Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 chuyên đề 1: các dạng toán về chữ số và số A- Thay đổi chữ số của một số I- Dạng 1: Thay đổi chữ số của một số a)Phơng pháp chung: Thông thờng dạng toán có cách giải sau: *Cách 1: Dùng phân tích số để biến đổi quan hệ trong bài toán về các đẳng thức để giải *Cách 2: Đa bài toán về bài toán điền chữ số. *Cách 3: đa bài toán về các dạng toán điển hình. b) Ví dụ minh họa: +Bài toán 1: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng đơn vị là 8. Nếu chuyển chữ số 8 lên đầu thì ta đợc một số mới có 3 chữ số, số mới đem chia cho số ban đầu đợc thơng là 5 d 25. Tìm số đó. Giải: Gọi số cần tìm là ab8 thì số mới là 8ab. Theo đề bài ta có: 8ab = ab8 x 5 + 25 Hay : 800 + ab = ( ab x 10 + 8 ) x5 + 25 => 800 + ab = ab x 50 + 40 + 25 800 + ab = ab x 50 + 65 => ab x 49 = 800 65 => ab x 49 = 735 ab = 735 : 49 => ab = 15. Vậy số cần tìm là: 158 Thử lại: 815 : 158 = 5 ( d 25 ) + Bài toán 2: Cho một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5. Nếu chuyển số 5 ra đằng sau số đó thì đợc số mới có 3 chữ số kém số ban đầu 324 đơn vị. Giải: Gọi số cần tìm là 5ab thì số mới là ab5. Theo đề bài ta có: 5ab ab5 = 324 Hay: 500 + ab ( ab x 10 + 5) = 324 => 500 + ab ab x 10 5 = 324 ab x 9 = 171 => ab = 171 : 9 => ab = 19 . Vậy số cần tìm là 519. c) Các bài toán: 1- Tìm số có 4 chữ số mà chữ số tận cùng là 5. Nếu chuyển số 5 này lên đầu ta đợc số mới kém số đó 531 đơn vị. 2- Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu ta đổi chỗ hai chữ số của chúng cho nhau thì ta đợc một số mới kém số ban đầu 45 đơn vị. 3- Hãy tìm một số tự nhiên có 2 chữ số sao cho khi đổi vị trí của hai chữ số rồi viết thêm chữ số 0 vào bên phải của hai chữ số thì đợc số mới gấp 45 lần số phải tìm. 4- Tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số 7 ở hàng đơn vị của số đó lên đầu thì đợc một số mới gấp 2 lần số cũ và thêm 21 đơn vị. 5- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đo bằng 9 và nêu đổi chỗ các hai chữ số của số đó cho nhau ta đợc số mới hơn số cũ 45 đơn vị. 6- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng 15 và nếu đổi chỗ hai chữ số của số đo cho nhau ta đợc hai số mới có hiệu là 9 đơn vị. 7- Tìm số thập phân abc,de1 biết abc,de1 : 0,3 = 1abc,de II- Dạng 2: Thêm, bớt chữ số của một số a) Phơng pháp chung: *Cách 1: Đa bài toán về dạng toán điển hình để giải. *Cách 2: Dùng phân tích số để biến đổi mối quan hệ trong bài toán về đẳng thức đơn giản để giải (thờng chỉ đối với bài toán cho biết số cần tìm có số lợng chữ số cụ thể). b) Ví dụ: + Bài toán 1: Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số đó ta đợc số mới ( có 3 chữ số ) bằng 5 lần số phải tìm. GV: Mai Thị Ngọc Linh 1 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 .Cách 1: Gia sử số cần tìm là ab ( a # 0). Khi viết thêm chữ số 3 vào bên trái số ab thì ta đợc một số mới 3ab. Ta có 3ab ab = 300 Theo đề bài nếu biểu diễn số cần tìm là 1 đoạn thẳng thì số mới là 5 đoạn thẳng nh thế. Số cần tìm là: 300 : ( 5 1 ) = 75. . Cách 2: Sử dụng phân tích cấu tạo số. + Bài toán 2: Tìm một số có 3 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 3. Nếu xóa chữ số 3 đó ta đợc một số mới kém số phải tìm là 408 đơn vị. . GV giải tơng tự bài toán 1. Số cần tìm là 45. c) Các bài tập: 1- Tìm số có 3 chữ số biết rằng nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó thì ta đợc một số mới bằng 17 lần số phải tìm. 2- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới lớn hơn số phải tìm là 18 036 đơn vị. 3- Tìm một số biết rằng nếu viết thêm số 97 vào bên phải số đó thì ta đợc một số mới lớn hơn số phải tìm là 1 978 đơn vị. 4- Tìm một số có 3 chữ số trong đó chữ số hàng trăm là 5 và nếu xóa chữ số này thì số đó giảm đi 26 lần. 5- Tìm một số có 3 chữ số biết rằng nếu xóa đi một chữ số ở hàng đơn vị của số đó thì ta đợc số mới nhỏ hơn số ban đầu là: a) 252 đơn vị. b) 142 đơn vị. 6- Cho một số có hai chữ số, nêu viết thêm một chữ số a vào đằng trớc số đó ta đợc số mới gấp 3 lần số đã cho. Tìm số đó và chữ số a. 7- Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta đợc một số gấp 7 lần số đó. 8- Tìm một số tự nhiên biết rằng khi viết xen vào giữa hai chữ số của nó chính số đó thì số đó đ- ợc tăng thêm 1180 đơn vị. 9- Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có 2 chữ số chính số đó thì ta đợc một số mới có 4 chữ số và gấp 99 lần số ban đầu. Tìm số đó. 10- Tìm số có 3 chữ số biết rằng khi viết thêm chữ số 1 vào bên phải số đó thì ta đợc một số gấp 3 lần số có đợc bằng cách viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó. B- Tìm số theo diều kiện cho tr ớc về chữ số. I- Dạng 1: Vận dụng cấu tạo số. a) Phơng pháp giải: - Diễn tả số cần tìm qua các kí hiệu kèm theo các điều kiện ràng buộc của các kí hiệu đó. - Diễn tả mối quan hệ trong bài toán bằng các đẳng thức toán. - Biến đổi các đẳng thức đã lập đợc về các đẳng thức đơn giản hơn. - Dùng phơng pháp lựa chọn. - Thử lại để xác định số cần tìm. b) Ví dụ: +Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 14 lần chữ số hàng chục của nó. Giải: Gọi số cần tìm là ab ( 1 < = a< 10 ; 0 <=b < 10) Theo đề bài ta có: ab = a x 14, hay: a x 10 + b = a x 14 => a x 10 + b = a x 4 + a x 10 b = a x 4. Do 0 < = b < 10 nên a chỉ có thể lấy các giá trị: 1 ; 2. a b = a x 4 Số cần tìm 1 2 4 8 14 28 GV: Mai Thị Ngọc Linh 2 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Thử lại: 14 = 1 x 14 ( đúng) 28 = 2 x 14 ( đúng) +Bài toán 2: Tìm số tự nhiên khác 0, biết rằng số đó gấp 21 lần chữ số hàng đơn vị của nó. Giải: Gọi số cần tìm là Ab, với A là chỉ số chục và b là chữ số hàng đơn vị ( 0 < b < 10 ) Theo đề bài ta có: Ab = b x 21. Hay: A x 10 + b = b x 21 => A x 10 + b = b x 20 + b A x 10 = b x 20 => A x 10 = b x 2 x 10 => A = b x 2 Ta có : b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Số cần tìm 21 42 63 84 105 126 147 168 189 Thử lại: Ta thấy các số vừa tìm đợc đều thỏa mãn đề bài. II- Dạng 2: Dùng phơng pháp lựa chọn. Ví dụ: + Bài toán 1: Tìm số có hai chữ số biết tổng các chữ số của số đó bằng 9 và tích các chữ số của số đó bằng 18. Giải: Gọi số cần tìm là ab ( a # 0. Theo đề bài ta có: a + b = 9 và a x b = 18. Các số mà tổng các chữ số bằng 9 là: 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90. Trong các số đó ta chỉ thấy có 36 và 63 là phù hợp điều kiện: tích các chữ số bằng 18 ( 3 x 6 = 18). Vậy số cần tìm là: 36; 63. ( Ta cũng có thể lập bảng để thử chọn) + Bài toán 2: Tìm số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó trừ đi 5 thì đợc số có 2 chữ số giống nhau. Giải: Các số có hai chữ số mà 2 chữ số giống nhau là: 11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99. Theo đề bài ta có: ( Số cần tìm ) 5 = aa. Hay ( Số cần tìm) = aa + 5 aa 11 22 33 44 55 66 77 88 99 Số cần tìm 16 27 38 49 60 71 82 93 104 Kết quả Loại Loại Loại Loại Nhận Nhận Nhận Nhận Loại Số cần tìm là : 60; 71; 82; 93. III- Dạng 3: Đa về bài toán điền chữ số. Ví dụ: Tìm một số có 5 chữ số biết rằng số đó tăng lên 9 lần nếu viết 5 chữ số của số đó theo thứ tự ngợc lại. Giải: Gọi số cần tìm là abcde ( a # 0). Theo đề bài ta có: abcde Ta thấy a phải nhỏ hơn 2 để cho abcde x 9 thì đợc số có 5 chữ số. Do a khác 0 nên a =1 x 9 để 9 x 9 có tận cùng là 1. Ta có: 1bcd9 edcba x 9 9dcb1 - Nếu b = 1, ta có : 11cd9 Ta thấy d = 7 để cho 7 x 9 + ( nhớ) có tận cùng là 1. Lúc đó dù c = 0 x 9 thì 11079 x 9 khác 97011, còn c > hoặc = 1 thì 11cd9 x 9 là số có 9cd11 sáu chữ số. Vậy b không thể là 1. - Nếu b = 0 ta có: 10cd9 x 9 9cd01 Ta thấy d = 8 để cho 8 x 9 + 8( nhớ) có tận cùng bằng 0. Vậy 100c89 x 9 = 98c01 GV: Mai Thị Ngọc Linh 3 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Hay: ( 10089 + c00) x 9 = 98001 + c00 => 10089 x 9 + c00 x 9 = 98001 + c00 90801 + c00 x 8 = 98001 + c00 => 90801 + c00 x 8 = 90801 + 7200 c00 x 8 = 7200 => c00 = 7200 : 8 => c00 = 900. Ta có c = 9. Vậy số cần tìm là 10989. Các bài tập ứng dụng 1- Tìm một số tự nhiên biết rằng số đó gấp 71 lần chữ số hàng đơn vị của nó. 2- Tìm số tự nhiên biết rằng số đó gấp 51 lần chữ số hàng chục của nó. 3- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng số đó gấp 9 lần tổng các chữ số của nó. 4- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đo bằng 8 lần chữ số hàng chục cộng với 7 lần chữ số hàng đơn vị. 5- Tìm số có hai chữ số biết rằng số đó gấp 12 lần hiệu giữa các chữ số của nó. 6- Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với các chữ số của nó là 103. 7- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng của số đó với số có hai chữ số nh thế nhng viết theo thứ tự ngợc lại là 187. 8- Tìm số có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của số đó bằng số lẻ nhỏ nhất của hai chữ số, còn chữ số hàng đơn vị thì lớn hơn chữ số hàng chục là 3 đơn vị. 9- Tìm số có bốn chữ số biết rằng tích của hai chữ số ngoài cùng là 40, tích của hai chữ số ở giữa là 28, chữ số hàng nghìn nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng trăm. 10- Tìm số lẻ có ba chữ số biết rằng nếu dem số đó cộng với 631 thì đợc số có ba chữ số giống nhau. 11-Tìm số có hai chữ số biết rằng tích các chữ số của số đó là 12, còn tổng các chữ số của số đó là7 12- Tìm số có năm chữ số biết rằng số gồm 5 chữ số trên viết theo thứ tự ngợc lại bằng 4 lần số phải tìm. C- Các bài toán về chữ số tận cùng. I- Dạng 1: Xác định số chẵn số lẻ. *Ghi nhớ: 1- Tổng các số chẵn là một số chẵn. Tổng các số lẻ là: Số chẵn khi lợng số lẻ là số chẵn. Là số lẻ khi lợng số lẻ là số lẻ. Tổng số chẵn với số lẻ là số lẻ. 2- Hiệu của hai số lẻ là số chẵn. Hiệu của hai số chẵn là số chẵn. Hiệu SC SL = SL. 3- Tích của các số lẻ là số lẻ. Tích có một thừa sô là SC thì tích là SC. *Ví dụ: 1)Tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng). Giải: Từ 1 đến 1997 có 1997 số tự nhiên liên tiếp, trong đó các số lẻ gồm: 1; 3; 5; 7; ; 1997 và các số chẵn gồm có 2; 4; 6; 8; ; 1996. Số lợng số lẻ là: (1997 1) : 2 + 1 = 999 ( số). Số lợng số chẵn là: (1996 2) : 2 + 1 = 998 ( số) Ta có: Tổng của 999 số lẻ là số lẻ. Tổng của 998 số chẵn là số chẵn. Tổng của một số chẵn với một số lẻ là một số lẻ. Vậy tổng của 1997 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là một số lẻ. 2) Không cần làm tính em hãy xem xét các phép tính sau đúng hay sai? Giải thích: a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161 Giải: a) Kết quả là sai. Vì có một thừa số chẵn ( 672) nên tích phải là số chẵn mà 1 019 423 là số lẻ. b) Kết quả sai. Vì có tổng các số chẵn là số chẵn mà 9 161 là số lẻ. GV: Mai Thị Ngọc Linh 4 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 II- Dạng 2: Xác định một chữ số tận cùng. *Ghi nhớ: 1- Chữ số tận cùng của một tổng bằng chữ số tận cùng của tổng các chữ số hàng đơn vị của các số hạng trong tổng ấy. 2- Chữ số tận cùng của một tích bằng chữ số tận cùng của tích các chữ số hàng đơn vị của các thừa số trong tích ấy. 3- .Tích một số chẵn với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 0. . Tích một số lẻ với một số tận cùng là 5 thì tận cùng là 5. . Tích các số tận cùng là 1 thì tận cùng là 1, tận cùng là 6 thì là 6. . Tích a x a không thể tận cùng bằng 2; 3; 7; hoặc 8. *Ví dụ: 1) Tìm các chữ số tận cùng của tích sau: a) 1 x 3 x 5 x 7 x x 57 x 59. b) 2 x 12 x 22 x x 82 x 92 . c) 39 x 49 x 59 x x 1 979 x 1 989. Giải: a) Trong phép nhân có chứ thừa số 5 nên tích là một số chia hết cho 5, do đó chữ số tận cùng của tích là 0 hoặc 5. Vì các thừa số là số lẻ nên tích là số lẻ. Vậy chữ số tận cùng của tích là 5. b) Tích gồm các thừa số tận cùng là 2 nên tích có 10 thừa số và ta có: 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x 62 x 72 x 82 x 92. * *6 x * *6 x * *4 * *6 x * *4 = * *4 Do tích của hai số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 4; tích của bốn số tận cùng bằng 2 thì có tận cùng là 6; tích của số có tận cùng bằng 6 với số có tận cùng là 4 thì có tận cùng là 4, nên tích: 2 x 12 x 22 x x 82 x 92 có chữ số tận cùng là 4. c) Ta thấy: 49 39 = 10; 59 49 = 10; 1989 1979 = 10. Vậy qui luật dãy số cách nhau 10 đơn vị. Ta có tích gồm các thừa số có hàng đơn vị là 9 từ 39 đến 1989. Số lợng thừa số của tích là: (1989 39) : 10 + 1 = 196 thừa số. Do tích của hai số tận cùng bằng 9 thì có tận cùng là 1. 39 x 49 = 1911 nên ta tách các thừa số của tích thành nhóm mỗi nhóm có hai thừa số liền nhau rồi thay thế 2 thừa số bằng tích riêng của chúng ( có tận cùng là 1). Số nhóm có là: 196 : 2 = 98 (nhóm) Tích có thể viết: * *1 x * *1 x * *1 x x * *1 = * *1 98 thừa số Vì tích các số có tận cùng là 1, nên tích 39 x 49 x 59 x x 1979 x 1989 có chữ số tận cùng là 1. 2) Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau: a) 81 x 82 x 83 x 84 + 85 x 86 + 87 x 88 x 89 x 90 + 91 x 92 x 93 b) 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12. Gi ải: a) Ta thấy : - Do 1 x 2 x 3 x 4 = 24 nên 81 x 82 x 83 x 84 có chữ số tận cùng là 4. - Do 5 x 6 = 30 nên 85 x 86 có chữ số tận cùng là 0. - Do 7 x 8 x 9 x 0 = 0 nên 87 x 88 x 89 x 90 có chữ số tận cùng là 0. - Do 1 x 2 x 3 = 6 nên 91 x 92 x 93 có chữ số tận cùng là 6. Vì 4 + 0 + 0 + 6 = 10 nên kết quả dãy tính có chữ có tận cùng là 0. b) Ta thấy: - Do 1 x 3 x 5 x 7 = 105 nên 81 x 63 x 45 x 27 có số tận cùng là 5. - Do 7 x 9 x 1 x 2 = 126 nên 37 x 29 x 51 x 12 có chữ số tận cùng là 6. Vậy : 81 x 63 x 45 x 27 37 x 29 x 51 x 12 = * *5 - * *6 = * *9. Dãy số có tận cùng là 9. * Các bài tập luyện tập: GV: Mai Thị Ngọc Linh 5 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 1- Không cần tính kết quả hãy kiểm tra kết quả của các phép tính sau đây đúng hay sai? Giải thích. a) 9783 + 1789 + 8075 + 301 + 2779 = 22472. b) 568 + 12540+ 6384 = 8191 c) 4624 x 123 = 568751 d) ( 20 + 4 + 6 + + 100 + 102) : 3 = 815 e) abc x abc 853467 = 0 2- a) Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có thể là một số lẻ đợc không. b) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng có thể là một số lẻ đợc không? c) Số 2003 có thể là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nào? 3- Tổng của 2003 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 là số chẵn hay lẻ? ( không cần tính tổng) 4- Có thể tìm số tự nhiên A và B sao cho (A + B) x ( A B) = 2010 hay không? 5- An mua một số vở. An đa cho bạn Bình và bạn Châu đếm lại. Bình đếm mỗi lần 6 quyển thì thừa 2 quyển, Châu đếm mỗi lần 4 quyển thì thừa 3 quyển. Em hãy chứng tỏ trong hai bạn Bình và Châu có ít nhất một bạn đếm sai? 6- Các tích sau tận cùng bằng chữ số nào: a) 24 x 34 x 44 x x 114 x 124. b) 198 x 208 x 218 x x 448 x 458. c) 3 x 13 x 23 x x 103. d) 17 x 37 x 57 x 77 x x 157 x 177. 7- Hãy cho biết chữ số tận cùng của kết quả dãy tính sau: a) 11 x 22 x 33 x 44 + 55 + 66 x 77 x 88 x 99. b) 32 x 44 x 75 x 69 21 x 49 x 65 x 55. c) 1991 x 1992 x 1993 x 1994 x 1995 x 1996 x 1997 x 1988. 8- Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp có tích bằng 255024 và 24024. Chuyên đề 2: các dạng toán về dãy số nguyên. A- Dãy số tự nhiên và dãy số cách đều . I- Dạng 1: Tìm qui luật thành lập dãy số, điền thêm số hạng vào dãy số. * Ví dụ: Tìm qui luật thành lập và điền tiếp 3 số hạng nữa vào dãy số 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; + Ta nhận thấy: 1 = 0 + 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 2; 5 = 2 + 3; 8 = 3 + 5; . Vậy dãy số đã cho đợc thành lập theo qui luật: kể từ số hạng thứ ba trử đi mỗi số hạng đều bằng tổng hai số hạng liên tiếp ngay trớc nó. Ta có 3 số hạng tiếp theo của dãy số là: 5 + 8 = 13; 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34. Ta có dãy số: 0; 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; II- Dạng 2: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không? Ví dụ: Cho hai dãy số: 1) 3; 6; 9; và 2) 4; 7; 10; 13; Hỏi số 1997 có phải là một số hạng của dãy số đã cho không? Ta thấy: - Dãy số 3; 6; 9; gồm các số chia hết cho 3 và dãy số 4; 7; 10; 13; gồm các số hạng chia cho 3 d 1. Do 1997 chia cho 3 d 2 nên 1997 không phải là một số hạng của các dãy số trên. III- Dạng 3: Xác định số hạng và số lợng số trong dãy số. * Ví dụ: Cho dãy số: 354; 355; 356; ; 2005; 2006. Hỏi: a) Dãy số đó có bao nhiêu số? b) Dãy số đó có bao nhiêu chữ số? c) Số hạng thứ 100 là số nào? * Giải: Dãy số 354; 355; 356; ; 2005; 2006 là dãy số tự nhiên liên tiếp bắt dầu từ số 354. GV: Mai Thị Ngọc Linh 6 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 a) Số lợng các số có trong dãy số là: ( 2006 354 ) + 1 = 1653 ( số) b) Ta có: + Các số có ba chữ số gồm: 354; 355; 356; ; 998; 999 có tất cả: ( 999 354 ) + 1 = 646 ( số có ba chữ số) + Các số có bốn chữ số gồm: 1000; 1001; 1002; ; 2005; 2006 có tất cả: ( 2006 1000) + 1 = 1007(số có bốn chữ số) Vậy dãy số cos tất cả: 3 x 646 + 4 x 1007 = 5966 ( chữ số) c) Nhận xét: Theo câu b) ta có 646 số có ba chữ số nên số hạng thứ 100 là số có ba chữ số. Số hạng thứ nhất là: 354. Số hạng thứ hai là: 354 + 1 x ( 2 1 ) = 355 Số hạng thứ ba là: 354 + 1 x ( 3 1 ) = 356 Số hạng thứ t là: 354 + 1 x ( 4 1 ) = 357 v.v Ta thấy mỗi số hạng trong dãy số bằng số hạng thứ nhất cộng với tích của 1 và hiệu của số thứ tự của số đó với 1. Do đó ta có: Số hạng thứ n là: 354 + 1 x ( n 1 ) Số hạng thứ 100 là: 354 + 1 x ( 100 1 ) = 453. IV-Dạng 4: Xác định số hạng và số lợng trong dãy số cách đều. Ví dụ: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; ; 2004. a) Hỏi dãy số đó có bao nhiêu chữ số? b) Nếu phải viết 184 csố thì viết đến số nào? c) Tìm chữ số thứ 2000 của dãy số. *Gi ải: a) Dãy số đã cho là dãy số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 2 đến 2004. Hai số chẵn liên tiếp hơn ( kém) nhau 2 đơn vị. Ta thấy trong dãy số đó: + Từ 2 đến 8 có: (8 2) : 2 + 1 = 4 (chữ số) + Từ 10 đến 98 có: ( 98 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số có hai chữ số) + Từ 100 đến 998 có: ( 998 100) : 2 + 1 = 450 ( số có ba chữ số) + Từ 1000 đến 2004 có: ( 2004 1000 ) : 2 + 1 = 503 ( số có bốn chữ số) Vậy số lợng chữ số của dãy số là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 503 = 3456 ( chữ số) b)Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 98 thì phải viết tới: 1 x4 +2 x 45 = 94 (chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45 +3 x 450 =1444( csố) Do 94 < 184 < 1444 nên 184 chữ số chỉ dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số. Số lợng chữ số dùng để viết các số chẵn có 3 chữ số là: 184 94 = 90 ( chữ số) Số lợng số chẵn có 3 chữ số viết đợc là: 90 : 3 = 30 ( số). Hai số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị và số khoảng cách ít hơn số lợng số là 1 nên: Số khoảng cách ( mỗi khoảng cách 2 đơn vị ) là: 30 1 = 29 ( khoảng cách ) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 hơn số 100 là: 2 x 29 = 58 ( đơn vị ) Số chẵn có 3 chữ số thứ 30 của dãy số là: 100 + 58 = 158. Vậy nếu 184 chữ số thì viết đến số 158. c) Ta thấy: Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 998 thì phải viết tới: 1 x 4 + 2 x45+3 x 450=1444(chữ số) Nếu viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 2004 thì phải viết tới 3 456 chữ số (theo câu a). Do 1444 < 2000 < 3456 nên chữ số thứ 2000 thuộc các số chẵn có 4 chữ số. Số lợng chữ số dùng để viết các số chẵn có 4 chữ số là: 2000 1444 = 556 ( chữ số) Số lợng số chẵn có 4 chữ số là: 556 : 4 = 139 ( số) Số chẵn có 4 chữ số đầu tiên là 1000, số chẵn có 4 chữ số thứ 139 là: 1000+(139-1)x2=1276 Vậy dãy số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1276 có đúng 2000 chữ số. Do đó chữ số thứ 2000 của dãy số là 6 ( của số 1276). V- Dạng 5: Viết dãy số cách đều GV: Mai Thị Ngọc Linh 7 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 *Ví dụ: Viết dãy số cách đều biết số hạng đầu tiên là 1 và số hạng thứ 20 là 77. *Hiệu của số hạng thứ 20 và số hạng đầu tiên là: 77 1 = 76 Từ số hạng thứ nhất đến số hạng thứ 20 có số khoảng cách là: 20 1 = 19 ( khoảng cách) Giá trị mỗi khoảng cách là: 76 : 19 = 4 ( đơn vị) Vậy dãy số phải tìm là: 1; 5; 9; 13; 17; ; 77; VI- Dạng 6: Tính tổng các số hạng trong dãy số cách đều . Công thức tính tổng: - Nếu n là số chẵn thì : a1 + a2 + + an = ( a1 + an) x 2 n - Nếu n là số lẻ thì: a1 + a2 + + an = a1 + ( a2 + an ) x 2 1n Các bài tập ứng dụng 1- Tìm qui luật thành lập của dãy số sau, rồi điền tiếp theo 3 số hạng vào dãy số: a) 1; 4; 7; 10; b) 5; 7; 12; 19; 31; 50; c) 5; 8; 11; 24; 43; 78; d) 1; 4; 9; 16; 25; e) 1; 2; 6; 24; 120; g) 2; 20; 56; 110; 182; 2- Tìm số hạng đàu tiên của dãy số sau: ; 10; 16; 26; 42 . Biết dãy số có 7 số hạng. 3- Điền thêm sáu số hạng nữa vào tổng sau: 9 + + 16 = 100. 4- Em hãy cho biết 50 và 133 có thuộc dãy số sau không: 90; 95; 100; 5- Em hãy cho biết: a) Số 2006 có thuộc dãy số: 1; 4; 7; 10; b) Số nào trong các số: 666; 1000; 9999 thuộc dãy số: 3; 6; 12; 24; 6- Cho dãy số: 100; 97; 94; có bao nhiêu số hạng biết rằng số hạng cuối cùng của dãy số đó là số nhỏ nhất có 1 chữ số khác 1 và chia 3 d 1? Tìm số hạng thứ 17 của dãy số. 7- Từ 1 đến 2004 có bao nhiêu chữ số tận cùng là 4? 8- Cho dãy số: 1; 3; 5; 7; ; 2005. Hỏi dãy số có bao nhiêu số hạng và số hạng thứ 100 là số nào? 9- a) Từ 563 đến 2005 có bao nhiêu số tự nhiên liên tiếp? b) Dãy số lẻ liên tiếp từ 147 đến 2005 có bao nhiêu số? c) Dãy số chẵn liên tiếp từ 140 đến 2004 có bao nhiêu số? 10- Hãy viết dãy số cách đều có 10 số hạng đều là các số tự nhiên, biết số hạng đầu tiên là 10 và số hạng cuối cùng là 37. 11- Cho dãy số cách đều có 9 số hạng, có số hạng thứ năm là 19 và số hạng thứ chín là 35. Hãy viết đủ các số hạng của dãy số đó. 12- a) Viết tất cả 50 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 1996. Hỏi số cuối cùng phải viết là số nào? b) Viết 96 số chẵn liên tiếp. Số cuối cùng của dãy là 2004. Hỏi số đầu tiên của dãy là số nào? 13- Ngời ta đánh máy chữ các số: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; để dán vào trong một quyển sách dày 500 trang ( đánh số trang ). Hỏi phải gõ vào máy chữ bao nhiêu lần( chỉ tính những lần gõ vào chữ số và giả sử không lần nào gõ nhầm)? 14- Viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1. Hỏi chữ số thứ 2004 là chữ số nào? 15-Viết liên tiếp các số chẵn bắt đầu từ 2004. Hỏi nếu phải viết 480 chữ số thì phải viết đến số nào? 16- Tính các tổng sau: a) 1 + 3 + 5 + 7 + + 2005 b) 1 + 4 + 9 + 16 + + 100 c) 2 + 4 + 8 + 16 + .( có 16 số hạng). 17- Một phòng họp có hàng ghế đầu gồm 12 ghế, hàng ghế thứ hai có 13 ghế, hàng ghế thứ ba có 14 ghế, cứ xếp nh thế nào cho đến hàng ghế cuối cùng có 30 ghế. Hỏi phòng họp có bao nhiêu hàng ghế? Và phòng họp ấy có đủ cho 390 ngời ngồi không? GV: Mai Thị Ngọc Linh 8 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Chuyên đề 3: các bài toán có phơng pháp giải điển hình Dạng I: Các bài toán về số trung bình cộng. Dạng II: Các bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số dó. 1- Tìm hai số chẵn liên tiếp có tổng bằng 98. 2- Tìm hai số lẻ có tổng bằng 120, biết giữa chúng có 5 số chẵn. 3- Trung bình cộng của hai số bằng 59. Tìm hai số biết số lớn hơn số bé 6 đơn vị. 4- Tìm hai số biết trung bình cộng của hai số là 23,8 và số thứ nhất hơn số thứ hai 4,5 đơn vị. 5- Anh hơn em 5 tuổi, 5 năm sau tổng số tuổi của hai anh em là 25 tuổi. Tính số tuổi của mỗi ngời hiện nay. 6- Một thửa ruộng HCN có chu vi là 188m. Chiều rộng ngắn hơn chiều dài 17m. tính diện tích thửa ruộng đó. 7- Cho một phép cộng có số hạng thứ nhất hơn số hạng thứ hai là 15 đơn vị. Biết tổng của số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng bằng 682. Tìm số hạng thứ hai của tổng. 8- Một phép cộng có hai số hạng là hai số chẵn liên tiếp. Tổng các số: số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và tổng số bằng 276. Tìm phép cộng đó biết số hạng thứ nhất lớn hơn số hạng thứ hai. 9- Cho phép trừ hai số mà tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu số bằng 478, hiệu số bé hơn số trừ 117 đơn vị. Tìm phép trừ đó. 10- Cả hai ngày bán đợc 894m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 146m vải thì ngày thứ nhất bán ít hơn ngày thứ hai 58m vải. Hỏi mỗi ngày bán đợc bao nhiêu mét vải. 11- Trong đợt Giúp bạn nghèo vợt khó, lớp 5A và 5B góp đợc 356 quyển vở. Sau đó 5A góp thêm đợc 54 quyển vở nữa, tính ra lớp 5A góp đợc nhiều hơn 5B là 24 quyển vở. Hỏi mỗi lớp góp đợc bao nhiêu quyển vở? 12- Cả hai ngày cửa hàng bán đợc 468m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 38m vải và ngày thứ hai bán thêm 26m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14m vải. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán đợc bao nhiêu mét vải? 13- Tổng của hai số bằng tích của số lớn nhất có 2 chữ số và số bé nhất có 2 chữ số. Nếu số thứ nhất tăng thêm 14 đơn vị và số thứ hai giảm đi 56 đơn vị thì số thứ nhất hơn số thứ hai 84 đơn vị. Tìm hai số đó. 14- Có 17,8 kg gạo đựng trong hai bao. Nếu lấy 2,4 kg gạo từ bao thứ nhất chuyển sang bao thứ hai thì hai bao có số lợng gạo bằng nhau. Hỏi mỗi bao đựng bao nhiêu kg gaọ? 15- Một cái ao HCN có chu vi 400m. Nếu giảm chiều dài đi 23m và tăng chiều rộng thêm 23m thì cái ao trở thành hình vuông. Tính diện tích cái ao đó. 16- Trung bình cộng của hai số là 60. Nếu số thứ nhất tăng thêm 50 đơn vị và số thứ hai tăng thêm 150 đơn vị thì hai số bằng nhau. Tìm hai số đó. 17- Cả hai ngày bán đợc 468,5 m vải. Nếu ngày thứ nhất bán thêm 3,8m vải và ngày thứ hai bán thêm 2,6m thì ngày thứ nhất bán kém ngày thứ hai 14,6 m vải. Hỏi mỗi ngày cửa hàng bán đợc bao nhiêu mét vải? 18- Cho 3 số A, B, C có tổng bằng 5977. Tìm số A, B, C biết rằng A lớn hơn B là 36 đơn vị, C lớn hơn A là 4 đơn vị. 19- Ba tấm vải có tổng số đo là 92,8m. Biết tấm vải thứ hai dài hơn tấm vải thứ nhất là 1,4m. và ngắn hơn tấm vải thứ ba là 0,6m. Hỏi mỗi tấm vải dài bao nhiêu mét? 20- Một kho hàng nhập về tất cả 181 tấn hàng hóa. Ngày thứ nhất nhập ít hơn ngày thứ hai 8 tấn và nhiều hơn ngày thứ ba là 10 tấn. Hỏi mỗi ngày kho nhập về bao nhiêu tấn hàng hóa? GV: Mai Thị Ngọc Linh 9 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 21- Cả 3 lớp 5A, 5B, 5C cùng góp 620 quyển vở giúp bạn nghèo. Lớp 5A góp ít hơn hai lớp 5B và 5C là 120 quyển vở. Lớp 5C góp nhiều hơn lớp 5B là 20 quyển. Hỏi mỗi lớp góp đợc bao nhiêu quyển vở? 22- Chu vi một hình tam giác là 18m. Số đo của cạnh thứ nhất kém hơn tổng số đo hai cạnh kia là 0,9 dam. Nếu giảm số đo của cạnh thứ ba đi 1,5 m thì nó bằng với số đo của cạnh thứ hai. Tìm số đo mỗi cạnh. 23- Tổng của hai số là 130. Nếu viết thêm chữ số 1 vào bên trái số thứ nhất ( có hai chữ số) thì đợc số thứ hai. Tìm hai số đó. 24- Tổng của hai số là 280. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số thứ nhất thì đợc số thứ hai. Tìm hai số đó. 25- Tổng của hai số thập phân là 893,6. Nếu viết thêm chữ số 7 vào bên trái phần nguyên của số bé thì đợc số lớn. Tìm hai số đó. 26- Tìm số có 2 chữ số biết tổng hai chữ số của số đó bằng 9 và hiệu của hai số đó bằng 3. 27- Tìm số có 2 chữ số mà tổng hai chữ số của số đó bằng 14 và nếu đổi vị trí hai chữ số của số đó thì số đó giảm đi 18 đơn vị. 28- Cho số có 3 chữ số có tổng bằng các chữ số bằng 14, biết rằng chữ số hàng chục bằng hai chữ số còn lại. Nếu chỗ của hai chữ số hàng đơn vị và hàng trăm ta đợc số mới hơn số đã cho 99 đơn vị. Tìm số đã cho. 29- Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 6. Nếu viết thêm vào số đó 18 đơn vị thì thì số thu đợc cũng viết bằng các chữ số đó nhng theo thứ tự ngợc lại. Tìm số đã cho. 30- Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 46. Nếu ghép số lớn vào bên trái số bé hoặc ghép số lớn vào bên phải số bé thì đều đợc số có bốn chữ số. Hiệu của hai số có bốn chữ số này bằng 2178. Tìm hai số đã cho. 31- Tìm số có bốn chữ số theo điều kiện sau: Nếu viết số đã cho theo thứ tự ngợc lại thì vẫn đợc số đó, tổng các chữ số bằng 24, số gồm hai chữ số bên trái lớn hơn số gồm hai chữ số bên phải là 36 đơn vị. 32- Cho số thập phân có bốn chữ số mà phần nguyên có hai chữ số, phần thập phân cũng có hai chữ số và tổng các chữ số của của nó bằng 20. Nếu viết số đã cho theo thứ tự ngợc lại thì vẫn đ- ợc số đã cho. Hãy tìm số thập phân đã cho biết rằng hai số số có hai chữ số ở phần nguyên lớn hơn số có hai chữ số ở phần thập phân là 36 đơn vị. Dạng III: Bài toán về tìm hai số khi biết tổng (hoặc hiệu) và tỉ số của hai số đó. 1- Tổng hai số bằng 1480. Số lớn gấp 4 lần số bé. Tìm hai số đó. 2- Một cửa hàng bán vải hai ngày bán đợc 540m vải. Ngày thứ nhất bán gấp rỡi ngày thứ hai. Hỏi mỗi ngày bán đợc bao nhiêu m vải? 3- Tìm hai số có tổng bằng tích của số bé nhất có hai chữ số với số lớn nhất có hai chữ số. Số bé bằng 2/3 số lớn. 4- Tìm hai số có hiệu bằng tổng của số bé nhất có ba chữ số với số bé nhất có hai chữ số. Số bé bằng 3/5 số lớn. 5- Một cửa hàng ngaỳ thứ nhất nhập 78 bao gạo, ngày thứ hai nhập 91 bao gạo. Biết ngày thứ hai nhập hơn ngày thứ nhất 591,5 kg gạo. Hỏi mỗi ngày nhập bao nhiêu kg gạo? 6- Hai lớp 5A và 5B mua chung 616 quyển vở. Lớp 5A có 45 học sinh, lớp 5B có 43 học sinh. Biết mỗi học sinh mua số vở nh nhau và giá mỗi quyển vở là 2200 đồng. Tính số tiền mỗi lớp phải trả. 7- Hiệu của hai số là 20,01. Biết số thứ nhất bằng 5/8 số thứ hai. Tìm hai số đó. 8- Một trờng có 1370 học sinh. Cứ có 3 nam sinh thì có 2 nữ sinh. Tính số nam sinh và nữ sinh của trờng đó. GV: Mai Thị Ngọc Linh 10 [...].. .Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 9- Một trờng tiểu học có 1470 học sinh Biết số nam sinh bằng 75% số nữ sinh Tính số nam sinh và nữ sinh của trờng đó 10- Một phép trừ có hiệu số bằng 4 lần số trừ và tổng các số: số bị trừ, số trừ... 147 đến 2005 có bao nhiêu số? c) Dãy số chẵn liên tiếp từ 140 đến 2004 có bao nhiêu số? 39- Hãy viết dãy số cách đều có 10 số hạng đều là các số tự nhiên, biết số hạng đầu tiên là 10 và số hạng cuối cùng là 37 14 GV: Mai Thị Ngọc Linh Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 40- Cho dãy số cách đều có 9 số hạng, có số hạng thứ năm là 19 và số hạng thứ chín là 35 Hãy viết đủ các số hạng của dãy số đó 41-... rằng 70 con bò sẽ ăn hết số cỏ này trong 24 ngày ; nếu có 30 con bò sẽ ăn hết số cỏ này trong 60 ngày Hỏi bao nhiêu con bò sẽ hết số cỏ trong 96 ngày? Dạng IV- Các bài toán về tìm tuổi 12 GV: Mai Thị Ngọc Linh Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 1- Tuổi cha hiện nay gấp 4 lần tuổi con và tổng số tuổi của hai cha con là 50 tuổi Hỏi sau bao nhiêu năm nữa tuổi cha gấp 3 lần tuổi con? 2- Hiện nay mẹ 30... hai năm, tuổi anh gấp ba lần tuổi em Tính tuổi hiện nay của mỗi ngời 38- Hiện nay anh 27 tuổi và em 7 tuổi Hỏi mấy năm nữa tuổi anh gấp 3 lần tuổi em? Dạng IV: Các bài toán về tỉ lệ 11 GV: Mai Thị Ngọc Linh Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 1- Có 45m vải may đợc 9 bộ quần áo nh nhau Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải cùng loại đó để may 10 bộ nh vậy? 2- Quãng đờng từ cột điện thứ nhất đến cột điện... chở đợc bao nhiêu tấn hàng, biết ô tô thứ ba chở nhiều hơn ô tô thứ hai 6,3 tấn hàng? 27- Dựa vào sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt một đề toán rồi giải: Đội thứ nhất: Đội thứ hai: Đội thứ ba: Đội thứ t: Đội thứ năm: Tính mỗi đội 28- Dựa và sơ đồ tóm tắt sau, em hãy đặt đề toán rồi giải: 29- Một kho hàng có 41 tấn gạo gồm bốn loại Số gạo loại I bằng 2/3 số gạo loại II, số gạo loại II bằng 3/4 số gạo loại... cho Tìm số đó và chữ số a 14- Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đó thì ta đợc một số gấp 7 lần số đó 13 GV: Mai Thị Ngọc Linh Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 15- Tìm một số tự nhiên biết rằng khi viết xen vào giữa hai chữ số của nó chính số đó thì số đó đợc tăng thêm 1180 đơn vị 16- Nếu xen vào giữa các chữ số của một số có 2 chữ số... cái ghế Hỏi nếu tổ có 5 ngời làm trong 7 ngày thì sẽ đóng đợc bao nhiêu cái ghế? 19- Để chuyên chở 39 kg hàng hóa trên quãng đờng dài 74 km phải chi hết 120 000 đồng Hỏi phải chi phí hết bao nhiêu tiền nếu chuyên chở 26 kg hàng hóa trên quãng đờng dài 185 km? 20- 3 học sinh cuốc đất trong 3 giờ đợc 60,5 m 2 Hỏi 6 học sinh trong 8 giờ cuốc đợc bao nhiêu mét vuông đất? 21- 10 công nhân sản xuất đợc 500... HCN không thay đổi? 4- Một HCN có chiều dài 80 m Nếu chiều rộng tăng lên 4 lần thì chiều dài phải là bao nhiêu mét để diện tích HCN không thay đổi? 5- Một trờng học chuẩn bị gạo đủ ăn cho 120 học sinh trong 20 ngày Đến ngày khai giảng có thêm 30 HS mới đến Hỏi số gạo trên sẽ hết sớm hơn dự định bao nhiêu ngày? 6- Một đơn vị gồm 120 ngời đủ gạo ăn trong 50 ngày Sau 30 ngày đơn vị lại nhận thêm một số ngời . Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 chuyên đề 1: các dạng toán về chữ số và số A- Thay đổi chữ số của một. Mai Thị Ngọc Linh 8 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 Chuyên đề 3: các bài toán có phơng pháp giải điển hình Dạng I: Các bài toán về số trung bình cộng. Dạng II: Các bài toán về tìm hai số. 1370 học sinh. Cứ có 3 nam sinh thì có 2 nữ sinh. Tính số nam sinh và nữ sinh của trờng đó. GV: Mai Thị Ngọc Linh 10 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi lớp 5 9- Một trờng tiểu học có 1470 học sinh.