Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính CHƯƠNG I . LÝ THUYẾT SAI SỐ: I. CÁC KHÁI NIỆM SAI SỐ TUYỆT ĐỐI: ∆ = A a− SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI: a a a δ ∆ = được gọi là sai số tương đối giới hạn giới hạn của số gần đúng a. Nó được đánh giá theo % (còn gọi là độ chính xác) VD: chiều dài của 1 phòng học xấp xĩ d =10m với ∆ d = 0,0025 a a a δ ∆ = .100% = 0,0025 .100% 10 = 0,025 % CHỬ SỐ CÓ NGHĨA: tất cả các chử số có nghĩa viết trong số gần đúng a kể từ chư số khác 0 đầu tiên từ trái qua phải đều được gọi là những chử số có nghĩa. CHỬ SỐ ĐÁNG TIN: cho số gần đúng a = a k a k-1 a k-2 a k-3 a r a i chử số có nghĩa a r được goi là chử số đáng tin nếu sai số tuyệt đối của số gần đúng a không vượt quá ½ đơn vị hàng nó đứng. VD: A= 57,9157 ∆ a = 6,2.10 -5 => 6,2.10 -5 ≤ 0,5.10 r => 0,062.10 -5 ≤ 0,5.10 r => r ≥ - 3 => các số đáng tin 5, 7, 9, 1, 5. II, MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỬ SỐ ĐÁNG TIN VÀ CÁC LOẠI SỐ: Biết sai số tương đối tìm các chử số đáng tin: giã sử số gần đúng a có n chử số đáng tin a= a k .10 -k + a k-1 .10 -k-1 + + a k-n+1 .10 -k-n+1 trong đó a k là chử số đầu tiên sau dấu phẩy. => 1 .10 2 r a ∆ ≤ 1 1 .10 2 n a k a δ − ≤ 1 a y x y=1/x y=lgx Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính VD: tìm các chử số đáng tin: A = 0,17635 với độ chính xác S a = 0,03% Theo công thức : 0,03.10 -2 ≤ 1 2.1 .10 1-n <=> 0,3.10 -3 ≤ 1 2.1 .10 1-n <=> -3 ≤ 1- n => n ≤ 4 III, SAI SỐ TÍNH TOÁN Y-thu đc từ các đại lượng trung gian x 1 , x 2 , x 3 , , x n qua biểu thức y = f(x 1 , x 2 , , x n ); f khả vi liên tục biết các i x∆ ; i = 1,n tìm y∆ Ta có: dy = f’(x 1 )dx 1 + f’(x 2 )dx 2 + + f’(x n )dx n dy = 1 1 ( ) n i i f x dx = ∑ ; ( ) 1 ' . n xi i i y f x = ∆ = ∆ ∑ (1.3) VD: cho y = x 1 .x 2 và x 1 = 1 x 2 = 2 , ∆ 1 = 0,005 ; ∆ 2 = 0,02 tìm ∆ y ? ( 1) ' x f = x 2 ; ( 2) ' x f = x 1 => y∆ = 2 x . ∆ x 1 + 1 x . ∆ x 2 = ? Khi đó y = x 1 x 2 ± y∆ CHƯƠNG II, GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH F(X)=0 • Xét phương trình f(x)= 0 (2) Nếu f(x) là một đa thức bậc n với n ≥ 3 ta thực hiện giải gần đúng theo 4 bước sau đây: B 1 - vây và tách nghiệm (tìm khoảng cách li nghiệm) ; tìm [ ] ;a b α ∈ của pt. B 2 - chọn giá trị ban đầu x 0 [ ] ;a b∈ (x 0 chọn theo những đk của bài toán). B 3 - xây dựng dảy x 1 , x 2 , x 3 , , x n . hội tụ về nghiệm α của pt trên [ ] ;a b => α = lim n n x →∞ B 4 - chọn điểm dừng thích hợp để lấy nghiệm gần đúng n x α ≈ . I,VÂY VÀ TÁCH NGHIỆM: • Phương pháp đồ thị: Tách phương trình f(x) = 0 thành 2 pt có dang h(x) = g(x). Vẽ đồ thị của hai pt: y = h(x) và y = g(x) lên cùng một hệ trục toa độ như vậy α chính là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị. • Phương pháp giải tích: 2 Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính Giả sử hàm f(x) có f’(x) không đổ dấu trong (a;b), f(a).f(b) < 0 khi đó tồn tại c ( ) ;a b∈ để f(c) = 0. Lưu ý: có thể đoán được n 0 của pt sau đó thu hẹp khoảng cách li nghiệm có thể đảm bảo đc răng f’(x)không đổi dáu trong khoảng đả chọn (điều kiện để chỉ tồn tại một nghiệm duy nhất trong khoảng cách li đả chọn. II, CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH f(x) = 0. Sau khi xác định được khoảng cách li nghiệm của phương trình f(x)=0 ta chọn các phương pháp giải gần đúng sau đây để giải bài toán một cách nhanh nhất, chính xác nhất. 1- Phương pháp lặp: Bằng cách nào đó đưa pt (2) về dạng pt x = ϕ (x) phương trình của điểm bất động. Chọn [ ] 0 ;x a b∈ dùng công thức lặp: x n = ϕ (x n-1 ) 2.1 để xây dựng dảy x 1 , x 2 , , x n hôi tụ về α Điều kiện hội tụ : hàm ( )x ϕ có '( )x ϕ liên tục trên [ ] ;a b . Để cho (2.1) hội tụ về n 0 của phương trình (2) tren đoạn [ ] ;a b thì '( ) 1x q ϕ ≤ < ( ) ;x a b∀ ∈ Cách chọn X 0 ; +> Nếu '( )x ϕ > 0 trên [ ] ;a b chọn x 0 tuy ý trên [ ] ;a b +> Nếu '( )x ϕ < 0 trên [ ] ;a b chọn x 0 theo 2 cách sau đây: - Chọn x 0 = a nếu a < α < 2 a b+ để cho α ; 2 a b a +   ∈     thì f(a).f( 2 a b+ )<0 - Chọn x 0 = b nếu 2 a b+ < α < b để cho α ; 2 a b b +   ∈     thì f( 2 a b + ).f(b)<0 Đánh gia sai số: sử dụng CT: 1 . 1 n n n q x x x q α − − ≤ − − Trường hợp q < 1 2 công thức đánh giá sai số đơn giản hơn: n x α ≈ với 1n n x x ε − − ≤ (2.2) Nếu cho ε ta có thể sủ dụng: 1n n n x x x α − − ≤ − VD: cho f(x) = x 3 – x – 1 = 0 (*) a. giải pt với độ chính xác ε = 10 -2 b. giải pt lặp 5 bước đánh giá sai số. giải ta có: f(1).f(2) < 0 f’(x) = 3x 2 -1 >0 [ ] 1;2x∀ ∈ 3 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 1 1 1,25992 1,25992 1 1,312293 1,312293 1 1,322353 1,322353 1 1,324268 1,324268 1 1,324632 x x x x x = + = = + = = + = = + = = + = Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính vậy suy ra [ ] 1;2 là khoảng cách li nghiệm. pt (*) <=> 3 1x x= + => 3 ( ) 1x x ϕ = + ( ) 2 3 1 '( ) . 1 3 x x ϕ − = + ≤ 3 1 3. 4 = 0,20998 < 1 [ ] 1;2x∀ ∈ Hàm ( )x ϕ thỏa mản điều kiện hội tụ. '( )x ϕ > 0 [ ] 1;2x∀ ∈ nên chon tùy ý. Chọn x 0 = 1 Áp dụng công thức lặp: 3 1 1 n n x x − = + ta có: 3 1 3 2 3 3 3 4 1 1 1,25992 1,25992 1 1,312293 1,312293 1 1,322353 1,322353 1 1,324268 x x x x = + = = + = = + = = + = Ta có: 4 3 0,002x x− ≈ < 10 -2 => α ≈ x 4 = 1,324268 Giải lặp 5 bước: α ≈ x 5 = 1,324632 đánh giá sai số: q = 0,20998 5 5 4 0,20998 . 1,324632 1,324268 1 1 0,20998 q x x x q α − ≤ − = − − − => 5 x α − ≤ 9,675.10 -5 2- Phương pháp Niu tơn – tiếp tuyến: Viết pt tiếp tuyến tại điểm x 0 của đồ thị y = f(x) : y 1 = f’(x 0 ).(x – x 0 ) + f(x 0 ). Gọi x 1 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến trên ( y 1 = 0 tìm đc x 1 ):  x 1 = x 0 - 0 0 ( ) '( ) f x f x Lại viết pt tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x 1 ; f(x 1 )):y 2 = f’(x 1 ).(x–x 1 )+f(x 0 ) Gọi x 2 là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với trục hoành  x 2 = x 1 - 1 1 ( ) '( ) f x f x 4 Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính tương tự ta có x n : x n = x n-1 - 1 1 ( ) '( ) n n f x f x − − (2.3) Điều kiện hội tụ: giả sử f(x) có f’(x) và f’’(x) không đổi dấu trong đoạn (a; b) chọn [ ] 0 ;x a b∈ sao cho f’(x 0 ).f’’(x) > 0 với mọi x thuộc (a; b). Cách chọn n 0 x 0 : +> Chọn x 0 = b nếu f(b) cùng dấu với f’’(x) +> Chọn x 0 = a nếu f(a) cùng dấu với f’’(x) Đánh giá sai số: ( ) n n f x x m α − ≤ ; 0 < m ≤ '( )f x [ ] ;x a b∀ ∈ (2.4) VD: Tìm n 0 gần đúng của pt f(x) = x 3 – 0,2x 2 –0,2x – 1,2 = 0 (*) Giải: f(1,1) < 0 ; f(1,4) > 0 và f’(x) = 3x 2 – 0,4x – 0,2 >0 x∀ ∈ (1,1 ;1,4) => [ ] 1,1;1,4 là khoảng cách li nghiệm f’(x) = 3x 2 – 0,4x – 0,2 >0 f’’(x) = 6x – 0,4 > 0 x ∀ ∈ (1,1 ;1,4) => pt (*) thỏa mản đk hội tụ Vì f(1,4)>0 cùng dấu với f’’(x) => chọn x 0 = 1,4 Áp dụng công thức : x n = x n-1 - 1 1 ( ) '( ) n n f x f x − − ta có: x 1 = x 0 - 0 0 ( ) '( ) f x f x = 1,22969 x 2 = x 1 - 0 1 ( ) '( ) f x f x = 1,20079 dừng lại ở x 2 đánh giá sai số ta có: f’(x) ≥ f’(1,1)= 2,99 = m > 0 x ∀ ∈ [ ] 1,1;1,4 áp dụng ct: ( ) n n f x x m α − ≤ = 0,00288 2,99 = 0,00096 3-Phương pháp dây cung: Nội dung: chọn x 0 = a đặt d = b (hoặc chọn x 0 = b đặt d = a) Viết pt dây cung đi qua hai điểm (x 0 ; f(x 0 )) và (d; f(d)) 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) x x y f x d x f d f x − − = − − Gọi x 1 là hoành độ giao điểm của dây cung với trục hoành: x 1 = x 0 – f(x 0 ). 0 0 ( ) ( ) d x f d f x − − 5 Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính Lại viết pt dây cung đi qua hai điểm: (x 1 ; f(x 1 )) và (d; f(d)): 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) x x y f x d x f d f x − − = − − Gọi x 2 là hoành độ giao điểm của dây cung với trục hoành: x 2 = x 1 – f(x 1 ). 1 1 ( ) ( ) d x f d f x − − Tương tự như vậy ta củng xác định đc: x n = x n-1 – f(x n-1 ). 1 1 ( ) ( ) n n d x f d f x − − − − Điều kiện hôi tụ: Hàm f(x) có f’(x), f’’(x) không đổi dấu trong (a; b) chọn [ ] 0 ;x a b∈ sao cho: f(x 0 ).f’’(x) < 0 ( ) ;x a b∀ ∈ Đánh giá sai số: ( ) n n f x x m α − ≤ ; 0 < m ≤ '( )f x [ ] ;x a b∀ ∈ 4- Phương pháp chia đôi khoảng: Trình tự tính toán như các phương pháp khác chỉ khác đánh giá sai số: ( ) 2 n n b a x α − − ≤ VD: giải phương trình: x 2 – lnx – 5 = 0 với x > 1 ; ε = 0,03 Giải: y = lnx y = x 2 - 5 f(x) =x 2 - lnx – 5 f(2) = -1 – ln2<0 f(3) = 4 - ln3 > 0 f’(x) = 2x – 1/x > 0 [ ] 2;3x∀ ∈ => [ ] 2;3 là khoảng cách li nghiệm x 0 = 2 3 2 + = 2,5 ; f(2,5) = 0,3 >0 => α ∈ [ ] 2;2,5 x 1 = 2 2,5 2 + = 2,25 ; f(2,25) = -0,74 => α ∈ [ ] 2,25;2,5 x 2 = 2,25 2,5 2 + = 2,375 : f(2,375) = - 0,224 => α ∈ [ ] 2,375;2,5 6 Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính x 3 = 2,375 2,5 2 + = 2,4375 ; f(2,4375) = 0,0504 => α ∈ [ ] 2,375;2,4375 x 4 = 2,375 2,4375 2 + = 2,406 ; f(2,406) = -0,087 => α ∈ [ ] 2,406;2,4375 x 5 = 2,406 2,4375 2 + = 2,422 ;f(2,422) = - 0,0197 => α ∈ [ ] 2,422;2,4375 x 6 = 2,422 2,4375 2 + = 2,4297 ; f(2,4297) = -1,5 => α ∈ [ ] 2,4297;2,4375 đánh giá sai số: 6 2 3 2,4297 2 α − − ≤ = 0,015625 < ε suy ra α ≈ x 6 III. TÌM NGHIỆM GẦN ĐÙNG CỦA ĐA THỨC: Xét đa thức bậc n P n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + + a n-1 x + a (a # 0) (2.6) Tinh giá trị của đa thức tại điểm x = c. Viết lại (2.6) dưới dạng : P n (x) = ( ((a 0 x + a 1 )x + a 2 )x + )x + a n Đặt b 0 = a 0 b 1 = b 0 c + a 1 b 2 = b 1 c + a 2 b n = b n-1 c + a n = P n (c) quá trình trên được gọi là sơ đồ Hóc-ne và được lập bẳng như sau: a 1 a 2 a n a 0 b 0 c b 1 c b n-1 c b 0 b 1 b 2 b n =P n (c)  Ước lượng khoảng nghiệm của đa thức: ĐL: Nghiệm của định thức (2.6) thỏa mản: 0 1 A x a ≤ + ; A = max i a 1,i n= VD: 2x 4 + 7x 2 - 8x + 3 = 0 a 0 = 2 A = max i a = 8 => 8x ≤ 7 Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính CHƯƠNG III: GIÃI PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: I, ÔN TẬP: Cho ma tận A có cở n x m : Det A = ij n a = a 11 detA 11 – a 12 detA 12 + a 13 detA 13 - + (-1) n+1 a 1n detA 1n . Det A 11 – bỏ dòng một cột một.  Phương pháp Game: xét hệ Grame Ax = b với DetA # 0 Hệ có nghiệm duy nhất : (x 1 ; x 2 ; ; x n ) được xác định bởi hệ thức sau: j j D x D = với D = Det A ; D j = Det D j thu được bằng thay cột thứ J trong định thức bởi cột hệ số tự do.  Phương pháp ma trận nghịch đảo: 0A ≠ → tồn tại A -1 = ij 1 T C A     với C ij = det A ij => x = [ ] ij 1 . T C B A     B là ma trận cột tự do.  Phương pháp Gaoxow: lập bẳng gao xo rồi sử dụng ơheps bien dổi sơ cấp đưa về một bài toán đởn giản. II, KHÁI NIỆM CỦA CHUẨN VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA CHUẨN:  Khái niệm chuẩn vecto: cho X = ( x 1 ; x 2 ; ; x n ) kí hiệu X đc khái niệm một trong 3 cách sau: 1- 1 X = ax i i M x giá trị lớn nhất của tổng hàng 2- 2 j i i X x= ∑ 3- 1 2 2 3 i i X x   =  ÷   ∑ Tính chất: +> X ≥ 0 ‘=’ xẩy ra khi X =( 0, 0 , , 0) +> X Y X Y+ ≤ + +> X Y X Y− ≥ −  Chuẩn ma trận: cho ma trận A i . j m n a     chuẩn của ma trận A là A và được định nghỉa theo một trong ba cách sau: (1) - 1 A = ax ij i M a gt lớn nhất của tổng hàng 8 1 2 2 ij 3 i j A a   =  ÷   ∑∑ Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính (2) - ij 2 ax j i A M a= ∑ gt lớn nhấ của tổng cột (3) - tổng bình phương tất cả các giá trị Tính chất: +> . .A B A B≤ +> n n A A≤ +> ij a A≤ III, GIẢI GẦN ĐÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÌNH: 1-phương pháp lặp: cho hpt AX = B (3) bằng cách nào đó biến đổi hệ dạng X = Cx + α trong đó X = .1 j n x     ; C = [ ] iJ .n m C ; .1 j n α α   =   chọn X 0 = α sử dụng công thức lặp : X K = CX K-1 + α (3.1)  Điều kiện hội tụ: r C r< với r = 1,2,3  Đánh giá sai số: X ≈ X K khi đó: 1K K K r r r C X X X X r C − − ≤ − − Chú ý: để quá trình lặp dừng lại ở bước thứ n với độ chinh xác ε thì cần có: 1 1 K K X X ε − − ≤ Ví dụ: giải hệ phương trình với độ chính xác ε = 10 -2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 0,09 3 0,15 0 4 0,24 0,08 8 0,04 0,08 4 20 x x x x x x x x x + − =   + − =   − + =  <=> 1 2 3 2 1 2 3 1 2 0,06 0,02 2 0,0 0,05 3 0,01 0,02 5 x x x x x x x x x = − + +   = − + +   = − + +  0 0,06 0,02 0,03 0 0,05 0,01 0,02 0 C −     = −     −   2 3 5 α     =       Điều kiện hội tụ: 1 2 3 0,08 1 0,08 1 0,0079 0,09 1 C C C = < = < = ≈ < thỏa mản điều kiện hội tụ Chọn X 0 = α dùng công thức lặp: X K = CX K-1 + α Áp dụng đến khi nào đạt được đội chính xác cần thiết. 2-Phương pháp dây đen: 9 . Phương pháp tính- phương pháp tính- phương pháp tính CHƯƠNG I . LÝ THUYẾT SAI SỐ: I. CÁC KHÁI NIỆM SAI SỐ TUYỆT ĐỐI: ∆ = A a− SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI: a a a δ ∆ = được gọi là sai số tương đối giới. các chử số có nghĩa viết trong số gần đúng a kể từ chư số khác 0 đầu tiên từ trái qua phải đều được gọi là những chử số có nghĩa. CHỬ SỐ ĐÁNG TIN: cho số gần đúng a = a k a k-1 a k-2 a k-3 a r . 0,062.10 -5 ≤ 0,5.10 r => r ≥ - 3 => các số đáng tin 5, 7, 9, 1, 5. II, MỐI QUAN HỆ GIỮA CHỬ SỐ ĐÁNG TIN VÀ CÁC LOẠI SỐ: Biết sai số tương đối tìm các chử số đáng tin: giã sử số gần