Thi vào chuyên Hùng Vơng Môn Toán Dành cho học sinh thi vào chuyên Toán -Tin -Lý -Hoá- Sinh ngày thi 11 7-2005 Bài 1 a/Rút gọn xy yx xy yx xy yx xy yx yxyxyx A yxyxvoi xy yx xy yx yx A = + += + ++ = > + = ).(: ))(( ;;0,:;: 33 b/Ta có a 2 +b 2 +c 2 +3=2(a+b+c)(a 2 -2a+1)+( b 2 -2b+1)+ (c 2 -2c+1)=0 (a-1) 2 +(b-1) 2 +(c-1) 2 =0(a=b=c=1) (đpcm) Bài 2 Từ GT ta có 17=a 2 +2a+1 thay vào ta có B=a 5 +2a 4 -17a 3 -a 2 +18a-17= a 5 +2a 4 -( a 2 +2a+1 )a 3 -a 2 +( a 2 +2a+2)a- ( a 2 +2a+1) B= a 5 +2a 4 - a 5 -2a 4 -a 3 -a 2 + a 3 +2a 2 +2a- a 2 -2a-1=-1 (đpcm) Bài 3 Cho phơng trình: x 2 -2(m+4)x=m 2 -8=0 (1) a/Ta có =(m+4) 2 -(m 2 -8)=m 2 +8m+16-m 2 +8=8m+240m-3 Vậy với m-3 thì phơng trình (1) có nghiệm b/ với m-3 theo Viét ta có : x 1 +x 2 =2(m+4);x 1 x 2 =m 2 -8 P=x 1 2 +x 2 2 -x 1 x 2 =( x 1 +x 2 ) 2 -3 x 1 x 2 =4m 2 +32m+64-3m 2 +24=m 2 +32m+84 P là Parabol có toạ độ đỉnh là (-16;-172) hàm số P đồng biến với m[-16;+]; với m-3 thì Min(P) tại m=-3 Min(P)=(-3) 2 +32.(-3)+84=-3 Bài 4 Giải hệ phơng trình: = = = = = =+ = = =+ = =+ =+ = =+ =++ =+++ =++ =++ 4 1 1 4 4 5 4 5 02510 9 25)1( 9 (*) 4 :(*); 25)1)(( 101 25)1)(( 10)1)(1( 2 2 y x y x xy yx P S SS SP PS PS PS Pxy Syx dat xyyx xyyx xyyx yx Bµi 5(trang 13) a/Tõ Gt ta cã; CEBDACcgcDCABECDondang CD CA CB CE ∠=∠⇒⊥∆⊥∆⇒== ) (3 KÐo dµi AD c¾t BE t¹i K ta cã ∠AKE=90 0 nªnAK⊥BE suy ra D lµ trùc t©m cña ∆ABE ⇔BD⊥AE t¹i H do ∠AH 1 D=90 0 ⇔H 1 ∈(O 1 ) do ∠BH 1 E=90 0 ⇔H 1 ∈(O 2 ) VËy H 1 lµ giao(O 1 ) vµ(O 2 ) nªn H 1 ≡H suy ra A,H,E th¼ng hµng (®pcm) b/ do ∠AHB=90 0 nªn H∈®êng trßn ®êng kÝnh AB c/ Ta cã ∆CBE vu«ng t¹i C nªn A BC F H,H 1 D K E 00 30603 ===== BHCBECCBECBEtg CB CE gọi HC cắt (O 3 ) tại F ta có BHF=30 0 suy ra HC đi qua F cố định (đpcm) Thi vào chuyên Hùng Vơng Môn Toán(Vòng 2) Dành cho học sinh thi vào chuyên Toán ngày thi 12 7-2005 Bài 1 Từ GT ta có :a 2 >0;b 2 >0;c 2 >0;x 2 0; y 2 0 ; z 2 0 ta có 00: 0 11 ;0 11 ;0 11 : 0) 11 () 11 () 11 ( 0 222222222222 2222 2 2222 2 2222 2 2 2 222 2 2 2 222 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 2 222 222 ==== ++ ++ ++ = ++ + ++ + ++ = ++ + ++ + ++ ++= ++ ++ Pzyxnen ccbabcbaacba Taco ccba z bcba y acba x c z cba z b y cba y a x cba x c z b y a x cba zyx b/ 40)104)(4(0406640 )21420)(21420(32142021420)2021421420( 233 3 3 33 3 ==++=+= ++++=+= xxxxxxxx xx Bài 2 cho PT: (1-m)x 2 +8x+7-m=0 (*) a/ 121)928(1 )74)(74(27474(1)7474(1 2 === +++=+= m m thay m=-1 vào PT(*) ta có:2x 2 +8x+8=0(x+2) 2 =0x=-2 b/Để PT(*) có nghiệm thì 0 ta có: =16-(1-m)(7-m)=-m 2 +8m+9 =25-( m 2 -8m+16)=25-(m-4) 2 =(9-m)(1+m) 0-1m9 vËy m lín nhÊt lµ 9 ®Ó PT(*) cã nghiÖm khi ®ã x=0,5; Bµi 3 2 18021 2 18021 2 80211 2006 2 80211 2006 2 80211 02005: )0(2006:;0200520062006) 2 1 2006() 2 1 ( 4 1 20062006 4 1 20062006; 20060)2006)(2006(020062006: );0(;2006);0(;: ;020062005.2006200620062006 2006 2005 20062006 2 2 2 22 2222222 222424 22 24 2244 2244 − ±=⇔ − =⇔         + =+⇔ + =+⇔ + =⇔=−− >=+=−+−+⇔−+=+⇔ ++−+=++⇔=++ =+⇔=−++⇔=−++ >=+≥= =−−++++⇔ = +++ xxx xtttt aco ttxdatxxxx xxxxxxvay bababbabaTaco bbxaaxDat xxxx xxxx Bµi 4 a/ ta cã: { } 0;9;8;7;6;5;4;3;2;1;0100)( 100 90 10 90 10 9990 1 999 1 10100 ==∈⇔= =+≤ + += + ++ +≤ ++ + += ++ ++ = zyxAMax x x yx x yx yxx zyx yx zyx zyx A b/ Ta cã B=n 2 +n 3 =n 2 (n+1) víi n∈N * v× 1000≤B≤9999 suy ra 10≤n≤21 mÆt kh¸c B chia hÕt cho 7 nªn n hoÆc n+1 chia hÕt cho 7 vËy n=13;14,20,21 Suy ra B=2366;2562;8400; 9702; cã 4 sè B A C P N M K Bài 5 a/ Do BMK=;AMB= suy ra AMK=,AMB cân ,KMB cân tại M AMK cân tại MAMK đồng dạng với APC (gg) (*) AC AP AK AM AC AK AP AM == mặt khác KAC=MAP (cộng góc) kết hợp với(*) ta có KAC đồng dạng với MAP (cgc) AMP=AKC (đpcm) b/Vì ===120 0 nên ABK đều AKB=60 0 Tơng tự chứng minh nh trên BKC đồng dạng với BMN (cgc) BKC=BKN AMP+BMN= AKP+BKC=AKB=60 0 mà AMP+BMN+NMP==120 0 NMP=60 0 tơng tự MNP=MPN=60 0 Vậy tam giác MNP đều (đpcm) Thi vào chuyên Hùng Vơng Môn Toán(Vòng 2) Dành cho học sinh thi vào chuyên Tin ngày thi 12 -7-2005 Bài 1 a/Phân tích đa thức thành nhân tử A=a 2 b+b 2 c+c 2 a+a 2 c+b 2 a+c 2 b-a 3 -b 3 -c 3 -2abc A=(a 2 b-2abc+bc 2 )+(c 2 a-2abc+b 2 a)+(cb 2 -2abc+ca 2 )-a 3 -b 3 -c 3 +4abc A=b(a-c) 2 -b 3 + a(b-c) 2 -a 3 + c(a-b) 2 -c 3 +4abc A=b[(a-c) 2 -b 2 ]+ a[(b-c) 2 -a 2 ]+ c[(a+b) 2 -c 2 ] A=b(a-c-b)(a-c+b)+a(b-c-a)(b-c+a)+c(a+b-c)(a+b+c) A=(a+b-c)(ab-bc-b 2 +ab-ac-a 2 +ac+bc+c 2 ) A=(a+b-c)[c 2 -(a-b) 2 =(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) b/Đã giải trong đề thi vào chuyên Toán vòng 2 Bài 2: Đã giải trong đề thi vào chuyên Toán vòng 2 Bài 3: a/Giải hệ phơng trình: 2 1 ; 2 1 :)1(:; 11 11 0 1111 0 22111 :)2()3( )2(,4 12 )3(,4 111 2 111 )2(,4 12 )1(,2 111 2 2 222 2 222 2 ===== = = = ++ +=++++ = = +++++ = =++ zyxtacoPTThayvaozyx zy zx yzzxyzxz zyx tacoPTPT z xy xzyzxy zyx z xy zyx b/Giải phơng trình xxTXDxhoacTXDx xxxxxxxx xxxxxx xTXDxx >+== =++=+=+ =+=++++ =++ 07;1:;1 0)7)(1)(1(07698216 3)8)(2(16)8)(2(282(*) 22:(*);482 2 224242 222222 22 Bài 4: Đã giải trong đề thi vào chuyên Toán vòng 2 Bài 5: Đã giải trongđề thi vào chuyên Toán vòng 2 Thi vào chuyên Hùng Vơng Môn Toán Dành cho học sinh thi vào chuyên Văn-Lịch Sử-Địa Lý-Ngoại Ngữ ngày thi 13 -7- 2005 Bài 1: a/Rút gọn 1561 523.53.32603)532( =+=+= A b/Cho hàm số Rxvoixy = :;7)2006.200524011(13 Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?vì sao? áp dụng BĐT thức 2006.20052200620054011 "";2 >+= ==+ BAdauABBA dấu = không xảy ra vì 2005 2006 do vậy 13(4011- 2006.20052 )>0 nên hàm số trên đồng biến Bài 2: Cho hệ phơng trình ẩn x;y: = =++ )2(;2 )1(;12)1( 2 mymx mmyxm a/giải hệ với m=1.Thay m=1 ta có hệ = = += = = =+ 1 0 1 03 1 12 y x xy x yx yx b/Tìm m để hệ phơng trình đã cho có nghiệm Rút y từ PT(2) ta có y=mx-m 2 +2(3) thay vào PT(2) ta có (m+1)x+m(mx-m 2 +2)=2m-1mx+x+m 2 x-m 3 +2m=2m-1 (m 2 +m+1)x=m 3 -1 (4) vì m 2 +m+1>0 mọi m nênPT(4) có nghiệm duy nhất với mọi m nên hệ phơng trình có nghiệm duy nhất với mọi m c/Từ PT(4) ta có x=m-1 thay vào PT(3) y=2-m xét tích xy=(m-1)(2-m)=-m 2 +3m-2 2 3 4 1 )(:; 4 1 ) 2 3 ( 4 1 ) 4 9 2 3 .2( 4 1 22 ===+= mxyMaxVaymmmxy Bài 3 a/Giải phơng trình 134)3(224 )3(2)1212)(1212()3(2)12()12( 22 === =++=+ xxxxx xxxxxxxx b/Giải bất phơng trình: (x+4)(5x-1)>(5x+1)(x+3)-15x 2 -x+20x-4>5x 2 +15x+x+3-1 3x>6x>2 Vậy xR;x>2 sau đó minh hoạ trục số Bài 4: Gọi chiều dài sân trờng hình CN là x (m) 87,5<x<175 Gọi chiều rộng sân trờng hình CN là y(m) 0<y<87,5 Vì chu vi sân trờng là 350 m nên ta có pT(1): x+y=175 Vì 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng 35 m nên ta có pT(2): 3x- 4y=35 Ta có hệ = = = = = =+ = =+ 70 105 175 7357 3543 70044 3543 175 y x xy x yx yx yx yx Vậy chiều dài sân trờng là 105 m;chiều rộng sân trờng là 70 m Bài 5 a/ Ta có EFB=90 0 vì nội tiếp chắn nửa đờng tròn nên EFBF(1) mặt khác ACBF(2) từ (1) và(2) ta có AC//EF nên tứ giác AFEC là hình thang do AC//EF nên cung AF =cung CE suy ra ACE=CAF Nên tứ giácAFEC là hình thang cân(đpcm) b/Xét tứ giác AHCE có AHBC;ECBCAH//EC (3) CHAB;EAABCH//EA (4) Từ (3) và (4) ta có tứ giác AHCE là hình bình hành nên đờng chéo HE đi qua trung điểm I của AC Hay ba điểm H;I;E thẳng hàng (đpcm) C B F A E K D H O I c/Ta có OI là đờng trung bình của BHE nên BH=2OI (đpcm) tứ giácAFEC là hình thang cân nên AF=CE (5) tứ giác AHCE là hình bình hành nên AH=CE(6) Từ (5) và (6) ta có AF=AH AHF cân tại A có AC là đờng cao Nên A và F đối xứng nhau qu Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141 gmail: minhsang5260@gmail.com.vn Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP; ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về minhsang5260@gmail.com.vn . 3 2 18021 2 18021 2 80211 2006 2 80211 2006 2 80211 02005: )0 (2006: ;0200 520062 006) 2 1 2006( ) 2 1 ( 4 1 20062 006 4 1 20062 006; 20060 )2006) (2006( 020062 006: );0( ;2006) ;0(;: ; 020062 005 .20062 00 620062 006 2006 2005 20062 006 2 2 2 22 2222222 222424 22 24 2244 2244 − ±=⇔ − =⇔         + =+⇔ + =+⇔ + =⇔=−− >=+=−+−+⇔−+=+⇔ ++−+=++⇔=++ =+⇔=−++⇔=−++ >=+≥= =−−++++⇔ = +++ xxx xtttt. số Rxvoixy = :;7 )2006. 200524011(13 Hàm số đã cho đồng biến hay nghịch biến?vì sao? áp dụng BĐT thức 2006. 2005 220062 0054011 "";2 >+= ==+ BAdauABBA dấu = không xảy ra vì 2005 2006 do vậy. 2006. 2005 220062 0054011 "";2 >+= ==+ BAdauABBA dấu = không xảy ra vì 2005 2006 do vậy 13(4011- 2006. 20052 )>0 nên hàm số trên đồng biến Bài 2: Cho hệ phơng trình ẩn x;y: = =++ )2(;2 )1(;12)1( 2 mymx mmyxm a/giải