SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi : Toán Thời gian :150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 2 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số , biết rằng = + . Bài 2: ( 2 điểm) Giải phương trình : 10 = 3(x 2 + 2 ) Bài 3: ( 2 điểm) Cho đa thức f (x) = ax 2 + bx + c ( a = 0) . Biết rằng phương trình f (x) = x vô nghiệm . Chứng minh rằng phương trình : a [f (x) ] 2 + bf (x) + c = x vô nghiệm . Bài 4: ( 1 điểm) Cho x , y, z > 0 thỏa mãn xy + yz + xz = xyz . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 x 1 1 1 3 y z x y z x y z   + + ≥ + +  ÷   Bài 5 : ( 3 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi O là trung điểm của BC . Đường tròn (O;R) tiếp xúc với AB ở E , tiếp xúc với AC ở F . Điểm H chạy trên cung nhỏ EF ( H khác E, F) . Tiếp tuyến của đường tròn tại H cắt AB , AC lần lượt tại M, N . a) Chứng minh : ∆MOB  ∆ONC. b) Xác định vị trí điểm H sao cho diện tích ∆AMN lớn nhất . Bài 6 : ( 1 điểm ) Cho 33 điểm nằm trong hình vuông có độ dài bằng 4 , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng . Người ta vẽ các đường tròn bán kính bằng 2 và tâm là các điểm đã cho . Hỏi có hay không ba điểm trong cá điểm đã cho sao cho chúng đều thuộc phần chung cuả ba hình tròn có tâm cũng là ba điểm đó ? Vì sao ? ……… Hết………… Họ và tên thí sinh : ……………………………. Số báo danh : …………. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC . ( Hướng dẫn chấm và biểu điểm này gồm có 03 trang ) Bài 1 ( 2 điểm ) Điểm Điều kiện 1 ≤ x , y ≤ 9 và x, y nguyên = + (1) ⇔ x.100.11 + y.11 = x 2 .11 2 + y 2 .11 2 ⇔ 100 x + y = 11 (x 2 + y 2 ) 0,5 ⇒ (x + y ) 11 ⇒ x + y = 11 ( vì 2 ≤ x + y ≤ 18 ) 0,5 ⇒ (x ; y) chỉ có thể là các cặp (2; 9) ; (9; 2) ; (3; 8) ; (8; 3) ; (4; 7) ; (7; 4) ; (5; 6) ; (6; 5) 0,5 Thay lần lượt từng cặp trên vào (1) ta thấy chỉ có x = 8 và y = 3 thỏa mãn . Vậy số cần tìm là 83 . 0,25 Bài 2 (2 điểm) Điều kiện x ≥ -1 0,25 Khi đó 10 = 3(x 2 + 2 ) ⇔ 10 1x + 2 1x x− + = 3(x 2 + 2 ) (*) 0,25 Đặt 2 1 1 u x v x x  = +   = − +   (Điều kiện u ≥ 0 ,v > 0 ) khi đó phương trình (*) trở thành 10uv = 3 (u 2 + v 2 ) 0,5 ⇔ (3u - v)( (u - 3v ) = 0 ⇔ u 3v 3u v =   =  0,25 Trường hợp 1 : u = 3v , ta có : 1x + = 3 2 1x x− + ⇔ 9x 2 - 10 x + 8 = 0 Vô nghiệm 0,25 Trường hợp 2 : 3u = v , ta có : 3 1x + = 2 1x x− + ⇔ 9x + 9 = x 2 - x + 1 ⇔ x 2 - 10 x - 8 = 0 0,25 ⇔ x 5- 33 x 5+ 33  =  =   ( thỏa mãn điều kiện x ≥ -1 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x 5- 33= và x 5+ 33= 0,25 Bài 3 ( 1điểm ) Vì phương trình f (x) = x vô nghiệm nên f (x) > x , với mọi x ∈ R hoặc f (x) < x , với mọi x ∈ R 0,5 Nếu f (x) > x , với mọi x ∈ R thì a [f (x) ] 2 + bf (x) + c = f(f (x) ) > f (x) > x , với mọi x ∈ R Suy ra phương trình a [f (x) ] 2 + bf (x) + c = x vô nghiệm . 0,25 Nếu f (x) < x , với mọi x ∈ R thì thì a [f (x) ] 2 + bf (x) + c = f(f (x) ) < f (x) < x , với mọi x ∈ R Suy ra phương trình a [f (x) ] 2 + bf (x) + c = x vô nghiệm . Vậy ta có điều phải chứng minh . 0,25 Bài 4 ( 1 điểm ) Đề chính thức Ta có xy + yz + xz = xyz . ⇔ + + = 1 Đặt a = , b = , c = ta được a, b, c > 0 và a + b + c =1 (1) Khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành + ( ) 2 2 2 2 2 3 (2) b c a b c c a + ≥ + + 0,25 Ta sẽ chứng minh (2) đúng với mọi a, b, c thỏa mãn (1) Thật vậy , vì a + b + c = 1 nên ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 (2) 2 2 2 3 a b c a b b c c a a b c a b c b c a       ⇔ − + + − + + − + ≥ + + − + +  ÷  ÷  ÷       0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )a b b c c a a b b c c a b c a − − − ⇔ + + ≥ − + − + − ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 0a b b c c a b c a       ⇔ − − + − − + − − ≥  ÷  ÷  ÷       0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 a c b a c b a b b c c a b c a + + +       ⇔ − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷       đúng vì a, b, c > 0 Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = hay x = y = z = 3 . 0,25 Bài 5 (3 điểm ) Câu a ) (1,5 điểm ) Theo tính chát tiếp tuyến ta có OM , ON lần lượt là phân giác của các góc · · · · 1 EOH, EOF 2 FOH MON⇒ = 0,5 · · EOF 180BAC + = ° ( vì · · OEA OFA 90= = ° ) 0,25 ⇒ · · · · 180 2 BAC MON ABC ACB °− = = = , mà · · · · · · 180OCN ONC NOC MOB MON NOC+ + = + + = ° 0,5 suy ra · · MOB ONC= vậy ∆MOB  ∆ONC (g.g) 0,25 b) ( 1,5 điểm ) Từ ∆MOB  ∆ONC 2 . . 4 MB OB BC MB CN OB OC OC NC ⇒ = ⇔ = = ( không đổi ) 0,25 Vì S AMN = S ABC - S BMNC nên S AMN lớn nhất khi và chỉ khi S BMNC nhỏ nhất (do S ABC không đổi ) 0,25 Ta có S BMNC = S BOM + S MON + S NOC = 1 ( ) 2 R BM MN CN+ + 1 ( ) ( ) 2 BM CN ME NF do MN ME NF= + + + = + 0,25 1 ( ) 2 ( ) ( ) (2 . ) ( ) R BM CN BM BE CN CF R BM CN BE do BE CF R BM CN BE R BC BE = + + − + − = = + − = ≥ − = − không đổi 0,5 Dấu “ = ” xẩy ra ⇔ BM = CN ⇔ MN ∥ BC . 0,25 O A B C E F M N H M N A B C Q P ⇔ H là điểm chính giữa cung nhỏ EF Vậy S AMN lớn nhất khi H là điểm chính giữa cung nhỏ EF Bài 6 ( 1 điểm) Chia hình vuông đã cho thành 16 hình vuông đơn vị ( các cạnh song song với các hình vuông đã cho và có độ dài bằng 1) 0,25 Do 33 > 16.2 nên theo nguyên lí Dirichlê , tồn tại ít nhất ba điểm nằm trong hoặc trên cạnh của hình vuông đơn vị . Giả sử đó là ba điểm A, B, C ở trong hoặc nằm trên cạnh của hình vuông đơn vị MNPQ 0,25 Ta có MP = 2 và với mọi điểm E thuộc hình vuông MNPQ thì MP ≥ AE , tức là AE ≤ 2 . Từ đó hình tròn (A; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ . Tương tực các hình tròn (B; 2 ) ,(C; 2 ) phủ toàn bộ hình vuông MNPQ . 0,25 Suy ra ba hình tròn (A; 2 ), (B; 2 ) , (C; 2 ) đều chứa hình vuông MNPQ nên ba điểm A, B, C nằm trong phần chung của ba hình tròn nói trên . Vậy câu trả lì của bài toán là có . 0,25 Ghi chú : Thí sinh làm theo cách khác mà vẫn đúng vẫn cho điểm tối đa . . : ……………………………. Số báo danh : …………. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Đề chính thức TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN. SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU NĂM HỌC 2008 - 2009 Môn thi : Toán Thời gian :150 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài 1:. HỌC 2008 - 2009 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC . ( Hướng dẫn chấm và biểu điểm này gồm có 03 trang ) Bài 1 ( 2 điểm ) Điểm Điều kiện 1 ≤ x , y ≤ 9 và x, y nguyên = + (1) ⇔