Các dấu hiệu nhận biết phơng trình bậc hai có nghiệm: Thí dụ 9: Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m. Tìm m để A có đúng 2 phần tử. Với: { } ( ) ( ){ } 03231|)2 01|)1 2223 3 =+++++= =+= mmxmmxmxRxA mmxxRxA Lời giải Câu 1: Viết lại: x 3 -mx+1-m = 0 x 3 + 1-m(x+1) = 0 (1) Tập hợp A có phần tử cố định với mọi m Phơng trình (1) có nghiệm không phụ thuộc m. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi. 1 01 01 3 = =+ =+ x x x Vậy khi m thay đổi, tập hợp A luôn có một phần tử cố định là x = -1 Từ kết quả trên suy ra (1) ( ) ( ) 011 2 =+++ mxxx (2) Gọi f(x) = x 2 x + 1 + m A có đúng 2 phần tử tập nghiệm của phơng trình (1) có đúng 2 giá trị ( ) = = = = 4 3 3 1 2 ;0 1;01 m m a b a c f f Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m == 4 3 ;3 mm Câu 2: Xem phơng trình x 3 -(m+1)x 2 + (m 2 + m-3)x-m 2 + 2m + 3 = 0 (3) ( ) ( ) 03321 2322 =+++ xxxmxxmx Xét hệ: 1 033 02 01 23 2 = =+ =+ = x xxx xx x Suy ra phơng trình (3) có nghiệm x = 1 không phụ thuộc m Tập hợp A có một phần tử cố định (x = 1) với mọi m (đpcm) Từ kết quả đó suy ra: (3) ( ) ( ) 0321 22 =+ mmmxxx Gọi ( ) 32 22 += mmmxxxf A có đúng 2 phần tử Tập nghiệm của phơng trình (3) có đúng 2 giá trị ( ) = = =++ = = = 3 132 2 173 2 01283 042 023 1 2 ;0 1;01 2 2 2 m m m mm mm mm a b a c f f Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m là: = = 3 132 ; 2 173 mm Thí dụ 10: Tìm a để phơng trình (a + 1)x 2 -(8a+1)x + 6a = 0 có đúng 1 nghiệm thuộc (0; 1). Lời giải Trờng hợp 1: a + 1 = 0 a = -1 Phơng trình đã cho trở thành 7x 6 = 0 ( ) 11;0 7 6 == ax là giá trị phải tìm. (1) Trờng hợp 2: a -1, ta phải có f(0).f(1) = -6a 2 0 a + a = 0, phơng trình đã cho trở thành x 2 x = 0 x = 0; x = 1 (loại) a = 0 cũng không phải là giá trị phải tìm (2) + a ( ) ( ) 01.00 < ff Phơng trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc (0; 1) (3) Từ (1), (2), (3) Phơng trình đã cho có đúng 1 nghiệm (0; 1) khi và chỉ khi a0 Thí dụ 11: Cho m - 1. Tìm nghiệm lớn của phơng trình: x 2 + (2m-6)x +m-11 = 0 (1) Lời giải Viết lại ( ) ( ) ( )( ) ( ) '22 101281210116121 =+++=++ xxxmxxxm Thấy rằng 2 1 =x không phải là nghiệm của phơng trình (1) Chia hai vế của phơng trình (1 ) cho 2x + 1 ta có: (1 ) 12 128 1 2 + ++ =+ x xx m . Bởi thế 0 12 128 011 2 + ++ + x xx mm ( )( ) ( ) 20 12 724724 + + x xx Dấu vế trái (2): + + - - 724 2 1 724 + Căn cứ vào dấu vế trái (2) suy ra tập nghiệm của bất phơng trình (2) là ( ] + 724; 2 1 724;x (3) Gọi x 0 là nghiệm của phơng trình (1) với m -1 Từ (3) suy ra ( ) 74max 01 += x m . Nói cách khác, với m -1, nghiệm lớn nhất có thể của phơng trình (1) là x = 74 + Bài tập Bài 1: Chứng minh tập hợp nghiệm của tập hợp các phơng trình sau đây khác rỗng: 1) Hai phơng trình: x 2 + ax +b = 0; x 2 + bx + a = 0 trong đó a, b là các số thực thoả mãn: 2 111 =+ ba 2) Ba phơng trình: x 2 + ax + b -1=0; x 2 + bx + c-1=0; x 2 + cx + a-1 = 0 trong đó a, b, c là các số thực bất kỳ. Bài 2: Cho tập hợp A = ( ) ( ){ } 0237| 223 =+ mmxmmxRx 1) Chứng tỏ tập hợp A có phần tử cố định với mọi m. Tìm m để a có đúng 2 phần tử. 2) Tìm hệ thức độc lập với tham số liên hệ giữa các phần tử không cố định của A. Bài 3: Tìm a để cả hai nghiệm của phơng trình g(x) = 0 đều nằm trong khoảng 2 nghiệm của phơng trình f(x) = 0, với g(x) = x 2 -2x-a 2 + 1, f(x) = (x 2 -2a+1)x + a(a+1) Bài 4: Tìm m biết rằng phơng trình: x 2 + 2mx +2m 2 -1=0 có hai nghiệm thoả mãn |x 1 | < 1 < |x 2 | . mm Câu 2: Xem phơng trình x 3 -(m+1)x 2 + (m 2 + m-3)x-m 2 + 2m + 3 = 0 (3) ( ) ( ) 03 321 23 22 =+++ xxxmxxmx Xét hệ: 1 033 02 01 23 2 = =+ =+ = x xxx xx x Suy ra phơng trình (3) có nghiệm. ) = = =++ = = = 3 1 32 2 173 2 0 128 3 0 42 023 1 2 ;0 1;01 2 2 2 m m m mm mm mm a b a c f f Vậy tập hợp các giá trị phải tìm của m là: = = 3 1 32 ; 2 173 mm Thí dụ 10: Tìm a để phơng trình (a + 1)x 2 -(8a+1)x. thế 0 12 128 011 2 + ++ + x xx mm ( )( ) ( ) 20 12 724 724 + + x xx Dấu vế trái (2) : + + - - 724 2 1 724 + Căn cứ vào dấu vế trái (2) suy ra tập nghiệm của bất phơng trình (2) là ( ] +