CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu): ( ) dtytyISE r 2 0 )(minmin ∫ −= ∞ Integral of square error Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M Giảm năng lượng tiêu hao ∫ ∞ 0 2 )(min dttu Chỉ tiêu chất lượng toàn phương: ( ) dttuteJ ∫ += ∞ 0 22 )()(min λ Ví dụ : Tìm K để cực tiểu ISE r e u K 1/s y TỐI ƯU THAM SỐ Hàm truyền sai số Ks s sR sE + = )( )( Với tín hiệu vào hàm nấc: e(t) = e - Kt K dtteISE 2 1 min)(minmin 2 0 = ∫ = ∞ Kết quả là K phải vô cùng Dùng chỉ tiêu ( ) 22 1 )()(min 0 22 K K dttuteJ += ∫ += ∞ J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 0) 22 1 ( =+ K KdK d 0 1 32 2 >= ∂ ∂ K J K ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR QUADRATIC REGULATOR Khảo sát vấn đề duy trì trạng thái của hệ thống ở giá trị là 0, chống tác động nhiễu, đồng thời với cục tiểu tiêu hao năng lượng [ ] , 2 1 min )0(, 0 0 dtRuuQxxJ Cxy xxBuAxx TT ∫ += = =+= ∞  Q là ma trận đối xứng xđd hay bán xđd, thường là ma trận chéo R là ma trận đối xứng xđd, thường là ma trận chéo Chọn luật điều khiển hồi tiếp trạng thái u = - Kx, K là hằng số, thay vào biểu thức của J ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQxJ TT Tính K dùng phương trình Lyapunov, chọn hàm Lyapunov là J: PxxxdtRKKQxtxV T t TT 2 1 )( 2 1 ))(( = ∫ += ∞ Đạo hàm theo thời gian V(x(0)) = J = x T (0)Px(0) ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQxJ TT ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI [ ] [ ] )()( 2 1 )()( 2 1 |)( 2 1 )( txRKKQtxxRKKQx xRKKQxxV TTTT t TT +−∞+∞= += ∞  Gỉa sử chọn K để hệ ổn định, x(∞) →0 [ ] )()( 2 1 )( txRKKQtxxV TT +−=  Mặt khác ( ) [ ] xBKAPPBKAxxPxPxxxV TTTT )()( 2 1 2 1 )( −+−=+=   Suy ra [ ] xRKKQxxBKAPPBKAx TTTT )( 2 1 )()( 2 1 +−=−+− Ma trận P thỏa phương trình Lyapunov )()()( RKKQBKAPPBKA TT +−=−+− ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI • Giải phương trình Lyapunov ta được các phần tử của ma trận P theo các phần tử của ma trận K chưa biết • Sau đó ta tính J = V(x(0)) = là hàm theo các phần tử của ma trận K )0()0( 2 1 Pxx T • Để J cực tiểu ta giải phương trình hay 0= ∂ ∂ ij k J • Suy ra ma trận K, luật điều khiển u = - Kx • Xét ổn định của ma trận A-BK • Nêú muốn điêù chỉnh ngõ ra y=cx ta chọn Các bước giải bài toán tối ưu 0= ∂ ∂ ij k P ∫ += ∞ 0 )( 2 1 xdtRKKQCCxJ TTT PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ RICCATI Đặt R = Γ T Γ, Γ là ma trận vuông không suy biến Phương trình Lyapunov viết lại là: 0])([])([ 0)()( 111 =+−Γ−ΓΓ−Γ++ =ΓΓ++−+− −−− QPBPBRPBKPBKPAPA KKQBKAPPBKA TTTTTTT TTTTT Lấy đạo hàm phương trình theo k ij và dùng tính chất 0= ∂ ∂ ij k P Ta suy ra 0)])(())([( 11 =Γ−ΓΓ−Γ ∂ ∂ −− PBKPBK k TTTTT ij Cực tiểu xảy ra khi số hạng trong ngoặc là 0 PBRPBK PBK TTT TT 111 1 )( )( −−− − =ΓΓ= Γ=Γ Phương trình Lyapunov trở thành phương trình đại số Riccati 0 1 =+−+ − QPBPBRPAPA TT VÍ DỤ1 kyu dtuyJ uyy −= ∫ += +−= ∞ 0 22 )(  Các thông số của bài toán: A = -1, B = 1, Q = 2, R = 2 Phương trình Riccati A T P + PA - PBR -1 B T P + Q = 0 -P – P - 0.5 P 2 + 2 = 0 Giải phương trình bậc hai theo P và chọn nghiệm dương )12(2 −=P Luật điều khiển tối ưu : )()12()()( 1 tytPyBRtu T −−=−= − Phương trình hệ kín: )(2)( tyty −=  VÍ DỤ2 [ ] xy uxx 01 1 0 00 10 =       +       =  Tìm luật điều khiển u duy trì x 1 = r, x 2 = 0 u = - k 1 (x 1 -r) - k 2 x 2 cực tiểu chỉ tiêu ∫ +−= ∞ 0 22 1 ))(( dturxJ Đặt biến mới 22 11 ~ ~ xx rxx = −= 2; 00 02 =       = RQ Phương trình Riccati: A T P + PA - PBR -1 B T P + Q = 0 VÍ DỤ2 [ ]       =       +                         −             +             00 00 00 02 10 2 1 1 0 00 10 01 00 2212 1211 2212 1211 2212 1211 2212 1211 pp pp pp pp pp pp pp pp 02 2 0 2 02 2 12 2 22 2212 11 2 12 =+− =− =+− p p pp p p Cuối cùng : 2121 1 2)()( ~ 2)( ~ )( ~ 222 222 xrxtxtxtxPBRu P T −−−=−−=−=       = − VÍ DỤ 3 Điều khiển tối ưu với tích phân Trở lại ví dụ 1 ta muốn thêm vào khâu tích phân để tính chống nhiễu tốt hơn kyu dtuyJ uyy −= ∫ += +−= ∞ 0 22 )(  Đặt biến mới z(t) 2, 20 02 0 1 , 01 01 )( )()( 21 0 222 =       =       =       − = −−= ∫ ++= = +−= ∞ RQ BA zkyku dtuzyJ tytz uyy   . CHỈ TIÊU CHẤT LƯỢNG Chỉ tiêu chất lượng (Hàm mục tiêu) : ( ) dtytyISE r 2 0 )(minmin ∫ −= ∞ Integral of square error Giới hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M Giảm năng lượng tiêu. hạn tín hiệu điều khiển : max |u(t)| <= M Giảm năng lượng tiêu hao ∫ ∞ 0 2 )(min dttu Chỉ tiêu chất lượng toàn phương: ( ) dttuteJ ∫ += ∞ 0 22 )()(min λ Ví dụ : Tìm K để cực tiểu ISE r e u K 1/s. quả là K phải vô cùng Dùng chỉ tiêu ( ) 22 1 )()(min 0 22 K K dttuteJ += ∫ += ∞ J cực tiểu khi suy ra K = 1, J = 1 0) 22 1 ( =+ K KdK d 0 1 32 2 >= ∂ ∂ K J K ĐIỀU CHỈNH TRẠNG THÁI (LQR) LINEAR