc cầu của quan hệ R có ma trận MR A := MR MR := A; Với i := 2 đến n A := A MR MR := MR A Thuật toán 2 (Warshall, 1960), (Roy, 1959) Thuật toán Warshall sẽ xây... công cụ tính toán, còn đối với các bi toán liệt kê thờng sử dụng các cách thức, các thuật toán để chỉ ra một cách tờng minh các cấu hình cần tìm Để giải quyết các bi toán tổ hợp ta sẽ sử dụng một số các nguyên lý cơ bản Các nguyên lý ny l các công cụ quan trọng để giải các bi toán đếm, các bi toán tồn tại v các bi toán liệt kê 2.1.2 Nguyên lý nhân Giả sử có một việc đợc tách thnh k công đoạn Công đoạn... dụ trên, ta bắt đầu thấy đợc một mối liên hệ giữa khái niệm toán học trừu tợng quan hệ n ngôi v khái niệm ở thực tế cuộc sống v trong tin học (dữ liệu) Mối liên hệ ấy sẽ đợc xem xét dới tên gọi Mô hình quan hệ của dữ liệu Vấn đề l tiếp tục xây dựng các thao tác (phép toán) thích hợp trên các quan hệ để tác động vo các dữ liệu 1.5.2 Các phép toán: hợp, giao, tich đề các, kết nối, chiếu, chọn Định nghĩa... nhiều bi toán thực tế, cần phải quan tâm đến tập hợp các đối tợng đợc sắp xếp thep một trật tự no đó, sau đây ta sẽ gọi tắt cụm từ ny bởi thuật ngữ cấu hình v thờng phải trả lời các câu hỏi: i Có hay không một cấu hình cho trớc? ii Có bao nhiêu cấu hình cho trớc? iii Cách thức để liệt kê hay chỉ rõ các cấu hình đó nh thế no? Câu hỏi thứ nhất liên quan đến một lớp các bi toán m ta sẽ gọi l các bi toán tồn... thế cấp n Bi toán 3: Số các hoán vị cấp n Có bao nhiêu song ánh từ tập n phần tử lên tập n phần tử Có bao nhiêu hoán vị của tập n phần tử Đáp số: n! = n(n 1) 2.1 Bi toán 4: Có bao nhiêu cách khác nhau để xếp đặt không hạn chế k vật vo trong n hộp sao cho hai cách xếp đặt đợc coi l giống nhau khi trong mỗi hộp đều chứa cùng một dãy các vật Đáp số: [n]k = n(n + 1)(n + 2) (n + k 1) Bi toán 5: Tổ... thuật toán đệ quy v lập trình đệ quy có u điểm l biểu diễn đơn giản, dễ viết chơng trình Tuy nhiên một điểm yếu của lập trình đệ quy (khi tính các công thức truy hồi) l cần sử dụng dung lợng lớn trong bộ nhớ của máy tính do các vùng nhớ bị chiếm dụng cho chơng trình tăng nhanh trong quá trình thực hiện chơng trình con đệ quy, Để khắc phục, thay thế các thuật toán đệ quy ngời ta thờng sử dụng các thuật toán. .. nên theo nguyên lý nhân ta có số các bộ (h, i, j) l 10 ì 20 ì 30 = 6000 Vậy giá trị cuối cùng của k l 6000 Một chỉnh hợp lặp chập k của n l bộ sắp thứ tự k thnh phần có giá trị thuộc tập n phần tử Bi toán1 : Số các chỉnh hợp lặp chập k của n Có bao nhiêu bộ sắp thứ tự k thnh phần có giá trị thuộc tập n phần tử (Có bao nhiêu chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử?) Có bao nhiêu cách xếp k vật vo n hộp? Có... một tập có n phần tử? Có bao nhiêu phần tử của luỹ thừa đề-các bậc k của một tập có n phần tử? k Đáp số: Fn = nk Một chỉnh hợp (không lặp) chập k của n l bộ sắp thứ tự k phần tử thuộc tập n phần tử Bi toán 2: Số các chỉnh hợp (không lặp) chập k của n 25 Có bao nhiêu cách xếp k vật vo trong n hộp sao cho mỗi hộp chứa không quá 1 đồ vật? (hai vật khác nhau đợc xếp vo hai hộp khác nhau) Có bao nhiêu đơn... kết thúc tại ak (tức l ta quy về khả năng thứ hai ở trên (k) (k1) (k1) (k1) Vậy wij = 1 khi v chỉ khi wij = 1 hoặc wik = 1 v wkj = 1, tức l: (k) (k1) wij = wij (k1) (wik (k1) wkj ) Từ đó ta có thuật toán Warshall sau đây: W := MR Với k := 1 đến n Với i := 1 đến n Với j := 1 đến n wij := wij wik wkj Bi tập 1 Cho R l quan hệ {(a, b)|a = b} trên tập hợp các số nguyên Z Tìm bao đóng phản xạ của R 2 . giữa các phép toán ma trận v phép toán quan hệ ta có M R = M R M [2] R M [n] R . e. Các thuật toán xác định bao đóng bặc cầu của quan hệ R Thuật toán 1. Từ định lý trên, ta có thuật toán sau đ. môn đợc lớp đó học trong học kỳ, gọi tắt l quan hệ Học, chẳng hạn 45A Học xác suất; 44B Học toán rời rạc; 44B Học kinh tế, 44A Học tâm lý học, 44A Học kinh tế Có nghĩa l ta phải ghép cặp (lớp. phép lấy hiệu đối xứng. Chúng đợc xem l các phép toán trên các quan hệ v kết quả của chúng đều l cácquanhệhai ngôi từ X đến Y . Ta sẽ xây dựng viphéptoánmới. Phép nghịch đảo: Giả sử R l một quan